Решение уравнения методом бисекции pascal

Решение нелинейных уравнений на языке программирования Pascal

Практически перед каждым программистом рано или поздно встает задача определения корней уравнения. На сегодняшний день существует достаточно много алгоритмов решения данной задачи. Из этой статьи вы узнаете о наиболее известных алгоритмах численного решения уравнений. Практически все они могут быть разделены на два этапа: отделения и уточнения корней. Первую часть легко выполнить графическим методом. Для выполнения второго этапа решения уравнения можно воспользоваться одним из многих методов уточнения корней уравнения.

Наиболее простым в реализации является метод бисекции, или как его еще называют, метод половинного деления. Это итерационный метод, суть которого заключается в том, что на каждой итерации интервал сокращается вдвое до тех пор, пока не будет найдено решение с заданной точностью.

Данный метод достаточно прост и содержит всего два действия. Сначала находится переменная х – середина интервала [a,b]. После чего вычисляется значение функции в середине интервала. Затем определяется, совпадает ли по знаку значение функции в середине интервала, со знаком функции в левой части. В случаи если их знаки равны, то новой левой границей считается середина интервала, в ином же случаи правой граница интервала считается его середина. Таким образом, при каждой итерации интервал сокращается вдовое то справа, то слева. Очень часто можно встретить следующую реализацию данного метода.

Этот вариант, хотя и очень прост для понимания, содержит один недостаток. Дело в том, что если функция очень сильно изменяется, то при заданной точности, её значение может очень сильно отличаться. Поэтому для исключения этой неточности выгоднее использовать цикл с постусловием и сравнивать с заданным значением точности не разницу границ интервала, а значение функции. Тогда реализация метода примет следующий вид.

Другим очень хорошим методом нахождения корней уравнения, который несколько сложнее в реализации, чем предыдущий, является метод хорд. Отличается он тем, что границы интервала соединяются прямой линией, то есть хордой. Затем определяется точка пересечения этой прямой с осью абсцисс, по формуле:

После чего находится значение функции в точке пересечения. По аналогии с предыдущим методом определяется новая левая или правая граница интервала, которой является точка пересечения. Реализация данного метода на языке программирования Pascal может быть представлена следующим образом.

Еще одним хорошим методом решения уравнений является метод касательных или метод Ньютона. Главное его отличие от представленных ранее методов биссекции и хорд – отсутствие необходимости отделения корня. Вместо этого нужно задать лишь начальное приближение. Однако его главным недостатком остается сложность реализации, связанная, прежде всего с необходимостью определять производные исходного уравнения.

В основе метода Ньютона лежит разложения функции в ряд Тейлора:

Обычно значения ряда, содержащие шаг h во второй и более высоких степенях отбрасывают, так как их влияние на результат незначительны.

Суть метода заключается в экстраполяции функции касательными. После того как пользователь задает начальное приближение, программа должна определить точку пересечения касательной к графику функции с осью абсцисс. Для этого используется формула:

Затем находится значение функции в точке пересечения касательной с осью абсцисс и если получившиеся значение близко к нулю, то считается, что решение уравнения найдено. Реализация данного метода может быть представлена следующим образом

К сожалению, при всех своих достоинствах метод Ньютона не гарантирует сходимости. Отсутствия решения может возникнуть по нескольким причинам. Например, это может произойти из-за того, что касательная будет параллельна оси абсцисс. В этом случаи необходимо предусмотреть выход из цикла при достижении большого количества итераций.

Существуют также и другие методы, например, золотого сечения. Какой из них использовать решать вам, однако следует отметить, что наиболее быстродейственным считается метод Ньютона, затем метод хорд и последним по быстродействию является метод половинного деления. Хотя количество итераций напрямую зависит от введенных начальных данных. При удачном стечении обстоятельств решение каждым из методов может быть найдено даже при единственной итерации.

Программа для метода бисекции

Дана функция f (x) с плавающим числом x и двумя числами «a» и «b» такая, что f (a) * f (b) 3 + a ₂ x 2 +… .. + e, где aa ₁ , a ₂ ,… — константы, а x — переменная ,
Трансцендентальной функцией являются неалгебраические функции, например, f (x) = sin (x) * x — 3 или f (x) = e x + x 2 или f (x) = ln (x) + x….

Что такое метод деления пополам?
Этот метод также называется методом деления пополам, методом двоичного поиска или методом дихотомии. Этот метод используется, чтобы найти корень уравнения в заданном интервале, который является значением «x», для которого f (x) = 0.

Метод основан на теореме о промежуточном значении, которая гласит, что если f (x) — непрерывная функция и существуют два действительных числа a и b, такие что f (a) * f (b) 0 и f (b)

Ниже приведена реализация вышеуказанных шагов.

// C ++ программа для реализации метода Bisection для
// решение уравнений
#include

using namespace std;

#define EPSILON 0.01

// Пример функции, решение которой определяется с помощью
// Метод деления пополам. Функция х ^ 3 — х ^ 2 + 2

double func( double x)

return x*x*x — x*x + 2;

// Печатает корень функции func (x) с ошибкой EPSILON

void bisection( double a, double b)

if (func(a) * func(b) >= 0)

cout «You have not assumed right a and b\n» ;

while ((b-a) >= EPSILON)

// Найти среднюю точку

// Проверяем, является ли средняя точка корневой

// Определим сторону, чтобы повторить шаги

else if (func(c)*func(a)

cout «The value of root is : «

// Программа драйвера для проверки вышеуказанной функции

// Предполагаемые начальные значения

double a =-200, b = 300;

// Java-программа для реализации метода Bisection
// для решения уравнений

static final float EPSILON = ( float ) 0.01 ;

// Пример функции, решение которой определяется с помощью

// Метод деления пополам. Функция х ^ 3 — х ^ 2 + 2

static double func( double x)

return x*x*x — x*x + 2 ;

// Печатает корень функции func (x) с ошибкой EPSILON

static void bisection( double a, double b)

if (func(a) * func(b) >= 0 )

System.out.println( «You have not assumed»

while ((b-a) >= EPSILON)

// Найти среднюю точку

// Проверяем, является ли средняя точка корневой

// Определим сторону, чтобы повторить шаги

else if (func(c)*func(a) 0 )

// выводит значение c до 4 десятичных знаков

System.out.printf( «The value of root is : %.4f»

// Программа драйвера для проверки вышеуказанной функции

public static void main(String[] args)

// Предполагаемые начальные значения

double a =- 200 , b = 300 ;

// Этот код предоставлен Нирмал Патель

# Python программа для реализации
Метод деления пополам
# решение уравнений

# Пример функции, чья
# решение определяется с помощью
Метод деления пополам.
# Функция x ^ 3 — x ^ 2 + 2

return x * x * x — x * x + 2

# Печатает корень функции (x)
# с ошибкой EPSILON

if (func(a) * func(b) > = 0 ):

print ( «You have not assumed right a and b\n» )

while ((b — a) > = 0.01 ):

# Найти среднюю точку

# Проверьте, является ли средняя точка корневой

# Решите сторону повторить шаги

if (func(c) * func(a) 0 ):

print ( «The value of root is : » , «%.4f» % c)

# Код драйвера
# Предполагаемые начальные значения

# Этот код добавлен
# Анант Агарвал.

// C # программа для реализации
// Метод деления пополам
// решение уравнений

static float EPSILON = ( float )0.01;

// Пример функции, чья
// решение определяется с помощью
// Метод деления пополам. Функция
// это х ^ 3 — х ^ 2 + 2

static double func( double x)

// Печатает корень функции func (x)
// с ошибкой EPSILON

static void bisection( double a,

if (func(a) * func(b) >= 0)

Console.WriteLine( «You have not assumed» +

while ((b — a) >= EPSILON)

// Найти среднюю точку

// точка является корнем

else if (func(c) * func(a)

// выводит значение c

// до 4 десятичных знаков

Console.WriteLine( «The value of » +

static public void Main ()

// Предполагаемые начальные значения

double a = -200, b = 300;

// Этот код предоставлен ajit

// PHP программа для реализации
// Метод деления пополам
// уравнения

// Пример функции, чья
// решение определено
// используя метод деления пополам.
// Функция x ^ 3 — x ^ 2 + 2

function func( $x )

// Печатает корень функции func (x)
// с ошибкой EPSILON

function bisection( $a , $b )

echo «You have not assumed » .

«right a and b» , «\n» ;

while (( $b — $a ) >= $EPSILON )

// Найти среднюю точку

// точка является корнем

else if (func( $c ) * func( $a )

echo «The value of root is : » , $c ;

// Предполагаемые начальные значения

// Этот код предоставлен ajit
?>

Выход:

Временная сложность: — Временная сложность этого метода зависит от предполагаемых значений и функции.

Какие плюсы и минусы?
Преимущество метода деления пополам состоит в том, что он гарантированно сходится. Недостатком метода деления пополам является то, что он не может обнаружить несколько корней.

В целом, метод деления пополам используется для получения начального грубого приближения решения. Затем более быстрые методы сходятся, чтобы найти решение.

Вскоре мы обсудим другие методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

Эта статья предоставлена Абхираджем Смитом . Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или вы хотите поделиться дополнительной информацией по обсуждаемой теме

Курсовая работа
Решение нелинейного уравнения методами половинного деления (бисекций) и хорд
в среде программирования Turbo Pascal 7.0 (DOS) (Паскаль)
Программа и описание

Среда программирования: Turbo Pascal 7.0 (DOS)

Название работы: Решение нелинейного уравнения методами половинного деления (бисекций) и хорд

Вид работы: Курсовая работа

Тематика работы: Математика

Объем программы: 3 (по десятибалльной шкале)

Уровень сложности: 3 (по десятибалльной шкале)

Разработчик (автор): Программист сайта kursovik.com (письмо автору)

Ключевые слова: решение, нелинейное, уравнение, метод, половинного, деления, бисекций, хорд, нелинейных, уравнений, иатодами, математика, корни, корней, нахождение, интервал, интервале

Описание (отчет): Есть на 17 страниц, посмотреть оглавление

Перед покупкой готовой работы не забудьте проверить её оригинальность. Запросить у администратора проверку текущей оригинальности работы по версии системы Антиплагиат.РУ

Курсовая работа
Решение нелинейного уравнения методами половинного деления (бисекций) и хорд

Скачать EXE-файл программы (7 Кб)

Как можно приобрести данную готовую работу ?

Заполните форму, которая расположена чуть Выше данного текста и нажмите кнопку «Приобрести»

Мы поддерживаем следующие способы оплаты:

• любые банковские карты: Visa, MasterCard, Maestro, МИР
• электронные деньги: QIWI, WebMoney, Яндекс.Деньги
• оплата по квитанции в любом банке на территории России
• оплата через отделения Евросети и Связного
• оплата с баланса мобильного телефона
• оплата через PayPal
• оплата наличными

Автоматическая оплата возможна с территории следующих государств:
Россия, Украина, Беларусь, Казахстан, Молдова, Литва, Латвия, Эстония,
Грузия, Армения, Азербайджан, Узбекистан, Таджикистан, Киргизия, Туркмения
С помощью электронных денег и PayPal оплата возможна со всего мира.

После заполнения формы Вы получите на свой E-mail автоматическое письмо со всеми подробностями оплаты заказа. Оплата производится через платёжную систему Ю.Касса, которая обеспечивает полную защиту онлайн-платежей при покупках в Интернете.

В течение нескольких минут с момента оплата заказа. Мы работаем 7 дней в неделю.

На Ваш E-mail адрес и в личном кабинете нашего сайта sys.kursovik.com.

Да, после оплаты Вы получите все файлы проекта данной работы, при желании сможете редактировать (видоизменять) программу (ее описание) самостоятельно.

Эти данные нам нужны для того, чтобы можно было предотвратить повторную продажу работы в один и тот же ВУЗ. На сайте в таблице продаж публикуется только информация о городах, куда была продана работа. Если клиент видит, что в его город работа уже покупалась, то он может запросить у нас название ВУЗов, куда покупалась эта работа. Данные о ВУЗе клиента хранятся только в нашей базе, в открытом доступе их нет. Если Вы все-таки не хотите оставлять информацию о городе и ВУЗе, то просто введите в соответствующие поля несколько пробелов. Тем не менее, мы Вам рекомендуем всё-таки указать достоверную информацию, тем самым Вы застрахуетесь от того, чтобы кто-то из студентов Вашего ВУЗа вместе с Вами сдавал одинаковую работу одному и тому же преподавателю.

В идеале купленная работа должна быть использована в качестве образца или основы, чтобы студенту было проще написать свою собственную работу. Но если Вы всё-таки решите сдавать купленную у нас работу без изменений, то с нашей стороны по этому поводу никаких претензий не будет.

Да, мы можем гарантировать уникальность данной работы.
Она была разработана нашим программистом и выставлена на продажу в 2004 году.

Обычно работы по программированию всегда показывают больше 50% уникального текста.
Это напрямую связано с тем, что даже если введение, заключение и теоретическая глава вдруг окажутся неуникальными, то сам текст программы и описание ее работы слихвой компенсируют этот недостаток, т.к. они пишутся с нуля, скопировать их вряд ли откуда можно.
Тем не мнее, если вдруг при проверке купленной у нас готовой работы, она не дотятянет до требуемого в Вашем ВУЗе процента уникальности, то мы готовы поднять его при помощи специальной программы.
ВНИМАНИЕ ! Это предложение действительно только для готовых работ, купленных на нашем сайте ! Повышать уникальность каких-либо других работ мы не будем 🙂

Ниже приводится таблица продаж:

Ростов-на-Дону

Тула

Вы можете узнать дополнительно, в какие ВУЗ ы Вашего города сдавалась эта работа, нажав на следующую ссылку

Есть, но если данный отчет Вам не подходит, то Вы можете заказать написание нового отчета (согласно Вашему оглавлению) автору данной программы. Для этого заполните пожалуйста форму, приведенную ниже. В форме укажите требуемое оглавление(план) отчета. Если в Вашем ВУЗе никаких особых требований к отчету не выдвигают, тогда выберите пункт «требований к отчету нет, всё на усмотрение программиста».

Рекомендуем Вам также посмотреть нашу рубрику «вопросы и ответы».

Если у Вас возник какой-либо вопрос по данной работе, пожалуйста заполните форму, приведенную ниже.
Ответ будет дан автором данной работы в обязательном порядке. Время отклика — 2-24 часа с момента заполнения формы. Если Ваш вопрос окажется полезным, мы разместим его на этой странице.

Готовые работы на тему «Математика&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Игры&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Графика&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Базы данных&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Клиент-серверные базы данных&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Обучающие программы&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Работа с текстом&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Тесты&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Кроссворды&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Технологии&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Графы&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Структуры&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Алгоритмы&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Компиляторы&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Криптография&#187 на языке Паскаль

Готовые работы на тему «Прочие&#187 на языке Паскаль