Решение уравнения переноса для простейших случаев астрофизика

Засов А.В., Постнов К.А. Общая астрофизика. — Фрязино, 2006. — 496 с.

Глава 1. Введение

Глава 2. Излучение и поглощение ЭМ волн в среде

2.1. Основные понятия
2.1.1. «Температурная» шкала электромагнитных волн
2.1.2. Интенсивность излучения (поверхностная яркость)
2.1.3. Поток излучения. Связь с интенсивностью
2.1.4. Плотность энергии излучения
2.1.5. Понятие спектра
2.2. Излучение абсолютно черного тела
2.2.1. Тепловое излучение
2.2.2. Понятие термодинамического равновесия
и локального термодинамического равновесия
2.2.3. Спектр абсолютно черного тела
2.3. Перенос излучения в среде и формирование спектра
2.3.1. Коэффициент излучения
2.3.2. Коэффициент поглощения и оптическая толща
2.3.3. Уравнение переноса при наличии поглощения и излучения
2.3.4. Решение уравнения переноса для простейших случаев
2.3.5. Образование спектральных линий в условиях ЛТР
2.3.6. Температура астрофизических источников, определяемая по их излучению
2.4. Астрофизические примеры спектров
2.5. Задачи

Глава 3. Особенности астрономических наблюдений и физические ограничения их возможностей

Глава 4. Межзвездная среда

5.1. Общие характеристики
5.2. Образование звезд
5.2.1. Гравитационная неустойчивость
5.2.2. Влияние вращения на сжатие
5.2.3. Влияние магнитного поля на сжатие
5.3. Стадии формирования звезды
5.4. Стационарные звезды
5.4.1. Гидростатическое равновесие
5.4.2. Теорема вириала для звезды
5.4.3. Тепловая устойчивость звезд. Отрицательная теплоемкость
5.5. Ядерные реакции в звездах
5.5.1. рр-цикл (Г. Бете, 1939)
5.5.2. Проблема солнечных нейтрино
5.5.3. CNO-цикл
5.5.4. О характере движения квантов в недрах Солнца и звезд
5.5.5. Происхождение химических элементов до элементов железного пика
5.5.6. У равнения внутреннего строения звезд и Солнца
5.6. Роль давления излучения в массивных звездах
5.7. Соотношения M-L и M-R для звезд ГП
5.8. Атмосферы звезд
5.8.1. Спектральная классификация звезд
5.8.2. Непрерывный спектр
5.8.3. Образование спектральных линий
5.8.4. Эмиссионные линии в спектрах звезд
5.9. Солнце как ближайшая звезда
5.9.1. Общие характеристики
5.9.2. Особенности фотосферы, хромосферы и короны
5.9.3. Гелиосейсмология
5.10. Задачи

Глава 6. Эволюция звезд

Глава 7. Двойные звезды

Глава 8. Планетные системы

8.1. Солнечная планетная система
8.2. Методы обнаружения планет вокруг звезд
8.3. Статистические зависимости экзопланет
8.4. Образование планет и их систем
8.4.1. Протопланетные диски
8.4.2. Образование планет Солнечной системы
8.4.3. Образование гигантских экзопланет

Глава 9. Сверхновые и остатки сверхновых

9.1. Нейтронизация вещества
9.1.1. Фотодиссоциация
9.1.2. Нейтронизация вещества и УРКА-процессы
9.1.3. Захват нейтрино и остановка коллапса
9.2. Вспышки сверхновых
9.2.1. Сверхновые II типа
9.2.2. Гиперновые и гамма-всплески
9.2.3. Сверхновые типа Iа
9.2.4. Остатки сверхновых и их взаимодействие с межзвездной средой

Глава 10. Компактные звезды и их наблюдательные проявления

Глава 11. Галактики и скопления галактик

11.1. Звездные скопления и наша Галактика
11.2. Основные характеристики галактик
11.3. Структура галактик
11.4. Движение газа и звезд
11.4.1. Столкновение звезд и время релаксации
11.4.2. Особенности движения звезд различных подсистем
11.4.3. Принципы измерения скоростей вращения галактик
11.4.4. Кривые вращения галактических дисков
11.4.5. Скорость вращения и круговая скорость
11.4.6. Связь распределения масс в галактике с кривой вращения
11.4.7. Проблема темного гало
11.4.8. О гравитационной устойчивости звездных дисков
11.4.9. Дисперсия скоростей и толщина галактических дисков
11.4.10. Бары галактик
11.4.11. Принципы оценки масс Е-галактик
11.5. Физическая природа спиральной структуры
11.5.1. Спиральные ветви: наблюдаемые свойства
11.5.2. Два типа спиральных ветвей
11.6. Межзвездный газ в галактиках
11.6.1. Холодный газ: нейтральный и молекулярный водород
11.6.2. Области НII в галактиках
11.6.3. Горячий газ и рентгеновское излучение галактик
11.6.4. Магнитные поля
11.7. Звездообразование в галактиках
11.7.1. Общие сведения
11.7.2. Физические процессы, управляющие звездообразованием
11.7.3. Волны сжатия
11.7.4. Гравитационная неустойчивость газового диска
11.8. Ядра галактик
11.8.1. Общие сведения
11.8.2. Структура активных ядер
11.8.3. Сверхмассивные черные дыры
11.8.4. Основные принципы определения масс СМЧД
11.9. Скопления галактик
11.9.1. Общие сведения
11.9.2. Газ в скоплениях галактик
11.9.3. Оценка массы богатых скоплений
11.9.4. Особенности эволюции галактик в скоплениях
11.10. Задачи

Глава 12. Элементы современной космологии

Спектральный метод на примере простых задач матфизики

В этой статье описан псевдоспектральный метод численного решения уравнений матфизики, используемый в вычислительной гидродинамике, геофизике, климатологии и во многих других областях.

Одномерная задача распространения тепла по стержню

Для начала рассмотрим простую одномерную задачу распространения тепла в стержне. Уравнение, описывающее распространение тепла при некотором начальном распределении температуры по стержню:

Такое уравнение решается аналитически методом разделения переменных, например здесь, но нас интересует как это можно сделать численно. Прежде всего нужно определиться, как считать вторую пространственную производную по х. Проще всего это делается каким-нибудь разностным методом, например:

Но мы поступим иначе. Распределение температуры есть функция координаты и времени, и в каждый момент времени эта функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье, который в численном виде обрезается на n-ом члене:

Где u^«с крышечкой» — это коэффициенты разложения ряда Фурье. Подставим выражение для ряда в уравнение переноса тепла:

Получаем уравнение для коэффициентов Фурье, в котором отсутствует производная по координате! Теперь это обыкновенное дифференциальное уравнение, а не в частных производных, которое можно решить простым разностным методом. Уже легче, теперь остается найти коэффициенты разложения и в этом нам очень поможет быстрое преобразование Фурье (дальше FFT).

Логика здесь следующая:

1) в начальный момент времени дана функция координаты, описывающая распределение температуры по стержню;
2) разбиваем стержень на сетку из n точек;
3) находим комплексные коэффициенты Фурье с помощью алгоритма FFT, обозначим операцию как F(u);
4) умножаем полученные коэффиценты на -|k| 2 , получаем Фурье-образ второй производной. Аналогично можно получить Фурье-образ производной более высоких порядков p, достаточно умножить на (ik) p ;
5) делаем обратное преобразование Фурье F -1 (u), с помощью алгоритма IFFT, получаем значения второй производной в точках на сетке;
6) делаем шаг по времени, уже обычной разностной, явной или неявной, схемой;
7) повторяем.

Рассмотрим теперь как это работает в программе для Matlab/Octave. В качестве начального распределения температуры возьмем гладкую функцию u0=2+sin(x)+sin(2x), стержень длинной 2π разобьем на 50 точек, с шагом по времени h=0.1, граничные условия периодичные (кольцо).

Стоит отметить особенность алгоритма FFT в Matlab, связанную с тем, что полученные коэффициенты разложения на выходе d=fft(u) идут не по порядку, а смещены, первая половина на месте второй и наоборот. Cначала идут коэффициенты с номерами от 0 до n/2-1, потом с номерами от -n/2 до -1. С этим были проблемы…

Полученное решение можно видеть на графике в виде «водопада» линий распределения температуры по х для каждого момента времени t. Видно, что решение испытывает ~~сильные осциляции~~ численную неустойчивость, связано это с невыполнением критерия Куранта. Избавиться от неустойчивости можно уменьшив шаг по времени, либо применяя более продвинутую неявную схему, например Кранка-Николсона.

Двумерное уравнение диффузии

Начальные условия: u0 = 1 + sin(2X) + cos(2Y), где u теперь 2d-массив u(i,j). Используем неявную схему интегрирования по времени (т.е. выразим m+1 шаг через m-й):

Можно доказать, что такая неявная схема никогда не расходится при η>0.5, будем использовать η=1. Таким образом каждое новое значение u m+1 получаем умножением u m на коэффициент μ_k, зависящий от временного шага и волновых чисел k, т.е. μ_k — это константа, которую не нужно пересчитывать на каждом шаге!

Двумерное волновое уравнение

В волновом уравнении присутствует вторая производная по времени, поэтому задача сводится к системе двух обыкновенных диффуров, одна переменная — u, вторая — u_t, схему по времени в коде использовал самую простую явную, поэтому точность небольшая, шаг по времени очень маленький, зато код выглядит относительно просто. Впрочем, этого хватает для демонстрации работоспособности метода.

Периодичные граничные условия:

Фиксированные граничные условия (0 на краях, отражение волн от границ):

Выводы

В статье продемонстрировано несколько примеров применения спектрального метода для простых задач матфизики. Основная суть суть спектрального метода, это замена исходных диффренциальных уравнений в частных произодных на обыкновенные диффуры для коэффициентов разложения искомых функций по некоторому базису. Базисом могут быть синусы-косинусы, комплексные экспоненты, ортогональные полиномы, если требует геометрия — цилиндрические или сферические функции. Найденные коэффициенты в каждый момент времени позволяют восстановить искомое решение, а алгоритм FFT позволяет делать это быстро.

Преимуществами метода являются:

Общая астрофизика. Засов А.В., Постнов К.А.

2-е изд., испр. и доп. — М.: 2011. — 576 с.

Книга основана на курсе лекций по общей астрофизике, которые на протяжении многих лет читаются авторами студентам физического факультета МГУ. Некоторые вопросы изложены в ней более глубоко, по сравнению с традиционными общими курсами. В книге рассматриваются основные механизмы взаимодействия излучения с веществом, современные методы астрономических наблюдений, физические процессы в межзвездной среде, формирование звезд, их строение и эволюция, образование компактных объектов, элементы физики галактик и современной космологии. В целом, авторы дают общую физическую картину строения и эволюции Вселенной. Книга может служить современным учебным пособием по общей астрофизике для студентов и аспирантов физических и астрономических специальностей университетов.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Введение 17
1.1. Пространственно-временные масштабы в астрофизике 20
1.1.1. Расстояния 20
1.1.2. Характерные времена 24
1.1.3. Характерные значения масс 24
1.1.4. Солнечные единицы 25
1.2. Состояние вещества во Вселенной 26
Глава 2. Излучение и поглощение ЭМ волн в среде 29
2.1. Основные понятия 30
2.1.1. «Температурная» шкала электромагнитных волн 30
2.1.2. Интенсивность излучения 30
2.1.3. Поток излучения. Связь с интенсивностью 32
2.1.4. Плотность энергии излучения 34
2.1.5. Понятие спектра 34
2.2. Излучение абсолютно черного тела 34
2.2.1. Тепловое излучение 34
2.2.2. Понятие термодинамического равновесия и локального термодинамического равновесия . 35
2.2.3. Спектр абсолютно черного тела 36
2.3. Перенос излучения в среде и формирование спектра . . 40
2.3.1. Коэффициент излучения 40
2.3.2. Коэффициент поглощения и оптическая толщина 41
2.3.3. Уравнение переноса при наличии поглощения и излучения 43
2.3.4. Решение уравнения переноса для простейших случаев 45
2.3.5. Образование спектральных линий в условиях ЛТР 46
2.3.6. Температура астрофизических источников, определяемая по их излучению 49
2.4. Астрофизические примеры спектров 52
2.5. Основные механизмы поляризации излучения 56
2.6. Задачи 58
Глава 3. Особенности астрономических наблюдений и физические ограничения их возможностей 63
3.1. Основные задачи наблюдательной астрономии 63
3.2. Пропускание света земной атмосферой 64
3.3. «Точечные» и «протяженные» источники 66
3.4. Оптические наблюдения 67
3.4.1. Оптические телескопы 67
3.4.2. Приемники излучения 73
3.4.3. Видимый диапазон 74
3.4.4. Проблема улучшения углового разрешения телескопа 75
3.4.5. Звездные интерферометры 77
3.4.6. Физические ограничения на точность фотометрических измерений 82
3.4.7. Спектральные наблюдения 86
3.5. Радиоастрономические наблюдения 89
3.5.1. Радиотелескопы 89
3.5.2. Радиоинтерферометры. Метод апертурного синтеза 92
3.6. Рентгеновские телескопы и детекторы 95
3.7. Поляризационные наблюдения 97
Глава 4. Межзвездная среда 99
4.1. Основные составляющие и проявления 99
4.2. Пропускание излучения межзвездной средой 104
4.3. Физические особенности разреженной космической среды 109
4.3.1. Запрещенные линии 109
4.3.2. Излучение нейтрального водорода 111
4.3.3. Вмороженность магнитного поля 113
4.4. Объемный нагрев и охлаждение МЗС 116
4.4.1. Основные механизмы нагрева газа 116
4.4.2. Основные механизмы охлаждения газа 118
4.5. Тепловая неустойчивость МЗС 125
4.6. Ионизованный водород и зоны НИ 128
4.7. Горячий, или «корональный» газ 130
4.8. Молекулярные облака, звездообразование и мазеры . .131
4.9. Космические лучи и синхротронное излучение 134
4.9.1. Проблема происхождения и ускорения КЛ сверхвысоких энергий 141
4.10. Другие методы диагностики космической плазмы . . .144
4.11. Задачи 147
Глава 5. Звезды 149
5.1. Общие характеристики 149
5.2. Образование звезд 153
5.2.1. Гравитационная неустойчивость 153
5.2.2. Влияние вращения на сжатие 156
5.2.3. Влияние магнитного поля на сжатие 157
5.3. Стадии формирования звезды 158
5.4. Стационарные звезды 161
5.4.1. Гидростатическое равновесие 162
5.4.2. Теорема вириала для звезды 163
5.4.3. Тепловая устойчивость звезд. Отрицательная теплоемкость 165
5.5. Ядерные реакции в звездах 166
5.5.1. рр-цикл (Г. Бете, 1939) 169
5.5.2. Проблема солнечных нейтрино 171
5.5.3. CNO-цикл 174
5.5.4. О характере движения квантов в недрах Солнца и звезд 175
5.5.5. Происхождение химических элементов до элементов железного пика 178
5.5.6. Уравнения внутреннего строения звезд и Солнца 179
5.6. Роль давления излучения в массивных звездах 181
5.7. Соотношения M-L и M-R для звезд ГП 184
5.8. Атмосферы звезд 185
5.8.1. Образование спектральных линий 186
5.8.2. Спектральная классификация звезд 189
5.8.3. Непрерывный спектр 191
5.9. Солнце как ближайшая звезда 193
5.9.1. Общие характеристики 193
5.9.2. Особенности фотосферы, хромосферы и коро¬ны Солнца 198
5.9.3. Солнечные вспышки. Активность Солнца 206
5.9.4. Гелиосейсмология 209
5.10. Задачи 212
Глава 6. Эволюция звезд 215
6.1. Эволюция звезд после выгорания водорода 215
6.2. Вырождение вещества 217
6.3. Предел Чандрасекара и фундаментальная масса звезды 221
6.4. Вырождение вещества в центре у звезд различных масс 222
6.5. Роль потери массы в эволюции звезды 227
6.5.1. Звездный ветер на главной последовательности 227
6.5.2. Звездный ветер после главной последовательности. Асимптотическая ветвь гигантов и образование планетарных туманностей 229
6.6. Эволюция одиночных звезд после главной последовательности: краткий итог 230
6.7. Пульсации звезд. Цефеиды 233
6.8. Процессы образования тяжелых элементов в природе . 238
Глава 7. Двойные звезды 241
7.1. Определение масс двойных звезд. Функция масс . . . .241
7.2. Особенности эволюции звезд в ТДС 244
7.2.1. Приближение Роша и полость Роша 245
7.2.2. Перенос масс 247
7.3. Стадии эволюции двойных звезд 250
Глава 8. Планетные системы 256
8.1. Методы исследования и состав солнечной системы . . . 256
8.2. Методы обнаружения планет вокруг звезд 269
8.3. Статистические зависимости экзопланет 275
8.4. Образование планет и их систем 277
8.4.1. Протопланетные диски 277
8.4.2. Образование планет солнечной системы 278
Глава 9. Сверхновые и остатки сверхновых 281
9.1. Нейтронизация вещества 281
9.1.1. Фотодиссоциация 282
9.1.2. Нейтронизация вещества и УРКА-процессы . .282
9.1.3. Захват нейтрино и остановка коллапса 284
9.2. Вспышки сверхновых 287
9.2.1. Сверхновые II типа 288
9.2.2. Гиперновые и гамма-всплески 293
9.2.3. Сверхновые типа 1а 295
9.2.4. Ярчайшие сверхновые 296
9.2.5. Остатки сверхновых и их взаимодействие с межзвездной средой 297
Глава 10. Компактные звезды и их наблюдательные проявления 304
10.1. Белые карлики 305
10.1.1. Белые карлики в двойных системах. Катаклизмические переменные и новые звезды . 306
10.2. Нейтронные звезды 308
10.2.1. Внутреннее строение НЗ 310
10.2.2. Оценки масс НЗ 313
10.3. Свойства пульсаров 316
10.3.1. Основные свойства 316
10.3.2. Торможение вращения пульсаров 318
10.4. Рентгеновские пульсары 323
10.5. Черные дыры 324
10.6. Эффективность аккреции на компактные звезды 326
10.7. Эддингтоновский предел светимости при аккреции на компактные релятивистские объекты 329
10.8. Задача 331
Глава 11. Галактики 332
11.1. Звездные скопления и наша Галактика 332
11.2. Основные характеристики галактик 336
11.3. Структура галактик 342
11.4. Движение газа и звезд 347
11.4.1. Столкновение звезд и время релаксации 347
11.4.2. Особенности движения звезд различных под¬систем 352
11.4.3. Принципы измерения скоростей вращения галактик 354
11.4.4. Кривые вращения галактических дисков 358
11.4.5. Скорость вращения и круговая скорость 360
11.4.6. Связь распределения масс в галактике с кривой вращения 362
11.4.7. Проблема темного гало 365
11.4.8. О гравитационной устойчивости звездных дисков 370
11.4.9. Дисперсия скоростей и толщина галактических дисков 373
11.4.10. Бары галактик 377
11.4.11. Принципы оценки масс Е-галактик 380
11.5. Физическая природа спиральной структуры 382
11.5.1. Спиральные ветви: наблюдаемые свойства . . .382
11.5.2. Два типа спиральных ветвей 384
11.6. Межзвездный газ в галактиках 390
11.6.1. Холодный газ: нейтральный и молекулярный водород 392
11.6.2. Области НИ в галактиках 398
11.6.3. Горячий газ и рентгеновское излучение галактик400
11.6.4. Магнитные поля 403
11.7. Звездообразование в галактиках 404
11.7.1. Общие сведения 404
11.7.2. Физические процессы, управляющие звездообразованием 408
11.7.3. Волны сжатия 418
11.7.4. Гравитационная неустойчивость газового диска 421
11.8. Ядра галактик 424
11.8.1. Общие сведения 424
11.8.2. Структура активных ядер 429
11.8.3. Сверхмассивные черные дыры 430
11.8.4. Основные принципы определения масс СМЧД . 433
11.9. Скопления галактик 438
11.9.1. Общие сведения 438
11.9.2. Газ в скоплениях галактик 441
11.9.3. Оценка массы богатых скоплений 443
11.9.4. Особенности эволюции галактик в скоплениях . 445
11.10. Задачи 449
Глава 12. Элементы современной космологии 452
12.1. «Краткий курс» истории космологии XX века 454
12.2. Крупномасштабная структура Вселенной 457
12.3. Предельно далекие галактики и квазары 458
12.4. Космологические модели 462
12.4.1. Космологический принцип 462
12.5. Однородные и изотропные космологические модели . . 462
12.5.1. Выбор системы координат 462
12.5.2. Метрика Фридмана-Робертсона-Уокера . . . .465
12.6. Кинематика Вселенной 466
12.6.1. Закон Хаббла 466
12.6.2. Пекулярные скорости галактик 468
12.6.3. Распространение света. Красное смещение . . .470
12.6.4. Угломерное и фотометрическое расстояния . . . 473
12.6.5. Хаббловские диаграммы 476
12.6.6. Горизонт частиц 477
12.6.7. Поверхностная яркость и парадокс Ольберса . .479
12.7. Динамика Вселенной 480
12.7.1. Эволюция расширения. Критическая плотность 480
12.7.2. Влияние давления 483
12.8. Модели Фридмана с космологической постоянной . . .485
12.9. Горячая Вселенная 491
12.1 ОЛервичный нуклеосинтез («первые три минуты») . . .495
12.11 Реликтовое излучение и эпоха рекомбинации 497
12.12.Эффект Сюняева-Зельдовича 499
12.13.Флуктуации реликтового излучения 503
12.14.Трудности классической космологии 505
12.14.1.Проблема горизонта (проблема причинности) . 505
12.15.Модель инфляционной Вселенной 507
12.16.Рост малых возмущений 510
12.16.1 Поляризация реликтового излучения 511
12.17.Образование крупномасштабной структуры Вселенной513
12.18.Заключение 515
Приложение А. Гравитация 518
А.1. Гравитационная энергия 518
А.2. Время свободного падения 520
А.З. Теорема вириала 521
А.4. Квадрупольная формула для гравитационного излучения от двойной звезды 523
А.5. Вывод формулы для эпициклической частоты 526
Приложение В. Взаимодействие излучения и вещества 528
В.1. Элементарные процессы, ответственные за излучение и поглощение света 530
В. 1.1. Свободно-свободные переходы
(электрон в поле протона) 530
8.1.2. Свободно-связанные переходы 530
8.1.3. Переходы между энергетическими уровнями . .530
8.1.4. Ионизация 531
8.1.5. Рекомбинация 531
8.2. ТДР и ЛТР 532
8.3. Ионизационное равновесие 534
8.3.1. Локальное термодинамическое равновесие. Формула Саха 534
8.3.2. Корональное приближение 538
8.3.3. Фотоионизационное равновесие 541
Приложение С. Вопросы переноса 544
С.1. Влияние рассеяния на перенос излучения 544
С. 1.1. Случай чистого рассеяния 544
С. 1.2. Связь числа рассеяний с оптической толщей . .545
С. 1.3. Случай рассеяния и поглощения 547
С.2. Диффузионное приближение и росселандово среднее . 549
Приложение D. Метрика однородного изотропного
пространства 551
Приложение Е. Системы единиц и безразмерные числа 553
Е.1. Физические константы 553
Е.2. Безразмерные числа 554
Приложение F. Звездные величины 556
Приложение G. Солнечное обилие химических элементов 561
Литература 565
Предметный указатель 567

Эта книга написана на основе курса лекций по общей астрофизике, читаемых авторами студентам физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова.
Особенность астрофизики как предмета состоит прежде всего в ее многосторонности и в большой широте охвата изучаемых явлений — от разреженной межпланетной и межзвездной среды до сверхплотного состояния вещества в недрах белых карликов и нейтронных звезд, от тел солнечной системы и ближайшего космоса до всей Вселенной, рассматриваемой как целое. Вторая особенность — бурное развитие астрофизики, непрерывное появление новых данных наблюдений, разработка и проверка теоретических схем и гипотез. Это усложняет отбор материала, который может быть включен в учебное пособие. Авторы не стремились рассказать обо всем важном, известном к моменту написания книги, стараясь акцентировать внимание на ключевых вопросах. Каждое астрофизическое явление или объект обладает рядом специфических черт и особенностей, которые часто требуют индивидуального рассмотрения и описания. Одно только изложение феноменологических фактов о звездах или компонентах межзвездной среды может составить предмет отдельной книги.

О том, как читать книги в форматах pdf , djvu — см. раздел » Программы; архиваторы; форматы pdf, djvu и др. «

источники:

http://habr.com/ru/post/267401/

http://go.alleng.org/d/astr/astr107.htm