Решение уравнения пуассона для полупроводника

Уравнение Пуассона и распределение Больцмана (часть 1)

В продолжение предыдущей статьи «Есть ли плазма в космосе?» я хотел бы в познавательных целях рассказать об уравнениях, которые применялись при выводе уравнения Дебая-Хюккеля. Это уравнение Пуассона и распределение Больцмана.

Мы выяснили, что плазма квазинейтральна в равновесном состоянии и что под действием электрического поля от движущихся зарядов, заряженные частицы смещаются на дебаевскую длину и поле в пределах этой длины затухает. В электростатике взаимодействие заряженных частиц описывается кулоновским уравнением:

где – величины взаимодействующих точечных зарядов, – квадрат расстояния между зарядами. Коэффициент k является константой. Если мы используем систему в электростатических единицах СГС, обозначаемых СГСЭq, то k = 1. Если используется система СИ, то , где – диэлектрическая проницаемость среды, в которой расположены заряды, – электрическая постоянная, равная 8,86 ∙ .

В физике непосредственно силой не пользуются, а вводят понятие электростатического поля распределённых зарядов и измеряют поле величиной напряженности электрического поля. Для этого в каждую точку поля мысленно помещают единичный пробный заряд и измеряют силу, с которой поле зарядов действует на пробный заряд:

Отсюда, если подставить в это уравнение силу Кулона, то получим:

Но и этим физики не ограничиваются, для того чтобы описать полноценно электрическое поле. Рассмотрим единичный заряд, помещённый в электростатическое поле. Поле выполняет работу по перемещению этого заряда на элементарное расстояние ds из точки P1 в точку P2:

Величину называют разностью потенциалов или напряжением. Напряжение измеряется в Вольтах. Знак минус говорит нам о том, что само поле выполняет работу для переноса единицы положительного заряда. Силы, перемещающие заряды являются консервативными, так как работа по замкнутому пути равна всегда нулю, независимо от того, по какому пути перемещается заряд.

Отсюда следует глубокий смысл разности потенциалов. Если зафиксировать точку Р1 и перемещать заряд в переменную точку Р2, то работа зависит только от положения второй точки Р2. Таким образом мы можем ввести понятие потенциала. Потенциал – это силовая функция, показывающая какую необходимо выполнить работу полю, чтобы переместить заряд из бесконечности в данную точку P2, где условно принимают потенциал в бесконечности равным нулю.

Чтобы понять уравнение Пуассона, необходимо разбираться в «особой» векторной математике. Я вкратце расскажу про такие понятия как градиент поля и дивергенции (подразумевается, что читатель знаком с математическим анализом)
Пусть f(x,y,z) является некоторой непрерывной дифференцируемой функцией координат. Зная её частные производные в каждой точке пространства можно построить вектор, компоненты которого x, y, z равны соответствующим частным производным:

где – единичные векторы соответствующих осей x, y, z. Значок читается «набла» и является дифференциальным оператором

Этот оператор ввёл в математику Гамильтон. С набла можно выполнять обычные математические операции, такие как обычное произведение, скалярное произведение, векторное произведение и так далее.

Теперь вернёмся к электростатическому полю E. С одной стороны изменение потенциала при переходе из одной точки в другую имеет следующий вид:

С другой стороны, согласно формуле (*)

Применяя только что введённое понятие градиент, эта формула преобразуется в:

Теперь разберёмся с таким понятием, как дивергенция поля. Рассмотрим конечный замкнутый объем V произвольной формы (см. рис. ниже). Обозначим площадь этой поверхности S. Полный поток вектора F, выходящего из этого объема по определению равно

, где da является бесконечно малым вектором, величина которого равна площади малого элемента поверхности S, а направление совпадает с наружной нормалью к этому элементу.
Возьмём этот поток вектора F поделим на объём и найдём предел при стремящейся к нулю, т.е. будем стягивать объём в бесконечно малую точку.

Мы подошли к понятию дивергенции. Обозначается дивергенция символом div и является отношением потока вектора F к объёму V, при V стремящейся к нулю.

Прежде чем показать, как получается уравнение Пуассона, важно знать закон Гаусса и теорему Гаусса. Представим себе сферу, внутри которой находится заряд q. Заряд создаёт вокруг себя электрическое поле напряжённости E. Возьмём поток вектора E

где S площадь нашей сферы равная . Следовательно

Это и есть закон Гаусса, утверждающий, что поток электрического поля E через любую замкнутую поверхность равен произведению на полный заряд, охватываемый поверхностью:

где – плотность объёмного заряда, т.е. величина электрического заряда в единице объёма, и – элементарный объём, выделенный внутри нашего замкнутого объёма.

Теорема Гаусса (полное название теорема Гаусса-Остроградского) чисто математическая теорема о дивергенции. Перепишем полный поток вектора F следующим образом:

В пределе, когда N → ∞, →0 величина в скобках становится дивергенцией и сумма переходит в объёмный интеграл:

Это и есть теорема Гаусса, и является поистине самой важной формулой полевой теории. Применим эту теорему к электростатическому полю. С одной стороны, согласно закону Гаусса

А с другой стороны, согласно теореме Гаусса (только не путайте теорему с законом Гаусса):

Комбинируя два последних уравнения, получим:

Вспомним формулу (**) и подставим сюда вместо E потенциал поля

Дивергенция градиента это новый оператор, который в математике называют оператор Лапласа, или сокращённо лапласиан. Лапласиан обозначается значком набла следующим образом и равен

Перепишем предыдущую формулу в форме лапласиана:

Наконец мы получили уравнение Пуассона. В первой статье это уравнение было немного в другой форме, с учётом диэлектрической проницаемости среды. Вспомните силу Кулона в системе СИ, там константа . Соответственно в законе Гаусса будет не , а коэффициент . Таким образом получаем уравнение Пуассона в форме представленной в предыдущей статье

Таким образом по сути уравнение Пуассона – это закон Кулона (а точнее закон Гаусса) переписанный в другой форме, в обозначениях векторного дифференциального анализа.

В следующей статье мы разберём важное распределение из математической статистики — распределение Больцмана.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА ДЛЯ ОБЛАСТИ ОБЪЕМНОГО ЗАРЯДА p-n ПЕРЕХОДА

Федеральное агентство по образованию

Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники (ТУСУР)

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ

МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ

Методические указания по выполнению курсовой работы

Профессор каф. КУДР Н. С. Несмелов

Доцент каф. КУДР В. С. Славников

Доцент каф. КУДР М. М. Славникова

Настоящее методическое пособие составлено в соответствии с рабочей программой по дисциплине «Физические основы микроэлектроники» для специальности 210201 и предназначено для изучения основных процессов в р-n переходе и его характеристик. Для углубленного изучения физики полупроводников следует обратиться к [1,2]. В методическом пособии не рассматриваются вопросы, связанные с динамическими процессами в р—n переходе. Для их изучения следует обратиться к специальной литературе [3].

Курсовая работа выполняется студентами в весеннем семестре. Готовую работу студенты должны сдать на проверку не менее, чем за месяц до начала сессии.

СОДЕРЖАНИЕ

2. Образование p-n перехода 5

3. Решение уравнения Пуассона для области

объемного заряда p-n перехода 14

4. Зависимость ширины ООЗ и зарядной емкости

p-n перехода от приложенного напряжения 20

5. Механизм выпрямления на p-n переходе

(диодная теория выпрямления) 25

6. Вольт-амперная характеристика p-n перехода 29

7. Пробой p-n перехода 32
8. Методические указания и задания для расчета 35

9. Порядок расчета 39

10. Контрольные вопросы для самопроверки 41

11. Календарный план выполнения работы 44

12. Рекомендуемая литература 44

Список использованной литературы 45

ВВЕДЕНИЕ

Основным компонентом современной электронной техники являются интегральные микросхемы. Создание, правильное применение и эксплуатация микросхем невозможны без знания физики работы электронно-дырочного (p-n) перехода, так как электронно-дырочный переход является основным элементом почти в каждом полупроводниковом приборе, входящем в интегральную vикросхему. Важное значение имеет теория p-n перехода, которая была разработана Шокли в 1949 г. Дальнейшее развитие, без принципиального изменения, она получила в работах ученых различных стран. Современное развитие электроники характеризуется созданием большого числа различных типов интегральных схем и их массовым выпуском.

2. ОБРАЗОВАНИЕ p-n ПЕРЕХОДА

Распределение примесей в контакте p- и n- областей определяет распределение электрического поля в области объемного заряда (ООЗ) p-n перехода и зависимость ширины и емкости ООЗ от напряжения. Классификация p-n переходов по распределению примесей в ООЗ показана на рис. 2.1, Если градиент концентрации примесей в p-n переходе равен бесконечности, то p-n переход считают резким, если распределение концентрации примесей в p-n переходе линейное, то p-n переход считают плавным. Резкие p-n переходы подразделяются на “симметричные” и “несимметричные”.

Рис. 2.1, Классификация p-n переходов по распределению примесей.

Если концентрации примеси в p- и n- областях равны, то p-n называют “симметричным”, если концентрации примеси в p- и n- областях не равны, то p-n переход называют “несимметричным” [4].

Наиболее распространенными способами формирования p-n перехода являются: вплавление, диффузия, эпитаксиальное наращивание и ионное легирование. При вплавлении технологический процесс проводят следующим образом. Берут исходную пластину полупроводника и на поверхность помещают навеску, содержащую примесь противоположного типа примеси полупроводника. Затем полученную систему нагревают до температуры выше температуры эвтектики. В области контакта полупроводника и навески образуется расплав. После этого систему охлаждают. На поверхности полупроводника возникает рекристаллизованный слой полупроводника, полностью повторяющий структуру исходной пластины, но противоположного типа проводимости. Затем из расплава создается поликристаллический слой, состоящий в основном из атомов навески, и далее идет нерасплавленная часть навески. В рекристаллизованный слой в качестве примеси захватываются атомы навески, и формируется монокристаллический слой противоположного типа проводимости. Структура такого p-n перехода показана на рис.2.2. При вплавлении образуются резкие p-n переходы. Необходимо отметить, что концентрация примесей в рекристаллизованной области обычно много больше, чем в исходной пластине, т.е. такой p-n переход является несимметричным. Следующим способом формирования p-n перехода является диффузия. При создании диффузионного p-n перехода используют диффузию в полупроводник примеси, находящейся в газообразной, жидкой или твердой фазе. Для этого в окрестности полупроводниковой пластины создают соответствующую среду, и повышают температуру до температуры, при которой коэффициенты диффузиипримесей в полупроводнике становятся заметными (температура диффу

Рис. 2.2. Структура p-n перехода, полученного способом вплавления
(1 – исходная полупроводниковая пластина; 2 – рекристаллизованный полупроводник; 3 – поликристаллический слой; 4 – исходная навеска).

зии близка к температуре плавления полупроводника). Диффузионный p-n переход показан на рис.2.3. Распределение эффективной концентрации примесей в окрестности контакта p- и n- областей с достаточной точностью можно считать линейным.

N = N_d — N_а = × x, (2.1)

где N – эффективная концентрация примесей, N_d – концентрация доноров; N_a – концентрация акцепторов; – градиент концентрации примесей; x – пространственная координата (x=0 — положение границы раздела p- и n- областей). Такой p-n переход называется плавным (при x>0 полупроводник n – типа, а при x 2 / n_n , (2.2)

где n_i – концентрация собственных носителей заряда.

В полупроводнике p-типа концентрация дырок – основных носителей p_p » N_a, а концентрация электронов – неосновных носителей n_p равна

Причем всегда выполняются условия n_n >> n_p и p_p >> p_n. В момент соприкосновения p- и n- областей из-за наличия градиента концентрации электронов и дырок в контакте возникают диффузионные потоки подвижных носителей заряда. Дырки диффундируют через границу раздела двух областей из p- области в n- область, а электроны из n- области в p- область (см. рис. 2.4 а). Переходя через контакт, диффундирующие носители заряда рекомбинируют, уменьшая концентрацию дырок в p- области и концентрацию электронов в n- области (см. рис. 2.4 б). Таким образом, концентрация основных носителей вблизи контакта уменьшается за счет двух процессов: диффузии из соответствующей области в соседнюю и рекомбинации в окрестности возникающих областей объемного заряда (ООЗ).

Характерно, что для случая резкого несимметричного p-n перехода точка пересечения концентраций подвижных носителей заряда смещается в область полупроводника с меньшей концентрацией примеси. В результате диффузии основных носителей заряда через контакт происходит перенос заряда,

Распределение плотности объемного заряда показано на рис. 2.4 в, где x_n и x_p – это границы ООЗ в n- и р- области, соответственно. Так как дырки и электроны являются подвижными носителями заряда и их концентрация не может изменяться скачком., очевидно, что концентрация электронов плавно уменьшается от n_n до n_p и дырок — от p_p до p_n. Зависимость концентрации примеси и подвижных носителей заряда от расстояния (рис. 2.4 б) можно изобразить только в полулогарифмических координатах, так как соотношение концентраций основных и неосновных носителей составляет обычно несколько порядков, а реальное распределение плотности заряда r, определяемое из уравнения:

где q –абсолютное значение заряда электрона, показано на рис. 2.4 в тонкой линией.

Учитывая, что аппроксимация распределения плотности заряда в виде прямоугольников, дает незначительную погрешность при расчетах электрического поля в p-n–переходе, воспользуемся упрощенным представлением распределения плотности заряда в p-n –переходе. В p- области накапливается отрицательный заряд, а в n- области – положительный. Принимая во внимание уравнение (2.4) и рис.2.4 б, а также то, что концентрация подвижных носи
—

Рис. 2.4. Схема образования ООЗ p-n перехода

а) — схема p-n перехода; б) – распределение концентрации примесей и подвижных носителей; в) – распределение плотности объемного заряда (r); г) – распределение электрического поля ( E ); д) – распределение потенциала ( j), где j_к – контактная разность потенциалов; е) – зонная диаграмма p-n перехода; х – пространственная координата.

телей заряда в области ООЗ всегда меньше, чем концентрация примесей, можно считать, что заряд создается, в основном, ионизованными примесями, акцепторными в p – области и донорными в n – области. В результате разделения заряда в окрестности контакта появляется электрическое поле, и возникает дрейфовый поток носителей заряда. Например, дырки дрейфуют по направлению электрического поля из n- области, а электроны из p- области. Причем дрейфовый поток создается неосновными носителями и направлен противоположно диффузионному потоку.

По мере диффузии основных носителей заряда увеличивается разделение заряда, увеличивается электрическое поле. Электрическое поле создает силы, препятствующие диффузии основных носителей заряда, т.е. уменьшает диффузионный поток носителей заряда. Процесс перераспределения заряда будет протекать до тех пор, пока дрейфовый и диффузионный потоки не станут равными. Необходимо отметить, что неосновные носители достаточно быстро перейдут из ООЗ в соседнюю область, дрейфовый поток достигнет предельного значения и будет определяться диффузией неосновных носителей заряда из нейтральной области полупроводника в ООЗ. Величина дрейфового потока оказывается малой, и уравнивание дрейфового и диффузионного потоков происходит, в основном, за счет уменьшения диффузионного потока под действием электрического поля.

Распределение напряженности электрического поля в p-n переходе представлено на рис. 2.4 г, исходя из третьего уравнения Максвелла для одномерного случая.

E (x) = ò × dx, (2.5)

где E (x) – напряженность электрического поля в точке x; e_п и e₀ – относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника и абсолютная диэлектрическая проницаемость вакуума, соответственно.

Направление напряженности контактного электрического поля в p-n переходе определяется от положительного заряда в n– области к отрицательному заряду в p– области. Распределение потенциала j(х), представленное на рис. 2.4 д, получено из уравнения

где j(x) – потенциал в точке x, при x= x_p потенциал j(x_p)=0; E(x) –напряженность электрического поля.

Зонная энергетическая диаграмма p-n перехода (рис. 2.4 е) построена с учетом распределения потенциала в контакте с использованием уравнения

где E – положение энергетического уровня электрона; E_o – положение энергетического уровня электрона, определяемое взаимодействием с кристаллической решеткой; q × j(x) – добавка энергии, связанная с внешним электрическим полем.

Мы рассмотрели феноменологическую модель образования ООЗ p-n перехода. Чтобы определить величину контактной разности потенциалов, которая определяется разностью работ выхода электронов из полупроводников n- и р- типа, следует обратиться к термодинамической модели. Известно, что концентрация электронов в невырожденном полупроводнике находится как

n = N_c × exp( ), (2.8)

где N_c — эффективная плотность электронных состояний в зоне проводимости; — дно зоны проводимости; — уровень Ферми; — постоянная Больцмана; — абсолютная температура полупроводника.

Поэтому для концентрации электронов в областях n- и p- типов проводимости p-n перехода(рис. 2.4е) можно записать

n_n = N_c × exp , (2.9)

n_p = N_c × exp , (2.10)

где — положение дна зоны проводимости в полупроводнике n – типа.

Разделив (2.9) на (2.10), получаем

= = , (2.11)

Аналогичное соотношение может быть получено и другими способами. Общим является то, что, чем больше степень легирования полупроводников, или чем больше отношение концентраций носителей заряда одного знака, тем больше контактная разность потенциалов.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА ДЛЯ ОБЛАСТИ ОБЪЕМНОГО ЗАРЯДА p-n ПЕРЕХОДА

Известно, что уравнение Пуассона связывает распределение потенциала с плотностью заряда, т.е. описывает потенциальные поля. Определить зависимость ширины ООЗ p-n перехода от приложенного напряжения можно, решая уравнение Пуассона, которое записывается для одномерного случая
как [4]:

d 2 j / d x 2 = , (3.1)

Это дифференциальное уравнение второго прядка, которое может быть решено способом разделения переменных. Учитывая, что правая часть уравнения изменяется только при переходе из p – области в n– область ( при x=0), интегрирование можно разбить на два интервала: x £ 0 и x ³ 0, т.е. получим два уравнения с постоянными правыми частями.

d 2 j₁ / d x 2 = — , (3.2)

d 2 j₂ / d x 2 = — , (3.3)

где j₁ и r₁ – потенциал и плотность объемного заряда для p – области, т.е. для x £ 0; j₂ и r₂ – потенциал и плотность объемного заряда для n – области, т.е. для x ³ 0.

Для решения этих уравнений необходимы по два граничных условия, которыми для первого интегрирования являются

где E ₁ (-x_p) и E ₂(x_n) – напряженности электрического поля на границах ООЗ в p – области и n – области, соответственно.

Для второго интегрирования граничные условия:

Кроме того, для “сшивания решений” двух уравнений необходимы еще два условия

Решение проводится путем последовательного интегрирования. Уравнения (3.2) и (3.3) можно преобразовать с учетом (3.5)

d E ₁ / d x =- d 2 j₁ / d x 2 = ,

d E ₂ / d x =- d 2 j₂ / d x 2 = . (3.8)

Разделим переменные с учетом граничных условий (3.5), тогда

ò d E ₁ = ò d x ,

ò d E ₂ = ò d x . (3.9)

Решая (3.9), определим зависимость напряженности электрического поля от x

E ₁(x) = × (x + x_p),

E ₂(x) = × (x – x_n) (3.10)

Анализ решений (3.10) показывает, что на границах ООЗ электрическое поле равно нулю (при x= -x_p и x= x_n). При этом, с изменением координаты от x= -x_p до x=x_n сначала напряженность электрического поля увеличивается линейно до x=0, а затем линейно уменьшается до нуля. Во всем диапазоне ООЗ напряженность электрического поля отрицательна. Таким образом, зависимость напряженности электрического поля от расстояния повторяет зависимость, показанную на рис. 2.4 г. Воспользовавшись (3.8), из (3.10) получим

d j₁ = × (x + x_p) × d x ,

d j₂ = — × (x — x_n ) × d x .

C учетом граничных условий (3.7) из (3.11) последует

òd j₁ = — × ò (x_p + x) × d x,

ò d j₂ = — × ò (x – x_n ) × d x. j_k x_n

Решая (3.12), выводим зависимость потенциала электрического поля от координаты

j₁(x) = — × (x + x_p) 2 ,

j₂(x) —j_k = — × (x – x_n ) 2

j₂(x) = j_k — × (x – x_n) 2 .

В результате второго интегрирования получаем параболическую зависимость j(x). При этом выполняются граничные условия.

Для “сшивания” решений (3.10) воспользуемся первым условием (3.7).

Из (3.14) следует, что величины заряда по обе стороны контакта одинаковы и ширина ООЗ в соответствующей области обратно пропорциональна концентрации примеси. Используем свойство дробей: если к числителям прибавить знаменатели или к знаменателям прибавить числители, то равенство не изменится. Т.е. если

g / b = c / e , то (g+b) / b = (c+e) / e или g / (g+b) = c / (c+e),

где g, b, c, e – произвольные числа.

Тогда получим из (3.15) значения ширины ООЗ в соответствующих областях полупроводника

где d = x_n +x_p –ширина ООЗ.

Используя второе условие (3.7), из (3.13) найдем

j₁(0) = — × x_p 2 ,

j₂(0) = j_k — × x_n 2 , (3.17)

× x_p 2 = j_k — × x_n 2

или

· x_p 2 = j_k – · x_n 2 (3.18)

d = (3.19)

Для резкого несимметричного p + n – перехода, т.е. при N_a>>N_d , в уравнении (3.19) в сумме можно пренебречь N_d , и, тогда, сокращая на N_a, можно упростить (3.19)

d = (3.20)

Последнее уравнение означает, что в резком несимметричном p-n переходе только концентрация слаболегированной области определяет ширину ООЗ, и почти вся ООЗ лежит в слое с малой концентрацией примеси.

а) – распределение плотности объемного заряда ( r ) в p-n переходе;
б) – распределение электрического поля (E);
в) – распределение потенциала ( j );
г) – зонная диаграмма p-n перехода;

Рис. 3.1, Схема ООЗ плавного p-n перехода.

Для случая плавного p-n перехода необходимо решить уравнение Пуассона (3.1) с учетом того, что плотность объемного заряда определяется как показано на рис. 3.1а.

r =q × N = q × × x (3.21)

В результате решения выражение для напряженности электрического поля в плавном p-n переходе примет вид

E (x) = × × [x 2 — (d /2) 2 ] (3.22)

Зависимость напряженности электрического поля от координаты имеет вид квадратичной параболы. Качественно вид зависимости E (x) изображен на рис. 3.1б. Распределение электрического поля для плавного p-n перехода более однородно, чем для ступенчатого, поэтому при одинаковой ширине ООЗ плавные p-n переходы имеют более высокое пробивное напряжение. Электрическое поле, изменение потенциала и энергетических зон из-за неоднородного легирования полупроводника за пределами ООЗ условно не показаны. Это связано с тем, что эти изменения по сравнению с изменениями в ООЗ несущественны. Распределение потенциала электрического поля получаем в результате второго интегрирования уравнения Пуассона от – x_p до x

j(x) = — q × × [x 3 /3 — (d /2) 2 × x + d 3 /24 — d 3 /8]/(2 × e_п × e₀) . (3.23)

Учитывая, что ООЗ в плавном p-n переходе расположена симметрично относительно x = 0, можно полагать x_n = d /2. Подставляя x=x_n и j(x) = j_к в (3.23), найдем выражение для ширины ООЗ плавного p-n перехода

d = ( ) 1/3 . (3.24)

Распределение потенциала и энергетические зоны плавного p-n перехода представлены на рис. 3.1 в и рис. 3.1 г, соответственно.

4. ЗАВИСИМОСТЬ ШИРИНЫ ООЗ И ЗАРЯДНОЙ ЕМКОСТИ

p-n ПЕРЕХОДА ОТ ПРИЛОЖЕННОГО НАПРЯЖЕНИЯ

Полупроводниковый диод состоит из ООЗ, прилегающих к ней областей p— и n- типа и контактов к ним. Эквивалентную схему полупроводникового диода можно представить в виде (рис. 4.1).

Удельная электропроводность каждой из областей определяется концентрацией носителей заряда в ней, т.е.

, (4.1)

где m _n и m_p – подвижности электронов и дырок, соответственно; n и p – концентрации электронов и дырок, соответственно.

R_p — сопротивление p- области и контакта к ней;
R_ООЗ — сопротивление области ОЗ;
R_n — сопротивление n- области и контакта к ней;

Рис. 4.1, Эквивалентная схема полупроводникового диода.

Средняя концентрация подвижных носителей заряда в ООЗ на несколько порядков меньше, чем концентрация основных носителей заряда в p- и n- областях. Поэтому удельное сопротивление, а, следовательно, и сопротивление ООЗ на несколько порядков больше, чем сопротивление p- и n- областей. В связи с этим, по второму закону Кирхгофа, можно полагать, что все приложенное внешнее напряжение будет падать на ООЗ. Так как электрические поля обладают свойством “аддитивности”, результирующее электрическое поле будет определяться суммой контактного и внешнего полей. Разность потенциалов на границах ООЗ будет равна алгебраической сумме контактной разности потенциалов и внешнего приложенного напряжения.

Если суммарная разность потенциалов на ООЗ уменьшается по сравнению с контактной разностью потенциалов, то приложенное напряжение называют “прямым”, или “положительным”. Такое название возникло в связи с вольтамперной характеристикой, которая будет рассмотрена ниже. При уменьшении напряженности результирующего электрического поля снижается высота потенциального барьера, и сопротивление протеканию электрического тока уменьшается. Если внешнее и контактное поля совпадают по направлению, то результирующее поле возрастает, высота потенциального барьера растет, и сопротивление ООЗ протеканию электрического тока увеличивается. Такое напряжение называется обратным, и считается отрицательным. В соответствии с выше изложенным, при приложении к p-n переходу напряжения можно записать

, (4.2)

– разность потенциалов на ООЗ;

– напряжение, приложенное к диоду.

Таким образом, если “+” приложен к p- области, а “─” к n- области
U > 0, то уменьшается с увеличением приложенного напряжения. При обратной полярности, т.е. когда “─” приложен к p- области, а “+” к n- области, U (4.4)

Рис. 4.2. Зависимость ширины ООЗ от приложенного напряжения.

т.е. при U > 0 , наблюдается уменьшение ширины ООЗ с увеличением приложенного напряжения, а при U 14 см -3 показана на рисунке (4.2).

С увеличением ширины ООЗ увеличивается накопленный в ООЗ заряд. то явление описывается как наличие у p-n перехода емкости. Емкость p-n перехода – это дифференциальная емкость структуры. Для измерения емкости к p-n переходу прикладывается постоянное напряжение U_o и малое переменное напряжение d U, т.е. общее приложенное напряжение U может быть записано как

U = U_o + dU. (4.5)

d_p – изменение границы ООЗ в p-области;
d_n – изменение границы ООЗ в n-области
Рис. 4.3. Увеличение ширины ООЗ p-n перехода

Причем обычно величина малого переменного напряжения мала

Удельная зарядная емкость определится, как

Для вычисления емкости, необходимо рассчитать заряд Q в n- или p- области и взять от него производную по напряжению. Учитывая, что заряд dQ накапливается на границах ООЗ, можно удельную зарядную емкость рассчитать как емкость плоского конденсатора, т.е.

Таким образом, зная зависимость ширины ООЗ от приложенного на пряжения, легко рассчитать зависимость удельной зарядной емкости от напряжения. Анализируя уравнения (4.3 и 4.4) и рис. 4.2, можно утверждать, что

Рис. 4.4. Зависимость зарядной емкости от обратного напряжения.

с увеличением по модулю обратного напряжения зарядная емкость уменьшается. Для резкого несимметричного p-n перехода (см. рис. 4.2) с площадью 4×10 -3 см -2 зависимость зарядной емкости от приложенного напряжения приведена на рис. 4.4.

5. МЕХАНИЗМ ВЫПРЯМЛЕНИЯ НА p-n ПЕРЕХОДЕ
(ДИОДНАЯ ТЕОРИЯ ВЫПРЯМЛЕНИЯ)

Вольтамперная характеристика p-n перехода определяется зависимостью потоков подвижных носителей через переход от приложенного напряжения. Данное рассмотрение справедливо для так называемых “тонких“ p-n переходов, что, как правило, выполняется для германия. Для других материалов требуется уточнение. Можно выделить два встречных потока носителей заряда: диффузионный и дрейфовый (см. рис.5.1). Диффузионный поток обусловлен диффузией основных носителей через потенциальный барьер, т.е. электронов из n–области в p-область, а дырок из p–области в n-область. Дрейфовый поток возникает за счет переброса неосновных носителей электрическим полем ООЗ, т.е. дырок из n –области в p-область, а электронов из p – области в n-область. Потоки электронов и дырок противоположны, но они создают ток одинакового направления, т.к. имеют противоположный по знаку заряд. В дальнейшем мы будем говорить о диффузионной и дрейфовой составляющих электрического тока и потоков в общем виде. Для того, чтобы определить поведение электронов или дырок, необходимо в соответствующие уравнения подставить индексы _n или _{p .}

Диффузионный поток определяется тем, что основных носителей много больше, чем неосновных в противоположной области, т.е.

Из рисунка 5.1 видно, что диффузионные потоки направлены: электронов из n – области в p – область, а дырок из p – области в n – область. Величина диффузионного потока может быть определена как сумма потоков электронов и дырок. Необходимо учесть, что основные носители, диффундируя в соседнюю область, преодолевают потенциальный барьер, определяемый как (j_к – U) (см. рис. 5.1). Для невырожденных полупроводников можно воспользоваться функцией Максвелла-Больцмана для распределения частиц по энергии. Тогда выражение для плотности диффузионного потока будет представлять произведение плотности чисто диффузионного потока, обусловленного только градиентом концентрации носителей заряда, на вероятность того, что диффундирующие частицы имеют энергию больше высоты потенциального барьера, т.е.

Ф_диф — плотность диффузионного потока;

Ф_диф ˚ — плотность диффузионного потока, обусловленного только градиентом концентрации носителей заряда.

.

Рис. 5.1, Потоки носителей заряда через p-n переход.
Ф_{n диф} – плотность диффузионного потока электронов; Ф_{n др} – плотность дрейфового потока электронов; Ф_{p диф} – плотность диффузионного потока дырок; Ф_{p др} – плотность дрейфового потока дырок; Е_с – дно зоны проводимости; Е_v – потолок валентной зоны, E_Fp и E_Fn – уровень Ферми в p – и n – области.

Уравнение (5.2) можно записать, введя обозначение Ф_o для диффузионного потока при U = 0,

Проанализировав уравнение (5.3), можно сказать, что диффузионный поток экспоненциально зависит от приложенного к диоду напряжения. Если U > 0, т.е. приложенное к диоду напряжение положительно, высота потенциального барьера уменьшается, и диффузионный поток растет с приложенным напряжением по экспоненте. При отрицательном напряжении, приложенном к диоду, высота потенциального барьера увеличивается и диффузионный поток по экспоненте уменьшается. Так, при отрицательном напряжении, равном по модулю 0,1 В, он составляет при комнатной температуре всего около 0,02 от равновесного диффузионного потока и, в первом приближении, можно считать его равным нулю.

Встречные диффузионным потокам – это дрейфовые потоки неосновных носителей заряда, возникающие под действием электрического поля p-n перехода. Для того, чтобы определить зависимость дрейфового потока от приложенного напряжения необходимо понять сущность его возникновения. Дрейфовый поток формируется в две стадии. Сначала неосновные носители заряда из объема полупроводника за счет диффузии подходят к ООЗ и затем перебрасываются электрическим полем в соседнюю область p-n перехода. Причем электрическое поле в ООЗ создает силы, превышающие силы, вызывающие тепловое движение. Таким образом, все неосновные носители заряда, дошедшие до ООЗ, перебрасываются в соседнюю область, и дрейфовый поток зависит лишь от количества носителей заряда, продиффундировавших к ООЗ. Т.е. дрейфовый поток не зависит от высоты потенциального барьера и приложенного к диоду напряжения. Это напоминает цепочку лыжников в зимнем походе, когда все идут по одной лыжне и растянулись в пространстве. Поток лыжников на горке практически не зависит от высоты горки (в разумных пределах), а определяется темпом их движения на горизонтальном участке, т.е. сколько лыжников подойдет к горе, столько и скатится с нее.

В условиях термодинамического равновесия, т.е. при U = 0, суммарная плотность дрейфового потока равна плотности диффузионного потока. Не изменяющуюся с напряжением плотность дрейфового потока можно обозначить как плотность потока насыщения.

где Ф_др — плотность дрейфового потока; Ф_диф — плотность диффузионного потока; Ф_o. — плотность потока насыщения.

Плотность тока через p-n переход можно определить как разницу плотностей диффузионного и дрейфового потоков, умноженных на заряд электрона. Учитывая, что диффузионный поток определяет положительные плотности токов через p-n переход, можно записать

где j₀ – плотность тока насыщения p-n перехода.

6. ВОЛЬТ -АМПЕРНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА p-n ПЕРЕХОДА

Плотность тока насыщения можно определить из следующих соображений. Ток насыщения равен дрейфовой составляющей тока. Очевидно, что за единицу времени через ООЗ, пройдут только те носители, которые отстоят от нее по перпендикуляру на расстоянии численно равным скорости диффузии ( см. рис. 6.1 ). Среднюю скорость диффузии можно определить, как отношение диффузионной длины к времени жизни носителей заряда. Таким образом, за единицу времени через площадку S на границе ООЗ пройдут только те частицы, которые находятся в объеме прямоугольного параллелепипеда, ограниченного параллельными единичными площадками на ребрах, равных средней скорости диффузии. Плотность тока насыщения равна произведению заряда на диффузионный поток неосновных носителей заряда, и ее можно определить как сумму двух составляющих дрейфовых токов, электронной и дырочной.

где L_n и L_p –диффузионная длина неосновных электронов и дырок, в p- и n- областях; t_n и t_p – время жизни электронов и дырок, соответственно.

Рис. 6.1, К расчету дрейфовой составляющей тока.

Для расчетов лучше преобразовать формулу (6.1), используя соотношения (2.2, 2.3) и выражение для диффузионной длины

где D – коэффициент диффузии соответствующих носителей заряда. Тогда выражение для дрейфового тока будет иметь вид:

где I_O – ток насыщения p-n перехода; A – площадь p-n перехода.

Выражение для вольтамперной характеристики имеет вид:

где I –ток p-n перехода. Вид прямой вольтамперной характеристики ( U > 0 ) представлен на рис. 6.2, а вид части обратной характеристики ( U -6 А.

Рис. 6.2. Прямая вольтамперная характеристика p-n перехода.

Рис. 6.3. Обратная вольтамперная характеристика p-n перехода.

7. ПРОБОЙ p-n ПЕРЕХОДА

Под пробоем p-n перехода понимают резкое увеличение обратного тока с увеличением модуля обратного напряжения. Обычно за пробивное напряжение принимают модуль обратного напряжения, при котором обратный ток увеличивается в десять раз по сравнению с обратным током, задаваемым в качестве параметра.

Различают три основных вида пробоя: 1) тепловой пробой, 2) лавинный пробой и 3) туннельный пробой. Первый вид пробоя, как правило, необратим, тогда как второй и третий обратимы и используются в полупроводниковых стабилизаторах напряжения – стабилитронах.

Тепловой пробой получил такое название из-за того, что рост обратного тока связан с неограниченным ростом температуры. Последнее обусловлено тем, что выделяющаяся мощность в p-n переходе больше, чем отводимая от него. Выделяющаяся мощность равна сумме мощностей, передаваемых от электрического поля кристаллической решетке при протекании дрейфового тока, т. е. тока неосновных носителей заряда, при прямом и обратном включении. За счет этого повышается температура p-n перехода. При тепловом пробое мощность, выделяющаяся при обратном включении, как правило, больше мощности, выделяющейся при прямом включении, поскольку обратное смещение, подаваемое на p-n переход, может бытьмного больше, чем U_пр. Прямое напряжение_, всегда меньше контактной разности потенциалов p-n перехода φ_к, а величина дрейфового тока не зависит от изменения полярности приложенного к p-n переходу напряжения и определяется диффузионным потоком неосновных носителей в область объемного заряда p-n перехода. По закону Джоуля — Ленца можно записать

где P_выд — выделяющаяся мощность в p-n переходе, I₀ – ток насыщения диода, U_обр – обратное напряжение, приложенное к диоду, U_пр – прямое напряжение.

Можно считать, (формула 6.4), что обратный ток равен току насыщения и пропорционален n_i 2 , т. е. квадрату концентрации собственных носителей заряда. Эта величина зависит от температуры по формуле exp[-DЕ/( к ×T)], т.е. с ростом температуры увеличивается экспоненциально. Таким образом, выделяющаяся мощность с ростом температуры растет по экспоненте. Отводимая мощность зависит от конструкции устройства и с ростом температуры линейно увеличивается. При некоторых условиях, выделяющаяся мощность может оказаться больше отводимой, и вся разностная энергия пойдет на нагревание p-n перехода. Таким образом, температура p-n перехода будет возрастать неограниченно.

При электрических видах пробоя (лавинный и туннельный) возрастание обратного тока связано с ростом напряженности электрического поля в p-n переходе. Рост напряженности электрического поля в p-n переходе связан с тем, что с ростом модуля обратного напряжения ширина ООЗ, например, для резкого p-n перехода растет пропорционально (|U|) 1/2 , т.е. медленнее, чем приложенное напряжение. Лавинный пробой наступает тогда, когда носители заряда в электрическом поле приобретают энергию равную или больше, чем ширина запрещенной зоны. Процесс лавинного пробоя можно пояснить с помощью рис. 7.1, на котором показан процесс лавинного размножения электронов. Неосновные носители заряда, определяющие обратный ток p-n перехода (например, электроны в p – типе), ускоряясь в электрическом поле ООЗ, приобретают кинетическую энергию более ширины запрещенной зоны. В терминах зонной диаграммы это можно показать, как горизонтальное движение носителей заряда, а кинетическая энергия электронов определяется разностью их энергетического положения и дном зоны проводимости (см. рис. 7.1, фаза а). Затем, электроны, сталкиваясь с атомами решетки, вызывают их ионизацию и отдают избыточную энергию. В результате появляются новые носители, и сохраняются старые носители. Суммарное количество носите-

Рис. 7.1. Процесс лавинного размножения носителей заряда.

лей заряда в ООЗ удваивается (см. рис. 7.1, фаза б). Увеличение количества носителей заряда ведет к увеличению обратного тока через p-n переход. По мере передвижения электронов в ООЗ количество носителей заряда лавинообразно растет. Поэтому необходимым условием лавинного пробоя является условие образования лавины (т.е. d >>l, где d – ширина ООЗ; l – длина свободного пробега носителей заряда). Т.о. лавинный пробой характерен для “широких ” p-n переходов. В литературе приведены для несимметричных p-n переходов эмпирические соотношения между пробивным напряжением и удельным сопротивлением слаболегированной области германиевых p-n переходов [4]. Для p + —n переходов

а для n + –p переходов

где n + и p + — сильнолегированные области p–n перехода; U_проб – пробивное напряжение p–n перехода в В; r — удельное сопротивление слаболегированных областей p-n перехода в Ом×см.

Туннельный пробой обусловлен увеличением обратного тока за счет туннельного эффекта. Туннельный пробой наблюдается в более сильных электрических полях, чем лавинный пробой, и в более “узких” p-n переходах, когда появление лавины невозможно. Сущность появления дополнительного количества носителей заряда в ООЗ за счет туннельного эффекта поясняется на рис. 7.2. Туннельный эффект заключается в том, что носители заряда преодолевают потенциальный барьер, не изменяя своей энергии, т.е. проходят сквозь барьер из положения 1 (рис. 7.2) в положение 2. Необходимым условием для туннельного эффекта является наличие электрона с одной стороны барьера и свободного электронного состояния с другой стороны барьера. Прозрачность барьера, т. е. отношение потока электронов, прошедших сквозь барьер, к потоку электронов, падающих на барьер, становится заметной лишь для ширины барьера менее 20 нм. Величина пробивного напряжения туннельного пробоя для германиевых p-n переходов равна [4]

Для определения пробивного напряжения p-n перехода необходимо рассчитать пробивные напряжения по формулам (7.1) и (7.2) и выбрать наибольшее. Затем определить напряжение туннельного пробоя по формуле (7.3). За пробивное напряжение p-n перехода принимают наименьшее из на-

пряжений для лавинного и туннельного пробоя.

Рис. 7.2. Зонная диаграмма ООЗ при туннельном пробое.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по выполнению курсовой РАБОТы ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ»

Настоящая курсовая работа посвящена закреплению знаний студентов по образованию и основным характеристикам электронно-дырочного перехода. Для этого студенту необходимо изучить основы зонной теории твердого тела, механизм электропроводности собственных и примесных полупроводников, контактные явления в полупроводниках. Нужно обратить внимание на то, что проводящее состояние в полупроводниках в отличие от металлов является возбужденным. Проводимость полупроводников определяется характером и концентрацией введенных примесей и очень сильно (экспоненциально) увеличивается с ростом температуры окружающей среды. Необходимо обратить особое внимание на электрическую нейтральность изолированного электронного и дырочного полупроводника. Следует внимательно рассмотреть изменение концентрации основных и неосновных носителей заряда при увеличении температуры. Только после усвоения перечисленных вопросов можно переходить к изучению контактных явлений в полупроводниках и металлах. Нужно обратить внимание на характеристики контактов: запирающие, антизапирающие, для каких целей можно использовать тот или иной контакт. Знакомство с электронно-дырочным переходом следует начать с технологии. Обратите внимание на различия между резкими и плавными, симметричными и несимметричными переходами, где используется тот или иной переход. Изучите образование электронно-дырочного перехода. Рассмотрите распределения концентрации примеси, подвижных носителей заряда, объемных зарядов, потенциала, электрического поля в зависимости от координаты в контакте двух полупроводников с разным типом проводимости. Особое внимание уделите рассмотрению зонной энергетической диаграммы p-n — перехода в равновесном состоянии и ее изменения при приложении внешнего напряжения. Изучите составляющие токов, протекающих через p-n -переход, зависимость тока от приложенного напряжения, т.е. вольтамперную характеристику, емкостные свойства перехода, явление пробоя p-n -перехода. Подумайте, какие свойства р-n — перехода можно использовать для создания определенных типов полупроводниковых диодов.

В пояснительной записке (объемом не более 15 страниц машинописного или 20 страниц рукописного текста), оформленной в соответствии с ОС ТУСУР 6.1-97*, необходимо представить с учетом Ваших расчетных данных следующее.

9.1 Образование p-n перехода;

9.2 Зонную диаграмму в равновесном состоянии для рассчитываемого
p-n перехода;

9.3 Зонную диаграмму p-n-перехода при приложении внешнего напряжения;

9.4 Вольтамперную характеристику (ВАХ) p-n перехода;

9.5 Пробой p-n-перехода;

9.6 Емкость p-n -перехода;

9.7 Расчеты ширины ООЗ, зарядной емкости перехода и их зависимости от приложенного напряжения, и вольтамперной характеристики.

9.8 Построить рассчитанные в п. 9.7 зависимости.

9.9 Объяснить полученные результаты и сделать выводы по работе.

Дата добавления: 2015-07-26 ; просмотров: 130 ; Нарушение авторских прав

Решение уравнения пуассона для полупроводника

16. Образование p — n перехода. Резкий переход.

Основной причиной, приводящей к изменению свойств полупроводников на границе раздела, является диффузия заряженных частиц, в результате которой в области, прилегающей к границе раздела, возникает очень устойчивое внутреннее поле. Образовавшуюся переходную область называют p-n-переходом.

2.1.1. Образование p-n-перехода. Рассмотрим идеальный контакт двух областей полупроводника с разными типами проводимости (см. рис. 2.1, а), диаграммы энергетических зон которых приведены на рис. 2.1, б.

При непосредственном контакте из-за большого градиента концентрации подвижных носителей заряда возникает их диффузия в области с противоположным типом проводимости через плоскость металлургического контакта, т.е. плоскость, где изменяется тип примесей, преобладающих в полупроводнике (рис. 2.2, а). При этом электроны диффундируют из области n в область p, а дырки наоборот из области p в область n.

Благодаря взаимной диффузии электронов и дырок нарушается электрическая нейтральность примыкающих к металлургическому контакту облаcтей полупроводника. В области p из-за диффузии из нее дырок остаются некомпенсированные неподвижные отрицательные ионы акцепторов, а в области n из-за диффузии из нее электронов — положительные ионы доноров.

Рис. 2.1. Образование р-n —перехода:

а — структура перехода; б — диаграммы энергетических зон исходных материалов

В результате образуется область, состоящая из двух разноименно заряженных слоев, внутри которой возникает электрическое поле , направленное от положительно заряженного n-слоя к отрицательно заряженному p-слою. Это электрическое поле препятствует дальнейшей диффузии электронов из области n и дырок из области p.

Участок вблизи металлургического контакта, в котором существует внутреннее электрическое поле, называют областью пространственного заряда, или p-n-переходом. Эта область иногда называется обедненной областью, так как она обеднена подвижными носителями заряда. На рис.2.2,б p-n-переход располагается между точками . Причем координата соответствует металлургической границе.

Рис .2.2. Диаграммы энергетических зон при образовании р-n-перехода: а — состояние контакта; б — образование потенциального барьера

За пределами p-n-перехода, где электрическое поле практически отсутствует, энергетические зоны изображены горизонтальными линиями. При этом взаимное расположение границ разрешенных зон и уровня Ферми остается таким же, каким было в соответствующих областях полупроводника до образования p-n-перехода (см. рис.2.1, б). В области p-n-перехода из-за действия поля границы зон искривляются.

Поскольку напряженность электрического поля в p-n-переходе направлена от электронного полупроводника к дырочному, на диаграмме (рис.2.2, б) соответствующие энергетические зоны для p-области располагаются выше, чем для n-области. Сдвиг зон определяется условием теплового равновесия системы, при которой уровень Ферми должен быть расположен на одной высоте энергетической диаграммы всей системы. Этот сдвиг зон равен разности уровней Ферми областей n- и p-типов:

,

где — уровень Ферми в полупроводнике n-типа;

— уровень Ферми в полупроводнике p-типа.

Сдвиг зон характеризует величину внутреннего электрического поля , а также потенциального барьера , который возникает между слоями n и p. Этот потенциальный барьер часто называют встроенным потенциалом:

.

Особо следует отметить, что электрическое поле перехода препятствует движению только основных носителей заряда: дырок в слое р и электронов в слое п. Для неосновных же носителей заряда, т.е. электронов в слое р и дырок в слое п, поле перехода не является препятствием при движении. Наоборот, неосновные носители, достигшие границ перехода, втягиваются полем внутрь перехода и свободно проходят через него.

Распределение электрического поля в области p-n-перехода можно вычислить с помощью уравнения Пуассона, которое в одномерном случае записывается следующей формулой:

,

где — электрический потенциал;

— диэлектрическая постоянная вакуума;

— относительная диэлектрическая проницаемость материала ;

— плотность заряда примесного полупроводника.

Для примесного полупроводника с учетом выражений (1.32) и (1.33) уравнение Пуассона (2.3) принимает вид

,

где и — концентрация примесей акцепторов и доноров соответственно.

Выражение (2.4) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее распределение потенциала в произвольно легированном полупроводнике, и в общем случае не имеет решения. Однако в ряде случаев с учетом соответствующих приближений можно получить аналитическое решение уравнения Пуассона. Применительно к p-n-переходу существуют два частных случая, для которых уравнение Пуассона имеет решение. Это так называемый резкий переход и переход с линейным раcпределением примеси.

2.1.2. Резкий переход. Резкий, или ступенчатый переход характеризуется ступенчатым изменением постоянной концентрации примеси одного типа, например , на постоянную концентрацию при переходе металлургической границы ( x=0), как показано на рис. 2.3, а. Подобный переход можно получить, например, с помощью эпитаксиального выращивания на подложке p-типа слоя n-типа с постоянной концентрацией примеси.

Для решения уравнения Пуассона воспользуемся приближением обеднения, т.е. будем считать, что область p-n-перехода полностью обеднена и не содержит подвижных носителей заряда (рис. 2.3, б). Поэтому объемный заряд в p-n-переходе равен заряду только неподвижных ионов: акцепторов и доноров. Плотность заряда изображена на рис. 2.3, в и равна:

при ,

,

Таким образом, уравнение Пуассона для резкого перехода принимает вид

при ,

при ,

Найдем выражение для распределения напряженности поля в p-n-переходе, для чего проинтегрируем формулы (2.7) и (2.8):

для ,

для

Рис. 2.3. Зависимость характеристик резкого перехода от координаты:

а — примесная концентрация; б — концентрация подвижных носителей;

в — плотность объемного заряда; г — электрическое поле;

Так как поле в переходе не имеет разрыва, для точки должно выполняться равенство

,

Из формулы (2.11) следует, что ширина обедненной области с каждой стороны от металлургического контакта обратно пропорциональна соответствующей примесной концентрации:

,

Чем больше концентрация примеси , тем уже область объемного заряда (рис. 2.3, г). В сильно асимметричном переходе, в котором концентрация примеси с одной стороны много больше чем с другой, p-n-переход располагается в основном в слаболегированном материале. Такие переходы называют односторонними переходами.

Распределение потенциала в области p-n-перехода находится из уравнений (2.9) и (2.10). Проводя повторное интегрирование, получим

при

при ,

где — потенциал Ферми на электронейтральном крае обедненной области в материале p-типа;

— потенциал Ферми на электронейтральном крае обедненной области в материале n-типа;

— собственный потенциал Ферми;

— температурный потенциал.

График распределения потенциала в p-n-переходе приведен на рис. 2.3, д.

Величина потенциального барьера равна разности потенциалов Ферми на нейтральных слоях областей n- и p-типов

и зависит от собственной концентрации, т.е. от полупроводника, температуры и концентрации примеси в слоях, образующих p-n-переход. Ширина обедненной области резкого перехода находится из уравнений (2.12) . (2.15) и равна

,

В случае одностороннего перехода выражение (2.16) упрощается и принимает вид

,

где — концентрация примеси в слаболегированном слое.