Численные методы на Mathcad (стр. 4 )
 | Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 |
Находим решение системы 
5.2.3. Решение уравнений Лапласа и Пуассона.
Для решения уравнений Пуассона 
и Лапласа (частный случай, когда 
) – уравнений эллиптического типа – предназначена функция relax(a, b, c, d, e, f, u, rjac), реализующая метод релаксации. Фактически, эту функцию можно использовать для решения эллиптического уравнения общего вида
которое может быть сведено к уравнению в конечных разностях
В частности, для уравнения Пуассона коэффициенты 
.
Идея метода релаксации заключается в следующем. Если нет источников (уравнение Лапласа), то значение функции в данном узле на текущем шаге 
определяется как среднее значение функции в ближайших узлах на предыдущем шаге k
При наличии источников разностная схема имеет вид 
Метод релаксации сходится достаточно медленно, так как фактически он использует разностную схему с максимально возможным для двумерного случая шагом 
.
В методе релаксации необходимо задать начальное приближение, то есть значения функции во всех узлах области, а так же граничные условия.
Функция relax возвращает квадратную матрицу, в которой:
1) расположение элемента в матрице соответствует его положению внутри квадратной области,
2) это значение приближает решение в этой точке.
Эта функция использует метод релаксации для приближения к решению.
Вы должны использовать функцию relax, если Вы знаете значения искомой функции u(x, y) на всех четырех сторонах квадратной области.
a, b, c, d, e – квадратные матрицы одного и того же размера, содержащие коэффициенты дифференциального уравнения.
f – квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения в каждой точке внутри квадрата
u – квадратная матрица, содержащая граничные значения функции на краях области, а также начальное приближение решения во внутренних точках области.
rjac – Параметр, управляющий сходимостью процесса релаксации. Он может быть в диапазоне от 0 до 1, но оптимальное значение зависит от деталей задачи.
Задаем правую часть уравнения Пуассона – два точечных источника
Задаем значения параметров функции relax
Задаем граничные условия и начальное приближение – нули во всех внутренних точках области
Находим решение 
и представляем его графически в виде поверхности и линий уровней.
Если граничные условия равны нулю на всех четырех сторонах квадрата, можно использовать функцию multigrid.
Алгоритм метода достаточно громоздкий, поэтому рассматривать его мы не будем.
Глава 6. Статистические расчеты на Mathcad
6.1. Генерация чисел, распределенных равномерно.
Mathcad дает возможность обрабатывать статистическую информацию. Создадим с помощью датчика случайных чисел rnd последовательность, подчиняющуюся равномерному распределению.
Представим последовательность чисел графически
Вычислим среднее значение 
,
стандартное отклонение 
,
и дисперсию 
Проверим, насколько хорошо подчиняются наши числа закону равномерного распределения, построив гистограмму. Определим интервалы для группировки данных: 
. И подсчитаем, сколько раз попадают числа из нашей последовательности в каждый из интервалов
Числа fi показывают, сколько раз числа из массива x попадают в каждый из определенных нами интервалов 0–2, 2–4, 4–6, 6–8, 8–10
Внимание! В массиве f элементов на 1 меньше, чем в массиве interval.
Определим границы для построения гистограммы.
Внимание! При построении гистограммы следует использовать трассировку типа bar, при этом столбцы центрируются относительно начала интервала. Для центрирования столбцов относительно середины интервала используйте трассировку step.
Повторим построение гистограммы, используя большее число интервалов.
Числа fi показывают, сколько раз числа из массива x попадают в каждый из определенных нами интервалов 0–1, 1–2, 2–3, 3–4, 4–5, 5–6, 6–7, 7–8, 8–9, 9–10
6.2. Генерация случайных чисел, распределенных по нормальному закону.
Для преобразования равномерно распределенных случайных чисел в числа, распределенные по нормальному закону, воспользуемся преобразованием:
Представим числа на графике
Вычислим среднее значение M1: 
И стандартное отклонение S1: 
Определим функцию g(x) – функцию плотности нормального распределения с математическим ожиданием M1 и стандартным отклонением S1
Построим гистограмму, разбив весь интервал на подынтервалы шириной 5 единиц.
Сравним предельное распределение g(x) с реальным распределением.
Для этого вновь воспользуемся функцией hist
Подсчитаем плотность вероятности f1:
Представим результаты графически:
Определим вероятность W того, что некоторое число попадет в интервал [1,3], воспользовавшись функцией cnorm.
И сравним полученный результат с результатом, который дает функция hist
6.3. Вычисление коэффициента корреляции.
Занесем в массив x оценки по высшей математике в сессию в некоторой студенческой группе, а в массив y – оценки по физике. Определим, существует ли какая–либо связь между успеваемостью по физике и высшей математике.
Вычислим средние оценки и стандартное отклонение
Для вычисления коэффициента корреляции имеется встроенная функция corr
Близкий к 1 коэффициент корреляции свидетельствует о высокой зависимости между успеваемостью по этим предметам.
6.4. Применение метода Монте-Карло для вычисления кратных интегралов
Хотя Mathcad позволяет вычислять кратные интегралы непосредственно, однако в большинстве случаев при кратности интегралов 3 и более применение метода Монте-Карло предпочтительнее. Дело в том, при одинаковой точности метод Монте-Карло дает существенный выигрыш во времени (в десятки и сотни раз), особенно при большой кратности интегралов. Идея метода состоит в том, что интеграл заменяется величиной Fср.·V, где V – объем области интегрирования, Fср. –среднее значение подынтегральной функции, вычисленное по нескольким случайно выбранным точкам.
Определим подынтегральную функцию.
И вычислим интеграл обычным способом (обратите внимание на время счета!)
А теперь вычислит тот же интеграл методом Монте-Карло
Поскольку в нашем случае объем области интегрирования равен 1, полученное среднее значение совпадает со значением интеграла. При относительной погрешности в 0.001% время вычисления интеграла по методу Монте-Карло существенно меньше.
Интеграл можно вычислить и другим способом. Заключим область интегрирования внутрь прямоугольной области, «набросаем» внутрь полученной области N случайных точек. Тогда интеграл найдем из соотношения 
,где N – общее число точек, n – число точек, лежащих внутри области интегрирования, V – объем области, включающей область интегрирования.
Максимальное значение подынтегральной функции в области интегрирования не превосходит 125, следовательно, мы может заключить всю область интегрирования внутрь четырехмерного цилиндроида высотой 125 и объемом V=125. Сгенерируем N четверок случайных чисел и подсчитаем, сколько из них лежит под поверхностью f(x, y,z).
Глава 7. Анализ и синтез сигналов с помощью преобразования Фурье.
Определим функцию, задающую так называемый пилообразный сигнал 
и изобразим ее на графике
Заполним массив s: 
Проводим прямое преобразование Фурье: 
Внимание! В том случае, когда в массиве s содержится 
элементов, причем все числа действительные, следует использовать функцию fft. Во всех остальных случаях – функцию cfft. Массив g содержит комплексные коэффициенты дискретного преобразования Фурье.
Размер массива f –
Для анализа вклада отдельных гармоник в исходный сигнал изобразим на графике модули и аргументы гармоник
Проводим обратное преобразование Фурье, исключив гармоники с малым вкладом. Будем учитывать только гармоники с амплитудой не менее 0.3. Для отсечения слагаемых с малым вкладом воспользуемся функцией единичного скачка – функцией Хевисайда Ф.
Для обратного преобразования Фурье используется функция ifft, если прямое преобразование осуществлялось с помощью fft, и cifft, если прямое преобразование осуществлялось с помощью cfft.
Повторим преобразование Фурье, учтя слагаемые с амплитудой до 0.1.
Учет дополнительных гармоник существенно улучшил результат синтеза сигналов.
Литература
1. MATHCAD 6.0 PLUS/ Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95./ Пер. с англ. – М.: Информационно-издательский дом «Филинъ», 1996. – 712 с.
2. , Mathcad: математический практикум. – М.: Финансы и Статистика. – 1999.
3. Mathcad 8 Pro для студентов и инженеров. – М.: КомпьютерПресс, 1999.
4. . MathCad 7 Pro для студентов и инженеров. – М.: КомпьютерПресс, 1998. – 384 с.
5. Дьяконов по MathCAD PLUS 6.0 PRO. – М.: CK Пресс, 1997. – 336 с.
6. Дьяконов по MathCAD PLUS 7.0 PRO. – М.: CK Пресс, 1998. – 352 c.
7. , MathCAD 7 в математике, в физике и в Internet. – М.: Нолидж.- 1998. – 352 с.
8. Шелест в физике. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. – 272 с.
9. , Плис и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. – М.: ДИАЛОГ–МИФИ, 1996. – 240 с.
10. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 272 с., ил.
11. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения дифференциальных уравнений/ Пер. с англ.; Под ред. А. А. Абрамова. – М.: Наука. Гл. физ.-мат. лит., 1986. – 288 с.
12. М., Житомирский В. Г., Лапчик М. П. Численные методы: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов. – М.; Просвещение, 1990. – 176 с.
13. , Марон вычислительной математики. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.
14. , , Шувалова методы анализа. – М.: Наука. Физматгиз, 1962.
Глава 1. Нахождение корней уравнений. 5
1.1. Функции произвольного вида. 8
1.2. Нахождение корней полиномов. 10
1.3. Нахождение корней уравнений путем символических преобразований. 10
1.4 Поиск корней уравнений в Mathcad 2000. 11
Глава 2. Решение систем уравнений и неравенств. 12
2.1. Решение систем линейных и нелинейных уравнений и неравенств. 12
2.2. Решение систем линейных уравнений и неравенств. 14
2.3. Символическое решение систем уравнений. 14
2.4. Нахождение экстремумов функций. 15
Глава 3. Аппроксимация функций. 18
3.1. ЛОКАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. 18
3.1.1. Линейная интерполяция. 18
3.1.2. Интерполяция сплайнами. 19
3.2. ГЛОБАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ. 24
3.3. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ. 27
3.3.1. Аппроксимация линейной функцией. 27
3.3.2. Аппроксимация полиномами. 29
3.3.3. Аппроксимация линейной комбинацией функций. 31
3.3.4. Аппроксимация функцией произвольного вида. 33
Глава 4. Вычисление определенных интегралов. 36
4.1. Метод Ромберга. 36
4.2 Вычисление определенных интегралов. 38
Глава 5. Решение дифференциальных уравнений. 40
5.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 40
5.1.1. Метод Эйлера для дифференциальных уравнений первого порядка 42
5.1.2. Решение систем дифференциальных уравнений. 43
5.1.3. Решение дифференциальных уравнений методом Рунге–Кутты 45
5.1.4. Решение дифференциальных уравнений второго порядка. 46
5.1.5. Решение краевой задачи. 47
5.1.6. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad 2000 49
5.2. Решение уравнений в частных производных. 51
5.2.1. Уравнения гиперболического типа. 51
5.2.2. Уравнения параболического типа. 53
5.2.3. Решение уравнений Лапласа и Пуассона. 55
Глава 6. Статистические расчеты на Mathcad. 58
6.1. Генерация чисел, распределенных равномерно. 58
6.2. Генерация случайных чисел, распределенных по нормальному закону. 60
6.3. Вычисление коэффициента корреляции. 63
6.4. Применение метода Монте-Карло для вычисления кратных интегралов 64
Глава 7. Анализ и синтез сигналов с помощью преобразования Фурье. 66
[1] Получите эти формулы самостоятельно по аналогии с методом Ньютона, оставив в разложении Тейлора первые три слагаемых.
[2] К сожалению, это не всегда так. Если начальное приближение выбрано неудачно и значение производной в этой точке близко к нулю, то, вообще говоря, найденный корень может быть не ближайшим к начальному приближению. В качестве примера решите самостоятельно задачу поиска корня уравнения 
, выбрав в качестве начального приближения число близкое к 
. Чем ближе к будет выбранное значение, тем более далекий от 0 корень мы будем получать.