Решение уравнения риккати в матричном виде

Дифференциальное уравнение Риккати

Общее решение этого уравнения можно получить только в некоторых частных случаях.

Решение дифференциального уравнения Риккати при известном частном решении

Рассмотрим дифференциальное уравнение Риккати:
(1) .
Пусть известно его частное решение :

Тогда подстановкой уравнение Риккати (1) приводится к уравнению Бернулли:
;
;
;
;
.
Это уравнение Бернулли с n = 2 .

Свойства уравнения Риккати

Не меняет вид уравнения:

• Произвольное преобразование независимого переменного:
• Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого переменного:

При таких подстановках уравнение также является уравнением Риккати, но с другими функциями p, q, r.

Вид общего решения

Общее решение уравнения Риккати есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной:

И наоборот если общее решение уравнения есть дробно-линейная функция от произвольной постоянной, то соответствующее уравнение есть уравнение Риккати.

Упрощение уравнения Риккати

Снова рассмотрим дифференциальное уравнение Риккати:
(1) .
Подстановкой
,
где А – постоянная, оно приводится к виду:
(2) ,
где .

Далее, подстановкой

оно приводится к виду:
(3)
где .

Упрощенное уравнение Риккати

Упрощенное уравнение Риккати – это уравнение вида:
(4) ,
где A, B – постоянные. Оно интегрируется при
,
где – целое.

Покажем это. Сделаем подстановку:
;
.
Подставляем в (4):
.
Умножаем на :
(5) .
Но
.
Подставляем в (5):

Или
(6)
где
.
Уравнение (6) интегрируется при
.
Для этого разделим его на и перепишем в следующем виде:
;
;
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Оно легко интегрируется.

При уравнение (6) можно преобразовать двумя путями.

1. Подстановкой , где , оно преобразуется к виду: .
2. Подстановкой , где , оно преобразуется к виду:

Таким образом, при , где n — целое число, ряд подстановок приводит к полному решению.

Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-08-2012

Дифференциальное уравнение Риккати

Дифференциальное уравнение первого порядка вида

где — известные функции, называется уравнением Риккати (обобщенным). Если коэффициенты в уравнении Риккати постоянны, то уравнение допускает разделение переменных, и мы сразу получаем общий интеграл

Как показал Лиувилль, уравнение (1) в общем случае не интегрируется в квадратурах.

Свойства уравнения Риккати

1. Если известно какое-нибудь частное решение уравнения (1), то его общее решение может быть получено при помощи квадратур.

В самом деле, положим

где — новая неизвестная функция. Подставляя (2) в (1), найдем

откуда, в силу того что есть решение уравнения (1) получим

Уравнение (3) является частным случаем уравнения Бернулли.

Пример 1. Решить уравнение Риккати

зная его частное решение .

Решение. Положим и подставим в уравнение (4); получим

Таким образом, общее решение уравнения (4) .

Замечание. Вместо подстановки (2) часто бывает практически более выгодной подстановка

которая сразу приводит уравнение Риккати (1) к линейному .

2. Если известны два частных решения уравнения (1), то его общий интеграл находится одной квадратурой.

Пусть известны два частных решения и уравнения (1). Используя тот факт, что имеет место тождество

представим уравнение (1) в виде

Для второго частного решения аналогично находим

Вычитая из равенства (5) равенство (6), получаем

Пример 2. Уравнение имеет частные решения . Найти его общий интеграл.

Решение. Используя формулу (7), получаем общий интеграл исходного уравнения

Решение уравнения риккати в матричном виде

Тема: «Синтез оптимального управления»

В традиционной постановке задача синтеза оптимального управления в пространстве состояний предусматривает определение вектора управляющих сигналов u0(t) на основании минимизации некоторого критерия качества и формулируется следующим образом.

Для объекта управления, который описывается векторными дифференциальным и ал-гебраическими уравнениями

необходимо найти закон управления u0(t), при котором достигается минимум квадратичного функционала качества

который подробно представлен в лекции 7.

Общая математическая постановка указанной задачи приводит к уравнению Беллма-на, которое имеет следующий вид:

Вывод уравнения Беллмана, характеристики входящих в него переменных и функций приведены в приложении 1.

Решение уравнения (9.3) для объекта управления, который описывается векторно-матричной моделью (9.1), позволяет определить закон оптимального управления в виде

где , P(t) — решение матричного дифференциального уравнения Рик-кати

c граничным условием .

Вывод уравнения Риккати приведен в приложении 2.

В соответствии с вышеизложенным алгоритм синтеза оптимального уравнения пред-ставляет собой следующую последовательность действий:

1) построение векторно-матричной модели ОУ (9.1);

2) выбор элементов весовых матриц F, Q(t), R(t) в (9.2), при которых переходные процессы в системе управления удовлетворяют заданным требованиям;

3) решение матричного дифференциального уравнения Риккати (9.5);

4) анализ динамических характеристик в оптимальной системе управления и оценка ее качества.

Основные трудности возникают здесь при решении матричного дифференциального уравнения Риккати. Интегрирование этого уравнения удобно выполнять в обратном времени . В этом случае задача сводится к задаче Коши с начальными условиями . Ввиду симметричности матрицы P(t) уравнение (9.5) равносильно системе n(n+1)/2 обыкно-венных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с переменными во вре-мени коэффициентами.

Для стационарных систем, в которых A, B, Q, R — коэффициентные матрицы и , матричное дифференциальное уравнение Риккати вырождается в алгебраическое

решением которого является симметричная положительно определенная матрица Р.

Решение уравнения (9.28) для стационарных систем при и имеет предел

Поэтому матрицу Р можно вычислить как предельное значение решения уравнения (9.5) при достаточно большом Т.

По аналогии с (9.4) оптимальное управление определится из выражения

Достоверность представленных алгоритмов подтвердим практическим примером.

Пример 9.1. Для электромеханического объекта с упругой передачей механического движения от вала электродвигателя к валу рабочего механизма, численные значения пара-метров которого приведены в табл. 9.1., выполним синтез оптимального управления (9.4) и безынерционного регулятора состояния.

Таблица 9.1. Параметры электромеханического объекта

Результатом серии вычислительных экспериментов явились:

• внутреннее содержание весовых матриц Q, и R

• временные характеристики

полученные в результате решения уравнения Риккати (9.5) в обратном времени, которые приведены на рис. 9.1

Для постановки имитационных экспериментов используем приведенные в табл. 9.2 постоянные расчетные значения коэффициентов обратных связей, соответствующие t=0, и значения реализации.

Таблица 9.2. Значения коэффициентов обратных связей

Рис. 9.1. Динамические характеристики K0(t)

Сравнительные динамические характеристики (см. рис. 9.2), систем управления, в ко-торых параметры регулятора соответствуют значениям реализации коэффициентов обратных связей (табл. 9.2) и значениям регулятора состояния, синтезированного при использовании в качестве критерия качества биномиального распределения корней (), подтвер-ждают корректность алгоритмического и программного обеспечения синтеза оптимального управления.

Рис. 9.2. Сравнительные динамические характеристики систем управления с регулятором состояния

Контрольные вопросы к лекции № 9.

1. Укажите основные особенности численного решения матричного дифференциального уравнения Риккати?

2. При каких условиях матричное дифференциальное уравнение Риккати вырождается в алгебраическое?

3. Какие значения должны принимать коэффициенты обратных связей для «точной» реализации оптимального управления?

ОТВЕТЫ

Интегрирование уравнения Риккати, как правило, выполняется в обратном времени .

Для стационарных систем, в которых A, B, Q, R — коэффициентные матрицы и , матричное дифференциальное уравнение Риккати вырождается в алгебраическое

Значения коэффициентов обратных связей должны непрерывно изменяться во времени в соответствии с результатом решения уравнения Риккати .