Решение уравнения с двумя переменными геометрическим способом

Системы уравнений с двумя переменными

п.1. Понятие системы уравнений с двумя переменными и её решения

п.2. Графический метод решения системы уравнений с двумя переменными

Поскольку каждое из уравнений с двумя переменными можно изобразить в виде графика на плоскости, графический метод решения систем таких уравнений достаточно удобен.

п.3. Примеры

Пример 1. Решите графическим способом систему уравнений:
а) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <4x+3y=0>& \end\right. \)
\( \mathrm \) – окружность с центром в начале координат
\( \mathrm <4x+3y=0>\) – прямая \( \mathrm \)

Система имеет два решения (–3; 4) и (3; –4)
Ответ: <(–3; 4) ; (3; –4)>.

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
\( \mathrm \) – гипербола \( \mathrm \)
y – x = 4 – прямая y = x + 4

Система имеет два решения (–5; –1) и (1; 5)
Ответ: <(–5; –1) ; (1; 5)>.

в) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
x 2 + y = 1 – парабола y = –x 2 + 1
x 2 – y = 7 – парабола y = x 2 – 7

Система имеет два решения (–2; –3) и (2; –3)
Ответ: <(–2; –3) ; (2; –3)>.

г) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
xy = 1 – гипербола \( \mathrm \)
x 2 + y 2 = 2 – окружность с центром в начале координат, радиусом \( \mathrm<\sqrt<2>> \)

Система имеет два решения (–1; –1) и (1; 1)
Ответ: <(–1; –1) ; (1; 1)>.

Пример 2*. Решите графическим способом систему уравнений
a) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm <\frac1x-y=1>& \end\right. \)
x 3 – y = 1 – кубическая парабола y = x 3 – 1, смещённая на 1 вниз.
\( \mathrm <\frac1x-y=1>\) – гипербола \( \mathrm \), смещённая на 1 вниз

Система имеет два решения (–1; –2) и (1; 0)
Ответ: <(–1; –2) ; (1; 0)>.

б) \( \left\< \begin < l >\mathrm <|x|+|y|=2>& \\ \mathrm & \end\right. \)
|x| + |y| = 2 – квадрат с диагоналями 4, лежащими на осях
x 2 + y 2 = 4 – окружность с центром в начале координат, радиусом 2

Система имеет четыре решения (2; 0), (0; 2) , (–2; 0) и (0; –2)
Ответ: <(2; 0) ; (0; 2) ; (–2; 0) ; (0; –2)>.

в) \( \left\< \begin < l >\mathrm & \\ \mathrm & \end\right. \)
y – x 2 = 4x + 6 – парабола y = (x 2 + 4x + 4) + 2 = (x + 2) 2 + 2, ветками вверх, смещённая на 2 влево и на 2 вверх
y + |x| = 6 – ломаная, y = –|x| + 6. Для x > 0, y = –x + 6, для x 0, y = x, для x

Уравнения и неравенства с двумя переменными и их геометрическое решение

Я взяла работу на эту тему, потому что изучение поведения функций и построение их графиков является важным разделом математики, и свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, и порой является единственным средством их решения. Также графический метод решения уравнений позволяет определить число корней уравнения, значения корня, найти приближенные, а иногда точные значения корней.

В технике и физике часто используются именно графическим способом задания функций. Ученый- сейсмолог, анализируя сейсмограмму, узнает, когда было землетрясение, где оно произошло, определяет силу и характер толчков. Врач, исследовавший больного, может по кардиограмме судить о нарушениях сердечной деятельности: изучение кардиограммы помогает правильно поставить диагноз заболевания. Инженер – радиоэлектроник по характеристике полупроводникового элемента выбирает наиболее подходящий режим его работы. Количество таких примеров легко увеличить. Более того, по мере развития математики растет проникновение графического метода в самые различные области жизни человека. В частности, использование функциональных зависимостей и построение графиков широко применяется в экономике. Значит, растет и важность изучения рассматриваемого раздела математики в школе, в вузе, и особенно- важность самостоятельной работы над ним.

С развитием вычислительной техники, с ее прекрасными графическими средствами и высокими скоростями выполнения операций, работа с графиками функций стала значительно интересней, наглядней, увлекательней. Имея аналитическое представление некоторой зависимости, можно построить график быстро, в нужном масштабе и цвете, используя для этого различные программные средства.

Уравнения с двумя переменными и их геометрическое решение.

Уравнение вида f(x;y)=0 называется уравнением с двумя переменными.

Решением уравнения с двумя переменными называется упорядоченная пара чисел (α, β), при подстановке которой (α – вместо х, β – вместо у) в уравнении имеет смысл выражение f(α; β)=0

Например, для уравнения ((х+1))2+ у2=0 упорядоченная пара чисел (0;0) есть его решение, так как выражение ((0+1))2+02 имеет смысл и равно нулю, но упорядоченная пара чисел (-1;0) не является решением, так как не определен и поэтому выражение ((-1+1))2+02 не имеет смысла.

Решить уравнение – значит найти множество всех его решений.

Уравнения с двумя переменными может: а) иметь одно решение. Например, уравнение х2+у2=0 имеет одно решение (0;0); б) иметь несколько решений. Например, данное уравнение (‌‌│х│- 1)2+(│у│- 2)2 имеет четыре решения: (1;2),(-1;2),(1;-2),(-1;-2); в) не иметь решений. Например уравнение х2+у2+1=0 не имеет решений; г) иметь бесконечно много решений. Например, такое уравнение, как х-у+1=0 имеет бесконечно много решений

Иногда бывает полезной геометрическая интерпретация уравнения f(x;y)=g(x;y). На координатной плоскости хОу множество всех решений – некоторое множество точек. В ряде случаев это множество точек есть некоторая линия, и в этом случае говорят, что уравнение f(x;y)=g(x;y) есть уравнение этой линии, например:

1) уравнение Ах+Ву+С=0 (А2+В2 0) есть уравнение прямой ;

2) уравнение х2+у2=R2 (R 0) есть уравнение окружности ;

3) уравнение ху=а (а0) есть уравнение гиперболы ;

4) уравнение у=ах2+bх+с (а0) есть уравнение параболы ;

5) уравнение х2+у2=0 задает одну точку (0;0)

2. 1Системы уравнений

Пусть заданы два уравнения с неизвестными х и у

F1(x; y)=0 и F2 (x; y)=0

Будем считать, что первое из этих уравнений задаёт на плоскости переменных х и у линию Г1, а второе — линию Г2. Чтобы найти точки пересечения этих линий, надо найти все пары чисел (α, β), такие, что при замене в данных уравнениях неизвестной х на число α и неизвестной у на число β, получаются верные числовые равенства. Если поставлена задача об отыскании всех таких пар чисел, то говорят, что требуется решить систему уравнений и записывают эту систему с помощью фигурной скобки в следующем виде

Решением системы называется такая пара чисел (α, β), которая является решением как первого, так и второго уравнений данной системы.

Решить систему – значить найти множество всех ее решений, или доказать, что решений нет.

В ряде случаев геометрическая интерпретация каждого уравнения системы, ибо решения системы соответствуют точкам пересечения линий, задаваемых каждым уравнением системы. Часто геометрическая интерпретация позволяет лишь догадаться о числе решений.

Например, выясним, сколько решений имеет система уравнений

Первое из уравнений системы задает окружность радиусом R= c центром (0;0), а второе – параболу, вершина которой находится в той же точке. Теперь ясно, что имеются две точки пересечения этих линий. Следовательно, система имеет два решения – это (1;1) и (-1;1)

2. Примеры решения уравнений с двумя переменными

Изобразите все точки с координатами (х;у), для которых выполняется равенство.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Каждое из полученных уравнений определяет на координатной плоскости прямую.

Решением данного уравнения является множество точек плоскости, координаты, которых удовлетворяют совокупности уравнений

На координатной плоскости решение будет выглядеть так

Решение: Воспользуемся определением абсолютной величины и заменим данное уравнение равносильной совокупностью двух систем у=х2+2х у = -х2+2х х2+2х=0 хв=1 ув=1 х(х+2)=0

3. Примеры решения систем.

Решить систему графическим способом:

В каждом уравнении выразим переменную у через х и построим графики соответствующих функций: у =+1 а) построим график функции у=

График функции у =+1 получается из графика у= путем сдвига на две единицы вправо и на одну единицу вверх :

у = — 0,5х+2 — это линейная функция, графиком которой является прямая

Решением данной системы являются координаты точки пересечения графиков функций.

3. Неравенства и их геометрическое решение.

Неравенство с двумя неизвестными можно представить так: f(x;y)>0, где Z = f(x;y) – функция двух аргументов х и у. Если мы рассмотрим уравнение f(x;y) = 0, то можно построить его геометрическое изображение, т. е. множество точек М(х;у), координаты которых удовлетворяют этому уравнению. В каждой из областей функция f сохраняет знак, остается выбрать те из них, в которых f(x;у ) >0.

Рассмотрим линейное неравенство ax+by+c>0. Если один из коэффициентов a или b отличен от нуля, то уравнение ax+by+c=0 задает прямую, разбивающую плоскость на две полуплоскости. В каждой из них будет сохраняться знак функции z = ax+by+c. Для определения знака можно взять любую точку полуплоскости и вычислить значение функции z в этой точке.

f(x;у ) = 3х- 2у +6, f(-3;0) = -3 0.

Решением неравенства является множество точек правой полуплоскости

Неравенству │y│+0,5 ≤ удовлетворяет множество точек плоскости (х;у). Для построения данной области воспользуемся определением абсолютной величины и способами построения графика функции с помощью параллельного переноса графика функции по оси ОХ или ОУ

f(x;y) = f (0;0) = -1,5 0

3. 1. Примеры решения неравенств с двумя переменными.

Изобразите множество решений неравенства а)

3. 2. Примеры решения систем неравенств.

Изобразите множество решений системы неравенств на координатной плоскости

4. Графический метод решения задач с параметрами

Задачами с параметрами называют задачи, в которых участвуют фактически функции нескольких переменных, из которых одна переменная х выбрана в качестве независимой переменной, а оставшиеся играют роль параметров. При решении таких задач особенно эффективны графические методы. Приведем примеры

1. Определите, при каком значении а уравнение имеет ровно три различных действительных корня. Решение: построим график функции у=. Уравнение у=а определяет семейство прямых, параллельных оси абсцисс.

По рисунку видно, что прямая у=4 пересекает график функции у= в трех точках. Значит, исходное уравнение имеет три решения при а=4.

2. Найти все значения параметра а, при которых уравнение х2-6х+5=а имеет ровно три различных корня.

Решение: Построим график функции у=х2-6х+5 для х≥0 и отражаем его зеркально относительно оси ординат. Семейство прямых, параллельных оси абсцисс у=а , пересекает график в трех точках при а=5

3. Найти все значения а, при которых неравенство имеет хотя бы одно положительное решение.

3. При каких значения параметра а, система имеет четыре решения

В ходе работы над данной темой, я научилась выполнять построения графиков с помощью параллельного переноса, растяжения(сжатия), также научилась строить графики с модулем. Также существует ряд задач, в которых требуется найти качественный, а не количественный результат. Например, определить число корней, а не их величину. К таким задачам относятся задачи о существовании и единственности решения разного типа уравнений и систем уравнений. Такие задачи можно решить только с помощью геометрической интерпретации.

Для решения данного неравенства воспользуемся определением абсолютной величины

Построим графики функций у=4-2х2и у=х-5. Множество точек плоскости, удовлетворяющих неравенствам у≤4-2х2 и у≤х-5, заштрихованы на рисунке

Множество точек координатной плоскости, значения координаты х и параметра а которых удовлетворяют данному неравенству, представляют собой объединение двух областей, ограниченных параболами. Решением данного задания является множество точек, расположенных в правой полуплоскости при

Уравнение вида х+у=а на координатной плоскости задает семейство квадратов. Уравнение х2+у2=4 на координатной плоскости задает окружность с центром в начале координат и радиусом равным 2. Построив графики данных уравнений, видим , что четыре решения система имеет при а=2

Графический метод решения системы уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы будем рассматривать решение систем двух уравнений с двумя переменными. Вначале рассмотрим графическое решение системы двух линейных уравнений, специфику совокупности их графиков. Далее решим несколько систем графическим методом.