Решение уравнения с использованием свойства

Применение свойств функций для решения уравнений

В работе рассматриваются сособы решения уравнений с использованием свойств и характеристик функций: монотонности, ограниченности, области определенийи области значений функции.

Просмотр содержимого документа
«Применение свойств функций для решения уравнений»

II. Применение свойств функций для решения уравнений

Использование ОДЗ для решения уравнений .………….. 2стр

Монотонность функции и наличие корней уравнении…. 3стр

Используемая литература………………………………………. 10 стр

Найти и освоить приемы решения уравнений способами, позволяющими значительно сократить время нахождения корней уравнений.

В ходе сбора и изучения информации по данной теме, были найдены и изучены рациональные приемы решения уравнений с применением свойств монотонности, ограниченности функций, а также области определения и значений функций, позволяющие эффективно (практически устно) решать некоторые виды уравнений, рассмотренных в качестве примеров в нашей работе.

В наших школьных учебниках алгебры в основном изучаются такие методы и приемы решения уравнений как возведение в степень, замена переменной, применение тождественных преобразований, Но использование этих способов при решении некоторых видов уравнений приводит к довольно долгим и сложным преобразованиям, особенно если уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу.

В ходе наших поисков мы познакомились с одним из эффективных способов решения уравнений вида f(x)=g(x), который и демонстрируем в нашей работе. Это способ решения уравнений с использованием свойств функций.

Начнем с уравнений, которые можно решить, используя область определения функции или область допустимых значений переменной. Напомним, что множество значений переменной, при которых обе части данного уравнения (или неравенства) имеют смысл называют областью допустимых значений уравнения или неравенства. Рассмотрим такие уравнения, которые можно решить просто найдя ОДЗ.

​​​ = 3−x

Пусть f(x) = . Тогда D (f) определяется неравенством 2х – 6≥ 0, т.е. x≥3, а E(f) = [0; +∞ )

Значит правая часть уравнения должна быть неотрицательной, т.е. должно выполнятся условие 3−x ≥ 0, тогда x ≤ 3. Определяется системой двух неравенств: x≥3 и x ≤ 3. Получаем, что ОДЗ уравнения: х=3.Легко видеть, что 3 будет корнем исходного уравнения.

Приведем еще один пример уравнения:

​​+​ ​​​= 27x−15

Решение: Найдем ОДЗ, решив систему неравенств

Решая неравенства этой системы получим А эта система имеет решение х=5. Таким образом, уравнение имеет смысл только при одном значении переменной. Подставив x=5 в уравнение, убеждаемся, что получаем верное равенство. Значит 5 – корень данного уравнения.

Монотонность функции и наличие корней уравнения.

Рассмотрим как применяются такое свойство функции как монотонность. Для успешного решения уравнения этим способом необходимо знать следующие утверждения: 1) если функция f (х) на некотором промежутке возрастает, а функция g(х) убывает на этом же промежутке, то уравнение f(х) = g(х) имеет на этом промежутке не более одного корня; 2) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)). Применение свойства продемонстрируем на следующих примерах:

1) x 1991 +1 =

1) В левой части этого уравнения стоит возрастающая функция на на R
в правой – убывающая на (-∞;5].
Если уравнение и будет иметь корень, то только на промежутке (-∞;5]. Легко заметить, что этот корень 1, и он, согласно теореме, единственный.

2) 5x 19 + 4x 3 +3х=12. Функция, стоящая в левой части уравнения является возрастающей (как сумма возрастающих функций). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x=1.

3) +=2. Областью определения функции, стоящей в левой части, является промежуток [-1; ∞). На этом промежутке функция возрастает. Следовательно, корень, равный -1 – единственный.

4) 2 x 15 + 3x=5/х. Функция f(x) = 5/х на каждом из промежутков (-∞;0) и (0:∞) убывает, а функция g (х) = 2 x 15 + 3x возрастает на каждом из них, поэтому наше уравнение на каждом из этих промежутков имеет не более одного корня. Убеждаемся, что это числа 1 и -1.

5) 2= 9/х – 1.Функция f(x)= 2 на промежутке [ 2; ∞) возрастает, а функция g (х) = 9/х – 1 на этом же промежутке убывает, значит уравнение имеет не более одного корня на этом промежутке. И этот корень равен 3.

6) найти положительные корни уравнения

Функция возрастает на R. g (х)=
Убывает на промежутке [ 0; ∞). Следовательно, на промежутке [ 0; ∞) уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим что х =1.

Функция возрастает на(0; ∞) . а функция g (х)= на этом промежутке убывает. Значит, уравнение будет иметь корни только на промежутке (0; ∞). Подбором находим корень уравнения –это число 2.

Рассмотрим, как можно применить к решению уравнений такое свойство функции как ограниченность. Метод, с помощью которого решаются уравнения с применением ограниченности функции, получил название метода мажорант. Ну, а само название метода происходит от французского слова majorer — объявлять большим. Мажорантой данной функции f(х) на множестве Р, называется такое число М, что либо f(х) ≤ М для всех х ϵ Р, либо f(х) ≥ М для всех х ϵ Р. Основная идея метода состоит в следующем: Пусть имеется уравнение f(х) = g(х) и существует такое такое число М, что для любого х из области определения f(х) и g(х) имеем f(х) ≤ М и g(х) ≥ М. Тогда уравнение f(х) = g(х) равносильно системе Метод применим к уравнениям, в которых используются ограниченные фукции, т. е. функции, множество значений которых ограниченно. Вот некоторые из них:

1. -1≤sinx≤1 или ≤1

2. -1≤cosx≤1 или ≤1

3.

4.

5.

6.

Применение метода рассмотрим на следующих примерах.

1) Решим уравнение: + =0.

4и 10 степени – это четные числа, значит и при любом значении x. Тогда наше уравнение будет равносильно системе уравненийПервое уравнение имеет единственный корень – это число3, значит, если система и будет иметь решение, то не более одного. Проверкой убеждаемся, что3 является корнем и второго уравнения системы, а следовательно и исходного уравнения.

Заменим левую часть уравнения логарифмом, используя свойство разности логарифмов:

Представим дробь в виде , и используя неравенство Коши оценим подлогарифмическое выражение. Получаем (x + ) ≥ 4, а значит

log₂ (x + ) ≥ 2. Таким образом, левая часть уравнения не меньше 2.

Рассмотрим правую часть уравнения. В правой части содержится квадратный трехчлен, поэтому выделив из него квадрат двучлена приходим к выводу, что данное выражение принимает значения не больше 2:

4 x – x 2 – 2 = – x 2 + 4 x – 2 = – ( – 4 x + 4 – 2) = – (x — 2) 2 + 2 = 2 – ( x — 2) 2

Получили, что правая часть уравнения не больше 2, т.к. (x — 2) 2 ≥ 0 при любых х. Значит, равенство левой и правой частей уравнения достигается, если они одновременно равны 2.

Из первого уравнения системы находим корень х = 2. Убеждаемся, что этот корень удовлетворяет и второму уравнению системы. Следовательно, решением исходного уравнения будет х = 2.

3) Решить уравнение:

В левой части уравнения стоит тригонометрическая функция, а в правой – сумма показательных. Формул, позволяющих находить корни в таких случаях, не существует. Оценим каждую из частей уравнения. Очевидно, что левая часть уравнения не больше 2. И так как

Поскольку 0, то причем равенство достигается только при x = 0. В данном случае

Получили, что левая часть уравнения не больше двух, а правая часть – больше или равняется двум. Таким образом, уравнение имеет решение, только если имеет решение система уравнений:

Проверкой убеждаемся, что x=0 – корень уравнения: . Значит число 0 – корень исходного уравнения. Получили ответ: x = 0.

Рассмотрим решение еще одного уравнения:

Рассмотрим две функции

Уравнение имеет решение, если наибольшее значение функции f(х) равно наименьшему значению функции g(х). Таким образом, уравнение имеет решение, только если обе части равны 2. И наше уравнение равносильно системе:

Решим первое уравнение системы:

Подставив данный корень во второе уравнение системы, получим верное равенство. Значит, решением исходного уравнения будут числа вида .

Функция y= (квадратичная функция) имеет наименьшее значение при , равное y(2)=4

Функция у= является возрастающей и, следовательно, принимает наименьшее значение при x=2

Правая часть уравнения, в силу ограниченности функции принимает значения не больше 2, поэтому исходное уравнение равносильно системе:

Так как 2-корень первого уравнения, то убедимся, что число 2-корень второго уравнения. Получаем:

Таким образом, 2-корень исходного уравнения.

Рассмотренные нами примеры могли быть решены и другими методами, но традиционные методы в данных конкретных примерах достаточно трудоемки. В нашей работе мы постарались продемонстрировать применение некоторых нестандартных приемов решения уравнений, основанных на свойствах и характеристиках функций. Планируем продолжить изучение нетрадиционных и эффективных приемов решения уравнений.

Применение свойств функций для решения уравнений

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Учитель математики: Гасраталиева Расинат Магомедовна

Применение свойств функций для решения уравнений

Найти и освоить приемы решения уравнений способами, позволяющими значительно сократить время нахождения корней уравнений.

В ходе сбора и изучения информации по данной теме, были найдены и изучены рациональные приемы решения уравнений с применением свойств монотонности, ограниченности функций, а также области определения и значений функций, позволяющие эффективно (практически устно) решать некоторые виды уравнений, рассмотренных в качестве примеров в нашей работе.

В наших школьных учебниках алгебры в основном изучаются такие методы и приемы решения уравнений как возведение в степень, замена переменной, применение тождественных преобразований, Но использование этих способов при решении некоторых видов уравнений приводит к довольно долгим и сложным преобразованиям, особенно если уравнения в левой и правой части которой находятся функции, имеющие различную природу.

В ходе наших поисков мы познакомились с одним из эффективных способов решения уравнений вида f(x)=g(x), который и демонстрируем в нашей работе. Это способ решения уравнений с использованием свойств функций.

В предлагаемой статье речь идет о нестандартных приемах решения уравнений, основанных на простых и хорошо известных учащимся свойствах и характеристиках функций, таких как непрерывность, монотонность наибольшее и наименьшее значение. Используя предлагаемые автором задачи и методы их решения, учитель сможет сформировать у учащихся более широкий взгляд на область применения различных этих свойств. Ведь не секрет, что в стандартном курсе школьной математики свойства функций применяются в основном для построения их графиков.

В соответствии с обязательным минимумом содержания среднего (полного) общего образования, утвержденным Министерством образования РФ (пр. №56 от 30.06.99), все учащиеся должны знать три основных метода решения уравнений:

Разложение на множители,

Использование свойств функций.

Рассмотрим на конкретных примерах сущность третьего метода. Этот метод применяется тогда, когда уравнение F(x)=G(x) в результате преобразований или замены переменных не может быть приведено к тому или иному стандартному уравнению, имеющему определенный алгоритм решения. Продемонстрируем использование некоторых свойств функций к решению уравнений указанного выше вида в случае, когда F(x) и G(x) — любые элементарные функции.

Монотонность функции и наличие корней уравнения.

Рассмотрим как применяются такое свойство функции как монотонность. Для успешного решения уравнения этим способом необходимо знать следующие утверждения: 1) если функция f (х) на некотором промежутке возрастает, а функция g(х) убывает на этом же промежутке, то уравнение f(х) = g(х) имеет на этом промежутке не более одного корня; 2) Если на некотором промежутке функция f(x) возрастает (или убывает), то уравнение f(x)=a на этом промежутке имеет единственный корень либо не имеет корней (a — постоянная величина (число)). Применение свойства продемонстрируем на следующих примерах:

1) В левой части этого уравнения стоит возрастающая функция на на R

в правой – убывающая на (-∞;5].

Если уравнение и будет иметь корень, то только на промежутке (-∞;5]. Легко заметить, что этот корень 1, и он, согласно теореме, единственный.

2) 5×19+ 4×3+3х=12. Функция, стоящая в левой части уравнения является возрастающей (как сумма возрастающих функций). Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим, что x=1.

3) +=2. Областью определения функции, стоящей в левой части, является промежуток [-1; ∞). На этом промежутке функция возрастает. Следовательно, корень, равный -1 – единственный.

4) 2 x15 + 3x=5/х. Функция f(x) = 5/х на каждом из промежутков (-∞;0) и (0:∞) убывает, а функция g (х) = 2 x15+ 3x возрастает на каждом из них, поэтому наше уравнение на каждом из этих промежутков имеет не более одного корня. Убеждаемся, что это числа 1 и -1.

5) 2= 9/х – 1.Функция f(x)= 2 на промежутке [ 2; ∞) возрастает, а функция g (х) = 9/х – 1 на этом же промежутке убывает, значит уравнение имеет не более одного корня на этом промежутке. И этот корень равен 3.

6) найти положительные корни уравнения

Функция возрастает на R. g (х)=

Убывает на промежутке [ 0; ∞). Следовательно, на промежутке [ 0; ∞) уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим что х =1.

Функция возрастает на(0; ∞) . а функция g (х)= на этом промежутке убывает. Значит, уравнение будет иметь корни только на промежутке (0; ∞). Подбором находим корень уравнения –это число 2.

Использование области определения и области значения функций

Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения функции . Областью определения этой функции (в соответствии с определением степени с рациональным показателем) является множество положительных действительных чисел.

Решить уравнение sinxctgx=cosx.

Решение: Множество решений этого уравнения совпадает с областью определения уравнения. Область определения уравнения – это общая часть областей определения функций, входящих в уравнение. Следовательно, множество решений уравнения – множество всех действительных чисел, кроме x=k, где kZ.

Ответ: xk, где kZ.

Решение: У этого уравнения нет корней, так как область значений функции при x1 есть множество неотрицательных чисел, а функция при всех x принимает отрицательные значения.

Ответы: а) x>0, x1; б) x1; в) x0; г) x0; д) Нет корней; е) x0.

Использование экстремальных значений функций

Сущность этого способа решения уравнений в том, что оцениваются правая и левая части уравнения F(x)=G(x) и, если одна из функций принимает значение не меньше некоторого числа А, а другая – не больше этого же числа А, то данное уравнение заменяется системой уравнений:

Этот способ может быть применен к решению следующих уравнений:

в обеих частях уравнения стоят функции разного вида;

в одной части уравнения функция, ограниченная сверху, а в другой – ограниченная снизу;

в одной части уравнения стоит функция, ограниченная сверху или снизу, а в другой – конкретное число.

Рассмотрим конкретные примеры.

2.1 Решить уравнение

Решение: Оценим правую и левую части уравнения:

Оценка частей уравнения показывает, что левая часть не меньше, а правая не больше двух при любых допустимых значениях переменной x. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

Первое уравнение системы имеет только один корень х=-2. Подставляя это значение во второе уравнение получаем верное числовое равенство:

2.2 Решить уравнение

Решение: левая часть уравнения не больше двух, а правая – не меньше двух, следовательно, данное уравнение равносильно системе:

Второе уравнение в этой системе имеет единственный корень х=0. Подставляя найденное значение х в первое уравнение, получаем верное числовое равенство.

2.3 Решить уравнение

Решение: Оценим левую часть уравнения: , следовательно, . Получили, что в данном уравнении левая часть не больше восьми, а правая часть равна девяти при всех действительных значениях переменной х, поэтому данное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет корней.

2.4 Решить уравнения:

Ответы: а) ; б) 0; в) 0; г) 0.5; д) 1; е) нет корней.

Использование монотонности функций

Этот способ основан на следующих теоретических фактах:

Если одна функция возрастает, а другая убывает на одном и том же промежутке, то графики их либо только один раз пересекутся, либо вообще не пересекутся, а это означает, что уравнение F(x)=G(x) имеет единственное решение, либо вообще не имеет решений;

Если на некотором промежутке одна из функций убывает (возрастает), а другая принимает постоянные значения, то уравнение F(x)=G(x) либо имеет единственный корень, либо не имеет корней.

Сущность этого способа состоит в том, исследуются на монотонность левая и правая части уравнения и, если оказывается, что функции удовлетворяют какому — либо из приведенных условий, то найденное подбором решение будет единственным корнем уравнения.

Этот способ можно использовать для решения следующих типов уравнений:

уравнения, в обеих частях которых стоят функции разного вида;

уравнения, в одной части которых убывающая, а в другой – возрастающая на данном промежутке функции;

уравнения, одна часть которых – возрастающая или убывающая функция, а вторая – число.

3.1 Решить уравнение

Решение: область определения данного уравнения x>0. Исследуем на монотонность функции . Первая из них –убывающая (так как это — логарифмическая функция с основанием больше нуля, но меньше единицы), а вторая – возрастающая (это линейная функция с положительным коэффициентом при х). Подбором легко находится корень уравнения х=3, который является единственным решением данного уравнения.

3.2 Решить уравнение

Решение: Данному уравнению удовлетворяет число х=2. Проверим, удовлетворяют ли функции, образующие уравнение, условиям, при которых можно утверждать, что других корней нет. Сначала рассмотрим . Исследуем ее на монотонность с помощью производной: . Решаем биквадратное уравнение

поэтому при всех значениях хR., следовательно, функция f(x)- возрастающая.

Теперь исследуем функцию . Как легко установить, она убывает при всех значениях хR. Из проведенного исследования можно сделать вывод, что х=2 – единственный корень данного уравнения.

3.3 Решить уравнение

Решение: Легко проверить, что х=1 – корень данного уравнения, но мы пока не можем утверждать, что других корней нет, так как и левая и правя части уравнения – возрастающие функции. Преобразуем данное уравнение к виду . Функция в левой части – сумма двух убывающих функций, а следовательно, она также убывающая. В правой же части стоит постоянная функция. Таким образом, рассматриваемое уравнение может иметь только один корень.

3.4 Решить уравнения:

Ответы: а) х=1; б) х=0; в) х=0; г) х=2; д) х=4; е) х=5.

Рассмотренные нами примеры могли быть решены и другими методами, но традиционные методы в данных конкретных примерах достаточно трудоемки. В нашей работе мы постарались продемонстрировать применение некоторых нестандартных приемов решения уравнений, основанных на свойствах и характеристиках функций. Планируем продолжить изучение нетрадиционных и эффективных приемов решения уравнений.

Дипломная работа: Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике 2

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Вятский государственный гуманитарный университет»

Кафедра дидактики физики и математики

Выпускная квалификационная работа

Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы

студентка V курса
физико-математического факультета (специальность 050201.65 Математика)

Халиуллина Розалия Рафильевна

кандидат педагогических наук,
доцент кафедры дидактики физики и математики
Крутихина Марина Викторовна

старший преподаватель кафедры дидактики физики и математики
Ошуева Елена Сергеевна

Работа допущена к защите в ГАК

«___» _________2008 г. Зам. зав. кафедрой ____________ М. В. Крутихина

«___» _________2008 г. Декан факультета ______________ Е. В. Кантор

Принципиальным положением организации школьного математического образования в настоящее время является дифференциация обучения математике – уровневая дифференциация и профильная дифференциация в старших классах средней школы. Концепция модернизации российского образования на период до 2010 г. предусматривает создание “системы специализированной подготовки (профильного обучения) в старших классах общеобразовательной школы, ориентированной на индивидуализацию обучения и социализацию учащихся, в том числе с учетом реальных потребностей рынка труда… отработка гибкой системы профилей”.[17] Широкий переход на профильное обучение в старших классах общеобразовательных учреждений Российской Федерации начался с 2006/07 учебного года.

В России имеется опыт дифференцированного обучения. В 1864 г. было введено разделение образования на два типа — “классическое” (открывающее путь для поступления в университет) и реальное. Проект реформы образования 1915–1916 гг. предусматривал разделение на три варианта: новогуманитарное, гуманитарное и реальное образование. С 1918 по 1934 г. в старших классах выделялось три направления: гуманитарное, естественно-математическое и техническое. В 1934 г. были введены единые учебные планы и единые учебные программы. Но дальнейшее развитие социалистического строительства вызвало необходимость дифференциации обучения. Для этого, наряду с развитием системы школ (классов) с углубленным изучением отдельных предметов, в 1966 г. были организованы массовые факультативные курсы в общеобразовательных школах.

В 1970–1980 гг. обучение старшеклассников было связано с получением массовых профессий в системе учебно-производственных комбинатов. Однако этот опыт оказался малоэффективным: существенные затраты на узкопрофильное обучение не восполнялись из-за невостребованности этих профессий на рынке труда. Федеральный закон “Об образовании”, принятый в 1992г., открыл возможности для создания широкого спектра общеобразовательных учреждений (лицеев, гимназий, колледжей), широко реализующих вариативные программы обучения, в том числе и профильной предпрофессиональной подготовки [15].

В настоящее время программа по математике для средней общеобразовательной школы, работающей по базисному учебному плану, предполагает формирование у школьников представлений о математике как части общечеловеческой культуры, как определенном методе познания мира [32]. Но на данный момент содержание школьного курса математики не соответствует требованиям, возникшим в современных условиях. Объем знаний, необходимый человеку, резко возрастает, в то время как количество отводимых для занятий часов сокращается. Одним из средств реализации требований программы и решения имеющихся проблем является переход школы на профильное обучение и введение элективных курсов. Согласно «Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования» [18] особая роль при организации профильного обучения отводится элективным курсам, которые связаны с удовлетворением индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей каждого школьника. Их введение направлено на реализацию личностно-ориентированного учебного процесса, при котором существенно расширяются возможности построения учащимися индивидуальных образовательных программ, поскольку элективные курсы в наибольшей степени связаны с выбором каждым школьником содержания образования в зависимости от его интересов, способностей, последующих жизненных планов. Мотивами для выбора элективного курса у учеников могут быть следующие:

— подготовка к выпускным и вступительным экзаменам;

— поддержка изучения базового курса математики;

В курсы может быть включен материал, связанный с уравнениями и неравенствами. Он составляет значительную часть школьного курса математики, но временные рамки урока не позволяют рассмотреть все вопросы. Кроме того, обязательным минимумом содержания обучения математике, заданным государственным стандартом для основной школы, определен учебный материал для обязательного рассмотрения, но не для обязательного усвоения (например, нестандартные методы решения уравнений и неравенств, методы решения уравнений и неравенств с параметром и т.д.).

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятиями уравнений и неравенств, их изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию – линию уравнений и неравенств [25]. Существует три основных направления развертывания данной линии в школьном курсе математики.

— Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Уравнения и неравенства являются основной частью математических средств, используемых при решении текстовых задач.

— Теоретико-математическая направленность раскрывается в двух аспектах: в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем, и в изучении обобщенных понятий и методов относящихся к линии в целом.

— Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Линия уравнений и неравенств также тесно связана с функциональной линией. С одной стороны – применение методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции. С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств.

С каждым уравнением, неравенством связаны конструирующие их аналитические выражения. Последние в свою очередь могут задавать функции одной или нескольких переменных. Поэтому присутствие функций, а точнее, их свойств, не может не влиять на решение задач такого рода. Просто в одних случаях мы как бы негласно используем свойства функций, в других явно ссылаемся на них. Порой «гласное» смещение акцентов в сторону свойств функций может оказать существенную пользу в поиске рациональных идей решения. Изученные свойства функций и методы их исследования должны найти применение в школе при решении уравнений, неравенств. В школьном курсе математики рассмотрение этих вопросов остается в стороне, но в ЕГЭ достаточно часто встречаются задания, решаемые с помощью применения свойств функций. Поэтому целесообразно этот материал вынести на курсы по выбору.

Таким образом, тема данной работы «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций на элективном курсе по математике в старших классах общеобразовательной школы» актуальна

Объект исследования: процесс применения свойств функции как метода решения уравнений, неравенств на элективных курсах в старших классах.

Предмет исследования: методика изучения темы «Использование свойств функций для решения уравнений и неравенств» на элективных курсах.

Цель работы: разработать методику применения свойств функции для решения уравнений и неравенств на элективных курсах.

Гипотеза: умение применять необходимые свойства функций при решении уравнений и неравенств позволит учащимся решать их на сознательной основе, использовать различные способы решения, выбирая из них наиболее рациональные, в том числе те, которые не рассмотрены в школьных учебниках.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Проанализировать программу и основные учебники, предусмотренные Федеральным перечнем учебников по математике для 10-11 классов, с точки зрения применения свойств функций при решении уравнений и неравенств.

2. Проанализировать задания и результаты ЕГЭ.

3. Подобрать систему заданий для работы на элективных курсах по математике.

4. Разработать методические рекомендации по обучению решения уравнений и неравенств с использованием свойств функций.

5. Осуществить опытное преподавание.

Для решения поставленных задач применялись следующие методы:

1. Изучение математической, методической и педагогической литературы.

2. Анализ школьных учебников, текстов и результатов ЕГЭ.

3. Опытное преподавание.

4. Наблюдение за работой учащихся на уроках и внеклассных занятиях по математике.

Глава I. Теоретические основы разработки элективных курсов

Элективные курсы по математике (курсы по выбору) играют важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы. Курсы по выбору способствуют созданию условий для существенной дифференциации и индивидуализации содержания обучения математике старшеклассников. В отличие от факультативных курсов, существующих сейчас в школе, элективные курсы обязательны для учащихся.

1.1. Типы учебных предметов профильного обучения

Профильное обучение является средством дифференциации и индивидуализации обучения, позволяющее за счет изменений в структуре, содержании и организации образовательного процесса более полно учитывать интересы, склонности и способности учащихся, создавать условия для обучения старшеклассников в соответствии с их профессиональными интересами и намерениями в отношении продолжения образования. Согласно концепции профильного обучения [18] на старшей ступени предполагается возможность разнообразных комбинаций учебных предметов, что позволит обеспечивать гибкую систему профильного обучения. Эта система должна включать в себя следующие типы учебных предметов: базовые общеобразовательные, профильные и элективные [19].

Базовые общеобразовательные предметы являются обязательными для всех учащихся и инвариантными для всех профилей обучения. Предлагается следующий набор обязательных общеобразовательных предметов: математика, история, русский и иностранные языки, физическая культура, а также интегрированные курсы обществознания (для естественно-математического, технологического и иных возможных профилей), естествознания (для гуманитарного, социально-экономического и иных возможных профилей).

Профильные общеобразовательные предметы – предметы, определяющие направленность каждого конкретного профиля обучения, являются обязательными для учащихся, выбравших данный профиль обучения. Обеспечивают углубленное изучение отдельных предметов.

Элективные курсы – обязательные для посещения курсы по выбору учащихся, входящие в состав профиля обучения на старшей ступени школы. Элективные курсы становятся основным средством удовлетворения индивидуальных образовательных интересов, потребностей и склонностей школьника.

1.2. Цели, задачи, функции элективных курсов

Цель изучения элективных курсов – ориентация на индивидуализацию обучения и социализацию учащихся, на подготовку к осознанному и ответственному выбору сферы будущей профессиональной деятельности.

Исходя из этого, можно сформулировать требования к тематике и содержанию элективных курсов:

— иметь социальную и личностную значимость, актуальность как с точки зрения подготовки квалифицированных кадров, так и для личностного развития учащихся;

— способствовать социализации и адаптации учащихся, предоставлять возможность для выбора индивидуальной образовательной траектории, осознанного профессионального самоопределения;

— поддерживать изучение базовых и профильных общеобразовательных предметов, а также обеспечивать условия для внутрипрофильной специализации обучения;

— обладать значительным развивающим потенциалом, способствовать формированию целостной картины мира, развитию общеучебных, интеллектуальных и профессиональных навыков [15].

Задачи элективных курсов:

1)создание условий для того, чтобы ученик утвердился или отказался от сделанного им выбора направления дальнейшего учения и связанного с определенным видом профессиональной деятельности;

2)помочь старшекласснику, выбравшему образовательную область для более тщательного изучения, увидеть многообразие видов деятельности, с ней связанных.

Традиционное разделение задач на три группы – обучение, воспитание, развитие – не обязательно, поскольку оно зачастую является искусственным и не отражает целостности образовательного процесса.

В соответствии с целями и задачами профильного обучения элективные курсы выполняют различные функции :

— развивают содержание базового курса математики, изучение которого в данной школе осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать на профильном уровне или получать дополнительную подготовку для сдачи единого государственного экзамена по математике;

— дополняют содержание профильного курса математики, выступают его надстройкой, что позволяет профильному курсу быть в полной мере углубленным;

— удовлетворяют разнообразные познавательные интересы школьников, выходящие за рамки выбранного ими профиля, в различных сферах человеческой деятельности.

— ориентируют в особенностях будущей профессиональной деятельности [22].

Каждая из указанных функций может быть ведущей, но в целом они должны выполняться комплексно.

Элективные курсы направлены:

1) на формирование умений и способов деятельности, связанных с решением практических задач по математике;

2) получение дополнительных знаний по математике, интегрирующих полученные знания в единую научную картину мира;

3) приобретение образовательных результатов, востребованных на рынке труда;

4) подготовку выпускников к принятию решения о профессиональной подготовке, а также к итоговой аттестации в форме ЕГЭ, к конкурсным экзаменам в вузы.

В научно-методической литературе условно выделяют три типа элективных курсов [22]:

I. Предметные курсы , задача которых — углубление и расширение знаний по предметам, входящих в базисный учебный школы.

В свою очередь, предметные элективные курсы можно разделить на несколько групп.

1. Элективные курсы повышенного уровня, направленные на углубление того или иного учебного предмета, имеющие как тематическое, так и временное согласование с этим учебным предметом. Выбор такого элективного курса позволит изучить выбранный предмет не на профильном, а на углубленном уровне.

2. Элективные курсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, входящие в обязательную программу данного предмета.

3. Элективные курсы, в которых углубленно изучаются отдельные разделы основного курса, не входящие в обязательную программу данного предмета.

4. Прикладные элективные курсы, цель которых — знакомство учащихся с важнейшими путями и методами применения знаний на практике, развитие интереса учащихся к современной технике и производству.

5. Элективные курсы, посвященные изучению методов познания природы.

6. Элективные курсы, посвященные истории предмета, как входящего в учебный план школы (история физики, биологии, химии, географических открытий), так и не входящего в него (история астрономии, техники, религии и др.).

7. Элективные курсы, посвященные изучению методов решения задач (математических, физических, химических, биологических и т.д.), составлению и решению задач на основе физического, химического, биологического эксперимента.

II. Межпредметные элективные курсы, цель которых — интеграция знаний учащихся о природе и обществе.

III. Элективные курсы по предметам , не входящим в базисный учебный план.

Набор элективных курсов на основе базисного учебного плана определяется самой школой (школьный компонент).

Так как элективные курсы выбираются самими учащимися, они должны соответствовать их потребностям, целям обучения и мотивам выбора курса. Следует отметить, что к основным мотивам выбора элективных курсов в 10-11 классе, которые необходимо учитывать при разработке и реализации элективных курсов относятся:

· подготовка к ЕГЭ по профильным предметам;

· приобретение знаний и навыков, освоение способов деятельности для решения практических, жизненных задач, уход от традиционного школьного «академизма»;

· возможности успешной карьеры, продвижения на рынке труда;

· поддержка изучения базовых курсов;

· интеграция имеющихся представлений в целостную картину мира.

То, что набор элективных курсов определяют сами школьники, ставит учащихся в ситуацию самостоятельного выбора индивидуальной образовательной траектории, профессионального самоопределения. В связи с этим основными принципами обучения должны являться:

1.4. Требования к содержанию программ элективных курсов

Основой для работы учителя, ведущего элективный курс, могут стать программы факультативных курсов, разнообразные учебные пособия.

Базовыми требованиями к содержанию программ элективных курсов являются следующие:

1) ориентация на современные образовательные технологии;

2) соответствие учебной нагрузки учащихся нормативам;

3) соответствие принятым правилам оформления программ;

4) наличие пособия, содержащего необходимую информацию;

5) краткосрочность проведения курса;

6) развитие содержания одного из базовых курсов, изучение которого осуществляется на минимальном общеобразовательном уровне, что позволяет поддерживать изучение смежных предметов на предпрофильном уровне;

7) удовлетворение познавательных интересов школьника в различных областях деятельности человека;

8) ознакомление учащихся с комплексными проблемами, выходящими за рамки традиционных учебных предметов.

Методической задачей учителя является отбор заданий в соответствии с функциями элективного курса и структурирование их особым образом. Содержанием элективного курса, направленного на углубление математики, может быть учебный материал, который проверяется на ЕГЭ в части С на высоком уровне сложности. Он выступает в качестве дополнительной подготовки учащихся к ЕГЭ по математике и обеспечивает взаимосвязь с обязательным минимумом содержания обучения на профильном уровне.

Содержанием элективных курсов, развивающих базовый курс математики для изучения смежных предметов на профильном уровне, могут стать новые темы обязательного минимума содержания обучения математике по профильному курсу.

Для отбора содержания элективных курсов с целью дополнительной полготовки к ЕГЭ можно руководствоваться общим перечнем контролируемых вопросов содержания курса математики в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ. Для этой цели могут служить учебно-методические пособия для подготовки к ЕГЭ по математике.

1.5. Место курса в образовательном процессе

При разработке содержания и методической системы элективного курса важно показать, каково место курса в соотношении как с общеобразовательными, так и с базовыми профильными предметами:

· какие межпредметные связи реализуются при изучении элективного курса;

· какие общеучебные и профильные умения и навыки при этом развиваются;

· каким образом создаются условия для активизации познавательного интереса учащихся, профессионального самоопределения;

· как введение курса в учебный план конкретной школы поможет в выявлении и решении проблем школьного общества (например, развитие школьного самоуправления; организация досуга учащихся; усиление взаимодействия семьи и школы; школы, местной администрации, общественности; учет регионального компонента; улучшение имиджа и повышения конкурентоспособности школы).

Элективные курсы характеризуется тем, что из предложенного их набора ученик может выбрать те, которые ему интересны или нужны. Как только курс выбран, он становится таким же, как нормативный: с обязанностью посещать и отчитываться. Элективный курс в профильной школе краткосрочен, но его объем по часам (максимум 72 часа) выше, чем рекомендуемый объем курсов по выбору для девятиклассников (максимум 35 часов).

Элективные курсы в старшей школе должны быть систематичными (раз или два раза в неделю). В 10-11 классах целью элективного курса является расширение, углубление знаний, выработка специфических умений и навыков, знакомство с новыми областями науки в рамках выбранного профиля.

1.6. Методы и формы обучения

Методы и формы обучения должны определяться требованиями профилизации обучения, учета индивидуальных и возрастных особенностей учащихся, развития и саморазвития личности. В связи с этим выделяют основные приоритеты методики изучения элективных курсов [15]:

· междисциплинарная интеграция, содействующая становлению целостного мировоззрения;

· обучение через опыт и сотрудничество;

· учет индивидуальных особенностей и потребностей учащихся;

· интерактивность (работа в малых группах, ролевые игры, имитационное моделирование, тренинги, метод проектов);

· личностно-деятельностный и субъект-субъективный подход

· (большее внимание к личности учащегося, а не целям учителя, равноправное их взаимодействие);

Ведущее место в обучении следует отвести методам поискового и исследовательского характера, стимулирующим познавательную активность учащихся. Значительной должна быть доля самостоятельной работы с различными источниками учебной информации. При этом главная функция учителя – фасилитация – лидерство, основанное на совместной деятельности, направленное на достижение общей образовательной цели. Такой подход позволяет создать лишенный духа соперничества, конкуренции, агрессивности, доверительный психологический климат, в основе которого- взаимообучение, взаимопомощь, сотрудничество. Из единственного источника знаний в традиционном обучении учитель – фасилитатор превращается в «проводника» в мир знаний: эксперта и консультанта- при изучении теоретического материала и выполнения самостоятельных заданий, ведущего – в имитационной игре и тренинге, координатора и консультанта- при выполнении учебного проекта.

При определении форм организации учебных занятий следует исходить прежде всего из специфических целей курса. Преобладающие формы организации учебной деятельности на элективных курсах: лекции, семинары, лабораторно-практические занятия, коллоквиумы, зачеты.

Поскольку не исключается изучение элективного курса даже одним учащимся, необходимо предусмотреть варианты изучения как в коллективных, так и в индивидуально-групповых формах. В то же время, если содержание курса может быть освоено только в групповых или коллективных формах, то следует оговорить минимальную численность учебной группы.

Важно предусмотреть использование таких методов и форм обучения, которые давали бы представление учащимся об условиях и процессах будущей профессиональной деятельности в соответствии с выбранным профилем обучения, т. е. в какой-то степени моделировали бы их.

1.7. Формы контроля уровня достижений учащихся.

Не менее важно продумать систему форм контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки. Необходимо разработать как формы промежуточного контроля, так и формы итоговой зачетной работы по курсу. Оценка может выставляться как в форме «зачтено/не зачтено», так и по балльной шкале. С целью повышения привлекательности курса для учащихся и повышения шансов его продвижения на рынке образовательных услуг желательно, чтобы формы и содержание контроля уровня достижений учащихся в рамках элективного курса согласовывались с требованиями контрольно-измерительных материалов ЕГЭ по базовым предметам.

Для контроля уровня достижения учащихся могут быть использованы такие способы, как наблюдение активности на занятии, беседа с учащимися, родителями, экспертные оценки педагогов по другим предметам, анализ творческих, исследовательских работ, результатов выполнения диагностических заданий учебного пособия или рабочей тетради, анкетирование, тестирование. Важно использовать оценку промежуточных достижений, прежде всего как инструмент положительной мотивации, а также своевременной коррекции деятельности как учащихся, так и учителя.

Для проведения итоговой аттестации по результатам изучения курса можно использовать:

— специальную зачетную работу (экзамен, тест);

— портфолио ученика (совокупность самостоятельно выполненных работ и документально подтвержденных достижений;

— накопительную систему оценивания (когда результаты выполнения всех предложенных заданий оцениваются в баллах, которые суммируются по окончании курса).

Важным элементом методической системы элективного курса является определение ожидаемых результатов изучения курса [16]. Ожидаемый результат изучения курса подразумевает ответы на следующие вопросы: какие знания, умения, опыт, необходимые для построения индивидуальной образовательной траектории в школе и успешной профессиональной карьеры по ее окончании, будут получены, какие виды деятельности будут освоены, какие ценности будут предложены для усвоения [15].

1.8. Правила оформления программ

Структурными элементами программы элективного курса являются[22]:

1) титульный лист;

2) пояснительная записка;

3) требования к подготовке учащихся

4) учебно-тематический план;

5) содержание изучаемого курса;

6) методические рекомендации;

7) список литературы.

Пояснительная записка включает:

· аннотацию, обоснование необходимости введения данного курса в школе. Аннотация должна включать в себя название, основное содержание, для кого предназначен курс. Важно, чтобы аннотация была краткой и в то же время давала потребителю достаточно полное представление о курсе: в чем привлекательность курса для учащихся, для учителей, родителей, школьного сообщества в целом;

· указание на место и роль курса в профильном обучении (важно показать, каково место курса в соотношении как с общеобразовательными, так и с базовыми профильными предметами; какие межпредметные связи реализуются при изучении элективных курсов, какие общеучебные и профильные умения и навыки при этом развиваются, каким образом создаются условия для активизации познавательного интереса учащихся, профессионального самоопределения);

· цель и задачи элективного курса (цель курса – для чего он изучается, какие потребности субъектов образовательного процесса удовлетворяет: учащихся, учителей, школьного сообщества, общества; задача курса – что необходимо для достижения целей);

· сроки реализации программы (продолжительность обучения, этапы);

· основные принципы отбора и структурирование материала.

Учебно-тематический план содержит:

· перечень тем и разделов;

· время на изучение;

· деление на виды учебной деятельности;

Оформляется в виде таблицы:

Содержание учебного материала

Содержание изучаемого курса включает перечень тем, вопросов теоретической и практической части и их описание.

Список литературы состоит из списка книг, использованных при разработке элективного курса и списка литературы, рекомендованной учащимся.

1.9 Элективные курсы в образовательной области «Математика»

В старших классах школы изучаются два предмета, составляющих образовательную область “Математика”, – алгебра и основы математического анализа и геометрия.

Сейчас наметилась тенденция наличия в учебном плане школы одного предмета – математики. Можно предположить, что в создаваемой профильной школе, скорее всего, в классах естественнонаучного математического профиля, сохранится раздельное обучение алгебре и геометрии. А вот в классах других профилей в учебном плане, вероятнее всего, будет присутствовать интегрированный курс математики.

Специфика преподавания математики в старших классах во многом определяется еще и тем, что экзамен по математике ( в данное время по алгебре и началам анализа) является обязательным для всех школьников. В настоящее время этот экзамен проводится в виде ЕГЭ. Единый государственный экзамен по математике – процедура серьезная, требующая специальной подготовки.

Математику, в отличие от других предметов, сдают в вузах разного профиля (математических, естественнонаучных, технических, экономических, военных, связанных с математической лингвистикой и т. д.). С введением ЕГЭ на учителя математики явно или неявно возлагается еще большая ответственность за сдачу его выпускниками вступительных экзаменов в вуз.

Из всего вышеизложенного можно сделать вывод, что в профильной школе математика займет весьма важное место, учитель математики независимо от профиля будет, так или иначе, стремиться к увеличению числа учебных часов по своему предмету, поэтому, скорее всего, абсолютное большинство учителей математики будут заинтересованы во введении элективных курсов.

Вывод по параграфу: изложенные выше цели, задачи, типы, требования к элективным курсам необходимо учитывать при разработке любого элективного курса.

2.1. Общие методы решения уравнений

В методической литературе [25], [26] принято все методы, на которых основана школьная линия уравнений и неравенств с 7 по 11 классы, делить на три группы:

— метод разложения на множители;

— метод введения новых переменных;

В данной работе мы рассмотрим третий метод, а именно, использование графиков функций и различных свойств функций.

К применению функционально-графического метода школьников необходимо приучать с самого начала изучения темы «Уравнения».

Решение некоторых задач может быть основано на свойствах монотонности, периодичности, четности или нечетности и т.п. входящих в них функций.

Проанализировав учебники, можно сделать вывод, что данная тема рассматривается только в учебниках математики нового поколения [2], [3], [5], [6] Построение курса в этих учебниках осуществляется на основе приоритетности функционально-графической линии. В остальных учебниках функционально-графический метод решения уравнений и неравенств в отдельную тему не выделен. Использование свойств функции для решения задач упоминается вскользь при изучении других тем. В новых учебниках содержится также достаточное количество заданий этого типа. В учебнике [2] содержатся задания повышенного уровня. Приведена наиболее полная система заданий, систематизированная по каждому свойству функции.

А.Г.Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11», учебник для общеоб-разовательных учреждений[5], [6]

А.Г.Мордкович, П.В.Семенов «Алгебра и начала анализа 11», учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) [3]

С.М.Никольский и др. «Алгебра и начала анализа 11», учебник для общеобразовательных учреждений[2]

А.Н. Колмогоров и др. «Алгебра и начала анализа 11», учебник для общеобразовательных учреждений[4]

Ш.А. Алимов и др. «Алгебра и начала анализа 10-11», учебник для общеобразовательных учреждений[1]

Глава 8 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» (последняя тема курса)

Глава 6 «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств» (последняя тема курса)

Глава II «Уравнения, неравенства, системы»

Нет отдельно выделенной темы. Но в теме «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» формулируется теорема о корне, которая используется в дальнейшем изучении

Нет отдельно выделенной темы

— §56 Общие методы решения уравнений и неравенств (, функционально-графический метод: теорема о корне, ограниченность функции)

— §27 Общие методы решения уравнений и неравенств (, функционально-графический метод: теорема о корне, ограниченность функции)

— Уравнения (неравенства)вида ;

— §12*Нестадартные методы решения уравнений и неравенств (использование областей существования функций, неотрицательности функций, ограниченности, использование свойств sin и cos, использование производной)

Свойство монотонности функции, четности-нечетности (при выводе формул корней тригонометрических уравнений)

Упоминается свойство монотонности при разборе примера в теме «Показательная функция»

Примеры рассматриваемых уравнений и неравенств

(;

);

Решить уравнение.

Сколько корней, принадлежащих данному промежутку, имеет уравнение?

Решить уравнение

2.3. Анализ ЕГЭ (текстов и результатов)

Единый государственный экзамен как форма аттестации, которая введена в практику российского образования в 2002 году, с 2009 года переходит из экспериментального в штатный режим.

Анализ текстов ЕГЭ показал, что задания, при решении которых используются свойства функций встречаются каждый год.

В 2003 году в заданиях А9 и С2 при решении можно применить свойства функций:

· А9. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравнения . (выполнили верно 64,1% учащихся).

· С2. Найдите все значения p , при которых уравнение не имеет корней. (104 учащихся получили 4 балла, 36 – 3балла, 56 – 2балла, 261 – 1балл, не справились с заданием 13696 учащихся) [33].

В 2004 году – задание В2. Сколько корней имеет уравнение . (выполнили верно менее 40% учащихся) [34].

В 2005 году задание С2 (решите уравнение ) выполнили 37% учащихся [42].

В 2007 при выполнении задания «Решите уравнение» в части В выпускники при решении уравнения рассматривали два случая, привычно раскрывая знак модуля. Хотя внимательный анализ условия задания показывает, что на промежутке , на котором следует искать корни уравнения, выражение принимает только положительные значения [42].

Анализ ответов участников экзамена показывает, что даже хорошо подготовленные учащиеся часто выполняют задания, используя «шаблонные» методы решения, которые приводят к громоздким преобразованиям и вычислениям.

Очевидно, что при выполнении приведенных выше заданий хорошо подготовленный выпускник должен был показать не только знание известных методов решения уравнений или преобразования выражений, но и умение проанализировать условие, соотнести данные и требования задания, вывести из условия различные следствия и т.п., то есть показать определенный уровень развития математического мышления.

Таким образом, при обучении хорошо успевающих учащихся нужно не только позаботиться об усвоении базовой составляющей курса алгебры и начал анализа, (усвоение изученных правил, формул, методов), но и о реализации одной из главных целей обучения математике – развитию мышления учащихся, в частности, математического мышления. Для реализации поставленной цели могут служить элективные курсы.

2.4. Применение свойств функций при решении уравнений и неравенств

1. Использование области определения функции. Если при рассмотрении уравнения (неравенства) выясняется, что обе его части определены на множестве M, состоящем из одного или нескольких чисел, то нет необходимости проводить какие-либо преобразования уравнения или неравенства. Достаточно проверить, является или нет каждое из этих чисел решением данного уравнения (неравенства).

Если множество M, на котором определены обе части уравнения (неравенства), окажется пустым множеством, то в этом случае уравнение (неравенство) решений не имеет [2], [31].

Пример 1. Решить уравнение

ОДЗ этого уравнения состоит из всех x, одновременно удовлетворяющих условиям . Это значит, что ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения и завершается, т. к. установлено, то ни одно число не может являться решением, т.е. уравнение не имеет корней.

Ответ: решений нет.

При решении неравенств иногда можно не находить ОДЗ, а решать неравенство переходом к равносильной ему системе неравенств, в которой либо одно из неравенств не имеет решений, либо знание его решения помогает решить систему неравенств.

Пример 2. Решить неравенство

Нахождение ОДЗ неравенства есть трудная задача, поэтому перейдем к равносильной ему системе неравенств.

Третье неравенство имеет решение . Первое и второе неравенство справедливо лишь для x из промежутка . Поэтому этот промежуток является множеством решений системы.

Ответ: .

2. Использование монотонности функций при решении уравнений и неравенств. Это свойство при решении уравнений и неравенств используется чаще всего. Решение уравнений и неравенств с применением монотонности функций основывается на следующих утверждениях [21], [31]:

2.1Пусть f( x) – непрерывная и строго монотонная функция на некотором промежутке. Тогда уравнение вида f( x)= c , где с – данная константа, может иметь не более одного решения на этом промежутке.

2.2.Пусть f( x) и φ( x) непрерывные на некотором промежутке функции. Тогда если f( x) монотонно возрастает, а φ( x) убывает, то уравнение f( x)=φ( x) имеет не более одного решения на этом промежутке.

2.3.Пусть функция f( x) возрастает на своей области определения. Тогда для решения неравенства f( x)> c достаточно решить уравнение f( x)= c . Если x ₀ – корень, то решениями неравенства будут значения , принадлежащие области определения f( x).

Рассмотрим на примерах, как используются эти утверждения.

Пример 3. Решить неравенство . Существует стандартный прием решения: возведение в квадрат (при условии 0). Мы рассмотрим решение данного неравенства с использованием свойства монотонности. Функция, расположенная в левой части неравенства, монотонно возрастает, в правой части — убывает. Из этого следует, что уравнение имеет не более одного решения, причем если x ₀ – решение этого уравнения, то при будет , а решением данного неравенства будет . Значение легко подбирается: .

Ответ: .

Пример 4. Решить уравнение

Данное уравнение имеет очевидное решение . Докажем, что других решений нет. Поделим обе части на , получим . Левая часть представляет собой монотонно убывающую функцию. Правая часть функция постоянная. Следовательно, каждое свое значение она принимает один раз, то есть данное уравнение имеет единственное решение.

Ответ: .

3. Уравнения вида . При решении уравнений данного вида используются следующие утверждения [2], [5], [31]:

1) пусть область существования функции есть промежуток M и пусть эта функция непрерывна и строго монотонна на этом промежутке. Тогда уравнение будет равносильно системе ;

2) если множество M совпадает с R , то уравнения и равносильны;

В школе чаще пользуются не этой теоремой, а ее следствиями:

3) уравнение равносильно системе (При условии, что );

4) для любого натурального числа 2 m уравнение равносильно системе .

Заметим, что в этих двух системах любое из неравенств можно опустить.

Пример 5. Решить уравнение

Данное уравнение равносильно системе . Уравнение имеет два корня . Неравенству удовлетворяет только первый корень. Следовательно система, а, значит, и равносильное ей уравнение имеют единственное решение.

Ответ: .

4. Использование понятия области изменения функции . При изучении уравнений в школе обращается внимание учащихся на нахождении области допустимых значений неизвестного. Однако в стороне остаются такие вопросы: если область допустимых значений неизвестного непустое множество, то всегда ли существует решение, какие необходимые условия его существования? Если существует решение, то нельзя ли сузить границы корней?

Дать ответы на эти вопросы можно, если использовать понятие области изменения функции (или область значений).

Пусть дано уравнение f( x)= ,где f( x) и — элементарные функции, определенные на множествах X₁ и X₂ . Тогда областью допустимых значений x для уравнения будет множество, состоящее из тех значений x , которые принадлежат обоим множествам, то есть A= X₁ ∩ X₂ . Если множество A пустое (A= ), то уравнение решений не имеет. Поэтому рассмотрим случай, когда A≠.

Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y₁ и Y₂ . Если x₁ является решением уравнения, то будет выполняться числовое равенство f( x₁ )= , где f( x₁ ) – значение функции f( x) при x= x₁ , а значение функции при x= x_1.

Значит, если уравнение имеет решение, то области значений функции f( x) и имеют общие элементы (Y₁ ∩ Y₂ ≠ ). Если же таких общих элементов множества Y₁ и Y₂ не содержат, то уравнение решений не имеет. Из того, что Y₁ ∩ Y₂ ≠ , еще не следует существование решения, ибо это есть только необходимое, а не достаточное условие. Эти рассуждения полезно подкрепить графиками [41].

Пусть дано неравенство f( x)≤ ,где f( x) и — элементарные функции, определенные на множествах X₁ и X₂ , причем X₁ ∩ X₂ ≠. Обозначим области изменения этих функций соответственно через Y₁ и Y₂ . Если промежуток является решением неравенства, то для любого x из этого промежутка будет выполняться числовое неравенство f( a)≤ , где f( a) – значение функции f( x) при x= a , а значение функции при x= a_. Значит, если неравенство имеет решение, то области значений функции f( x) и имеют общие элементы (Y₁ ∩ Y₂ ≠ ). Если же таких общих элементов множества Y₁ и Y₂ не содержат, то уравнение решений не имеет.

Пример 7. Решить уравнение .

ОДЗ – множество действительных чисел. Область изменения функции f( x)= ‑ множество Y₁ =, область изменения функции = ‑ множество Y₂ = . Тогда Y₁ ∩ Y₂ = ∩= <2>. Следовательно, если уравнение имеет решения, то ими могут быть только те значения x , при которых обе функции одновременно принимают значение, равное 2. Функция принимает это значение только один раз, при x= 0. Нетрудно убедиться, что f (0)=2.

5. Использование свойств четности или нечетности и периодичности функций . Знания учащихся о свойствах четных и нечетных функций, о периодических функциях становятся более глубокими и осознанными, если систематически использовать эти свойства при решении уравнений и неравенств. Кроме того, применение свойств четности или нечетности, периодичности функций способствует рационализации самих решений.

Пусть имеем уравнение или неравенство F (x )=0, F (x )>0 (F (x ) 0 (F (x ) 0 (F (x ) 0 (или x 0 (F (x ) 0 (или x 0).

Если функция F (x ) – периодическая, то решение уравнения F (x )=0 или неравенства F (x )>0 (F (x ) 0 (F (x ) 0 (F (x ) 0 (F (x ) 0 (или x 0 (F (x ) 0 (или x 0).

Решение задач. Список заданий написан на доске. Первое и второе учитель подробно разбирает. Остальные учащиеся самостоятельно решают в тетради и по желанию демонстрируют свое решение на доске.

1) Решить уравнение

Период, входящих в уравнение функций Т=200p. Возведем обе части в квадрат и получим ; . Проверим корни в пределах периода:

Решением уравнения является .

2) Решить уравнение ;

Заметим, что в обеих частях уравнения стоят четные функции, поэтому решим данное уравнение с использованием свойств четной функции. С учетом сказанного выше для четной функции, достаточно найти решения для x≥ 0. Но x= 0 не есть корень уравнения. Рассмотрим два промежутка (0, 2], (2, ∞). На промежутке (0, 2] имеем ; ; x= . На промежутке (2, ∞) имеем ; ; 3x =2x ; x= 0. Но так как x =0 не является корнем уравнения, то для x> 0 данное уравнение имеет корень x=. Но тогда x= ‑ также является корнем уравнения.

3) ;

4) .

3. Подведение итогов занятия.

Учитель выставляет баллы учащимся по одному баллу за решение домашнего задания и за решение у доски.

Постановка домашнего задания . На этом занятии завершается теоретическая часть курса. Следующий урок посветим решению разных задач. Поэтому вам нужно повторить всю теорию, посмотреть приемы решения уравнений и неравенств, рассмотренные нами на предыдущих занятиях. Занятие пройдет в форме игры. Класс нужно разделить на команды. Каждая команда готовит название, девиз.

Занятие №9 «Морской бой»

Цели: закрепить имеющиеся знания учащихся по изученному материалу.

Занятие проводится в форме игры «Морской бой». Основой игры является детская игра «Морской бой». Поле с проставленными на нем очками является игровым полем для данной игры. Например, для морского боя 5*5 клеток игровое поле и поле ведущего будут выглядеть следующим образом:

На игровом поле проставлены очки и буквы «Б» блиц-турнир (за 60 секунд ответить на максимальное количество вопросов), «М» — музыкальный конкурс (спеть песни, в которых содержаться числительные, кто больше), «К» — конкурс капитанов.

На поле у ведущего расположены корабли, координат которых играющие не знают.

Команды распределяют между собой поровну корабли (по 2 корабля каждой команде) и ведущий называет командам в тайне от других координаты этих кораблей.

Та команда, которой выпадает по жребию начинать игру, называет координату первого «выстрела». Если на этой клетке стоит корабль, то команда получает в плюс очки, проставленные на клетке и продолжает стрельбу. Если на этой точке нет корабля, то ведущий предлагает команде вопрос той сложности, сколько очков стоит на этой клетке. Если команда ответила правильно, то очки засчитываются в плюс, если неправильно или не ответила, то в минус. Ход переходит к противнику.

Команда выбывает из игры, если «потоплены» все её корабли. Выигрывает та команда, которая к моменту, когда сбиты все корабли, наберет больше очков (победителем может считаться и та команда, у которой остался последний корабль «на плаву»).

Участники: команды по 10 человек.

Продолжительность игры: около 90 минут.

Система судейства: воспитатели и группа детей.

Реквизит: игровое поле, табло для очков, модели кораблей для жеребьевки, фломастеры, для обозначения ходов на игровом поле.

1. Представление команд.

2. С помощью жребия выбирают, кто ходит первым.

Задания. 5 баллов:

1. ;

2. ;

1. ;

2. ;

3. ;

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

«К» — конкурс капитанов.

1. «БУКВЫ»: для проведения этого конкурса понадобится подготовить буквы алфавита по 3 – 4 пары каждой. Капитаны команд вытягивают из ящика (коробки) заранее оговоренное ведущим число букв (8 – 10). Задание – из букв сложить возможное количество слов. Победителем становится тот, кто быстрее и правильнее выполнит задание.

2. «СЛОГИ»: капитаны обмениваются слогами, перебрасывая, друг другу мяч. Например, первый говорит «да», второй «ча». И так до тех пор, пока кто-нибудь не запнется, не сможет составить слово. (Составляемые слова должны быть по изученной теме)

«М» — музыкальный конкурс (спеть песни про математику или в тексте которых содержится числительное, кто больше).

«Б» — блиц-турнир (за 60 секунд ответить на максимальное количество вопросов).

‑Что называется функцией?

‑Перечислите основные свойства функций.

‑Что называется областью определения функции?

‑Что называется множеством значений функции?

‑Какая функция называется четной?

‑Какая функция называется четной?

‑Приведите пример ограниченной функции.

‑Какая функция называется монотонной?

‑Приведите пример функции возрастающей на всей области определения.

Подведение итогов: выяснить допущенные ошибки, недостатки в проведении игры. Узнать мнение участников и зрителей о проведенном мероприятии. Команде-победителю вручается диплом и каждому члену команды ставится 5 баллов. Команде, занявшей второе место ставится 4 балла. Можно наградить отдельных участников в номинациях «Приз зрительских симпатий», «Лучший капитан», и т.д.

В конце урока напомнить учащимся, что следующее занятие зачетное.

Занятие №10 Зачет.

Цели: проверить знания учащихся по теме «Решение уравнений и неравенств с использованием свойств функций».

Оборудование и средства: карточки с заданиями на 2 варианта.

1. Организационный момент. Постановка целей занятия, настрой на работу. На занятии ученикам предстоит выполнить зачётную работу, составленную по типу контрольно-измерительных материалов единого государственного экзамена, поэтому её можно считать непосредственно подготовкой к сдаче ЕГЭ, который предстоит пройти по окончании школы.

2. Проверка уровня знаний и умений. В работе предлагается три задания уровня А, с выбором ответа, три заданий уровня В, где требуется написать свой ответ. Далее учащиеся выполняют одно задание поля С, где требуется привести полное подробное решение. После проверки учителем выставляется итоговая оценка.

При выполнении заданий этой части укажите цифру, которая обозначает выбранный вами ответ.

А1. Решите уравнение .

1) -2; 2) 2; 3)1; 4) не имеет корней.

А2. Решите уравнение и укажите верное утверждение о его корнях.

1) корень только один, и он положительный;

2) корень только один, и он отрицательный;

3) корней два, и они разных знаков;

4)корней два, и они отрицательные.

А3. Найдите область значений функции .

Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.

В1. Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).

В2. Решите уравнение

В3. Решите неравенство

На листке запишите номер задания, а затем приведите полное, обоснованное решение.

С1. Найдите нули функции

При выполнении заданий этой части укажите цифру, которая обозначает выбранный вами ответ.

А1. Решите уравнение .

1) -5; 2) 5; 3)4; 4) не имеет корней.

А2. Решите уравнение и укажите верное утверждение о его корнях.

1) корней два, и они разных знаков;

2) корней два, и они положительные;

3) корень только один, и он положительный;

4) корень только один, и он отрицательный.

А3. Найдите область значений функции .

Ответом на каждое задание этой части работы будет некоторое число. Это число надо вписать рядом с номером задания.

В1. Решите уравнение . (Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите сумму всех его корней).

В2. Решите уравнение

В3. Решите неравенство

На листке запишите номер задания, а затем приведите полное, обоснованное решение.

С1. Найдите нули функции .