Решение уравнения шредингера для одномерной потенциальной яме

Решение уравнения шредингера для одномерной потенциальной яме

Аналог классического волнового уравнения был предложен Э. Шредингером в 1925 г. Как и классическое уравнение, уравнение Шредингера связывает производные волновой функции по времени и координате. Уравнение Шредингера описывает поведение любых нерелятивистских систем. На примерах частицы, находящейся в бесконечно глубокой яме, и гармонического осциллятора рассмотрены простейшие квантовые системы, получены дискретные спектры состояний. Возможности описания динамики данных систем ограничены набором квантовых чисел, отражающих универсальные и внутренние симметрии квантовых систем.

4.1. Уравнение Шредингера

В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера

(4.1)

где – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона

в которой и заменены операторами импульса _x, _y, _z и координаты , , :

х → = х, y → = y, z → = z,

(4.2)

Уравнение Шредингера

Зависящее от времени уравнение Шредингера:

где – гамильтониан системы.

Разделение переменных. Запишем Ψ(,t) = ψ()θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если не зависит от времени, тогда уравнение ψ = iћψ принимает вид θψ = iћψθ или

Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E

θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ() = Eψ() и Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ).

Уравнение ψ() = Eψ() называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид:

или

Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U():

−(ћ 2 /2m)Δψ() + U()ψ() = Eψ(),

где Δ – лапласиан.

Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t).

Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид

ψ() = Eψ().

(4.3)

Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера.

Так как в стационарном состоянии

Ψ(,t) = ψ()exp(−iEt/ћ)

(4.4)

и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ(,t)|, то она

|ψ(x,y,z)| 2 , т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.

4.2. Частица в одномерной прямоугольной яме с бесконечными стенками

Потенциальная энергия U(x) в прямоугольной яме удовлетворяет следующим условиям:

(4.5)

Рис.4.1. Прямоугольная яма с бесконечными стенками

Частица находится в области 0 ≤ x ≤ L. Вне этой области ψ(x) = 0. Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в области 0 ≤ x ≤ L

(4.6)

Волновая функция, являющаяся решением уравнения (4.9), имеет вид

где k = (2mE/ћ 2 ) 1/2 . Из граничных условий ψ(0) = 0, ψ(L) = 0 и условий непрерывности волновой функции следует

kL = nπ, n = 1, 2, 3, … , то есть внутри потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками устанавливаются стоячие волны, а энергия состояния частиц имеет дискретный спектр значений E_n

n = 1, 2, 3, …

(4.9)

Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для неё.
Каждому значению энергии E_n соответствует волновая функция ψ_n(x), которая с учетом условия нормировки

(4.10)

В отличие от классической, квантовая частица в прямоугольной яме не может иметь энергию
E 2 π 2 /(2mL 2 ). Состояния частицы ψ_n в одномерном поле бесконечной потенциальной ямы полнос­тью описывается с помощью одного квантового числа n. Спектр энергий дискретный.

Рис. 4.2. Уровни энергии и волновые функции частицы Ψ в бесконечной прямоугольной яме. Квадрат модуля волновой функции |Ψ| 2 определяет вероятность нахождения частицы в различных точках потенциальной ямы.

4.3. Гармонический осциллятор

Положение уровней частицы в потенциальной яме зависит от вида потенциальной ямы. В одномерной потенциальной яме гармонического осциллятора потенциальная энергия имеет вид

(4.11)

В этом случае одномерное уравнение Шредингера имеет вид

(4.12)

Допустимые значения полной энергии определяются формулой

В отличие от бесконечной прямоугольной ямы, спектр уровней гармонического осциллятора эквидистантный.
С увеличением массы частицы или размеров области ее локализации квантовое описание частицы переходит в классическое.

Частица в одномерной потенциальной яме

Одномерная прямоугольная яма шириной L:

n = 1, 2, …

Одномерный гармонический осциллятор:

E_n = ћω₀(n + 1/2), n = 0, 1, 2,

4.4. Частица в поле с центральной симметрией

В сферических координатах стационарное уравнение Шредингера для частицы в центральном потенциале U(r) имеет вид

(4.14)

Решение уравнения (4.14) записываются в виде произведения радиальной и угловой функций

где радиальная функция R_nl(r) и угловая функция Y_lm(θ,φ), называемая сферической, удовлетворяют уравнениям

2 Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.16)

Ylm(θ,φ) = ћ 2 l(l +1)Ylm(θ,φ)

(4.17)

Уравнение (4.16) определяет возможные собственные значения l и собственные функции Y_lm(θ,φ) оператора квадрата момента 2 . Уравнение (4.17) определяет собственные значения энергии Е и радиальные собственные функции R_nl(r), от которых зависит энергия системы (рис. 4.3).
Схема уровней (последовательность и абсолютные значения энергий) зависит от радиальной функции R_nl(r), которая в свою очередь определяется потенциалом U(r), в котором находится частица.

Рис. 4.3. Радиальное распределение вероятности нахождения электрона в кулоновском поле протона (атом водорода). Расстояния даны в боровских радиусах
r₀ = ћ 2 /m_ee 2 ≈ 0.529·10 8 cм.

существуют лишь при определенных значениях квантовых чисел n (радиальное квантовое число), l (орбитальное квантовое число) и m (магнитное квантовое число).
Возможные энергетические состояния системы (уровни энергии) определяются числами n и l и в случае сферически симметричных состояний не зависят от квантового числа m. Число n может быть только целым:
n = 1, 2, …, ∞. Число l может принимать значения 0, 1, 2, …, ∞.

4.5. Орбитальный момент количества движения

Собственные значения L 2 и L_z являются решением уравнений

2 Y_lm(θ,φ) = L 2 Y_lm(θ,φ) и _zY_lm(θ,φ) = L_zY_lm(θ,φ).

Они имеют следующие дискретные значения

L 2 = ћ 2 l(l + 1), где l = 0, 1, 2, 3, …,
L_z = ћm, где m = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…, ± l.

Для характеристики состояний с различными значениями орбитального момента l обычно используют следующие обозначения:

Спектроскопические названия орбитальных моментов l

Состоянию с l = 0 отвечает сферически симметричная волновая функция. В тех случаях, когда l ≠ 0 волновая функция не имеет сферической симметрии. Симметрия волновой функции определяется симметрией сферических функций Y_lm(θ,φ). Имеет место интересное квантовое явление, когда решение сферически симметричной задачи (потенциал описывает сферически симметричную систему) приводит к состояниям, не обладающим сферической симметрией. Таким образом, симметрия уравнений не обязательно должна отражаться в симметрии каждого отдельно взятого решения этих уравнений, а лишь во всей совокупности этих решений.
Для частицы, находящейся в сферически симметричном потенциале, величина орбитального момента количества движения L:

(4.18)

Обычно, для упрощения, когда говорят о величине орбитального момента количества движения, называют этой величиной квантовое число l, имея в виду, что между l и L имеется однозначная связь (4.18).

Рис. 4.4 Возможные ориентации вектора при квантовом числе l = 2.

Так как величина l может принимать только целочисленные значения 0, 1, 2, 3,…, то и орбитальный момент количества движения L квантуется. Например, для частицы с l = 2 момент количества движения

=
= 6.58·10 -22 √6 МэВ·сек ≈ 2.6·10 — 34 Дж·сек.

Пространственное квантование. Орбитальный момент количества движения является векторной величиной. Так как величина орбитального момента количества движения квантуется, то и направление по отношению к выделенному направлению z, например, к внешнему магнитному полю, также квантуется и принимает дискретные значения Lz = ћm, где m изменяется от +l до –l, т. е. имеет 2l + 1 значений. Например, при l = 2 величина m принимает значения +2, +1, 0, -1, -2 (см. рис. 4.4). Вместе с тем энергия системы не зависит от m, т. е. от направления вектора , что является очевидным следствием сферической симметрии системы.
Состояние частицы, находящейся в сферически симметричном поле, полностью описывается тремя квантовыми числами: n, l и m.
Появление квантовых чисел связано со свойствами симметрии системы. Характер этой симметрии определяет возможные значения квантовых чисел. Очевидно, что система, описываемая функцией e im φ , примет прежнее значение только тогда, когда азимутальный угол φ в результате поворота вокруг оси z примет прежнее значение φ. Этому условию функция e im φ удовлетворяет только в случае, когда величина mφ кратна 2π. Т.е. величина m должна иметь целые значения. Так как необходимо учитывать вращение в двух противоположных направлениях и отсутствие вращения, единственно возможными значениями оказываются m = 0, ±1, ±2, … .

4.6. Спин

Спин − собственный момент количества движения частицы. Между значением вектора спина и квантовым числом спина s выполняется такое же соотношение, как между величиной значением вектора орбитального момента и орбитальным квантовым числом l:

2 = ћ 2 s(s + 1)

(4.19)

В отличие от орбитального квантового числа l, которое может быть лишь целым числом или нулем, спиновое квантовое число s (в дальнейшем просто спин) может быть как целым (включая нуль), так и полуцелым, т. е. s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 5/2, … , но при этом для каждой элементарной частицы спин может принимать единственное присущее этому типу частиц значение. Так, спины π-мезонов и К-мезонов равны 0. Спины электрона, протона, нейтрино, кварков и их античастиц равны 1/2. Спин фотона равен 1. Бозоны составляют класс частиц с целым значением спина, спин фермионов имеет полуцелое значение. Спин частицы невозможно изменить, также как её заряд или массу. Это её неизменная квантовая характеристика.
Как и в случае других квантовых векторов, проекция вектора спина на любое фиксированное направление в пространстве (например, на ось z) может принимать 2s + 1 значение:

s_zћ = ±sћ, ±(s − 1)ћ, ±(s − 2)ћ. ±1/2ћ или 0.

Число s_z − это квантовое число проекции спина. Максимальная величина s_z совпадает с s. Так как спин электрона равен 1/2, то проекция этого спина может принимать лишь два значения s_z = ±1/2. Если проекция +1/2, то говорят, что спин направлен вверх, если проекция -1/2, то говорят, что спин направлен вниз.

4.7. Полный момент количества движения

Полный момент количества движения частицы или системы частиц является векторной суммой орбитального и спинового моментов количества движения.

= + .

Квадрат полного момента имеет значение:

2 = ћ 2 j(j + 1).

Квантовое число полного момента j, соответствующее сумме двух векторов и , может принимать ряд дискретных значений, отличающихся на 1:

j = l + s, l + s −1. |l − s|

Проекция на выделенную ось J_z также принимает дискретные значения:

Число значений проекции J_z равно 2j + 1. Если для и определены единственные значения проекций на ось z l_z и s_z, то j_z также определена однозначно: j_z = l_z + s_z.

4.8. Квантовые числа

Квантовые числа – это целые или дробные числа, которые определяют все возможные значения физической величины, характеризующей различные квантовые системы – атомы, атомные ядра, кварки и другие частицы.

Таблица квантовых чисел

n	Радиальное квантовое число. Определяет число узлов волновой функции и энергию системы. n = 1, 2, …, ∞.
J, j	Полный угловой момент J и его квантовое число j. Последнее никогда не бывает отрицательным и может быть целым или полуцелым в зависимости от свойств рассматриваемой системы. 2 = ћ 2 j(j + 1).
L, l	Орбитальный угловой момент L и его квантовое число l. Интерпретация l такая же, как j, но l может принимать только целые значения, включая нуль: l = 0, 1, 2,…. L 2 = ћ 2 l(l + 1).
m	Магнитное квантовое число. Проекция полного или орбитального углового момента на выделенную ось (обычно ось z) равна mћ. Для полного момента m = ±j, ±(j-1), …, ±1/2 или 0. Для орбитального m = ± l, ± (l-1), …, ±1, 0.
S, s	Спиновый угловой момент S и его квантовое число s. Оно может быть либо положительным целым (включая нуль), либо полуцелым. s – неизменная характеристика частицы опреде­лен­ного типа. S 2 = ћ 2 s(s + 1).
sz	Квантовое число проекции спинового момента частицы на выделенную ось. Эта проекция может принимать значения szћ, где sz = ± s, ± (s -1), …, ±1/2 или 0.
P или π	Пространственная четность. Характеризует поведение системы при пространственной инверсии → — (зеркальном отражении). Полная четность частицы Р = π(-1) l , где π – её внутренняя четность, а (-1) l – её орбитальная четность. Внутренние четности кварков положительные, антикварков — отрицательные.
I	Изоспин. Характеризует свойство зарядовой инвариантности сильных взаимодействий

Для обозначения спинового момента часто используют букву J.

Все состояния, в которых может находиться квантовая система, описываются с помощью полного набора квантовых чисел. Так в случае протона в ядре состояние протона описывается с помощью четырех квантовых чисел, соответствующих четырем степеням свободы – трем пространственным координатам и спину. Это

• Радиальное квантовое число n ( 1, 2, …, ∞),
• Орбитальное квантовое число l (0, 1, 2, …),
• Проекция орбитального момента m (± l, ± (l-1), …, ±1, 0),
• Спин протона s =1/2.

Для описания сферически-симметричных систем в квантовой физике используются различные сферически симметричные потенциалы с различной радиальной зависимостью:

• Кулоновский потенциал U = Q/r,
• Прямоугольная потенциальная яма
• Потенциал типа гармонического осциллятора U = kr 2 ,
• Потенциал Вудса-Саксона (с его помощью описываются внутриядерные взаимодействия):

где U₀, а и R – положительные константы (R – радиус ядра). Во всех случаях сферически симметричные системы можно описать с помощью набора квантовых чисел n, l, j, j_z, однако, в зависимости от радиального вида потенциала энергетический спектр состояний системы будет различным.
Существование сохраняющихся во времени физических величин тесно связано со свойствами симметрии гамильтониана системы. Например, в случае, если квантовая система обладает центральной симметрией U = U(r), то этой системе соответствует сохранение орбитального момента количества движения l и одной из его проекций m. При этом из-за сферической симметрии задачи энергия состояний не будет зависеть от величины m, т. е. состояния будут вырожденными по m.
Наряду с пространственными симметриями, связанными с непрерывными преобразованиями, в квантовой физике существуют и другие симметрии – дискретные. Одной из них является зеркальная симметрия волновой функции относительно инверсии координат (→ —). Оператору инверсии соответствует квантовое число четность, которое может принимать два значения +1 и -1 в зависимости от того, сохраняется ли знак волновой функции при инверсии или меняется на противоположный.
Система тождественных частиц характеризуется еще одной симметрией – симметрией относительно перестановок тождественных частиц. Эта симметрия определяется свойствами частиц, образующих систему. Системы частиц с целым спином (бозонов) описываются симметричными волновыми функциями, системы частиц с полуцелым спином (фермионов) − антисимметричными волновыми функциями.

Задачи

4.1. Вычислите допустимые уровни энергии электрона, находящегося в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной 10 -8 см, протона, находящегося в потенциальной яме 5 Фм, и шарика массой 1 г, находящегося в потенциальной яме 1 см.

4.2. Рассчитать энергию перехода между состояниями 1s и 2s в атоме водорода.

4.3. Найти значение полного момента j для протона в d-состоянии. Каким будет результат измерения полного момента протона в состоянии 1d_5/2?

4.4. Найти полный момент (квантовое число j) системы двух нуклонов в s‑состоянии (l = 0).

4.5. Какие значения может иметь полный момент системы j, если
А. Нейтрон и протон находятся в состояниях с |l,s:j>_n = |1, 1 /₂: 3 /₂>, |l,s:j>_p = |1, 1 /₂: 3 /₂>?
Б. Два нейтрона находятся в состояниях с |l,s:j>₁ = |1, 1 /₂: 3 /₂> и |l,s:j>₂ = |1, 1 /₂: 3 /₂>?

4.6. А) Нейтрон находится в p-состоянии. Найти значения полного момента j и возможные значения проекции момента j_z. Каким будет результат измерения орбитального момента частицы в этом состоянии? Б) Рассмотрите задачу А) для протона в d-состоянии.
Ответ: А) j = 3/2, 1/2; j_z = ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 2 ћ;
Б) j = 5/2, 3/2; j_z = ±5/2, ±3/2, ±1/2; L = ћ√ l(l +1) = √ 6 ћ

4.7. А) Частица с собственным моментом s = 3/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 2. Найти полный момент частицы j.
Б) Частица с собственным моментом s = 1/2 находится в состоянии с орбитальным моментом
l = 3. Определите полный момент частицы j
Ответ: А) j = 7/2 ÷ 1/2; Б) j = 7/2, 5/2

4.8. Протон и нейтрон находятся в состоянии с относительным орбитальным моментом L = 1. Найти полный момент системы J.
Ответ: J = 0, 1, 2

4.9. На оболочке с квантовым числом n = 1, l = 2 находятся протон и нейтрон. Определить их суммарный полный момент J и его проекцию J_z. Изменится ли результат, если на оболочке n = 1,
l = 2 будут находиться два нейтрона?

4.10. Почему возникают вырожденные состояния?

4.11. Написать оператор Гамильтона электронов в атоме He.

4.12. Напишите стационарное уравнение Шредингера в сферической системе координат.

4.13. Какие квантовые числа характеризуют частицу в центрально-симметричной потенциальной яме?

4.14. Покажите, что волновые функции ψ = Aexp(kx −ωt) и ψ = Asin(kx −ωt) не удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.15. Покажите, что волновые функции ψ = Ae i(kx −ωt) и ψ = A(cos(kx −ωt) − sin(kx −ωt))удовлетворяют зависящему от времени уравнению Шредингера.

4.16. Частица находится в низшем состоянии n = 1 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L.
А) Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале Δx = 0.001L при x = 1 /₂L, x = 2 /₃L, x = L.
Б) Рассмотрите случай, когда частица находится в состоянии n = 2 при тех же значениях x.
Ответ: А) P(L/2) = 0.002; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0; Б) P(L/2) = 0; P(2L/3) = 0.0015; P(L) = 0

4.17. Частица находится в состоянии n = 2 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить частицу в интервале ( 1 /₃L, 2 /₃L).
Ответ: P(L/3, 2L/3) = 0.2

4.18. Электрон находится всостонии n = 5 в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме размера L. Рассчитайте вероятность обнаружить электрон в области x от 0.2L до 0.5L.
Ответ: P(0.2L, 0.5L) = 0.3

4.19. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Рассчитайте ширину потенциальной ямы, если энергия состояния n = 1 равна 0.1 эВ.
Ответ: L = 1.9 нм

4.20. Рассчитайте средние значения и 2 > для состояний n = 1, 2, 3 в бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме.

4.21. Что общего и в чем различие в описании атома водорода в теории Шредингера и в модели Бора?

4.22. Почему энергии атома водорода в теории Шредингера не зависят от орбитального квантового числа l?

4.23. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?
Ответ: L_z = -3ћ, -2ћ. 3ћ; L 2 = 12ћ 2

4.24. Угловой момент характеризуется квантовым числом l = 3. Какие значения могут принимать L_z и L 2 ?

Движение частиц в прямоугольной потенциальной яме

Конспект лекции с демонстрациями

Аннотация: изучение качественной стороны решений уравнения Шредингера, выяснение отличий получаемых результатов от выводов классической механики. Традиционное изложение темы, дополненное двумя демонстрациями на компьютерных моделях.

Одна из простейших задач о движении микрочастиц – это задача о движении в прямоугольной потенциальной яме с очень высокими стенками. Рассмотрим одномерный случай. (Трехмерные задачи сложны в математическом отношении, а практически все принципиальные особенности движения микрочастиц можно выявить и на одномерных задачах.) Изменение потенциальной энергии по оси x описывается формулой

Какие примеры движения окружающего мира хотя бы приближенно описываются такой потенциальной функцией?

• Вспомним «Кавказского пленника» (Л.Н.Толстой). Попавшего в плен Жилина держали в яме и требовали выкупа. Можно сказать, что для человека яма глубиной три метра – это яма с бесконечно высокими стенками. В ней человек может находиться в любом из состояний – от состояния покоя до интенсивного движения в бессильной ярости от невозможности выбраться на поверхность.
• Другой пример – лототрон. В нем шарики либо лежат на дне, либо скачут в ограниченном стенками пространстве.

В мире микрочастиц взаимодействие протона и нейтрона в ядре тяжелого водорода приближенно описывается прямоугольным потенциалом. Этот же потенциал – чрезвычайно грубое приближение к задаче о движении электрона в атоме. Существенным для всех примеров является ограничение движения некоторой областью значений x. Стенки «ящика» бесконечно круты и бесконечно высоки. Частица не может покинуть такую яму.

Всю область изменения переменной x разобьем на три (см. рисунок 1). Вероятность нахождения частицы в областях x a равна нулю, так что волновая функция Ψ(x) = 0. В центральной части мы положили для удобства U(x) = 0 (известно, что потенциальная энергия определена с точностью до константы). В этом случае уравнение Шредингера принимает вид

,

где m и E – масса и полная энергия частицы, соответственно. Введем обозначение

.

Уравнение приобретает вид и имеет решение

.

Постоянные A, α и β мы найдем из условий непрерывности волновой функции и нормировки. На левой границе Ψ(0) = Asin(α) = 0 дает α = 0. На правой границе Ψ(a) = Asin(βa) = 0 приводит к βa = πn, где n = 1, 2, 3, . Нулевое значение n в ряд допустимых значений не входит, т.к. иначе волновая функция везде бы обращалась в ноль. Движение частицы в потенциальной яме описывается набором волновых функций

.

.

Окончательный вид волновой функции

.

Возведем в квадрат левую и правую части равенства βa = πn, и вспомним, что значит β 2 . Тогда получим выражение для энергии

(1).

Самым важным результатом является то, что возможны только такие состояния, для которых E принимает одно из дискретных значений. Введенное выше число n называют квантовым числом. Значения E_n называют уровнями энергии. Говорят, что частица находится в квантовом состоянии n, если ее движение описывается волновой функцией Ψ_n(x). Три первых уровня энергии, соответствующие им волновые функции Ψ(x) и квадраты волновых функций изображены на рисунке 2.

Состояние с минимальной энергией (n = 1) называют основным, остальные — возбужденными. Обратите внимание на то, что энергия основного состояния не равна нулю. Про микрочастицы можно сказать – «покой им только снится». Это – общий результат квантовой механики, справедливый для всех ее задач и полностью чуждый классической механике.

Распределение плотности вероятности по координате |Ψ(x)| 2 неоднородно и зависит от n. Чем больше n, тем сильнее неоднородность. С классической точки зрения на частицу в яме не действуют никакие силы, и она с равной вероятностью может находиться в любой точке.

Расстояние между соседними уровнями энергии

.

Чем меньше масса частицы и ширина области движения, больше ΔE. Для электрона (масса порядка 10 -30 кг) в атоме (размер порядка 10 -10 м) получим ΔE

10 эВ, а для молекулы (масса

10 -27 кг) в сосуде (размер порядка 10 -1 м) – ΔE

10 -20 эВ. В последнем случае (ширина ямы макроскопических масштабов) энергию молекулы можно считать непрерывно изменяющейся величиной.

Найдем еще относительное расстояние между уровнями

.

При больших значениях квантового числа (большие возбуждения) дискретность состояний перестает проявляться. Фактически наблюдаем переход к непрерывному изменению энергии.

Посмотрим на иллюстрации движения частиц. Они выполнены в виде апплета, который будет работать в отдельном окне. Положение подвижной стрелки задает энергию частицы Е. Плавно передвиньте ее в верхнее положение. Если текущее значение Е разрешено законами физики, то строится график зависимости плотности вероятности P нахождения частицы от ее координаты. Слева графики строятся по формулам, полученным выше в результате решения уравнения Шредингера. Справа – предсказания классической физики. Одновременно наблюдайте за иллюстрацией одномерного движения частицы в нижней части окна. (Беру, как говорится, «грех на душу», изображая движение микрочастиц. Для них не применимо понятие траектории. Но об этом в следующих лекциях.) Если щелкнуть мышкой по ссылке, откроется демонстрация (После щелчка по кнопке «Старт» Вы только наблюдаете).

После прочитанного и увиденного рассортируйте 6 утверждений, приведенных ниже, по двум столбцам. Для этого щелкайте по нужной стрелке.

Движение частиц в потенциальной яме конечной глубины

Посмотрим, что изменится, если потенциальная яма будет иметь конечную глубину

.

Появляется возможность рассматривать две задачи: энергия E U₀ – задача о рассеянии частиц. Займемся первой, оставив вторую для последующих лекций. Теперь нет оснований полагать, что волновая функция равна нулю в первой и третьей областях. Посмотрим, как будет выглядеть уравнение Шредингера для этих областей

.

Во втором слагаемом коэффициент перед Ψ отрицателен. Обозначим его

.

Уравнения Шредингера вне и внутри ямы отличаются знаком перед Ψ

и имеют решения

.

Надо сразу положить A₁ = B₃ =0, чтобы решения не увеличивались беспредельно в области больших отрицательных и больших положительных значениях x. Для нахождения остальных коэффициентов надо использовать условия непрерывности волновой функции Ψ и ее первой производной dΨ/dx в точках x = 0 и x = a. Здесь мы ограничимся обсуждением качественно новых результатов. Решения вне ямы – апериодические, быстро спадающие. Например, в области 3

.

Отличие от нуля волновой функции Ψ(x) (а, следовательно, и |Ψ| 2 )в первой и третьей областях – это новый результат, которого нельзя было ожидать на основе классической теории. Напомним, что на рисунке 4 в области x > a энергия E -34 Дж·с, ожидать заметного эффекта для тел с макроскопической массой m или энергией U₀ — E не приходится (при этом l → 0).

Возможные значения энергии, как и для ямы бесконечной глубины, квантованы. И полученная нами формула (1) остается хорошей аппроксимацией, особенно для больших U₀ — E. Для получения точного значения необходимо решить численно трансцендентное уравнение. Отметим только, что число уровней в яме зависит от ее ширины и глубины. И может статься, в яме не окажется ни одного уровня. Это означает, что связанного состояния при данных параметрах не существует. Для дейтрона (U₀

10 -15 м) существует только одно связанное состояние с энергией -2.2 МэВ.

Компьютерная модель проиллюстрирует характер движения микрочастицы (электрона) в потенциальной яме конечной глубины.

Возможности этой программы: после того, как Вы зададите ширину (в нм) и глубину (в эВ) ямы, компьютер проведет необходимые расчеты и будет готов показать разрешенные значения энергии и соответствующие им распределения плотности вероятности нахождения частицы по ширине ямы. При неудачной комбинации параметров (слишком высока плотность уровней, их отсутствие. ) компьютер выдаст предупреждение. После ввода параметров двигайте указатель вдоль оси энергий (мышкой или клавишами со стрелками) и наблюдайте.

Определите:

• как число уровней в яме зависит от ширины и глубины ямы;
• как энергия частицы зависит от квантового числа n (правый график);
• как вероятность обнаружить частицу в интервале 0 2 ;
• вероятность обнаружить частицу меняется от точки к точке;
• если значение квантового числа n устремить к бесконечности, решение переходит в классическое.

Если возникли какие-либо вопросы, напишите мне.

Работа 6 СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОНА В ОДНОМЕРНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ЯМАХ

Цель работы Численное решение одномерного стационарного уравнения Шредингера на компьютере, отбор физически приемлемых решений, изучение влияния формы и параметров потенциальной ямы на уровни энергии и волновые функции связанных состояний.

6.1 Уравнение Шредингера и его решения

Стационарное уравнение Шредингера является уравнением на собственные значения оператора Гамильтона

, (6.1)

Где для одномерных задач

. (6.2)

Таким образом, волновая функция Ψ(X) согласно (6.1) и (6.2) удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка:

. (6.3)

Здесь , H – постоянная Планка, M – масса, U(X) – потенциальная, E – полная энергия частицы (электрона).

Специфика конкретной физической задачи заключена в потенциальной функции U(X) . Иначе говоря, одна физическая задача отличается от другой видом потенциальной функции U(X), включаемой в уравнение Шредингера.

Решить дифференциальное уравнение Шредингера – это значит найти множество удовлетворяющих ему волновых функций Ψ(X) . В принципе, уравнение Шредингера может быть решено при любых значениях полной энергии Е, но не все такие математические решения физически приемлемы. Поэтому условие физической приемлемости является существенной частью каждой рассматриваемой задачи. Физический смысл имеют лишь те решения, для которых волновая функция Ψ(X) является Однозначной, Ограниченной, Непрерывной и гладкой. В частности, требование ограниченности связано с Вероятностной интерпретацией волновой функции, согласно которой выражение имеет смысл вероятности обнаружить частицу в промежутке от Х до Х + Dx. Это и делает решения, для которых модуль волновой функции неограниченно возрастает при Х ® ± ¥, неприемлемыми.

Значения энергии E, при которых стационарное уравнение Шредингера имеет физически приемлемые решения, – уровни энергии– являются собственными значениями оператора Гамильтона. Соответствующие волновые функции являются Собственными функциями этого оператора.

Можно доказать, что в случае Финитного (ограниченного) движения энергия Е не может быть произвольной, т. е. спектр энергии оказывается дискретным. Случай финитного движения соответствует связанной частице, например, электрону в атоме или нуклону в ядре. В то же время при Инфинитном движении физически приемлемые решения стационарного уравнения Шредингера получаются для некоторого непрерывного интервала значений энергии Е, так что спектр энергии оказывается сплошным. Инфинитное движение, в частности, совершает электрон, оторванный от атома в результате ионизации.

Таким образом, из уравнения Шредингера естественно вытекает важнейшая особенность поведения атомных систем, резко отличающая их от систем, подчиняющихся законам классической механики: Существование дискретных уровней энергии.

Отметим также, что волновые функции стационарных состояний, принадлежащих дискретному спектру энергии, можно нормировать на единицу, т. е. путем умножения на нормировочный множитель добиться выполнения условия нормировки вида

. (6.4)

6.2 Линейный гармонический осциллятор

Как известно, в классической механике частица массы M, находящаяся в силовом поле с потенциальной энергией

, (6.5)

При любом значении E > 0 совершает гармонические колебания с частотой

. (6.6)

Постоянная K носит название Коэффициента упругости или Коэффициента жесткости.

Согласно квантовой механике поведение частицы в тех же условиях определяется уравнением Шредингера. Для стационарных состояний линейного гармонического осциллятора в соответствии с (6.3) и (6.5) оно имеет вид:

(6.7)

Данное уравнение имеет точное аналитическое решение. Для собственных значений энергии получается простая формула:

(6.8)

Собственные функции ΨN, к которым приводит аналитическое решение, представляют собой произведение функции Гаусса exp(-Y2/2) на полиномы Чебышева–Эрмита N-й степени Pn(Y):

Здесь введено обозначение Y=(Mω/ħ2)1/2X , а Cn есть нормирующий множитель. Для первых трех состояний полином Pn(Y) имеет вид

Гауссов сомножитель обеспечивает стремление волновой функции к нулю при возрастании X. Полином Pn(Y) имеет N корней, следовательно, столько же узлов имеет волновая функция. Таким образом, волновая функция колеблется внутри классически разрешенной области, т. е. при (E>U), и затухает по гауссову закону в классически запрещенной области, где (E A) экспоненциально убывает по мере удаления от стенки:

ΨN(X)=BnExp(-κN ‌‌X‌ ), где (6.13)

Здесь Bn является нормирующим множителем. Это означает, что происходит проникновение связанной частицы в классически запрещенную область. Глубину проникновения δ можно определить как расстояние от стенки, на котором плотность вероятности нахождения частицы уменьшается в Е=2,718… раз. Тогда для δ получается выражение

(6.14)

Таким образом, глубина проникновения оказывается тем большей, чем меньше отстоит соответствующий энергетический уровень от верха потенциальной ямы. Фактически происходит увеличение эффективной ширины ямы LЭфф :

Подставляя в формулу (6.9б) LЭфф вместо L, можно приближенно найти собственные значения энергии En в потенциальной яме конечной глубины. Из-за того что LЭфф > L,, значения En уменьшатся. Следовательно, уровни энергии в яме конечной глубины должны лежать ниже соответствующих уровней бесконечно глубокой ямы, а их понижение тем значительнее, чем больше номер уровня.

Результаты компьютерных решений (при ħ=M=1) легко распространить на «реальные» прямоугольные ямы. Это можно сделать, в частности, на основе сопоставления формул (6.9б) и (6.9в).

Часть полученных результатов будет относиться также к асимметричной потенциальной яме половинной ширины, но с бесконечно высокой левой стенкой (рис. 6.2). Очевидно, волновая функция должна обращаться в нуль на этой стенке (т. е. при X=0). Следовательно, граничным условиям на левой стенке удовлетворяют лишь решения с нечетными волновыми функциями для симметричной ямы. Им соответствуют уровни энергии с четными номерами. Именно эти состояния и реализуются в асимметричной яме.

В отличие от симметричной ямы, для которой всегда есть хотя бы одно связанное состояние, асимметричная яма не может удержать частицу, если ее глубина меньше некоторого критического значения UКр. Критическую глубину можно найти из условия, что при этом E=U0=UКр, а на ширине ямы размещается четверть длины волны де Бройля

. (6.16)

Отсюда для критической глубины следуют выражения в обычных и условных единицах:

и . (6.17)

Одномерная асимметричная потенциальная яма с бесконечно высокой стенкой представляет непосредственный практический интерес, поскольку к ней сводятся некоторые трехмерные задачи, моделирующие движение частицы в центральном силовом поле (например, задача о дейтроне).

6.4 Решение уравнения Шредингера

С помощью компьютера

В данной работе с помощью компьютера реализуется численное решение стационарного уравнения Шредингера. Следует отметить, что численный метод решения является универсальным и может быть осуществлен для любой потенциальной функции, в то время как аналитически решаются лишь немногие задачи.

Численное решение проводится в такой системе единиц, в которой «перечеркнутая» постоянная Планка и масса частицы полагаются равными единице, т. е.

В этих единицах стационарное уравнение Шредингера принимает вид

. (6.18)

При заданных массе частицы M, потенциальной энергии U(X), полной энергии E и определённых граничных условиях, т. е. при выборе численных значений волновой функции Ψ(X) и её производной при некотором X = x1:

На компьютере с помощью соответствующих численных методов можно найти функцию Ψ(X) в достаточно большом интервале значений X, аппроксимирующую (с требуемой точностью) непрерывное, гладкое, однозначное решение уравнения Шредингера.

Существенно, однако, что при произвольно выбранных граничных значениях волновой функции Ψ1 , её производной Ψ′1 и полной энергии E Эти решения будут практически всегда неограниченно растущими при X → ∞ или при X → – ∞ .

Можно строго доказать, что в случае финитного движения в симметричной потенциальной яме U(X) = U(–X) все физически приемлемые решения уравнения Шредингера будут либо чётными Ψ(X) = Ψ(–X) , либо нечётными Ψ(X) = – Ψ(–X) . Это делает возможным (и удобным практически) использование следующих граничных условий:

Ψ(X) = Ψ0, Ψ´(X) = 0 (для чётных решений),

Ψ(X) = 0, Ψ´(X) = Ψ´0 (для нечётных решений).

После этого ограниченность или расходимость Ψ(X) будет всецело зависеть от полной энергии E.

Программа позволяет визуализировать процесс поиска физически приемлемых решений уравнения Шредингера и спектра энергии. В окне вывода отображаются:

– положение уровня полной энергии E (на фоне кривой U(X) ),

– графики волновых функций Ψ(X) или их квадратов |Ψ(X)|2, построенные с использованием уровней энергии E в качестве осей абсцисс.

Оси абсцисс имеют градуировку, позволяющую определять протяженность тех или иных участков на графиках. Цена деления в градуировке составляет 0,1 условной единицы длины.

Поиск физически приемлемых решений состоит в нахождении методом проб и ошибок таких значений энергии E, при которых график волновой функции не расходится в заданных пределах изменения координаты. Существенно, что при отклонении E от собственного значения в большую или меньшую сторону волновая функция расходится (т. е. неограниченно возрастает) в разных направлениях (вверх либо вниз). В процессе поиска собственных значений энергии (или уровней энергии) находят «вилку», т. е. такие два значения E, при которых волновая функция будет расходиться в разных направлениях. Ширину этой «вилки» сужают настолько, чтобы она сравнялась с требуемой точностью собственного значения E .

Чтобы перейти к выполнению лабораторной работы, необходимо ответить на несколько Проверочных вопросов.. Если вы ответили неправильно хотя бы на один вопрос, то вы не сможете выполнять работу до тех пор, пока не найдете и не исправите ошибку.

Программа может работать в Двух режимах: ручном и автоматическом. Параметры потенциальных ям могут быть введены или изменены только в ручном режиме. В Ручном режиме, наблюдая за ходом графика волновой функции, путем проб и ошибок находят «вилку», т. е. два значения энергии, между которыми лежит собственное значение E, а затем сужают эту «вилку» до требуемой точности. В Автоматическом режиме программа, действуя по тому же принципу, сама находит все собственные значения энергии E и строит соответствующие им волновые функции. Найденные собственные значения энергии выводятся в таблицу.

Чтобы автоматический режим стал доступен, нужно найти три уровня энергии E в ручном режиме. Ввод параметров новых потенциальных ям может быть выполнен только в ручном режиме. При этом сохраняется возможность проведения вычислений и в автоматическом режиме.

Результаты компьютерных решений, проведенных при ħ=M=1, легко пересчитать на прямоугольные ямы, параметры которых заданы в размерных единицах. Пересчет можно сделать, в частности, на основе сопоставления формул (6.9б) и (6.9в).

Для ввода значения энергии E следует набрать некоторое вещественное число и нажать клавишу “Enter”. Аналогично осуществляется ввод остальных параметров.

Меню “Настройки” состоит из команд:

– “Квадрат волновой функции” – строит графики квадрата волновой функции;

– “Сравнить с бесконечно глубокой ямой” – отображает две ямы: конечной и бесконечной глубины вместе с волновыми функциями (команда доступна только в автоматическом режиме );

– “Сравнить с ямами удвоенной глубины и ширины” – отображаются три ямы вместе с волновыми функциями для сравнения (команда доступна только в автоматическом режиме );

– “Размещать окно в экране” – позволяет изменять размеры окна вывода следующей за ней командой;

– “Размеры окна” – изменяет размер окна;

– “Масштабировать на всё окно” – при снятии флажка с этой команды изображение будет выводиться на экран с фиксированным коэффициентом масштабирования по вертикали.

Меню “Работа” позволяет осуществлять переход между частями лабораторной работы. Ко второй части («Прямоугольная потенциальная яма») можно переходить лишь после выполнения первой части («Линейный гармонический осциллятор»).

1. Для линейного гармонического осциллятора с заданным коэффициентном жесткости K (значение K задает преподаватель) найдите уровни энергии и волновые функции основного и нескольких ближайших к нему возбуждённых состояний. (Сначала нужно в ручном режиме найти три значения энергии, при которых волновая функция не расходится, после чего остальные уровни можно найти в автоматическом режиме.)

Используя градуировку осей абсцисс на экране компьютера, определите длину ΔXn участка графика Ψ2(X) в классически запрещенной области (до его касания с осью X). Проделайте это для всех уровней энергии.

Сравните найденные собственные значения En´ с рассчитанными по формуле (6.8)

,

Положив в ней и M = 1, и оцените погрешность использованного численного метода решения уравнения Шредингера. Полученные данные занесите в табл. 6.1.