Решение уравнения sinx a частные случаи решения

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)

Арксинус. Решение уравнения sin x = a

п.1. Понятие арксинуса

В записи \(y=sinx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – синус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному синусy найти угол. Но одному значению синусa соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(sinx=1\), то \(x=\frac\pi2+2\pi k,\ k\in\mathbb\); если \(sinx=0\), то \(x=\pi k,\ k\in\mathbb\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором синус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(-\frac\pi2 \leq x\leq \frac\pi2\) (правая половина числовой окружности).

\(arcsin\frac12=\frac\pi6,\ \ arcsin\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=-\frac<\pi><3>\)
\(arcsin2\) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arcsinx

1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(-\frac\pi2\leq arcsinx\leq \frac\pi2\) . Область значений \(y\in[-\frac\pi2; \frac\pi2]\)
3. Максимальное значение \(y_=\frac\pi2\) достигается в точке x=1
Минимальное значение \(y_=-\frac\pi2\) достигается в точке x =-1
4. Функция возрастает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
6. Функция нечётная: \(arcsin(-x)=-arcsin(x)\) .

п.3. Уравнение sin⁡x=a

Значениями арксинуса могут быть только углы от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\) (от -90° до 90°). А как выразить другие углы через арксинус?

Углы в левой части числовой окружности записывают как разность π и арксинуса (угла справа). А остальные углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арксинуса и величин, которые «не помещаются» в область значений арксинуса.

1) Решим уравнение \(sinx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через через эту точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\frac\pi6\) и \(\frac<5\pi><6>\) — это базовые корни.
Если взять корень справа \(\frac\pi6\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi6+2\pi=\frac<13\pi><6>\), синус полученного угла \(sin\frac<13\pi><6>=\frac12\), т.е. \(\frac<13\pi><6>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi6+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(\frac<5\pi><6>+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x_1=\frac\pi6+2\pi k\) и \(x_2=\frac<5\pi><6>+2\pi k\)
Заметим, что \(arcsin\frac12=\frac\pi6\). Полученный ответ является записью вида
\(x_1=arcsin\frac12+2\pi k\) и \(x_2=\pi-arcsin\frac12+2\pi k\)
А т.к. арксинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi6\), то мы его просто подставляем и пишем ответ. Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение \(sinx=0,8\)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению правая точка – это угол, равный arcsin0,8. Тогда левая точка – это разность развернутого угла и арксинуса, т.е. (π–arcsin⁡0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x_1=arcsin0,8+2\pi k,\) \(x_2=\pi-arcsin0,8+2\pi k\)

Докажем, что семейства решений для корней справа и слева можно записать одним выражением \(x=(-1)^k arcsina+\pi k\).
Действительно, для чётных \(k=2n\) получаем: $$ x=(-1)^ <2n>arcsina+\pi \cdot 2n=arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня справа (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Для нечётных \(k=2n+1\):
$$ x=(-1)^ <2n+1>arcsina+\pi \cdot (2n+1)=-arcsina+2\pi n +\pi=\pi-arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня слева (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Обратное преобразование двух семейств решений в общую запись аналогично.
Следовательно: $$ x=(-1)^k arcsina+\pi k\Leftrightarrow \left[ \begin x=arcsina+2\pi n\\ x=\pi-arcsina+2\pi n \end \right. $$ Что и требовалось доказать.

Для примеров, решённых выше, можем записать: $$ 1) \left[ \begin x_1=\frac\pi6+2\pi k\\ x_2=\frac<5\pi><6>+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k\frac\pi6 +\pi k $$
$$ 2) \left[ \begin x_1=arcsin0,8+2\pi k\\ x_2=\pi-arcsin0,8+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^karcsin0,8 +\pi k $$ Выбор общей или раздельной записи решения зависит от задачи.
Как правило, если ответ еще не найден, и нужны дальнейшие преобразования, решение записывают как два раздельных семейства.
Если же просто нужно записать ответ, то пишут общее выражение.

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арксинусу. Постройте графики арксинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arcsinx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(-\frac\pi2\leq y\leq \frac\pi2\).
Обратная функция \(y=sinx\) должна иметь ограниченную область определения \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) \(sin x=-1\) \(x=-\frac\pi2+2\pi k\)	б) \(sin x=\frac<\sqrt<2>><2>\) $$ \left[ \begin x_1=\frac\pi4+2\pi k\\ x_2=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^\frac<\pi> <4>+\pi k $$
в) \(sin x=0\) \(x=\pi k\)	г) \(sin x=\sqrt<2>\) \(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет
д) \(sin x=0,7\) \begin \left[ \begin x_1=arcsin(0,7)+2\pi k\\ x_2=\pi-arcsin(0,7)+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\ x=(-1)^k arcsin(0,7) +\pi k \end	e) \(sin x=-0,2\) Арксинус нечетный, поэтому: $$ srcsin(-0,2)=-arcsin(0,2) $$ Получаем: \begin \left[ \begin x_1=-arcsin(0,2)+2\pi k\\ x_2=\pi+arcsin(0,7)+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x=(-1)^arcsin(0,2) +\pi k \end

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arcsin0,2;\ \ arcsin(-0,7);\ \ arcsin\frac\pi4 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси синусов (ось OY) точки с абсциссами 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\)
Значения синусов (углы) считываются на правой половине окружности: чем больше синус (от -1 до 1), тем больше угол (от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\)).
Получаем: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$Способ 2. Решение с помощью графика \(y=arcsinx\)

Отмечаем на оси OY аргументы 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арксинусов по возрастанию: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$Способ 3. Аналитический
Арксинус – функция возрастающая: чем больше аргумент, тем больше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по возрастанию: -0,7; 0,2; \(\frac\pi4\).
И записываем арксинусы по возрастанию: \(arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4\)

Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arcsin(x^2-3x+3)=\frac\pi2\) \begin x^2-3x+3=sin\frac\pi2=1\\ x^2-3x+2=0\\ (x-2)(x-1)=0\\ x_1=1,\ x_2=2 \end Ответ:

\(б)\ arcsin^2x-arcsinx-2=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-2=0\Rightarrow (t-2)(t+1)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=2\gt \frac\pi2 — \text<не подходит>\\ t_2=-1 \end \right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin arcsinx=-1\\ x=sin(-1)=-sin1 \end Ответ: -sin1

\(в)\ arcsin^2x-\pi arcsinx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: \begin t^2-\pi t+\frac<2\pi^2><9>=0\\ D=(-\pi)^2-4\cdot \frac<2\pi^2><9>=\frac<\pi^2><9>,\ \ \sqrt=\frac\pi3 \Rightarrow \left[ \begin t_1=\frac<\pi-\frac\pi3><2>=\frac\pi3\\ t_2=\frac<\pi+\frac\pi3><2>=\frac<2\pi><3>\gt \frac\pi2 — \text <не подходит>\end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной:
\begin arcsinx=\frac\pi3\\ x=sin\frac\pi3=\frac<\sqrt<3>> <2>\end Ответ: \(\frac<\sqrt<3>><2>\)

Разработка урока по алгебре на тему «Уравнение sinx=a» (10 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Конспект урока Уравнение sinx=a.docx

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 45

Разработка урока по теме

алгебра и начала математического анализа, 10 класс.

Автор: учитель математики

МАОУ СОШ №45 г. Калининграда

Борисова Алла Николаевна.

2018 – 2019 учебный год

Автор – Борисова Алла Николаевна

Образовательное учреждение – муниципальное автономное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 45 города Калининграда

Предмет – математика (алгебра и начала математического анализа)

Тема – « Уравнение sinx=a »

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Ю.М.Колягин и др., М.: Просвещение, 2016 г.

Данные о программах, в которых выполнена мультимедийная составляющая работы — Microsoft Office Power Point 2010

ввести определение арксинуса числа, вывести формулу решения уравнения sinx=a и частные случаи решения уравнения, учить решать простейшие тригонометрические уравнения .

проверка знаний и умений по теме «Уравнение cos x =а »;

ввести определение арксинуса числа;

вывести формулу решения уравнения sinx=a и частные случаи решения уравнения

уметь выполнять преобразование выражений, используя определение арксинуса числа;

учить решать простейшие тригонометрические уравнения вида sinx=a .

развивать логическое и образное мышление и умение делать выводы;

развитие познавательного интереса к предмету;

формирование потребности в приобретении знаний.

воспитывать познавательную активность, самостоятельность, стремление расширять свой кругозор.

воспитывать чувство взаимопомощи, умение слушать и слышать одноклассников ;

воспитывать требовательное отношение к себе и своей работе.

Оборудование и материалы для урока : проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал.

Тип урока : комбинированный урок.

Формы организации работы: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Взаимное приветствие. Включение в деловой ритм, проверка подготовленности учащихся к уроку.

Объявляется цель и план урока.

II. Повторение изученного материала. Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа по теме

Самостоятельная работа по теме

III . Изучение нового материала.

1) При изучении нового материала использовать слайды №2 — 9.

— Рассмотрим уравнение sinx = a .

— Вспомним, что такое sinx ?

(Ордината точки (или точек) единичной окружности, полученной поворотом точки Р(1;0) вокруг начала координат на угол х).

— Значит, корни уравнения sinx = a − углы поворота точки Р(1;0) в точку единичной окружности, имеющей абсциссу а .

2) — Решим уравнение

— Убедимся, в формуле

а) Пусть — чётное, тогда

б) Пусть — нечётное, тогда

— Заметим, что уравнение имеет бесконечное множество корней, но на отрезке оно имеет единственный корень

4) — Сделайте вывод, когда уравнение sinx = a не имеет корней?

— Когда уравнение sinx = a имеет бесконечно много корней?

Запись в тетрадь:

5) Рассмотреть частные случаи уравнения sinx = a по единичной окружности. Один ученик работает на доске.

Запись в тетрадь:

1) С комментированием у доски после обсуждения решить упражнения

2) Работа в парах. Самостоятельно решить № 588 . Один ученик работает на крыле доски. После окончания работы проверка.

V . Подведение итогов урока.

— Итак, чему вы сегодня научились?

— С каким понятием познакомились?

(Познакомились с понятием арксинуса; общую формулой решения уравнения sin х = a, с его частными случаями и выработали алгоритм решения данного уравнения).

Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся. Выставление отметок за урок.

Выбранный для просмотра документ Уравнение sinx=a..pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

Уравнение sin x = a

Рассмотрим уравнение sinx = a. Вспомним, что такое sinx? (Ордината точки (или точек) единичной окружности, полученной поворотом точки Р(1;0) вокруг начала координат на угол х). Значит, корни уравнения sinx = a − углы поворота точки Р(1;0) в точку единичной окружности, имеющей абсциссу а.

Решим уравнение sinx =

M2 M1 sin x = х1 = + 2πn, n ϵ Z х2 = + 2πn, n ϵ Z х2 = π − + 2πn, n ϵ Z х =(−1)n + πn, n ϵ Z 0 − x y

M2 M1 0 − Уравнение sin x = имеет бесконечное множество корней. Но на отрезке [ ] оно имеет только один корень x y

Число называют арксинусом числа и записывают arcsin = . Определение Арксинусом числа а ϵ [− 1;1] называется такое число α ϵ [ ] , синус которого равен а. arcsin a =α, если sin α = а и − ≤ α ≤ , |а|≤ 1. Верна также формула: arcsin (−a )= − arcsin a, где а ϵ [− 1;1] .

т.к. 0; т.к. т.к. Примеры

Уравнение sin x = a не имеет корней, если 2) имеет бесконечно много корней, если Вывод х =(−1)n arcsin a + πn, n ϵ Z

Частные случаи уравнения sin х = a 1. sin х = −1; x =− + 2πn, n ϵ Z 2. sin х = 0; x = πn, n ϵ Z 3. sin х = 1; x = + 2πn, n ϵ Z

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 660 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни)», Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 30.03.2019
• 488
• 17

• 30.03.2019
• 3065
• 90

• 27.03.2019
• 276
• 5

• 25.03.2019
• 222
• 0

• 24.03.2019
• 2712
• 37

• 21.03.2019
• 137
• 1

• 17.03.2019
• 267
• 1

• 15.03.2019
• 213
• 2

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 07.04.2019 1979
• RAR 2.6 мбайт
• 300 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Борисова Алла Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 5 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 6
• Всего просмотров: 293636
• Всего материалов: 111

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Минобрнауки создаст для вузов рекомендации по поддержке молодых семей

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Ленобласть распределит в школы прибывающих из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки