Уравнение. Простейшее тригонометрическое уравнение sin х = а.
Существует возможность отобразить всякий корень уравнения sin х = а, как абсциссу некой точки пересечения синусоиды у =sinх и прямой у = а, и, соответственно верно обратное, абсцисса всякой такой точки пересечения выступает одним из корней уравнения.
При | а| >1 синусоида у = sin х не пересечется с прямой у = а. В данном случае у уравнения нет корней.
При а = 0 у уравнение sin x = а будут корни:
где m изменяется по всем целым числам (m = 0, ±1, ±2, ±3, . ).
Несомненно, arcsin0 = 0 и соответственно получаем (-1) m arcsin 0 + mπ = mπ.
При а = 1, корни уравнения определяются по формуле:
где k изменяется по всем целым числам (k = 0, ±1, ±2, ±3, . ).
Для обоснования формулы выполним подстановку: а = 1 в формулу:
(-1) m arcsin0+ mπ = mπ и принимая к сведению, что arcsin 1= π /2, имеем: (- 1) m arcsin 1 + mπ= (- 1) mπ /2 + mπ.
где k изменяется по всем целым числам (k = 0, ±1, ±2, ±3, . . .).
Необходимо учитывать, что все вышеуказанные формулы можно применять в том случае, когда искомый угол х представлен в радианах. Когда х представлен в градусах, то эти формулы нужно преобразовать.
К примеру, вместо формулы (-1) m arcsin 0 + mπ = mπ необходимо применять формулу х= (-1) m arcsinа + 180m, вместо формулы х = mπ — формулу х= 180 m и т. д.
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс
Уравнение sinx=a
Уравнение sinx=a
Необходимо запомнить
Итак, на этом уроке мы познакомились с понятием арксинуса.
Арксинусом числа $m (|m| \leq1) $ называется такое число $\alpha$, что: $sin\alpha = m $ и $- \frac <\pi> <2>\leq \alpha \leq \frac <\pi><2>$.
Арксинус числа $m$ обозначают:$arcsin m $
Получили три простейших тождества для арксинуса.
1) $sin (arcsin m) = m $ для любого $m$:$|m| \leq 1$
2) $arcsin ( sin \alpha) = \alpha$ для любого $\alpha: — \frac <\pi> <2>\leq\alpha \leq \frac <\pi><2>$
3) $arcsin (-m) = — arcsin $ $ m$
Мы узнали, какую форму имеет решение тригонометрического уравнения $sinx = \alpha$:
Решением уравнения $sin \alpha = m$ являются все числа вида
$ \alpha = \left[ \begin
Оно имеет решение при $|\alpha| \leq 1$.
Для краткости решение тригонометрического уравнения $sin x = m$ можно записать в виде: $ x = (-1)^n arcsin m + \pi k, k \in Z$.
Арксинус. Решение уравнения sin x = a
п.1. Понятие арксинуса
В записи \(y=sinx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – синус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному синусy найти угол. Но одному значению синусa соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(sinx=1\), то \(x=\frac\pi2+2\pi k,\ k\in\mathbb
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором синус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(-\frac\pi2 \leq x\leq \frac\pi2\) (правая половина числовой окружности).
\(arcsin\frac12=\frac\pi6,\ \ arcsin\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=-\frac<\pi><3>\)
\(arcsin2\) – не существует, т.к. 2> 1
п.2. График и свойства функции y=arcsinx
1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(-\frac\pi2\leq arcsinx\leq \frac\pi2\) . Область значений \(y\in[-\frac\pi2; \frac\pi2]\)
3. Максимальное значение \(y_
Минимальное значение \(y_
4. Функция возрастает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
6. Функция нечётная: \(arcsin(-x)=-arcsin(x)\) .
п.3. Уравнение sinx=a
Значениями арксинуса могут быть только углы от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\) (от -90° до 90°). А как выразить другие углы через арксинус? |
Углы в левой части числовой окружности записывают как разность π и арксинуса (угла справа). А остальные углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арксинуса и величин, которые «не помещаются» в область значений арксинуса.
1) Решим уравнение \(sinx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через через эту точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\frac\pi6\) и \(\frac<5\pi><6>\) — это базовые корни.
Если взять корень справа \(\frac\pi6\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi6+2\pi=\frac<13\pi><6>\), синус полученного угла \(sin\frac<13\pi><6>=\frac12\), т.е. \(\frac<13\pi><6>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi6+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(\frac<5\pi><6>+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x_1=\frac\pi6+2\pi k\) и \(x_2=\frac<5\pi><6>+2\pi k\)
Заметим, что \(arcsin\frac12=\frac\pi6\). Полученный ответ является записью вида
\(x_1=arcsin\frac12+2\pi k\) и \(x_2=\pi-arcsin\frac12+2\pi k\)
А т.к. арксинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi6\), то мы его просто подставляем и пишем ответ. Но так бывает далеко не всегда.
2) Решим уравнение \(sinx=0,8\)
Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению правая точка – это угол, равный arcsin0,8. Тогда левая точка – это разность развернутого угла и арксинуса, т.е. (π–arcsin0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x_1=arcsin0,8+2\pi k,\) \(x_2=\pi-arcsin0,8+2\pi k\) |
Докажем, что семейства решений для корней справа и слева можно записать одним выражением \(x=(-1)^k arcsina+\pi k\).
Действительно, для чётных \(k=2n\) получаем: $$ x=(-1)^ <2n>arcsina+\pi \cdot 2n=arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня справа (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Для нечётных \(k=2n+1\):
$$ x=(-1)^ <2n+1>arcsina+\pi \cdot (2n+1)=-arcsina+2\pi n +\pi=\pi-arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня слева (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Обратное преобразование двух семейств решений в общую запись аналогично.
Следовательно: $$ x=(-1)^k arcsina+\pi k\Leftrightarrow \left[ \begin
Для примеров, решённых выше, можем записать: $$ 1) \left[ \begin
$$ 2) \left[ \begin
Как правило, если ответ еще не найден, и нужны дальнейшие преобразования, решение записывают как два раздельных семейства.
Если же просто нужно записать ответ, то пишут общее выражение.
п.4. Примеры
Пример 1. Найдите функцию, обратную арксинусу. Постройте графики арксинуса и найденной функции в одной системе координат.
Для \(y=arcsinx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(-\frac\pi2\leq y\leq \frac\pi2\).
Обратная функция \(y=sinx\) должна иметь ограниченную область определения \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:
Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.
Пример 2. Решите уравнения:
a) \(sin x=-1\) \(x=-\frac\pi2+2\pi k\) | б) \(sin x=\frac<\sqrt<2>><2>\) $$ \left[ \begin |
в) \(sin x=0\) \(x=\pi k\) | г) \(sin x=\sqrt<2>\) \(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет |
д) \(sin x=0,7\) \begin e) \(sin x=-0,2\) | Арксинус нечетный, поэтому: $$ srcsin(-0,2)=-arcsin(0,2) $$ Получаем: \begin |
Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arcsin0,2;\ \ arcsin(-0,7);\ \ arcsin\frac\pi4 $$
Способ 1. Решение с помощью числовой окружности |
Отмечаем на оси синусов (ось OY) точки с абсциссами 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\)
Значения синусов (углы) считываются на правой половине окружности: чем больше синус (от -1 до 1), тем больше угол (от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\)).
Получаем: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$
Отмечаем на оси OY аргументы 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арксинусов по возрастанию: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$
Арксинус – функция возрастающая: чем больше аргумент, тем больше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по возрастанию: -0,7; 0,2; \(\frac\pi4\).
И записываем арксинусы по возрастанию: \(arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4\)
Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arcsin(x^2-3x+3)=\frac\pi2\) \begin
\(б)\ arcsin^2x-arcsinx-2=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-2=0\Rightarrow (t-2)(t+1)=0\Rightarrow \left[ \begin
\(в)\ arcsin^2x-\pi arcsinx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: \begin
\begin
http://resh.edu.ru/subject/lesson/4736/main/
http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/arksinus-reshenie-uravneniya-sinx-a/