Решение уравнения теплопроводности для сферы

Теплопроводность через сферическую оболочку

Теплопроводность через сферическую оболочку

Теплопроводность через сферическую оболочку

Объектом исследования является сферическая оболочка заданной толщины с переменным коэффициентом теплопроводности и с заданными значениями температуры на внутренней и внешней поверхностях оболочки.

Цель проекта — определить распределение температуры внутри оболочки.

В процессе работы выведено дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к данным конкретным условиям задачи и получено решение этого уравнения в виде функции T(r), где T — температура в произвольной точке оболочки а r — расстояние между этой точкой и геометрическим центром оболочки. Разработана программа TSO, рассчитывающая функцию T(r) и строящая её график для различных задаваемых пользователем параметров задачи.

Результатом исследования является аналитическое решение уравнения теплопроводности T(r) и графическая иллюстрация этого решения, изображаемая на экране компьютера программой TSO.

Полученная в проекте функция T(r) и разработанная программа TSO могут быть полезными для разработчиков химических и ядерных реакторов, котлов тепловых станций и различных сосудов в области промышленной и бытовой техники.

Курсовой проект выполнен в текстовом редакторе Microsoft WORD 7.0.

В учении о теплообмене рассматриваются процессы распространения теплоты в твердых, жидких и газообразных телах. Эти процессы по своей физико-механической природе весьма многообразны, отличаются большой сложностью и обычно развиваются в виде целого комплекса разнородных явлений.

Перенос теплоты может осуществляться тремя способами: теплопроводностью, конвекцией и излучением, или радиацией. Эти формы глубоко различны по своей природе и характеризуются различными законами.

Процесс переноса теплоты теплопроводностью происходит между непосредственно соприкасающимися телами или частицами тел с различной температурой. Учение о теплопроводности однородных и изотропных тел опирается на весьма прочный теоретический фундамент. Оно основано на простых количественных законах и располагает хорошо разработанным математическим аппаратом. Теплопроводность представляет собой, согласно взглядам современной физики, молекулярный процесс передачи теплоты.

Известно, что при нагревании тела кинетическая энергия его молекул возрастает. Частицы более нагретой части тела, сталкиваясь при своем беспорядочном движении с соседними частицами, сообщают им часть своей кинетической энергии. Этот процесс постепенно распространяется по всему телу. Перенос теплоты теплопроводностью зависит от физических свойств тела, от его геометрических размерах, а также от разности температур между различными частями тела. При определении переноса теплоты теплопроводностью в реальных телах встречаются известные трудности, которые на практике до сих пор удовлетворительно не решены. Эти трудности состоят в том, что тепловые процессы развиваются в неоднородной среде, свойства которой зависят от температуры и изменяются по объему; кроме того, трудности возникают с увеличением сложности конфигурации системы.

Целью данного курсового проекта является нахождение закона распределения температуры в веществе, которым заполнено пространство между двумя сферами.

2 Основные положения теплопроводности

2.1 Температурное поле

Теплопроводность представляет собой процесс распространения энергии между частицами тела, находящимися друг с другом в соприкосновении и имеющими различные температуры.

Рассмотрим нагрев какого-либо однородного и изотропного тела. Изотропным называют тело, обладающее одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При нагреве такого тела температура его в различных точках изменяется во времени и теплота распространяется от точек с более высокой температурой к точкам с более низкой. Из этого следует, что в общем случае процесс передачи теплоты теплопроводностью в твердом теле сопровождается изменением температуры Tкак в пространстве, так и во времени:

,———(2.1)

где — координаты точки;

Эта функция определяет температурное поле в рассматриваемом теле. В математической физике температурным полем называют совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства, в котором протекает процесс.

Если температура тела есть функция координат и времени, то температурное поле называют нестационарным, т. е. зависящим от времени:

.———(2.2)

Такое поле отвечает неустановившемуся тепловому режиму теплопроводности.

Если температура тела есть функция только координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле тела называют стационарным:

.———(2.3)

Уравнения двухмерного температурного поля для режима стационарного:

;———(2.4)

.———(2.5)

На практике встречаются задачи, когда температура тела является функцией одной координаты, тогда уравнения одномерного температурного поля для режима стационарного:

;—-(2.6)

.—-(2.7)

Одномерной, например, является задача о переносе теплоты в стенке, у которой длину и ширину можно считать бесконечно большой по сравнению с толщиной.

2.2 Градиент температуры

Если соединить точки тела с одинаковой температурой, то получим поверхность равных температур, называемую изотермической. Изотермические поверхности между собой никогда не пересекаются. Они либо замыкаются на себя, либо кончаются на границах тела.

Рассмотрим две близкие изотермические поверхности с температурами T и T + Δ T(рисунок 2.1).

Перемещаясь из какой либо точки А, можно обнаружить, что интенсивность изменения температуры по различным направлениям неодинакова. Если перемещаться по изотермической поверхности, то изменения температуры не обнаружим. Если же перемещаться вдоль какого-либо направления P, то наблюдаем изменение температуры. Наибольшая разность температур на единицу длины будет в направлении нормали к изотермической поверхности. Предел отношения изменения температуры к расстоянию между изотермами по нормали , когда стремится к нулю, называют градиентом температуры.

———(2.8)

Градиент температуры есть вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный частной производной от температуры по этому направлению. За положительное направление градиента принимается направление возрастания температур.

2.3 Основной закон теплопроводности

Для распространения теплоты в любом теле или пространстве необходимо наличие разности температур в различных точках тела. Это условие относится и к передаче теплоты теплопроводностью, при которой градиент температуры в различных точках тела не должен быть равен нулю.

Связь между количеством теплоты , проходящим за промежуток времени через элементарную площадку dS, расположенную на изотермической поверхности, и градиентом температуры устанавливается гипотезой Фурье, согласно которой

.—-(2.9)

Минус в правой части показывает, что в направлении теплового потока температура убывает и grad T является величиной отрицательной. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплопроводности или более кратко — теплопроводностью. Справедливость гипотезы Фурье подтверждено многочисленными опытными данными, поэтому эта гипотеза в настоящее время носит название основного уравнения теплопроводности или закона Фурье.

Отношение количества теплоты, проходящего через заданную поверхность, ко времени называют тепловым потоком. Тепловой поток обозначают q и выражают в ваттах (Вт):

.———(2.10)

Отношение теплового потока dq через малый элемент изотермической поверхности к площади dS этой поверхности называют поверхностной плотностью теплового потока (или вектором плотности теплового потока), обозначают j и выражают в ваттах на квадратный метр (Вт/м2):

.————(2.11)

Вектор плотности теплового потока направлен по нормали к изотермической поверхности в сторону убывания температуры. Векторы j и grad T лежат на одной прямой, но направлены в противоположные стороны.

Тепловой поток q, прошедший сквозь произвольную поверхность S, находят из выражения

.———(2.12)

Количество теплоты, прошедшее через эту поверхность в течение времени t, определяется интегралом

.———(2.13)

Таким образом, для определения количества теплоты, проходящего через какую-либо произвольную поверхность твердого тела, необходимо знать температурное поле внутри рассматриваемого тела. Нахождение температурного поля и составляет основную задачу аналитической теории теплопроводности.

2.4 Дифференциальное уравнение теплопроводности

Изучение любого физического процесса связано с установлением зависимости между величинами, характеризующими данный процесс. Для сложных процессов, к которым относится передача теплоты теплопроводностью, при установлении зависимостей между величинами удобно воспользоваться методами математической физики, которая рассматривает протекание процесса не во всем изучаемом пространстве, а в элементарном объеме вещества в течение бесконечно малого отрезка времени. Связь между величинами, участвующими в передаче теплоты теплопроводностью, устанавливается дифференциальным уравнением теплопроводности. В пределах выбранного элементарного объема и бесконечно малого отрезка времени становится возможным пренебречь изменением некоторых величин, характеризующих процесс.

При выводе дифференциального уравнения теплопроводности принимаются следующие допущения:

внутренние источники теплоты отсутствуют;

среда, в которой распространяется тепло, однородна и изотропна;

используется закон сохранения энергии, который для данного случая формулируется так: разность между количеством теплоты, вошедшей вследствие теплопроводности в элементарный параллелепипед за время dt и вышедшей из него за тоже время, расходуется на изменение внутренней энергии рассматриваемого элементарного объема.

Выделим в среде элементарный параллелепипед с ребрами (рисунок 2.2). Температуры граней различны, поэтому через параллелепипед проходит теплота в направлении осей . Через площадку за время dt, согласно уравнению Фурье, проходит количество теплоты:

———(2.14)

(grad T взят в виде частной производной, т. к. предполагается зависимость температуры не только от x, но и от других координат и времени).

Через противоположную грань на расстоянии dz отводится количество теплоты, определяемое из выражения:

,———(2.15)

где — температура второй грани, а величина определяет изменение температуры в направлении z.

Последнее уравнение можно представить в другом виде:

.—-(2.16)

Итак, приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси z равно:

.———(2.17)

Приращение внутренней энергии в параллелепипеде за счёт потока тепла в направлении оси y выразится аналогичным уравнением:

,———(2.18)

а в направлении оси x:

.———(2.19)

Полное приращение внутренней энергии в параллелепипеде:

.—-(2.20)

С другой стороны, согласно закону сохранения энергии:

,———(2.21)

где — объем параллелепипеда;

— масса параллелепипеда;

c — удельная теплоемкость среды;

— плотность среды;

— изменение температуры в данной точке среды за время dt.

Левые части уравнения (2.20) и (2.21) равны, поэтому:

,—-(2.22)

.———(2.23)

Величину называют оператором Лапласа и обычно обозначают сокращенно ; величину называют температуропроводностью и обозначают буквой a. При указанных обозначениях дифференциальное уравнение теплопроводности принимает вид:

.———(2.24)

Уравнение (2.24) называется дифференциальным уравнением теплопроводности (или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты. Оно является основным при изучении вопросов нагревания и охлаждения тел в процессе передачи теплоты теплопроводностью и устанавливает связь между временным и пространственным изменениям температуры в любой точке поля.

Температуропроводность является физическим параметром вещества и имеет единицу м2/c. В нестационарных тепловых процессах a характеризует скорость изменения температуры.

Из уравнения (2.24) следует, что изменение температуры во времени для любой точки тела пропорционально величине a. Поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности с источником теплоты внутри тела имеет вид:

,———(2.25)

гдеqV — удельная мощность источника, то есть количество выделяемой теплоты в единице объёма вещества в единицу времени.

Это уравнение записано в декартовых координатах. В других координатах оператор Лапласа имеет иной вид, поэтому меняется и вид уравнения. Например, в цилиндрических координатах дифференциальное уравнение теплопроводности с внутренним источником теплоты таково:

,—-(2.26)

гдеr — радиус-вектор в цилиндрической системе координат;

— полярный угол.

2.5 Краевые условия

Полученное дифференциальное уравнение Фурье описывает явления передачи теплоты теплопроводностью в самом общем виде. Для того чтобы применить его к конкретному случаю, необходимо знать распределение температур в теле или начальные условия. Кроме того, должны быть известны:

геометрическая форма и размеры тела,

физические параметры среды и тела,

граничные условия, характеризующие распределение температур на поверхности тела, или взаимодействие изучаемого тела с окружающей средой.

Все эти частные особенности совместно с дифференциальным уравнением дают полное описание конкретного процесса теплопроводности и называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Обычно начальные условия распределения температуры задаются для момента времени t = 0.

Граничные условия могут быть заданы тремя способами.

Граничное условие первого рода задается распределением температуры на поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие второго рода задается поверхностной плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени.

Граничное условие третьего рода задается температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхность тела и окружающей средой.

Решение дифференциального уравнения теплопроводности при заданных условиях однозначности позволяет определить температурное поле во всем объеме тела для любого момента времени или найти функцию .

2.6 Теплопроводность через шаровую стенку

С учётом описанной в разделах 2.1 — 2.5 терминологии задачу данной курсовой работы можно сформулировать так. Постоянный тепловой поток направлен через шаровую стенку, причем источником теплоты является внутренняя сфера радиусом R1. Мощность источника P постоянна. Среда между граничными сферами изотропна, поэтому её теплопроводность χ является функцией одной переменной — расстояния от центра сфер (радиуса) r. По условию задачи . Вследствие этого температура среды тоже является в данном случае функцией одной переменной — радиуса r: T = T(r), а изотермические поверхности это концентрические сферы. Таким образом искомое температурное поле — стационарное и одномерное, а граничные условия являются условиями первого рода: T(R1) = T1, T(R2) = T2.

Из одномерности температурного поля следует, что плотность теплового потока j так же, как теплопроводность и температура, являются в данном случае функциями одной переменной — радиуса r. Неизвестные функции j(r) и T(r) можно определить одним из двух способов: или решать дифференциальное уравнение Фурье (2.25), или использовать закон Фурье (2.11). В данной работе избран второй способ. Закон Фурье для исследуемого одномерного сферически симметричного температурного поля имеет вид:

.————(2.27)

В этом уравнении учтено, что вектор нормали к изотермической поверхности n параллелен радиус-вектору r. Поэтому производная может быть записана как.

Определим зависимость плотности теплового потока j от r. Для этого сначала вычислим тепловой поток q через сферу произвольного радиуса r > R.

.————(2.28)

В частности, тепловой поток q1 через внутреннюю сферу радиусом R1 и тепловой поток q2 через наружную сферу радиусом R2 равны

———(2.29)

Все эти три потока создаются одним и тем же источником мощностью P. Поэтому все они равны P и поэтому равны между собой.

.————(2.30)

С учётом (2.28) и (2.29) это равенство можно записать в виде:

.———(2.31)

,———

получаем искомую зависимость плотности теплового потока j от радиуса r:

,————(2.32)

где C1 — это константа, определяемая формулой

.———(2.33)

Физический смысл полученного результата достаточно ясен: это известный закон обратных квадратов, характерный для задач со сферической симметрией.

Теперь, так как функция j(r) известна, можно рассматривать уравнение (2.27) как дифференциальное уравнение относительно функции T(r). Решение этого уравнение и даст искомое распределение температур. Подставив в (2.27) выражение (2.32) и заданную функцию , получим следующее дифференциальное уравнение:

.————(2.34)

Данное уравнение решается методом разделения переменных:

.————

Интегрирование этого выражения даёт:

———

Итак, функция T(r) имеет вид:

.———(2.35)

Константы C1 и C2 можно определить из граничных условий T(R1) = T1,
T(R2) = T2. Подстановка этих условий в (2.35) даёт линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными C1 и C2:

.———(2.36)

Вычитая из первого уравнения второе, получим уравнение относительно C1:

,———

.———(2.37)

С учётом этого выражение (2.35) можно записать в виде:

.———(2.38)

Теперь первое граничное условие T(R1) = T1 даёт:

,———(2.39)

откуда следует выражение для константы C2:

.———(2.40)

Подстановка (2.40) в (2.39) даёт окончательное выражение для искомой функцииT(r):

.———(2.41)

Зная функцию T(r), можно из закона Фурье

————

определить и окончательное выражение для плотности теплового потока j как функции от радиуса r:

. ———(2.42)

Интересно отметить, что распределение температур не зависит от коэффициента b, но зато плотность потока пропорциональна b.

В результате проделанной работы выведено дифференциальное уравнение теплопроводности применительно к данным конкретным условиям задачи и получено решение этого уравнения в виде функции T(r). Разработана программа TSO, рассчитывающая функцию T(r) и строящая её график для различных задаваемых пользователем параметров задачи.

О выборе температурного профиля при решении уравнения теплопроводности в сферических координатах методом интеграла теплового баланса Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Городов Р. В., Кузьмин А. В.

С помощью интегрального метода получены решения уравнения теплопроводности для шара и области, ограниченной изнутри сферической полостью. Показано влияние выбора температурного профиля на эффективность приближенного аналитического решения. Предлагается вариант уточнения решения в переходной области.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Городов Р. В., Кузьмин А. В.

Текст научной работы на тему «О выборе температурного профиля при решении уравнения теплопроводности в сферических координатах методом интеграла теплового баланса»

1. Paschall R.K. The Age of Fission Neutrons to Indium Resonance Energy in Water // Nucl. Sei. and Eng. — 1964. — V. 20. -P. 436-444.

2. Paschall R.K. The Age of Fission Neutrons to Indium Resonance Energy in Zirconium-Water Mixtures — I. Experiment // Nucl. Sei. and Eng. — 1965. — V. 23. — P. 256-263.

3. Paschall R.K. The Age of Fission Neutrons to Indium Resonance Energy in Aluminum-Water Mixtures // Transactions of ANS. -1965.-V. 8,-№2.-P.467-468.

4. Paschall R.K. The Age of Fission Neutrons to Indium Resonance Energy in Aluminum-Water Mixtures //Nucl. Sei. and Eng. — 1966. -V. 26.-P. 73-79.

5. Paschall R.K. The Age of Fission Neutrons to Indium Resonance Energy in Iron-Water Mixtures — I. Experiment // J. Nucl. Energy. Part A/B. — 1966. — V. 20. — P. 25-35.

6. Alter H. The Age of Fission Neutrons to Indium Resonance Energy in Zirconium-Water Mixtures — II. Theory // Nucl. Sei. and Eng. —

1965.-V. 23.-P. 264-271.

7. Alter H. The Age of Fission Neutrons to Indium Resonance Energy in Iron-Water Mixtures — II. Theory // J. Nucl. Energy. Part A/B. —

8. Марченко JI.B., Сергеев Ю.А. Расчет квадрата длины замедления для различных сред в 18- и 26-групповых Ргприближениях и их сравнение с экспериментальными данными // Бюллетень центра по ядерным данным. — М.: Атомиздат, 1969. — Вып. 6. -С. 319-390.

9. Zyk I.S., Kuzmin A.V. Approximations for the age of fission neutrons in mixtures zirconium, aluminum and water // Modern

Techniques and Technologie: Transactions XII Internat. Scientific and Practical Conf. — Tomsk, 2006. — P. 154-156.

10. АлексеевА.В., Кузьмин A.B. Аппроксимации экспериментальных и расчетных данных по возрасту нейтронов деления в же-лезо-водной смеси // Современные техника и технологии: Труды XII Меддунар. научно-практ. конф. — Томск, 2006. — Т. 2. -С. 336-338.

11. Алексеев А.В., Зык И.С., Кузьмин А.В. К определению возраста нейтронов деления в смесях металлов с водой // Трансфер технологий, инновации, современные проблемы атомной отрасли: Труды Междунар. научно-практ. конф. — Снежинск, 2006. — С. 215-216.

12. Бекурц К., Виртц К. Нейтронная физика. — М.: Атомиздат, 1968.-456 с.

13. Галанин А.Д. Введение в теорию ядерных реакторов на тепловых нейтронах. — М.: Энергоатомиздат, 1990. — 536 с.

14. Герасева Л.А., Вавилов В.В. Замедление нейтронов в железоводных смесях // Атомная энергия. — 1960. — Т. 8. — Вып. 6. -С. 556-557.

15. Наумов В.А., Розин С.Г. Решение задач физики реакторов методом Монте-Карло. — Минск: Наука и техника, 1978. — 208 с.

16. Гарусов Е.А., Петров Ю.В. Моменты функции замедления и её малогрупповые модели для водо-металлических смесей // Атомная энергия. — 1974. — Т. 36. — Вып. 2. — С. 143-144.

17. Галанин А.Д. Теория ядерных реакторов на тепловых нейтронах. — М.: Атомиздат, 1959. — 383 с.

Поступила 07.12.2006 г.

О ВЫБОРЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПРОФИЛЯ ПРИ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛА ТЕПЛОВОГО БАЛАНСА

Р.В. Городов, A.B. Кузьмин

Томский политехнический университет E-mail: gorodov@tpu.ru

С помощью интегрального метода получены решения уравнения теплопроводности для шара и области, ограниченной изнутри сферической полостью. Показано влияние выбора температурного профиля на эффективность приближенного аналитического решения. Предлагается вариант уточнения решения в переходной области.

Точные решения задач теплопроводности достаточно громоздки и трудоемки. К тому же они практически отсутствуют в задачах о радиальном потоке тепла в сферических координатах с изменением агрегатного состояния [1,2]. Поэтому для решения практических задач обычно используют графики, полученные численными или приближенными методами [3]. Одним из приближенных аналитических методов является метод интеграла теплового баланса (ИТБ), в котором, прежде всего, привлекают его физическая ясность, простота и достаточно высокая точность результатов, что наглядно показывает Т. Гудмен [4] на многочислен-

ных примерах. Основная трудность, с которой приходится сталкиваться при использовании метода ИТБ, заключается в правильном задании температурного профиля, который, по мнению Т. Гудмена, значительно влияет на точность результатов.

Существует несколько подходов в выборе температурных профилей. В работе [5] А.И. Вейник предлагает для задач любой геометрии использовать температурные профили в виде обычных полиномов, что должно упрощать решение поставленной задачи.

Ссылаясь на работу Ф. Поля и Т. Ларднера [6] и не приводя решения, Т. Гудмен в своей статье [4] рекомендует в случае сферической симметрии использовать температурный профиль вида:

где Г(г,/) — температура тела; г — текущий радиус, / — время.

Это обосновывается тем, что точное решение задач пропорционально величине 1/г, и использование профиля в виде обычного полинома при больших временах будет давать значительную ошибку.

Для внешней задачи (области, ограниченной изнутри сферической полостью) с граничными условиями второго рода Г. Карслоу и Д. Егер [3] приводят следующее решение:

ÔT 1 d( 2dT\ л — = a—-— r —I, 0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Выражения (10) и (11) являются приближенным решением поставленной задачи.

Необходимо отметить, что граничных условий (5-7) достаточно только для определения трех коэффициентов Д в температурных профилях. Поэтому для использования полиномов больших степеней необходимо задать дополнительные граничные условия, которые можно получить следующим образом: дТп^-8)

С учетом (12) решения задачи с полиномами степени п>1 примут вид:

1) для Г(г,/)=полином/г:

(n +1) • (n + 2) • (n — 8 )

2) для Г(г,/)=полином:

Помимо распределения температуры в инженерных расчетах наиболее часто приходится определять среднюю температуру тела и количество тепла, переданного телу [3]:

Т = —\Тс!У, , «пов» и «О») для разных моментов времени:

ческий смысл, и для описания процесса приближенным методом ИТБ потребуются новые граничные условия вместо использованных ранее (6) и (7).

Одним из них является условие в центре шара:

Отметим, что профиль вида Г(г,/)=полином/г не дает возможности использовать условие (18). Поэтому для этой стадии процесса ход решения приведем для профиля в виде квадратичного полинома 7,(г,/)=Д+Дг1-/32г2.

Для восстановления констант Д, Д и Д требуется ещё одно дополнительное граничное условие. В качестве одного из вариантов положим, что температура на поверхности шара является какой-то функцией времени:

Очевидно, что при выполнении условия (19) профиль температуры и интеграл теплового баланса примут вид:

где © = J Tr2dr. Используя (20), найдем:

Значения характеристик (17) и погрешности их определения (Д, %) для различных моментов времени представлены в табл. 1-4.

На второй стадии процесса нагрева шара постоянным тепловым потоком величина 8(t) — глубина проникания теплового импульса теряет физи-

Выражение (22) подставим в (21) и разрешим полученное дифференциальное уравнение относительно г=Д0- Для этого домножим (21) на Ли проинтегрируем правую часть в пределах от ^ (время окончания первой стадии) до /, а левую — в пределах от г(к)= ЦЯ^дЯ/ 2Х+ Г0 до г(/):

После интегрирования найдем функцию:

Таблица 1. Сравнение точного и приближенных решений на начальной стадии процесса нагрева тела*

Точное решение (3) Приближенное решение (13,14) Приближенное решение (15,16)

Kl (fel i&L A, % i&L A, % i&L A, % (&L A, %

79,539 213,88 79,539 0,0003 213,441 0,2068 79,539 0,0003 209,659 1,9740

45,001 154,70 44,999 0,0024 154,126 0,371 45,000 0,0024 151,647 1,9728

15,002 85,062 14,999 0,0148 84,558 0,592 14,999 0,1471 83,620 1,6953

1,499 25,889 1,499 -0,0456 25,530 1,388 1,500 -0,0455 25,428 1,7802

0,148 8,029 0,149 -1,0650 7,958 0,890 0,150 -1,0767 7,947 1,0178

*Расчетные значения характерных температур умножены на Ш и получены при п=4

и после подстановки её в (3) и получим: За/ 1 ”2

3 а^ 1 г’ Л2 2 Л2

В выражении (23) а/1/Л2=Ро1 — число Фурье на момент окончания начальной стадии процесса (для профилей в виде полиномов определяется по (16) при 5 =1). С учетом этого приближенное решение для распределения температуры в виде квадратичного полинома на второй стадии процесса будет определяться выражением:

или в безразмерном виде

— = ЗБо — 0,3 +—, РоБо1. (25) Кл 2

Если воспользоваться для задания температурного профиля полиномом «-степени, то решение запишется следующим образом:

Видно, что полученное приближенное решение (24, 25) совпадает с первыми членами точного решения (3). В момент времени Ро=0,25 расхождение приближенного и точного решений составляет менее 1 %, а при больших значениях стремится к нулю. Это объясняется тем, что, начиная с Ро=0,25, процесс нагрева тела становится квазистационарным: температу-

ра любой точки повышается по линейному закону, а распределение температуры следует закону параболы

[2]. В табл. 2 приведены значения температур на поверхности и в центре шара, а также средней по объему температуры и их расхождения с соответствующими величинами, полученными из точного решения.

Если оценивать результаты приближенных решений (табл. 1, 2), то можно заметить, что они имеют асимптотический характер при малых и больших значениях Ро. Появляется область, в которой начинает возрастать погрешность этих приближений. Приведем один из возможных вариантов улучшения точности на этом участке решения. Назовем переходной стадией участок процесса нагрева тела от времени окончания начальной стадии по точному решению Ро«0,0265 до обоснованного выше значения Ро=0,25. В этом временном промежутке точность приближенного решения (26) главным образом определяется значением показателя степени полинома, который зависит от числа Фурье. В результате была получена аппроксимационная зависимость и=и(Ро):

„(То) 0,0265 1 получим следующие решения:

1) для Г(г,0=полином/г:

5 «_1 • (н + 5 ) • r ‘ (n + 2) • 82 + 81

(n +1) • (n + 2) • (n + 5 )

2) для Г(г,0=полином:

77 + 2 (77 + 2)(/7 + 3)

Результаты расчета характерных температур для разных значений Ро сведены в табл. 4.

В работе при решении задач теплопроводности в сферической геометрии методом ИТБ впервые проведена оценка эффективности температурных профилей вида: Г(г,/)=полином и Г(г,/)=поли-ном/гс полиномами степени п.

Подчеркивается асимптотический характер полученных приближенных аналитических решений для общепринятых в методе ИТБ стадий процесса: начальной и квазистационарной. Предлагается учитывать переходную область, для которой предложена аппроксимация, уточняющая решение.

В задаче нагрева шара (внутренняя задача) можно отметить:

• на начальной стадии процесса наименьшее расхождение приближенных решений с точным (Д 0,25.

В задаче нагрева массива изнутри шаровой полости (внешняя задача) применение профилей разных типов дало следующие результаты:

• задание профиля в виде простого полинома обеспечивает необходимую точность при п= 3 только при очень малых числах Фурье (Ро«1), а при Ро 1 даже значение 77=100 дает расхождение более 4 %;

• решение, полученное с помощью профиля для Т(г,0=полином/г более предпочтительно, т. к. его наибольшая точность достигается при п=3 для любого числа Фурье.

Полученные результаты показывают, что при решении задач теплопроводности для разной геометрии приближенным методом ИТБ не всегда удается добиться достаточной точности при использовании температурных профилей одного и того же типа.

1. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел / Перев. с англ. под ред. A.A. Померанцева. — М.: Наука, 1964. — 488 с.

2. Лыков A.B. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. — 600 с.

3. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты теплового режима твердых тел. — Л.: Энергия, 1976. — 351 с.

4. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена // Проблемы теплообмена. Перев. с англ. под ред. П.Л. Кириллова. — М.: Атомиздат,

5. Вейник А.И. Приближенный расчет процессов теплопроводности. — М.: Госэнергоиздат, 1959. — 184 с.

6. Lardner T.J., Pohle F.V. Application of the Heat Balance Integral to Problems of Cylindrical Geometry // Trans of ASME. J. of Appl. Mech.-1961.-June.-P. 310-312.

7. Городов Р.В., Кузьмин A.B. О выборе температурного профиля при решении задач со сферической симметрией методом интеграла теплового баланса на начальной стадии процесса нагрева тела // Энергетика: экология, надежность, безопасность. Матер. XII Всеросс. научно-техн. конф. — Томск, 2006. -С. 186-189.

8. Городов Р.В., Кузьмин A.B. О выборе температурного профиля при решении задач со сферической симметрией методом интеграла теплового баланса на квазистационарной стадии процесса нагрева тела // Энергетика: экология, надежность, безопасность. Матер. XII Всерос. научно-техн. конф. — Томск, 2006. -С. 151-153.

Поступила 29.11.2006 г.

ДВУХТЕМПЕРАТУРНАЯ МОДЕЛЬ ГОРЕНИЯ ГАЗА В МОДЕЛЬНОМ ГОРЕЛОЧНОМ УСТРОЙСТВЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ

А.Г. Князева, Ю.А. Чумаков

Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, г. Томск E-mail: yura014@rambler.ru

Предложена и численно проанализирована двухтемпературная модель горения газа в пористом теле цилиндрического теплогенератора. В модели учтены теплообмен между твердым каркасом и газом; взаимодействие продуктов горения с теплообменником; различие скоростей диффузии и теплопроводности в газовой фазе. Исследовано влияние параметров модели на характеристики стационарных режимов горения газа для различных условий теплообмена пористой горелки с теплообменником. Результаты численного исследования не противоречат наблюдаемым закономерностям, что говорит о возможности использования модели для постановки и решения задачи оптимизации работы реального горелочного устройства.

Явление распространения фронта горения в пористых средах при фильтрации газа привлекает все возрастающее внимание исследователей. Научный интерес к этому классу систем возник в ответ на запросы практики, активно включающей процессы фильтрационного горения в технологические схемы различного производства. К числу объектов фильтрационного горения относятся такие крупномасштабные промышленные процессы, как доменная выплавка чугуна, обжиг и агломерация руд, регенерация катализаторов методом выжигания коксовых отложений, добыча нефти с помощью внутрипластового горения и др.

Под фильтрационным горением газ понимается [1] процесс распространения зоны газофазной экзотермической реакции в инертной пористой среде при фильтрационном подводе газообразных реагентов к зоне химического превращения. Подобные процессы представляют собой разновидность гетерогенного горения вследствие активного участия двух фаз — твердой пористой среды и реагирующего газа — в механизме распространения волн

и имеют важное научное и практическое значение. Наличие двух фаз предопределяет многопараме-тричность процессов, разнообразие межфазных взаимодействий, появление фильтрационных и других эффектов гетерогенности. В результате взаимодействия различных физических процессов реализуются многочисленные стационарные и нестационарные тепловые режимы горения, разнообразные условия протекания режимов превращения, волны горения с необычной структурой, свойствами и механизмами распространения [2, 3].

Одно из возможных практических приложений фильтрационного горения непосредственно относится к разработке экологически чистых пористых горелок, работающих на бедных смесях и обеспечивающих экономию газового топлива; практически полное сгорание газа в объеме пористого тела и высокий КПД.

Для оптимизации работы существующих горелок требуется исследовать возможные режимы горения газа при варьировании технологических параметров. В экспериментальных исследованиях варьирование параметров в широкой области их