Решение уравнения теплопроводности курсовая работа

Читать диплом по Отсутствует: «Численное решение уравнения теплопроводности» Страница 1

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Национальный Минерально-Сырьевой университет КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Математические методы в процессах добычи нефти и газа

Тема работы: Численное решение уравнения теплопроводности Автор: студент гр. НГ-10-1/Еманакова А.А./

руководитель работы доцент/Быкова О.Г./ Санкт-Петербург Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Национальный Минерально-Сырьевой университет УТВЕРЖДАЮ

“__” __________ 2012_ г.

Кафедра Информатики и компьютерных технологий КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине: Математические методы в процессах добычи нефти и газа (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

ЗАДАНИЕ студенту группыНГ-10-1Еманаковой А.А.

. Тема работы: Численное решение уравнения теплопроводности

2. Исходные данные к работе: Найти приближенное решение уравнения теплопроводностидля значений аргументов,при заданных начальноми граничныхиусловиях средствами табличного процессора Microsoft Excel и пакета математических расчетов MathCAD. Принять , шаг изменения пространственной координаты равным 0.2, временной — 0.2.

Получить максимальное и минимальное значения температуры в рассмотренной области, построить графики изменения температуры в точки области x=1.2 и при значении времени t=0,6.

. Содержание пояснительной записки: Аннотация, содержание, введение, решение поставленной задачи, выводы, использованная литература

. Перечень графического материала: 19 рисунков

. Срок сдачи законченной работы ____ ___________ 2012_ г.

Руководитель работы: доцент/ Быкова О.Г. /

Дата выдачи задания: 5.09.2012

математический расчет mathcad eхсеl

В данном курсовом проекте рассмотрено решение уравнения теплопроводности. Для этого предлагается использовать численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. В специальной части проекта представлено решение уравнения разностным методом. Проект содержит пояснительную записку объемом 19 страниц, включая 19 рис.

diesem Kurs Projekt gilt als eine Lösung der Wärmeleitungsgleichung. Zu diesem Zweck werden die numerischen Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen in partiellen Ableitungen. Ein besonderer Teil des Projekts präsentierte eine Lösung der Differenz-Methode. Das Projekt enthält eine Begründung von 19 Seiten, davon 19 Abbildung.

. Разностная схема решения уравнения теплопроводности

. Численное решение уравнения теплопроводности в табличном процессоре Microsoft Ехсеl

. Численное решение уравнения теплопроводности в пакете математических расчётов MathCAD

. Анализ результатов расчета

Движение систем малого числа частиц математически описывают, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если число очень велико, то следить за движением отдельных частиц практически невозможно. При этом удобнее рассматривать систему частиц как сплошную среду, характеризуя ее состояние средними величинами: плотностью, температурой в точке и т.д.

Численное решение уравнения теплопроводности методом конечных разностей

Информация о работе

• Тема: Численное решение уравнения теплопроводности методом конечных разностей
• Количество скачиваний: 126
• Тип: Курсовая работа
• Предмет: Физика
• Количество страниц: 29
• Язык работы: Русский язык
• Дата загрузки: 2015-01-05 10:12:45
• Размер файла: 463.68 кб

Помогла работа? Поделись ссылкой

• Численное решение уравнения теплопроводности методом конечных разностей [Электронный ресурс]. – URL: https://www.sesiya.ru/kursovaya-rabota/fizika/chislennoe-reshenie-uravneniya-teploprovodnosti-metodom-konechnyh-raznostey/ (дата обращения: 18.02.2022).
• Численное решение уравнения теплопроводности методом конечных разностей // https://www.sesiya.ru/kursovaya-rabota/fizika/chislennoe-reshenie-uravneniya-teploprovodnosti-metodom-konechnyh-raznostey/.

Есть ненужная работа?

Добавь её на сайт, помоги студентам и школьникам выполнять работы самостоятельно

• О документе
• Скачать документ

Информация о документе

Документ предоставляется как есть, мы не несем ответственности, за правильность представленной в нём информации. Используя информацию для подготовки своей работы необходимо помнить, что текст работы может быть устаревшим, работа может не пройти проверку на заимствования.

Если Вы являетесь автором текста представленного на данной странице и не хотите чтобы он был размешён на нашем сайте напишите об этом перейдя по ссылке: «Правообладателям»

Можно ли скачать документ с работой

Да, скачать документ можно бесплатно, без регистрации перейдя по ссылке:

Численное решение уравнения теплопроводности методом конечных разностей

Введение
1. Уравнение теплопроводности
1.1 Вывод уравнения теплопроводности
1.2 Условия однозначности
2. Метод конечных разностей
2.1 Формулировка метода из рядов Тейлора
2.2 Построение разностной схемы
3. Решение СЛАУ
3.1 Градиентные методы
3.1.1 Метод наискорейшего спуска
3.1.2 Метод сопряженных градиентов
4. Реализация
4.1 Организация
4.2 Результаты
Заключение
Список литературы

1. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Уравнение теплопроводности описывает распространение тепла в заданной области пространства в зависимости от времени.
Является параболическим дифференциальным уравнением в частных производных. В двумерном случае уравнение имеет вид:
∂u/∂t=α((∂^2 u)/(∂x^2 )+(∂^2 u)/(∂y^2 )) (1.1)

1.1 Вывод уравнения теплопроводности
Представим однородное тело и вычленим из него элементарный объем со сторонами dx, dy, dz (рисунок 1).

Рисунок 1. Контрольный объем в прямоугольной системе координат

Входящие потоки тепла, расположенные перпендикулярно к поверхностям обозначим как q_x, q_y, q_z. Потоки на противоположных поверхностях выразим из рядов Тейлора:

q_(x+dx)=q_x+(∂q_x)/∂x dx+⋯
q_(y+dy)=q_y+(∂q_y)/∂y dy+⋯
q_(z+dz)=q_z+(∂q_z)/∂z dz+⋯
(1.1.1)
Внутри тела так же могут быть внутренние источники тепла, если E_g>0 и стоки, если E_g 0 ∀x∈Ω (3.1.2)
Для соблюдения условия (3.1.2) необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы A были положительны. (Gilbert G. T. Positive definite matrices and Sylvesters criterion //American Mathematical Monthly. – 1991. – С. 44-46.)
Для того чтобы показать что x минимизирующий f(x) также служит решением СЛАУ возьмем градиент квадратичной формы (3.1.1) и приравняем его нулю:
f^ (x)=1/2 A^T x+ 1/2 Ax-b=0
Ввиду симметричности матрицы A (A^T=A) получим:
f^ (x)=Ax-b=0
Ax=b
В градиентных методах направления спуска выбираются исходя от градиента функции в текущей точке. Градиентные методы отличаются друг от друга способом выбора направления спуска и длиной шага. В данной работе будут рассмотрены два градиентных метода: метод наискорейшего спуска и метод сопряженных градиентов.

3.1.1 Метод наискорейшего спуска
В методе наискорейшего спуска из произвольной начальной точки x_0 выполняются последовательные спуски к точкам x_1,x_2… до тех пор, пока мы не приблизимся достаточно близко к минимуму (рисунок 5).

Рисунок 5. Контурный график квадратичной формы с изображенными линиями спуска
Рис () (Refsnæs R. H. A brief introduction to the conjugate gradient method)
Направление спусков выбирается в направлении наискорейшего убывания функции в данной точке (то есть по направлению антиградиента)
-f^ (x_i )=b-Ax_i
Каждая следующая точка x_(i+1) находится как:
x_(i+1)=x_i+αr_i
где
x_i- точка, из которой выполняется спуск
α-длина шага
r_i — антиградиент в точке x_0
r_i=b-Ax_i (3.1.1.1)
Из уравнения (3.1.1.1) видно, что вектор r_i также является невязкой. Его можно использовать в условии остановки последовательности спусков, когда относительная невязка ‖r‖/‖b‖ становится меньше заданного числа.
Длина шага α выбирается из учета того, что спускаться нужно только до тех пор, пока функция на линии, соответствующей выбранному направлению (3.1.1.1) убывает. Представим функцию g(x) как параболу, образованную пересечением параболоида и вертикальной плоскости (рисунок 6).

Рисунок 6. Пересечение графика квадратичной формы с вертикальной плоскостью, образующее параболу g(x) на которой необходимо найти минимум.
Нужно найти такую α, чтобы f(x) достигала на ней своего минимума.
d/dα f(x_(i+1) )=f^ (x_(i+1) )^T d/dα x_(i+1)=f^ (x_(i+1) )^T r_i
f^ (x_(i+1) )^T r_i=0 (3.1.1.2)
Из формулы (3.1.1.2) следует, что направление каждого последующего спуска должно быть ортогонально направлению предыдущего спуска.
Теперь путем подстановок и преобразований получим длину шага α: (Shewchuk J. R. An introduction to the conjugate gradient method without the agonizing pain. – 1994.)
r_(i+1)^T r_i=0
(b-Ax_(i+1) )^T r_i=0
(b-A(x_i+αr_i))^T r_i=0
(b-Ax_i )^T r_i-α(Ar_i )^T r_i=0
(b-Ax_i )^T r_i=α(Ar_i )^T r_i
r_i^T r_i=αr_i^T (Ar_i )
α=(r_i^T r_i)/(r_i^T Ar_i )
В итоге, метод наискорейшего спуска выглядит следующим образом:
r_i=b-Ax_i (3.1.1.3)
α_i=(r_i^T r_i)/(r_i^T Ar_i )
x_(i+1)=x_i+α_i r_i (3.1.1.4)
Приведенный выше алгоритм требует два умножения матрицы на вектор для каждой итерации. Чтобы избавиться от одного матрично-векторного произведения (3.1.1.3) в уравнении (3.1.1.4) обе части умножим на (–A) и прибавим b:
b-Ax_(i+1)=b〖-Ax〗_i-α_i Ar_i
r_(i+1)=r_i-α_i Ar_i
Получили следующий алгоритм:
r_0←b-Ax_0
Для i от 0 до maxiter-1:
α_i=(r_i^T r_i)/(r_i^T Ar_i )
x_(i+1)=x_i+α_i r_i
r_(i+1)=r_i-α_i Ar_i
Если ‖r‖/‖b‖

Численное решение уравнения теплопроводности

Автор: nikitmm • Март 21, 2020 • Курсовая работа • 3,435 Слов (14 Страниц) • 200 Просмотры

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

По дисциплине: программные продукты в математическом моделировании

(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)

Тема работы: Численное решение уравнения теплопроводности .

Автор: студент гр. ____________ / . /

руководитель работы доцент ____________ / Быкова О.Г./

(должность) (подпись) (Ф.И.О.)

В соответствии с учебным планом курсовая работа по дисциплине «Программные продукты в математическом моделировании» выполняется студентами специальности НГД в IV семестре и является заключительным этапом в изучении этой дисциплины. Она базируется на тех знаниях, которые студенты приобрели в III семестре и выполняется на тему «Численное решение уравнения теплопроводности». Для этого предлагается использовать численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Решение представлено в табличном процессоре Microsoft Excel и математическом пакете MathCAD.

Работа содержит 28 страниц, включая 27 рисунков.

According to the curriculum the course work for the discipline «Software in mathematical modeling» is performed by students of ОGD in the fourth semester and is the final step in the study of this discipline. It is based on the knowledge that students acquired in the third semester and is done on the topic of «the Numerical solution of the heat equation». It is proposed to use numerical methods for solving differential equations. The solution presented in tabular processor Microsoft Excel and the mathematical package MathCAD.

The course work contains 28 pages, including 27 pictures.

1 РАЗНОСТНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 6

2 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОРОВОДНОСТИ В ТАБЛИЧНОМ ПРОЦЕССОРЕ MICROSOFT EXCEL 10

3 ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В ПАКЕТЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ РАСЧЕТОВ MATHCAD 17

4 РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПОМОЩЬЮ ВСТРОЕННОЙ ФУНКЦИИ PDESOLVE 23

5 АНАЛИЗ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА 25

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 28

ВВЕДЕНИЕ

Движение систем малого числа частиц математически описывают, как правило, обыкновенными дифференциальными уравнениями. Если число очень велико, то следить за движением отдельных частиц практически невозможно. При этом удобнее рассматривать систему частиц как сплошную среду, характеризуя ее состояние средними величинами: плотностью, температурой п точке и т.д. Математические модели сплошной среды приводят к уравнениям в частных производных, которым удовлетворяют упомянутые средние величины. К уравнениям в частных производных приводят задачи газодинамики, теплопроводности, переноса излучения, распространения нейтронов, теории упругости, электромагнитных полей, процесса переноса в газах, квантовой механики и многие другие. Независимыми переменными в физических задачах являются как правило, время и координаты. Бывают и другие переменные, например, скорости частиц в задачах переноса. Решение требуется найти в некоторой области изменения независимых переменных. Полная постановка задачи содержит дифференциальное уравнение и дополнительные условия, позволяющие выделить единственное решение из семейства решений дифференциального уравнения. Дополнительные условия задаются, как правило, на границе рассматриваемой области. Если одной из независимых переменных является время, то решение ищут в некоторой пространственной области на отрезке времени t 0 ≤ t ≤ Т. В этом случае дополнительные условия, заданные при t=t 0 называют начальными, а дополнительные условия, заданные на границе области — граничными или краевыми.