Решение уравнения теплопроводности явной схемой

Лабораторная работа №7

Решение уравнений в частных производных методом сеток.

Решить одномерное уравнение теплопроводности методом сеток.

Используя явную схему метода сеток, проинтегрировать одномерное уравнение теплопроводности со следующими начальными и граничными условиями: , , , , .

Наиболее простой конечно-разностной схемой, применяемой для численного решения уравнений с частными производными, является явная схема. В случае одномерного уравнения теплопроводности она записывается следующим образом:

, j = 1, . , n , ( 10 )

где , n — число узлов cетки по x. ( 11 )

1. В первой строке введем названия параметров: n , l , c , Dx, g, m, Dt, a, b, а под ними в соответствующих ячейках — числовые значения (n=10, l=1, c=1). Для Dx вводим соответствующую формулу =B2/A2 (Dx=l/n). Исходя из условий устойчивости явной схемы, выбираем m=0,5 и выражаем Dt через m из уравнения ( 11 ) (=$D$2*$D$2*0,5).Для параметров функций, задающих краевые и начальные условия, выбираем следующие значения: g=8, a=10000, b=250.

2. В столбце А, как мы уже делали в предыдущих работах, разместим вычисление значений x, соответствующих узлам сетки. В третьей строке разместим формулы, вычисляющие значения узлов по времени. В столбце Вразместим формулы, вычисляющие начальное распределение температуры по длине стержня =EXP($E$2*A4-$E$2*A4*A4), а в четвертой и четырнадцатой строках, начиная со столбца С, -формулы, вычисляющие значения температуры на концах стержня: =EXP(-$H$2*C$3*C$3+$I$2*C$3).

3. В ячейку С5вводим формулу, реализующую конечно-разностное уравнение ( 10 ) —=B5+$F$2*(B6-2*B5+B4). Распространяем эту формулу на всю область, ограниченную краевыми и начальными условиями.

4. Результирующая таблица и построенная с использованием данных из блока A3:J14 диаграмма представлены на рис. 24 и 25.

Рис. 24. Решение одномерного уравнения теплопроводности с использованием явной схемы метода сеток.

Рис. 25. Графическое изображение решения одномерного уравнения теплопроводности.

Литература

1. Фигурнов В. Э. IBM PC для пользователя. 6-е изд. — М.: ИНФРА-М, 1995.

2. Шиб Й. Windows 3.1 (русская версия ) : Пер. с нем. — М. : БИНОМ, 1995.

3. Николь Н., Альбрехт Р. Электронные таблицы Excel 5.0: Практ. пособ. / Пер. с нем. — М.: ЭКОМ.,1995.

4. Наймершайм Дж. Excel 5.0 for Windows: Учебное пособие / Пер. с англ. — М.: Междунар. отношения, 1995.

5. Осейко Н. Н. Excel 5.0 для пользователя: — К.: Торгово — издательское бюро ВНV, 1994.

6. Альтхаус М. Excel. Секреты и советы / Пер. с нем. М.: БИНОМ, 1995.

7. Основы работы с Excel 5.0 : Методические указания / ИГХТА. — Иваново, 1996.

8. Численные методы : Методические указания / ИХТИ. — Иваново, 1988.

9. Методические указания и задания к практическим занятиям по вычислительной математике : Методические указания / ИХТИ. — Иваново, 1988.

10. Моделирование сложных изотермических реакций, описываемых линейными дифференциальными уравнениями : Методические указания / ИХТИ. — Иваново, 1992.

Оглавление

Лабораторная работа № 1. Основные элементы работы в EXCEL . . . 3

Лабораторная работа № 2. Построение графиков и диаграмм . . . . . . 7

Лабораторная работа № 3. Вычисление определенных интегралов . . 15

Лабораторная работа № 4. Решение систем линейных уравнений . . . 17

Лабораторная работа № 5. Обработка экспериментальных данных . 20

Лабораторная работа № 6. Решение обыкновенных дифференциаль-

ных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравне-

Лабораторная работа № 7. Решение уравнений в частных производ-

ных методом сеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Дата добавления: 2015-02-09 ; просмотров: 18 ; Нарушение авторских прав

Уравнение теплопроводности

Ранее (см. разд. 2.1.2, 2.1.3) уже были построены и исследованы разностные схемы решения смешанной задачи для одномерного уравнения теплопроводности:

(2.75)

Были получены две двухслойные схемы — явная (2.3) и неявная (2.4). В явной схеме значения сеточной функции на верхнем (j + 1)-ом слое вычисляли с помощью решения на нижнем слое [соотношение (2.13)]. Для нахождения решения на (j + 1)-м слое по неявной схеме была получена трехдиагональная система линейных алгебраических уравнений (2.22), которую решают методом прогонки.

Неявная схема безусловно устойчива, явная схема устойчива при выполнении условия

Обе схемы сходятся к решению исходной задачи со скоростью .

Схемы (2.3), (2.4) построены для случая, когда значения искомой функции (температуры) Uна границах х = 0, х = 1определяются заданными функциями . Однако граничные условия в смешанной задаче (2.75) могут быть и иными, в них может входить производная искомой функции. Например, если конец стержня х=0 теплоизолирован, то условие имеет вид

В этом случае, как и при решении волнового уравнения, данное условие нужно записывать в схемах (2.3), (2.4) в разностном виде.

Перейдем теперь к построению разностных схем для уравнения теплопроводности с двумя пространственными переменными. Примем для простоты а = 1. Тогда это уравнение можно записать в виде

(2.76)

Пусть при t=0 начальное условие задано в виде

(2.77)

В отличие от волнового уравнения, требующего два начальных условия, в уравнение теплопроводности входит только первая производная по t, и необходимо задавать одно начальное условие.

Часто задачи теплопроводности или диффузии, описываемые двумерным уравнением (2.76), решаются в ограниченной области. Тогда, кроме начального условия (2.77), нужно формулировать граничные условия. В частности, если расчетная область представляет прямоугольный параллелепипед (рис. 2.24), то нужно задавать граничные условия на его боковых гранях. Начальное условие (2.77) задано на нижнем основании параллелепипеда.

Рис. 2.24. Расчетная область

Введем простейшую сетку с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов, для чего проведем три семейства плоскостей: хi= ih1(i=0,1. I), (j=0,1. J), . Значение сеточной функции в узлах обозначим символом . С помощью этих значений можно построить разностные схемы для уравнения (2.76).

Рассмотренные выше схемы для одномерного уравнения легко обобщаются на двумерный случай.

Построим явную разностную схему, шаблон которой изображен на рис. 2.25. Аппроксимируя производные отношениями конечных разностей, получаем следующее сеточное уравнение:

Рис. 2.25. Шаблон двумерной схемы

Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на (k + 1)-ом слое:

(2.78)

Условие устойчивости имеет вид

(2.79)

При получается особенно простой вид схемы (2.78):

(2.80)

Полученная схема сходится со скоростью

Формулы (2.78) или (2.80) представляют собой рекуррентные соотношения для последовательного вычисления сеточной функции во внутренних узлах слоев k = 1,2. К. На нулевом слое используется начальное условие (2.77), которое записывается в виде

(2.81)

Значения в граничных узлах вычисляют с помощью граничных условий.

Алгоритм решения смешанной задачи для двумерного уравнения теплопроводности изображен на рис. 2.26. Здесь решение хранится на двух слоях: нижнем (массив ) и верхнем (массив ). Блоки граничных условий необходимо сформировать в зависимости от конкретного вида этих условий. Результаты выводят на каждом слое, хотя можно ввести шаг выдачи (см. рис. 2.13).

Рис. 2.26. Алгоритм решения двумерного уравнения теплопроводности

Построим теперь абсолютно устойчивую неявную схему для решения уравнения (2.76), аналогичную схеме (2.4) для одномерного уравнения теплопроводности. Аппроксимируя в (2.76) вторые производные по пространственным переменным на (k + 1)-ом слое, получаем следующее разностное уравнение:

(2.82)

Это уравнение можно записать в виде системы линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции на каждом слое:

(2.83)

К этой системе уравнений нужно добавить граничные условия для определения значений сеточной функции в граничных узлах (т.е. при i= 0, I; j = 0, J). На нулевом слое решение находится из начального условия (2.77), представленного в виде (2.81).

Система (2.83), полученная для двумерного уравнения теплопроводности, имеет более сложный вид, чем аналогичная система (2.22) для одномерного случая, которую можно решить методом прогонки. Таким образом, распространение неявной схемы на многомерный случай приводит к значительному усложнению вычислительного алгоритма и увеличению объема вычислений.

Недостатком явной схемы (2.78) является жесткое ограничение на шаг по времени τ, вытекающее из условия (2.79). Существуют абсолютно устойчивые экономичные разностные схемы, позволяющие вести расчет со сравнительно большим значением шага по времени и требующие меньшего объема вычислений. Две из них будут рассмотрены в разд. 2.3.3.

Явная разностная схема решения одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Геренштейн Аркадий Васильевич, Хайрисламов Михаил Зинатуллаевич

Предлагается численный метод решения третьей смешанной задачи для одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности параболического типа, основанный на использовании явной разностной схемы . Зависимость коэффициентов уравнения от температуры преодолевается введением новой искомой функции первообразной теплопроводности .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Геренштейн Аркадий Васильевич, Хайрисламов Михаил Зинатуллаевич

EXPLICIT DIFFERENCE SCHEME FOR THE SOLUTION OF ONE-DIMENSIONAL QUASI-LINEAR HEAT CONDUCTIVITY EQUATION

Numerical method for the solution of the third mixed boundary value problem for one-dimensional quasi-linear heat conductivity equation of a parabolic type based on the use of explicit difference scheme is given. Dependence of coefficients on temperature is overcome by the introduction of the new required function that is a primitive integral of conductivity.

Текст научной работы на тему «Явная разностная схема решения одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности»

ЯВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНОГО КВАЗИЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Л.Б. Геренштеин, М.З. Хаирисламов

Предлагается численный метод решения третьей смешанной задачи для одномерного квазилинейного уравнения теплопроводности параболического типа, основанный на использовании явной разностной схемы. Зависимость коэффициентов уравнения от температуры преодолевается введением новой искомой функции — первообразной теплопроводности.

Ключевые слова: теплопроводность, квазилинейное уравнение теплопроводности, явные разностные схемы, аппроксимация.

В настоящей работе используются идеи, изложенные в работах [1,2], в которых была предложена и обоснована явная устойчивая схема для линейного уравнения теплопроводности.

Рассмотрим следующую постановку третьей смешанной задачи для одномерного однородного квазилинейного уравнения [3]:

Шаблон разностной схемы

йОі(і) .О-і(ґ) — 2О,(і) + Оі+і(і)

і є [0; т], і = 2. N -1.

Аппроксимируем значения (0 и С;+1 (0 с точностью до членов первого порядка малости:

О,- (Г) — 0-1 (0) + ^ (0У, о1+1 (Г) — о1+1 (0) + ^ (0У.

В результате уравнение (3) преобразуется к виду

а 2(иі) ( Оі-і (0) + О,+1(0) + Г &О-І (0) + &О+1 (0) 1 і’

Погрешность аппроксимации оказывается равной О

, даже если производные

(0) вычисляются по формулам первого порядка точности.

Решением уравнения (4) является функция

1 г йО, . + йО,+, > в = О,-1 (0) + О,+1 (0) ‘-2

+ Аі + В, і є [0; т], — А •-

Для обозначения значений сеточной аппроксимации функции С на следующем временном слое будем использовать верхний индекс (+1), а на предыдущем — верхний индекс (-1), на сле-

дующем полуцелом временном слое — I +— I, а на предыдущем полуцелом временном слое —

— (см. рисунок). Запишем теперь разностные аппроксимации для производных ——(0) и

йО ,-1_ (0) = О-12* — О>-12

Окончательно расчетная формула приобретает вид

О(+1 = (О, — В)е п + Ат + В,

1′ «в = О-1 + О+1 — А •- п

Для расчета значений функции С на временном слое і = т, а также для вычисления значений функции в полуцелых слоях по времени можно воспользоваться формулами:

Для применения формул (5)-(7) необходимо по данному значению (7; найти температуру м; та-

кую, что Gj = | с/(д)с/д . В силу монотонности функции С(п) эту задачу можно решить методом 0

деления отрезка пополам (дихотомии).

Аппроксимация краевых условий

Для выполнения краевых условий введены фиктивные узлы с номерами 0 и N +1 (см. рисунок): сначала рассчитываются значения искомой функции во внутренних точках, после чего исходя из краевых условий задаются ее значения в фиктивных узлах.

Перепишем краевое условие на левом конце в задаче (1) с учетом замены искомой функции:

30 =Я1 (и (0, 0) ( — и (0, Г)) + а . (8)

Обозначим через функцию, обратную к функции С, производную ——————-

———, а значение (1(0. і) — полусуммой (1(0. і) = ——. То-

гда условие (8) может быть записано в виде

Обозначив z = G-11 ——— |. из (9) получим уравнение относительно z :

2• G(z)-Л, (z)( -z) = ^ + Qt.

Считаем, что функции q. Для вычисления функций в остальных точках температуры используется ку-сучно-линейная аппроксимация. Поэтому уравнение (10) на каждом промежутке [г;;г;+1],

/’ = 1, т -1 является в общем случае квадратным. Несложные выкладки позволяют записать его в виде

A = q(zi+і) — q(zi) + Mzh±)z¥zA

B = 2 ^ q( zi) zi+1 — q( zi+і) zi Лі (zi+і) -Лі (zt) в + Лі (zi )zi+1 -Лі (z,+1) z,

jWf- q( z, ) z, + q( Z +1) — q (Zi) •

Л (ZI )Zi+1 — Лі (ZI+1)Z± в — — Q

Если г* — корень уравнения (11), принадлежащий промежутку [г,; г1+] \. то искомое значение С0 в фиктивном узле с номером 0 будет равно

Рассуждения для правого конца стержня аналогичны.

Результаты численных расчетов

Для проведения расчетов взята следующая третья смешанная задача:

= Л, (u (0, t)) ( — u (0, t)) + Qt,

= Лг (u(L, t)) (r -u(L, t)) + Qr

где T = 100 c, L = 1 m, % = 22 °C, в, = 1400 °C, Qr = 1400 °C, О, = 105 Дж/(м‘с) , Qr =0 Дж/(м2с), а функции c(u), q(u), Л,(и) и Лг(и) заданы в табл. 1.

Значения входных параметров задачи, являющихся функциями температуры

Параметр Температура, °С

0 100 200 300 400 500 600 700 S00 1000

ф), 10б Дж/(м3-°С) 3,414 3,56S 4,040 4,347 4,S12 5,272 5,SS6 7,2S6 7,21S 7,21S

q(u), Дж/(м3-°С) 22,5 23,4 24,S 2б,7 27,2 27,7 2S,1 2S,6 27 27

Л,(и), Дж/(м2-с-°С) 100 100 110 120 130 140 150 160 170 170

Лг(и), Дж/(м2-с-°С) 100 120 130 140 150 150 150 150 150 150

Результаты численных расчетов по предложенной схеме приведены в табл. 2. В связи с тем, что точное решение задачи (12) неизвестно, проводилось сравнение решения, полученного по предложенной схеме, с решением, полученным по чисто неявной схеме, которая является безусловно сходящейся [3, 5].

Максимальная относительная погрешность решения в сравнении с решением по чисто неявной схеме

Величина шага по времени г, с

Число узлов N 0,01 0,05 0,1 0,5

40 4,7 -10-4 4,5 -10-4 1,52 -10-3 1,72 -10-3

60 1,12 10-3 1,12 10-3 1,19 10-3 2,18 -10-3

80 9,9 -10-4 1,0 10-3 1,06 10-3 2,15 -10-3

100 7,5 -10-4 7,7 -10-4 8,7 -10-4 2,25 -10-3

150 4,2 -10-4 4,7 -10-4 5,9 -10-4 2,43 -10-3

200 2,7 -10-4 3,4 -10-4 5,0 -10-4 2,67 -10-3

1. Геренштейн, А.В. Нагревание круга движущимся теплоисточником / А.В. Геренштейн,

Н. Машрабов // Обозрение прикладной и промышленной математики. — 2008. — Т. 15, №5. -С.870-871.

2. Геренштейн, А.В. Устойчивые явные схемы для уравнения теплопроводности / А.В. Геренштейн, Е.А. Геренштейн, Н. Машрабов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». — 2008. — Вып. 1. — № 15(115). — С. 9-11.

3. Самарский, А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. — М.: Наука, 1989. — 616 с.

4. Годунов, С.К. Разностные схемы / С.К. Годунов, B.C. Рябенький. — М.: Наука, 1977. -440 с.

5. Калиткин, Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин; под. ред. А.А. Самарского. — М.: Наука, 1978.- 512 с.

6. Шуп, Т. Решение инженерных задач на ЭВМ / Т. Шуп. — М.: Мир, 1982. — 235 с.

7. Геренштейн, А.В. Расчет температурных полей в цилиндре при действии поверхностных тепловых источников «Тепло 4.0» / А.В. Геренштейн, Н. Машрабов, Е.А. Геренштейн // Государственная регистрация в Отраслевом фонде алгоритмов и программ № 9776, 20.02.2008. — М.: ФГНУ ГКЦИТ, 2008.

8. Машрабов, Н. Расчет температурных полей в цилиндре при действии поверхностных теп-

ловых источников «Тепло 5.0» / Н. Машрабов, А.В. Геренштейн, Е.А. Геренштейн // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2008612210, 30.04.2008,

EXPLICIT DIFFERENCE SCHEME FOR THE SOLUTION OF ONE-DIMENSIONAL QUASI-LINEAR HEAT CONDUCTIVITY EQUATION

A.V. Herreinstein1, M.Z. Khayrislamov2

Numerical method for the solution of the third mixed boundary value problem for one-dimensional quasi-linear heat conductivity equation of a parabolic type based on the use of explicit difference scheme is given. Dependence of coefficients on temperature is overcome by the introduction of the new required function that is a primitive integral of conductivity.

Keywords: thermal conductivity, quasi-linear heat conductivity equation, explicit difference schemes, approximation.

1. Herreinstein A.V., Mashrabov N. Nagrevanie kruga dvizhushhimsya teploistochnikom [Circle heating by moving heat source]. Obozrenieprikladnoj ipromyshlennoj matematiki. 2008. Vol. 15, no. 5. pp. 870-871. (in Russ.).

2. Herreinstein A.W., Herreinstein E.A., Mashrabov N. Ustojchivye yavnye skhemy dlya urav-neniya teploprovodnosti [Steady Obvious Schemes for Equation of Heat Conductivity]. Vestnik YuUrGU. Seriya «Matematicheskoe modelirovanie i programmirovanie». 2008. Issue 1. no. 15(115). pp. 9-11. (in Russ.).

3. Samarskij A.A. Teoriya raznostnykh skhem [Theory of difference schemes]. Moscow: Nauka, 1989. 616 p. (in Russ.).

4. Godunov S.K., Ryaben’kij B.C. Raznostnye skhemy [Difference schemes]. M.: Nauka, 1977. 440 p. (in Russ.).

5. Kalitkin N.N. Chislennye metody [Numerical methods]. M.: Nauka, 1978. 512 p. (in Russ.).

6. Shup T. Reshenie inzhenernykh zadach na EVM [The solution of engineering problems with a computer]. Moscow: Mir, 1982. 235 p. (in Russ.).

7. Herreinstein A.V., Mashrabov N., Herreinstein E.A. Raschet temperaturnykh polej v cilindre pri dejstvii poverxnostnykh teplovykh istochnikov «Teplo 4.0» [Calculation of temperature patterns in a cylinder at surface heat sources “Teplo 4.0” effect]. Gosudarstvennaya registraciya v Otraslevom fonde algoritmov iprogramm № 9776. 20.02.2008. Moscow: FGNU GKCIT, 2008. (in Russ.).

8. Mashrabov N., Herreinstein A.V., Herreinstein E.A. Raschet temperaturnykh polej v cilindre pri dejstvii poverkhnostnykh teplovykh istochnikov «Teplo 5.0» [Calculation of temperature patterns in a cylinder at surface heat sources “Teplo 5.0” effect]. Svidetel’stvo o gosudarstvennoj registracii programm dlya EVM №2008612210. 30.04.2008. ROSPATENT [Certificate of state registration of computer program No. 2008612210. 30.04.2008. ROSPATENT], (in Russ.).

Поступила в редакцию 27 декабря 2012 г.

1 Herreinstein Arcady Vasilevich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, Applied Mathematics Department, South Ural State University.

2 Khayrislamov Mikhail Zinatullaevich is Post-Graduate student, Applied Mathematics Department, South Ural State University.