Решение уравнения у соs x

Арккосинус. Решение уравнения cos x=a

п.1. Понятие арккосинуса

В записи \(y=cosx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – косинус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному косинусу найти угол. Но одному значению косинуса соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(cosx=1\), то \(x=2\pi k,\ k\in\mathbb\); \(cosx=0\), то \(x=\frac\pi2+\pi k,\ k\in\mathbb\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором косинус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(0\leq x\leq \pi\) (верхняя половина числовой окружности).

\(arccos\frac12=\frac\pi3,\ \ arccos\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=\frac<5\pi><6>\)
\(arccos2\) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arccosx

1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(0\leq arccosx\leq \pi\) . Область значений \(y\in[0;\pi]\)
3. Максимальное значение \(y_=\pi\) достигается в точке x =-1
Минимальное значение \(y_=0\) достигается в точке x =1
4. Функция убывает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.

п.3. Уравнение cos⁡x=a

Значениями арккосинуса могут быть только углы от 0 до π (180°). А как выразить другие углы через арккосинус?

Углы в нижней части числовой окружности записывают через отрицательный арккосинус. А углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арккосинуса и величины, которая ‘не помещается» в область значений арккосинуса.

1) Решим уравнение \(cosx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\pm\frac\pi3\) — это базовые корни.
Если взять верхний корень \(\frac\pi3\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi3+2\pi=\frac<7\pi><3>\), косинус полученного угла \(cos\frac<7\pi><3>=\frac12\), т.е. \(\frac<7\pi><3>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi3+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(-\frac\pi3+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x=\pm\frac\pi3+2\pi k\)

Заметим, что полученный ответ является записью вида
\(x=\pm arccos\frac12+2\pi k\)
А т.к. арккосинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi3\), то мы его и пишем в ответе.
Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение \(cosx=0,8\)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси косинусов (ось OX). Построим вертикаль – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению верхняя точка – это угол, равный arccos⁡0,8. Тогда нижняя точка – это тот же угол, но отложенный в отрицательном направлении обхода числовой окружности, т.е. (–arccos⁡0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x=\pm arccos0,8+2\pi k\)

п.4. Формула арккосинуса отрицательного аргумента

Докажем полезную на практике формулу для \(arccos(-a)\).

По построению: $$ \begin \angle DA’O=\angle BAO=\angle CAO=90^<\circ>\\ OD=OB=OC=1\\ OA’=OA=a \end \Rightarrow $$ (по катету и гипотенузе) \begin \Delta DA’O=\Delta BAO=\Delta CAO\Rightarrow\\ \Rightarrow \angle DOC=\angle A’OA-\alpha+\alpha=\angle A’OA=180^<\circ>=\pi\\ -arccosa+\pi=arccos(-a) \end

п.5. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арккосинусу. Постройте графики арккосинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arccosx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(0\leq y\leq \pi\).
Обратная функция \(y=cosx\) должна иметь ограниченную область определения \(0\leq x\leq \pi\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) \(cos x=-1\) \(x=\pi+2\pi k\)	б) \(cos x=\frac<\sqrt<2>><2>\) \(x=\pm\frac\pi4+2\pi k\)
в) \(cos x=0\) \(x=\pm\frac\pi2+2\pi k=\frac\pi2+\pi k\)	г) \(cos x=\sqrt<2>\) \(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет
д) \(cos x=0,7\) \(x=\pm arccos(0,7)+2\pi k\)	e) \(cos x=-0,2\) \(x=\pm arccos(-0,2)+2\pi k\)

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arccos0,8;\ \ arccos(-0,5);\ \ arccos\frac\pi7 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси косинусов (ось OX) точки с абсциссами 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\)
Значения арккосинусов (углы) считываются на верхней половине окружности: чем меньше косинус (от 1 до -1), тем больше угол (от 0 до π).
Получаем: \(\angle A_1OA\lt\angle A_2OA\angle A_3OA\)
$$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$Способ 2. Решение с помощью графика \(y=arccosx\)

Отмечаем на оси OX аргументы 0,8; -0,5; \(\frac\pi7\approx 0,45\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арккосинусов по возрастанию: $$ arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5) $$Способ 3. Аналитический
Арккосинус – функция убывающая: чем больше аргумент, тем меньше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по убыванию: 0,8; \(\frac\pi7\); -0,5.
И записываем арккосинусы по возрастанию: \(arccos0,8\lt arccos\frac\pi7\lt arccos(-0,5)\)

Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arccos(x^2-3x+3)=0\) \begin x^2-3x+3=cos0=1\\ x^2-3x+2=0\\ (x-2)(x-1)=0\\ x_1=1,\ x_2=2 \end Ответ:

\(б)\ arccos^2x-arccosx-6=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-6=0\Rightarrow (t-3)(t+2)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=3\\ t_2=-2\lt 0 — \text <не подходит>\end \right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin arccosx=3\\ x=cos3 \end Ответ: cos3

\(в)\ arccos^2x-\pi arccosx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arccos x,\ 0\leq t\leq \pi\)
Решаем квадратное уравнение: \begin t^2-\pi t+\frac<2\pi^2><9>=0\\ D=(\pi^2)-4\cdot \frac<2\pi^2><9>=\frac<\pi^2><9>,\ \ \sqrt=\frac\pi3\\ \left[ \begin t_1=\frac<\pi-\frac\pi3><2>=\frac\pi3\\ t_2=\frac<\pi+\frac\pi3><2>=\frac<2\pi> <3>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin arccosx_1=\frac\pi3\\ arccosx_2=\frac<2\pi> <3>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x_1=cos\left(\frac\pi3\right)=\frac12\\ x_2=cos\left(\frac<2\pi><3>\right)=-\frac12 \end \right. \end Ответ: \(\left\<\pm\frac12\right\>\)

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение

Немного теории.

Тригонометрические уравнения

Уравнение cos(х) = а

Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.

Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a

Уравнение sin(х) = а

Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.

Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а

Уравнение tg(х) = а

Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.

Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а

Решение тригонометрических уравнений

Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0

Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y₁ = -3, y₂ = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb \)

Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0

Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y₁ = 1, y₂ = 1/3

Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c

Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0

Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac <2>\cos\frac<2>, \; \cos(x) = \cos^2 \frac <2>-\sin^2 \frac <2>\) и записывая правую часть уравпения в виде \( 2 = 2 \cdot 1 = 2 \left( \sin^2 \frac <2>+ \cos^2 \frac <2>\right) \) получаем

Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac <2>\) получим равносильное уравнение \( 3 \text^2\frac <2>— 4 \text\frac <2>+1 = 0 \)
Обозначая \( \text\frac <2>= y \) получаем уравнение 3y 2 — 4y + 1 = 0, откуда y₁=1, y₁= 1/3

В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):

Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5

Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:

Уравнения, решаемые разложением левой части на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.

Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0

Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0

Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0

РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения

Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.

19.1. Уравнение cos x = a

Объяснение и обоснование

1. Корни уравненияcosx=a.

При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cos x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sin x| ≤ 1 для любого x (прямая y = a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n ∈ Z (3)

2.Частые случаи решения уравнения sin x = a.

Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).

Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sin x = 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда

Аналогично sin x = 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,

Также sin x = -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,

Примеры решения задач

Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:

19.3. Уравнения tg x = a и ctg x = a

Объяснение и обоснование

1.Корни уравнений tg x = a и ctg x = a

Рассмотрим уравнение tg x = a. На промежутке функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x₁ = arctg a и для этого корня tg x = a.

Функция y = tg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tg x = a:

При a=0 arctg 0 = 0, таким образом, уравнение tg x = 0 имеет корни x = πn (n ∈ Z).

Рассмотрим уравнение ctg x = a. На промежутке (0; π) функция y = ctg x убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x₁=arсctg a.

Функция y = ctg x периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctg x = a:

таким образом, уравнение ctg x = 0 имеет корни

Примеры решения задач

Вопросы для контроля

1. Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
2. Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
3. Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
4. Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.

Упражнения

Решите уравнение (1-11)

Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)