Решение уравнения в питоне scipy

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) в Python

Рассмотрены приемы решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с помощью модуля scipy.integrate языка Python

Краткое описание модуля scipy.integrate

Модуль scipy.integrate имеет две функции ode() и odeint(), которые предназначены для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка с начальными условиями в одной точке (т.е. задача Коши).

Функция ode() более универсальная, а функция odeint() (ODE integrator) имеет более простой интерфейс и хорошо решает большинство задач.

Функция odeint() имеет три обязательных аргумента и много опций. Она имеет следующий формат

Решение одного ОДУ

Допустим надо решить диф. уравнение 1-го порядка

Получилось что-то такое:

Решение системы ОДУ

Пусть теперь мы хотим решить (автономную) систему диф. уравнений 1-го порядка

Выходной массив w состоит из двух столбцов — y1(t) и y2(t).

Также без труда можно построить фазовые траектории:

Руководство по SciPy: что это, и как ее использовать

Математика — это масса понятий, которые являются одновременно важными и сложными. Для работы с ними в Python есть библиотека SciPy. В этом материале вы познакомитесь с ее функциями на примерах.

Что такое SciPy?

SciPy — это библиотека Python с открытым исходным кодом, предназначенная для решения научных и математических проблем. Она построена на базе NumPy и позволяет управлять данными, а также визуализировать их с помощью разных высокоуровневых команд. Если вы импортируете SciPy, то NumPy отдельно импортировать не нужно.

NumPy vs SciPy

И NumPy, и SciPy являются библиотеками Python, которые используются для математического и числового анализов. NumPy содержит данные массивов и операции, такие как сортировка, индексация, а SciPy состоит из числового кода. И хотя в NumPy есть функции для работы с линейной алгеброй, преобразованиями Фурье и т. д., в SciPy они представлены в полном виде вместе с массой других. А для полноценного научного анализа в Python нужно устанавливать и NumPy, и SciPy, поскольку последняя построена на базе NumPy.

Пакеты в SciPy

В SciPy есть набор пакетов для разных научных вычислений:

Подробное описание можно найти в официальной документации.

Эти пакеты нужно импортировать для использования библиотеки. Например:

Прежде чем рассматривать каждую функцию в подробностях, разберемся с теми из них, которые являются одинаковыми в NumPy и SciPy.

Базовые функции

Взаимодействие с NumPy

SciPy построена на базе NumPy, поэтому можно использовать функции последней для работы с массивами. Чтобы узнать о них подробнее, используйте функции help() , info() или source() .

help():

Функция help() подойдет для получения информации о любой функции. Ее можно использовать двумя способами:

Вот пример для обоих:

При исполнении этого кода, первая help() вернет информацию о подмодуле cluster . А вторая — попросит пользователя ввести название модуля, ключевого слова и др., о чем требуется предоставить дополнительную информацию. Для выхода достаточно ввести quit и нажать Enter.

info():

Эта функция возвращает информацию о конкретных функциях, модулях и так далее.

source():

Исходный код можно получить только для тех объектов, которые были написаны на Python. Функция не вернет ничего важного, если методы или объекты были написаны, например, на C. Синтаксис простой:

Специальные функции

SciPy предоставляет набор специальных функций, используемых в математической физике: эллиптические настраиваемые функции, гамма, бета и так далее. Для их поиска нужно использовать функцию help() .

Экспоненциальные и тригонометрические функции

Набор специальных функций SciPy включает такие, с помощью которых можно искать экспоненты и решать тригонометрические задачи.

Есть и масса других функций из SciPy, с которым стоит познакомиться.

Интегральные функции

Есть и функции для решения интегралов. В их числе как обычные дифференциальные интеграторы, так и методы трапеций.

В SciPy представлена функция quad , которая занимается вычислением интеграла функции с одной переменной. Границы могут быть ±∞ (± inf ) для обозначения бесконечных пределов. Синтаксис этой функции следующий:

А здесь она внедрена в пределах a и b (могут быть бесконечностями).

В этом примере функция a находится в пределах 0 и 1. После выполнения вывод будет такой:

Двойные интегральные функции

SciPy включает также и dblquad , которая используется для вычисления двойных интегралов. Двойной интеграл, как известно, состоит из двух реальных переменных. Функция dblquad() принимает функцию, которую нужно интегрировать, в качестве параметра, а также 4 переменных: две границы и функции dy и dx .

В SciPy есть другие функции для вычисления тройных интегралов, n интегралов, интегралов Ромберга и других. О них можно узнать подробнее с помощью help .

Функции оптимизации

В scipy.optimize есть часто используемые алгоритмы оптимизации:

Функция Розенброка

Функция Розенброка ( rosen ) — это тестовая проблема для оптимизационных алгоритмов, основанных на градиентах. В SciPy она определена следующим образом:

Nelder-Mead

Это числовой метод, который часто используется для поиска минимума/максимума функции в многомерном пространстве. В следующем примере метод использован вместе с алгоритмом Нелдера — Мида.

Функции интерполяции

В сфере числового анализа интерполяция — это построение новых точек данных на основе известных. Библиотека SciPy включает подпакет scipy.interpolate, состоящий из сплайновых функций и классов, одно- и многомерных интерполяционных классов и так далее.

Одномерная интерполяция

Одномерная интерполяция — это область построения кривой, которая бы полностью соответствовала набору двумерных точек данных. В SciPy есть функция interp1d , которая используется для создания одномерной интерполяции.

Вывод:

Многомерная интерполяция

Многомерная интерполяция (пространственная интерполяция) — это тип интерполяции функций, который состоит из более чем одной переменной. Следующий пример демонстрирует работу функции interp2a .

При интерполяции на двумерную сетку функция использует массивы x, y и z для приближения функции f: «z = f(x, y)» и возвращает функцию, у которой вызываемый метод использует сплайновую интерполяцию для поиска значения новых точек.

Вывод:

Функции преобразования Фурье

Анализ Фурье — это метод, который помогает представлять функцию в виде суммы периодических компонентов и восстанавливать сигнал из них. Функции fft используются для получения дискретной трансформации Фурье реальной или комплексной последовательности.

Похожим образом можно найти обратное значение с помощью функции ifft .

Функции обработки сигналов

Обработка сигналов — это область анализа, модификации и синтеза сигналов: звуков, изображений и т. д. SciPy предоставляет некоторые функции, с помощью которых можно проектировать, фильтровать и интерполировать одномерные и двумерные данные.

Фильтрация:

Фильтруя сигнал, можно удалить нежелаемые составляющие. Для выполнения упорядоченной фильтрации используется функция order_filter . Она выполняет операцию на массиве. Синтаксис следующий:

a — N-мерный массив с входящими данными

domain — массив масок с тем же количеством размерностей, что и у массива a

rank — неотрицательное число, которое выбирает элементы из отсортированного списка (0, 1…)

Сигналы

Подпакет scipy.signal также состоит из функций, с помощью которых можно генерировать сигналы. Одна из таких — chirp . Она является генератором частотно-модулированного сигнала, а ее синтаксис следующий:

Вывод:

Линейная алгебра

Линейная алгебра работает с линейными уравнениями и их представлениями с помощью векторных пространств и матриц. SciPy построена на базе библиотек ATLAS LAPACK и BLAS и является очень быстрой в сфере решения проблем, связанных с линейной алгеброй. В дополнение к функциям из numpy.linalg scipy.linalg также предоставляет набор продвинутых функций. Если numpy.linalg не используется вместе с ATLAS LAPACK и BLAS, то scipy.linalg работает намного быстрее.

Нахождение обратной матрицы

С математической точки зрения обратная матрица A — это матрица B, где AB = I, а I — это единичная матрица, состоящая из единиц по диагонали. Это можно обозначить как B=A-1. В SciPy такого можно добиться с помощью метода linalg.inv .

Нахождение определителей

Значение, полученное арифметическим путем из коэффициентов матрицы является определителем квадратной матрицы. В SciPy это делается с помощью функции det с таким синтаксисом:

det(a, overwrite_a=False, check_finite=True)

a — (M, M) — это квадратная матрица

overwrite_a(bool, optional) — разрешает перезаписывать данные

check_finite(bool, optional) — для проверки состоит ли матрица только из конечных чисел

Разреженные собственные значения

Разреженные собственные значения — это набор скаляров, связанных с линейными уравнениями. ARPACK предоставляет способ быстрого нахождения этих значений (собственных векторов). Вся функциональность скрыта в двух интерфейсах: scipy.sparse.linalg.eigs и scipy.sparse.linalg.eigsh .

Интерфейс eigs позволяет находить собственные значения реальных или комплексных несимметричных квадратных матриц, а eigsh содержит интерфейсы реальных симметричных или комплексных Эрмитовых матриц.

Функция eigh решает обобщенную проблему собственного значения для комплексной Эрмитовой или реально симметричной матрицы

Разреженные структуры данных и алгоритмы

Разреженные данные состоят из объектов, которые в свою очередь состоят из линий, точек, поверхностей и так далее. Пакет scipy.spatial из SciPy может вычислять диаграммы Вороного, триангуляцию и другое с помощью библиотеки Qhull. Он также включает реализации KDTree для точечных запросов ближайших соседей.

Триангуляции Делоне

С математической точки зрения триангуляции Делоне для набора дискретных точек на плоской поверхности — это триангуляция, где ни одна точка из представленных не расположена внутри описанной окружности любого треугольника.

Вывод:

Функции многомерной обработки изображений

Обработка изображений — это выполнение операций над изображением по получению информации или улучшенной копии этого изображения из оригинала. Пакет scipy.ndimage состоит из нескольких функций обработки и анализа изображений, которые нужны для работы с массивами с произвольной размерностью.

Свертка и корреляция

В SciPy есть несколько функций для свертки и корреляции изображений.

• Функция correlate1d используется для вычисления одномерной корреляции по заданной оси
• Функция correlate предлагает многомерную корреляцию для любого массива с определенным ядром
• Функция convolve1d используется для вычисления одномерной свертки вдоль заданной оси
• Функция convolve предлагает многомерную свертку для любого массива с определенным ядром

Файловый ввод/вывод

Пакет scipy.io предоставляет несколько функций, которые помогают управлять файлами в разных форматах, включая MATLAB, файлы IDL, Matrix Market и другие.

Для использования его нужно сначала импортировать:

Как решить пару нелинейных уравнений с помощью Python?

каков (лучший) способ решить a пара нелинейных уравнений с использованием Python. (Numpy, Scipy или Sympy)

фрагмент кода, который решает вышеуказанную пару, будет отличным

7 ответов

для численного решения, вы можете использовать fsolve:

Если вы предпочитаете sympy вы можете использовать nsolve.

первый аргумент-это список уравнений, второй-список переменных, а третий-начальная догадка.

попробуйте этот, я уверяю вас, что он будет работать отлично.

к вашему сведению. как упоминалось выше, вы также можете использовать «приближение Бройдена», заменив «fsolve» на «broyden1». Это работает. Я сделал это.

Я точно не знаю, как работает приближение Бройдена, но это заняло 0.02 s.

и я рекомендую вам не использовать функции Sympy

вы можете использовать пакет openopt и его метод NLP. Он имеет много алгоритмов динамического программирования для решения нелинейных алгебраических уравнений, состоящих из:
goldenSection, scipy_fminbound, scipy_bfgs, scipy_cg, scipy_ncg, amsg2p, scipy_lbfgsb, scipy_tnc, bobyqa, ralg, ipopt, scipy_slsqp, scipy_cobyla, lincher, algencan, который вы можете выбрать.
Некоторые из последних алгоритмов могут решить ограниченную задачу нелинейного программирования. Итак, вы можете представить свою систему уравнения для openopt.НЛП () С такой функцией:

lambda x: x[0] + x[1]**2 — 4, np.exp(x[0]) + x[0]*x[1]

Я получил метод Бройдена для работы для связанных нелинейных уравнений (обычно с полиномами и экспонентами) в IDL, но я не пробовал его в Python:

scipy.оптимизировать.broyden1

найти корни функции, используя первый аппроксимация Якобиана Бройдена по.

этот метод также известен как»хороший метод Бройдена».