Урок по математике на тему: «Решение простейших тригонометрических уравнений вида sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctg=a» (I курс)
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Алгебра. Группа 3, 4 (I курс)
Дата: 3 гр.________________
Образовательная: Повторить учебный материал, необходимый для успешного решения тригонометрических уравнений, рассмотреть методы решения простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a , cosx = a , tgx = a , ctg = a .
Развивающая: формировать умения анализировать и делать выводы, развивать грамотную устную речь; развивать логику, формировать вычислительные, расчётные навыки, развивать мышление учащихся.
Воспитательная : о рганизация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса, стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности; Воспитание чувства самопознания, самоопределения и самореализации;
Дидактическое и методическое оснащение урока: интерактивная доска.
Тип урока: изучение нового материала.
А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала математического анализа» 10-11.
1. Организационный момент: приветствие, проверка отсутствующих; сообщение темы урока; постановка цели урока; сообщение этапов урока.
2. Изучение нового материала: решения простейших тригонометрических уравнений вида sinx = a , cosx = a , tgx = a , ctg = a – приложение 1.
3. Закрепление изученного материала: первичное закрепление изученного материала.
4. Итог урока: систематизация и обобщение знаний, полученных на уроке.
5. Домашнее задание: инструктаж по домашнему заданию.
Страница 277. ПОДГОТОВКА К ЕГЭ 2012.
Простейшие тригонометрические уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его
простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.
1. Алгебраический метод. Этот метод нам хорошо известен из алгебры
( метод замены переменной и подстановки).
2. Разложение на множители. Этот метод рассмотрим на примерах.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево: sin x + cos x – 1 = 0, преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,
2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos ² 4 x ,
cos 4 x · ( cos 2 x – cos 4 x ) = 0 ,
cos 4 x · 2 sin 3 x · sin x = 0 ,
1). cos 4 x = 0 , 2). sin 3 x = 0 , 3). sin x = 0 ,
Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо:
а ) перенести все его члены в левую часть;
б ) вынести все общие множители за скобки;
в ) приравнять все множители и скобки нулю;
г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на
cos ( или sin ) в старшей степени;
д ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .
П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,
tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4 y +3 = 0 ,
корни этого уравнения: y 1 = 1, y 2 = 3, отсюда
1) tan x = –1, 2) tan x = –3,
4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.
Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =
= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,
2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,
tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида: a sin x + b cos x = c ,
где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
6. Преобразование произведения в сумму. Здесь используются соответствующие формулы.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
cos 4 x – cos 8 x = cos 4 x ,
7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.
П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .
Таким образом, решение даёт только первый случай.
Простейшие тригонометрические уравнения — Часть 1
Простейшими называются тригонометрические уравнения следующих четырёх видов:
Любое тригонометрическое уравнение в конечном счёте сводится к решению одного или нескольких простейших. К сожалению, на этом заключительном стандартном шаге школьники допускают множество элементарных ошибок. Цель данной статьи — уберечь вас от нелепых и досадных потерь баллов в подобной ситуации на едином госэкзамене.
Существуют два подхода к решению простейших тригонометрических уравнений.
Первый подход — бессмысленный и тяжёлый. Надо выучить по шпаргалке общие формулы, а также все частные случаи. Польза от этого столь же невелика, как от зубрёжки шестнадцати строк заклинаний на непонятном языке. Мы забраковываем этот подход раз и навсегда.
Второй подход — логический и наглядный. Для решения простейших тригонометрических уравнений мы пользуемся тригонометрическим кругом и определениями тригонометрических функций.
Данный подход требует понимания, осмысленных действий и ясного видения тригонометрического круга. Не беспокойтесь, эти трудности преодолеваются быстро. Усилия, потраченные на этом пути, будут щедро вознаграждены: вы начнёте безошибочно решать тригонометрические уравнения.
Уравнения cosx = a и sinx = a
Напомним, что cos x — абсцисса точки на единичной окружности, соответствующей углу x, а sin x — её ордината
Из определения синуса и косинуса следует, что уравнения cosx = a и sinx = a имеют решения только при условии . Абитуриент, будь внимателен! Уравнения или cosx = −7 решений не имеют!
Начнём с самых простых уравнений.
Мы видим, что на единичной окружности имеется лишь одна точка с абсциссой 1:
Эта точка соответствует бесконечному множеству углов: 0, 2π, −2π, 4π, −4π, 6π, −6π, . . . Все они получаются из нулевого угла прибавлением целого числа полных углов 2π (т. е. нескольких полных оборотов как в одну, так и в другую сторону).
Следовательно, все эти углы могут быть записаны одной формулой:
Это и есть множество решений данного уравнения. Напоминаем, что Z — это множество целых чисел.
Снова видим, что на единичной окружности есть лишь одна точка с абсциссой −1:
Эта точка соответствует углу π и всем углам, отличающихся от π на несколько полных оборотов в обе стороны, т. е. на целое число полных углов. Следовательно, все решения данного уравнения записываются формулой:
Отмечаем на тригонометрическом круге единственную точку с ординатой 1:
И записываем ответ:
Обсуждать тут уже нечего, не так ли? 🙂
Можете, кстати, записать ответ и в другом виде:
Это — дело исключительно вашего вкуса.
Заодно сделаем первое полезное наблюдение.
Чтобы описать множество углов, отвечающих одной-единственной точке тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить 2πn.
На тригонометрическом круге имеются две точки с ординатой 0:
Эти точки соответствуют углам 0, ±π, ±2π, ±3π, . . . Все эти углы получаются из нулевого угла прибавлением целого числа углов π (т. е. с помощью нескольких полуоборотов в обе стороны). Таким образом,
Точки, лежащие на концах диаметра тригонометрического круга, мы будем называть диаметральной парой.
Точки с абсциссой 0 также образуют диаметральную пару, на сей раз вертикальную:
Все углы, отвечающие этим точкам, получаются из прибавлением целого числа углов π (полуоборотов):
Теперь мы можем сделать и второе полезное наблюдение.
Чтобы описать множество углов, отвечающих диаметральной паре точек тригонометрического круга, нужно взять какой-либо один угол из этого множества и прибавить πn.
Переходим к следующему этапу. Теперь в правой части будет стоять табличное значение синуса или косинуса (отличное от 0 или ±1). Начинаем с косинуса.
7.
Имеем вертикальную пару точек с абсциссой
Все углы, соответствующие верхней точке, описываются формулой (вспомните первое полезное наблюдение!):
Аналогично, все углы, соответствующие нижней точке, описываются формулой:
Обе серии решений можно описать одной формулой:
Остальные уравнения с косинусом решаются совершенно аналогично. Мы приводим лишь рисунок и ответ.
8.
9.
10.
11.
12.
Теперь рассмотрим уравнения с синусом. Тут ситуация немного сложнее.
13.
Имеем горизонтальную пару точек с ординатой :
Углы, отвечающие правой точке:
Углы, отвечающие левой точке:
Описывать эти две серии одной формулой никто не заставляет. Можно записать ответ в таком виде:
Тем не менее, объединяющая формула существует, и её надо знать. Выглядит она так:
На первый взгляд совершенно не ясно, каким образом она даёт обе серии решений. Но давайте посмотрим, что получается при чётных k. Если k = 2n, то
Мы получили первую серию решений x1. А если k нечётно, k = 2n + 1, то
Это вторая серия x2.
Обратим внимание, что в качестве множителя при (−1) k обычно ставится правая точка, в данном случае .
Остальные уравнения с синусом решаются точно так же. Мы приводим рисунок, запись ответа в виде совокупности двух серий и объединяющую формулу.
14.
15.
16.
17.
18.
На этом с синусом и косинусом пока всё. Переходим к тангенсу.
Линия тангенсов
Начнём с геометрической интерпретации тангенса — так называемой линии тангенсов. Это касательная AB к единичной окружности, параллельная оси ординат (см. рисунок).
Из подобия треугольников OAB и ONM имеем:
Но поэтому
Мы рассмотрели случай, когда x находится в первой четверти. Аналогично рассматриваются случаи, когда x находится в остальных четвертях. В результате мы приходим к следующей геометрической интерпретации тангенса.
Тангенс угла x равен ординате точки B, которая является точкой пересечения линии тангенсов и прямой OM, соединяющей точку x с началом координат.
Вот рисунок в случае, когда x находится во второй четверти. Тангенс угла x отрицателен.
Уравнение tg x = a
Заметим, что тангенс может принимать любые действительные значения. Иными словами, уравнение tg x = a имеет решения при любом a.
19.
Имеем диаметральную горизонтальную пару точек:
Эта пара, как мы уже знаем, описывается формулой:
20.
Имеем диаметральную пару:
Вспоминаем второе полезное наблюдение и пишем ответ:
Остальные уравнения с тангенсом решаются аналогично. Мы приводим лишь рисунки и ответы.
21.
22.
23.
24.
25.
На этом заканчиваем пока и с тангенсом.
Уравнение ctg x = a нет смысла рассматривать особо. Дело в том, что:
• уравнение ctg x = 0 равносильно уравнению cos x = 0;
• при уравнение равносильно уравнению
Впрочем, существует также и линия котангенсов, но. . . Об этом мы вам расскажем на занятиях 🙂
Итак, мы разобрали простейшие тригонометрические уравнения, содержащие в правой части табличные значения тригонометрических функций. Именно такие задачи встречаются в части В вариантов ЕГЭ.
А что делать, например, с уравнением ? Для этого надо сначала познакомиться с обратными тригонометрическими функциями. О них мы расскажем вам в следующей статье.
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Калькулятор онлайн.
Решение тригонометрических уравнений.
Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить тригонометрическое уравнение. Программа для решения тригонометрического уравнения не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения ответа.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> Введите тригонометрическое уравнение
Решить уравнение
Немного теории.
Тригонометрические уравнения
Уравнение cos(х) = а
Из определения косинуса следует, что \( -1 \leqslant \cos \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение cos x = a не имеет корней. Например, уравнение cos х = -1,5 не имеет корней.
Уравнение cos x = а, где \( |a| \leqslant 1 \), имеет на отрезке \( 0 \leqslant x \leqslant \pi \) только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если a
Уравнение sin(х) = а
Из определения синуса следует, что \( -1 \leqslant \sin \alpha \leqslant 1 \). Поэтому если |a| > 1, то уравнение sin x = а не имеет корней. Например, уравнение sin x = 2 не имеет корней.
Уравнение sin х = а, где \( |a| \leqslant 1 \), на отрезке \( \left[ -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right] \) имеет только один корень. Если \( a \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right] \); если а
Уравнение tg(х) = а
Из определения тангенса следует, что tg x может принимать любое действительное значение. Поэтому уравнение tg x = а имеет корни при любом значении а.
Уравнение tg x = а для любого a имеет на интервале \( \left( -\frac<\pi><2>; \; \frac<\pi> <2>\right) \) только один корень. Если \( |a| \geqslant 0 \), то корень заключён в промежутке \( \left[ 0; \; \frac<\pi> <2>\right) \); если а
Решение тригонометрических уравнений
Выше были выведены формулы корней простейших тригонометрических уравнений sin(x) = a, cos(x) = а, tg(x) = а. К этим уравнеииям сводятся другие тригонометрические уравнения. Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. Рассмотрим некоторые примеры решения тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Решить уравнение 2 cos 2 (х) — 5 sin(х) + 1 = 0
Заменяя cos 2 (х) на 1 — sin 2 (х), получаем
2 (1 — sin 2 (х)) — 5 sin(х) + 1 = 0, или
2 sin 2 (х) + 5 sin(х) — 3 = 0.
Обозначая sin(х) = у, получаем 2у 2 + 5y — 3 = 0, откуда y1 = -3, y2 = 0,5
1) sin(х) = — 3 — уравнение не имеет корней, так как |-3| > 1;
2) sin(х) = 0,5; \( x = (-1)^n \text
Ответ \( x = (-1)^n \frac<\pi> <6>+ \pi n, \; n \in \mathbb
Решить уравнение 2 cos 2 (6х) + 8 sin(3х) cos(3x) — 4 = 0
Используя формулы
sin 2 (6x) + cos 2 (6x) = 1, sin(6х) = 2 sin(3x) cos(3x)
преобразуем уравнение:
3 (1 — sin 2 (6х)) + 4 sin(6х) — 4 = 0 => 3 sin 2 (6х) — 4 sin(6x) + 1 = 0
Обозначим sin 6x = y, получим уравнение
3y 2 — 4y +1 =0, откуда y1 = 1, y2 = 1/3
Уравнение вида a sin(x) + b cos(x) = c
Решить уравнение 2 sin(x) + cos(x) — 2 = 0
Используя формулы \( \sin(x) = 2\sin\frac
Поделив это уравнение на \( \cos^2 \frac
Обозначая \( \text
В общем случае уравнения вида a sin(x) + b cos(x) = c, при условиях \( a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; c^2 \leqslant b^2+c^2 \) можно решить методом введения вспомогательного угла.
Разделим обе части этого уравнения на \( \sqrt \):
Решить уравнение 4 sin(x) + 3 cos(x) = 5
Здесь a = 4, b = 3, \( \sqrt = 5 \). Поделим обе части уравнения на 5:
Уравнения, решаемые разложением левой части на множители
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители.
Решить уравнение sin(2х) — sin(x) = 0
Используя формулу синуса двойного аргумента, запишем уравнепие в виде 2 sin(x) cos(x) — sin(x) = 0. Вынося общий множитель sin(x) за скобки, получаем sin(x) (2 cos x — 1) = 0
Решить уравнение cos(3х) cos(x) = cos(2x)
cos(2х) = cos (3х — х) = cos(3х) cos(x) + sin(3х) sin(x), поэтому уравнение примет вид sin(x) sin(3х) = 0
Решить уравнение 6 sin 2 (x) + 2 sin 2 (2x) = 5
Выразим sin 2 (x) через cos(2x)
Так как cos(2x) = cos 2 (x) — sin 2 (x), то
cos(2x) = 1 — sin 2 (x) — sin 2 (x), cos(2x) = 1 — 2 sin 2 (x), откуда
sin 2 (x) = 1/2 (1 — cos(2x))
Поэтому исходное уравнение можно записать так:
3(1 — cos(2x)) + 2 (1 — cos 2 (2х)) = 5
2 cos 2 (2х) + 3 cos(2х) = 0
cos(2х) (2 cos(2x) + 3) = 0
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/prostejshie-trigonometricheskie-uravneniya-chast-1/
http://www.math-solution.ru/math-task/trigonometry-equality