Решение уравнения вольтерра первого рода

Решение уравнения вольтерра первого рода

Перевод с английского
Б. В. БОЯРСКОГО и И. И. ДАНИЛЮКА

Под редакцией
И. Н. ВЕКУА
1957
INTERSCIENCE PUBLISHERS, INC., NEW YORK
INTERSCIENCE PUBLISHERS LTD., LONDON

ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА, 1960

Оглавление Предисловие к русскому изданию 5 Предисловие к английскому изданию 6 Глава I. Уравнения Вольтерра 1.1. Задача механики, приводящая к интегральному уравнению 9 1.2. Интегральные уравнения и системы линейных алгебраических уравнений 11 1.3. Уравнения Вольтерра 14 1.4. L 2 -ядра и L 2 -функции 18 1.5. Решение интегральных уравнений Вольтерра второго рода 21 1.6. Уравнение Вольтерра первого рода 27 1.7. Пример 29 1.8. Интегральные уравнения Вольтерра и линейные дифференциальные уравнения 31 1.9. Уравнения типа свёртки 37 1.10. Поперечные колебания балки 42 1.11. Приложение к функциям Бесселя 49 1.12. Некоторые обобщения теории уравнений Вольтерра 56 1.13. Нелинейные уравнения Вольтерра 61 Глава II. Уравнения Фредгольма 2.1. Решение методом последовательных приближений: ряд Неймана 69 2.2. Пример 74 2.3. Уравнения Фредгольма с ядрами Пинкерле–Гурса 76 2.4. Теорема Фредгольма для ядер общего вида 87 2.5. Формулы Фредгольма 89 2.6. Численное решение интегральных уравнений 100 2.7. Решение задачи Дирихле методом Фредгольма 102 Глава III. Симметричные ядра и 3.1. Предварительные замечания и процесс ортогонализации 107 3.2. Приближение и сходимость в среднем 110 3.3. Теорема Рисса–Фишера 116 3.4. Полнота и замкнутость 119 3.5. Полнота системы тригонометрических функций и многочленов 126 3.6. Приближение общего вида 130 3.7. Метод Энскога 132 3.8. Спектр симметричного ядра 135 3.9. Билинейная формула 140 3.10. Теорема Гильберта–Шмидта и её приложения 145 3.11. Экстремальные свойства и оценки собственных значений 155 3.12. Положительные ядра; теорема Мерсера 162 3.13. Связь с теорией линейных дифференциальных уравнений 166 3.14. Критические скорости вращающегося вала и поперечные колебания балки 177 3.15. Симметричные уравнения Фредгольма первого рода 185 3.16. Приведение уравнения Фредгольма к уравнению Фредгольма с симметричным ядром 188 3.17. Некоторые обобщения 195 3.18. Колебания мембраны 199 Глава IV. Некоторые типы сингулярных и нелинейных 4.1. Общие замечания и примеры 207 4.2. Уравнения, содержащие интегралы в смысле главного значения по Коши, и преобразование Гильберта 213 4.3. Преобразование Гильберта на конечном интервале и уравнение профиля крыла самолёта 222 4.4. Сингулярные интегральные уравнения типа Карлемана 237 4.5. Общие замечания о нелинейных интегральных уравнениях 251 4.6. Нелинейные уравнения типа Гаммерштейна 257 4.7. Вынужденные колебания конечной амплитуды 272 Приложение I. Системы линейных алгебраических уравнений 278 Приложение II. Теорема Адамара 283 Упражнения 286 Литература 292

Я весьма польщён, что и эта моя книга будет опубликована на русском языке. Это особенно приятно для меня, ибо на русском языке имеется ряд хороших трактатов по интегральным уравнениям. Среди них, пожалуй, ближе всего к моей книге — книга С. Г. Михлина. Впрочем, эти две книги скорее дополняют друг друга, нежели конкурируют между собой. Действительно, в то время как я лишь слегка касаюсь приложений (сведя их к минимуму, неизбежному для понимания основных методов), в книге Михлина приложения занимают около двух третей объёма и представляют значительный самостоятельный интерес.

Напротив, я уделяю достаточно много места уравнениям типа Вольтерра, которые я излагаю независимо, несмотря на то, что их можно рассматривать как частный случай уравнений Фредгольма. Делаю я это не только большой важности уравнений Вольтерра в теории дифференциальных уравнений, но в первую очередь из дидактических соображений, поскольку предварительное изучение этих уравнений является наилучшей подготовкой к успешному усвоению более трудных уравнений типа Фредгольма.

Интегральные уравнения были одной из первых областей математики, привлёкших к себе моё внимание, однако эта книга появляется только теперь, после ряда других книг. Почему? Да по той причине, что написание книги по интегральным уравнениям представляется довольно трудным делом, требующим многолетних размышлений.

В самом деле, такая книга должна удовлетворять двум не легко примиримым между собой требованиям. С одной стороны, чтобы облегчить применение теории к доказательствам существования, она должна содержать главные результаты теории, изложенные с достаточной общностью и в соответствии с современными нормами математической строгости. G другой стороны, она не должна быть настолько абстрактной, чтобы отталкивать физиков и инженеров, определённо нуждающихся в этом математическом орудии.

Удалось ли мне удовлетворить обоим требованиям? Это может решить только читатель. Я могу лишь надеяться, что если я и не всегда успешно справлялся с задачей доступного изложения трудных вопросов, то по крайней мере меня не смогут обвинить в искусственном усложнении простых вопросов, как это делается иногда в математических сочинениях.

В моём стремлении примирить общность с простотой большую услугу оказала идея, выдвинутая моим другом, проф. М. Пиконе (Picone M., Appunti di analisi superiore, Napoli, 1940.). Несмотря на то, что эта идея применялась уже Э. Шмидтом, одним из основателей теории интегральных уравнений, она до сих пор мало известна. Она позволяет при помощи ряда Неймана легко перейти от интегрального уравнения с «вырожденным» ядром к уравнению с ядром общего вида.

То здесь, то там, особенно в последней главе, специалист встретит новые факты, или же старые в новой форме: например, теория интегральных уравнений Вольтерра излагается в вместо пространства непрерывных функций. Однако, вообще, я избегал изменения традиционного материала, в изложении которого достигнута удовлетворительная систематичность. Кроме того, я считаю, что книга, подобная моей, должна содержать, за редким исключением, только вопросы и методы, уже достаточно хорошо установившиеся в рамках анализа. По этой причине я не использовал современных топологических методов функционального анализа; возможно это удастся сделать в последующих изданиях. Как это ни было неприятно, но во избежание разрастания объёма книги мне пришлось исключить из рассмотрения ряд вопросов; например, изложение применений интегральных уравнений с какой бы то ни было степенью полноты потребовало бы изложения значительной части математической физики и современной теории колебаний.

Эта книга писалась в расчёте на то, чтобы служить современным учебником по интегральным уравнениям для студентов, а также для всех лиц, имеющих дело с прикладной математикой. По этой причине я стремился обойтись минимумом математических знаний, требуемых от читателей; твёрдые знания основ дифференциального и интегрального исчислений и элементов теории функций вполне достаточны.

Книга состоит из четырёх глав, каждая из которых делится на несколько параграфов (последовательно пронумерованных 1.1, 4.7) и двух Приложений

Формулы пронумерованы последовательно в рамках каждого параграфа или Приложения и ссылка в том же параграфе делается только на их номер. В других параграфах к их номеру прибавляется номер параграфа. Например, (4.3.4) означает из § 4.3.

Я глубоко обязан моему другу который, со своей необыкновенной компетентностью в этой области, дал мне много ценных советов не только математического, но и языкового характера.

Я благодарен также мисс Р. Струик, потратившей много времени на отделку рукописи.

Численное решение интегральных уравнений Вольтерра i рода с кусочно-непрерывными ядрами Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сидоров Денис Николаевич, Тында Александр Николаевич, Муфтахов Ильдар Ринатович

Интегральные уравнения Вольтерра имеют большое значение при построении математических моделей в физике, экономике, экологии и т.д. Важную роль во многих таких моделях играют рассматриваемые в данной статье линейные интегральные уравнения Вольтерра первого рода, у которых ядра претерпевают разрывы первого рода на определенных кривых, проходящих через начало координат. Приводятся теоретические результаты относительно вопросов существования и единственности решений таких уравнений и их регуляризации. Также для таких уравнений Вольтерра первого рода с кусочно-непрерывными ядрами предлагается эффективный численный метод решения, который основан на использовании квадратурной формулы средних прямоугольников. Указана оценка погрешности предлагаемого метода. Для модельных примеров приведены результаты численных расчетов, содержащие информацию о погрешностях и порядке сходимости.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сидоров Денис Николаевич, Тында Александр Николаевич, Муфтахов Ильдар Ринатович

Numerical Solution of Volterra Integral Equations of the First Kind with Piecewise Continuous Kernel

Integral equations are in the core of many mathematical models in physics, economics and ecology. Volterra integral equations of the first kind with jump discontinuous kernels play important role in such models and they are considered in this article. Regularization method and sufficient conditions are derived for existence and uniqueness of the solution of such integral equations. An efficient numerical method based on the mid-rectangular quadrature rule is proposed for these equations with jump discontinuous kernels. The accuracy of proposed numerical method is O(N -1). The model examples demonstrate efficiency of proposed method: errors, two mesh differences and orders of convergent.

Текст научной работы на тему «Численное решение интегральных уравнений Вольтерра i рода с кусочно-непрерывными ядрами»

ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА I РОДА С КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫМИ ЯДРАМИ

Д.Н. Сидоров, А.Н. Тында, И.Р. Муфтахов

Интегральные уравнения Вольтерра имеют большое значение при построении математических моделей в физике, экономике, экологии и т.д. Важную роль во многих таких моделях играют рассматриваемые в данной статье линейные интегральные уравнения Вольтерра первого рода, у которых ядра претерпевают разрывы первого рода на определенных кривых, проходящих через начало координат. Приводятся теоретические результаты относительно вопросов существования и единственности решений таких уравнений и их регуляризации. Также для таких уравнений Вольтерра первого рода с кусочно-непрерывными ядрами предлагается эффективный численный метод решения, который основан на использовании квадратурной формулы средних прямоугольников. Указана оценка погрешности предлагаемого метода. Для модельных примеров приведены результаты численных расчетов, содержащие информацию о погрешностях и порядке сходимости.

Ключевые слова: интегральные уравнения Вольтерра I рода; развивающиеся системы; модель Глушкова; численные методы.

В данной статье рассматриваются слабо-регулярные уравнения Вольтерра I рода. Под слабо-регулярными понимаются линейные интегральные уравнения Вольтерра I рода

J К(Ь, в)х(в)д,в = /(Ь), 0 0 такое, что уравнение (1) имеет

единственное локальное решение в С[о,т]. Кроме того, если тш^(Ь — ап-1(Ь)) = Л, > 0, тогда уравнение (1) имеет единственное общее решение в С[о,т] •

Введем следующие условия.

Л. Существуют полиномы Км(Ь,в) = ^ Кг^^вм, г = 1,п, /м(Ь) = ^ /ЬУ, ам(Ь) =

= ^, г = 1, п — 1, такие, что для Ь ^ +0, в ^ +0 справедливы следующие оценки:

|Кг(Ь, в) — км(Ь, в)| = 0((Ь + в)м+1), г = М,

|аг(Ь) — ам(Ь)| = 0(Ьм+1), г = 1,п — 1.

В. Для фиксированного д € (0,1), Зт € (0,Т], 0 M. Тогда уравнение (1) имеет решение x(t) = x(t) + tN*u(t), где u(t) € C[o,t] единственная и может быть построена с помощью метода последовательных приближений из уравнения /0 K(t, s)sNu(s) ds = g(t), где g(t) = — /0 K(t, s)x(t) ds + f (t).

Теорема 3. (Ослабленное достаточное условие существования и единственности) [3, 6]

Пусть условия B и C выполнены, и B(j) = Kn(0, 0)+ ^ (Kj(0, 0) — Kj+1(0, 0)) ■

(а!(0))1+:?’ = 0 для j € N U <0>. Тогда уравнение (1) имеет единственное решение x(t) =

= xM(t) + tN u(t) в C[o,t], M > N. Кроме того, для t ^ +0 полином x(t) = xM(t) = Xjt!

является M-ным порядком асимптотической аппроксимации данного решения.

1. Численный метод

В данном разделе мы предлагаем для слабо-регулярных уравнений Вольтерра (1) общий численный метод, который основан на использовании квадратурной формулы средних прямоугольников. Погрешность предлагаемого метода имеет порядок O(1/N).

Для построения численного решения уравнения (1) на отрезке [0,T] введем сетку узлов (необязательно равномерную)

0 = t0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1р(£к )= у Кр(£к,5)ж(«) ds + ^ у Кр(£к ,«)ж(«) ds + J Кр(£й ,«)ж(«) ds.

«р-1(Ы -=^р-1,1 + 1*^-1 tv.pl _1

2. Если Ур_1,к = Ур,к, Р = 2. п — 1, тогда

Замечание 1. Количество слагаемых в каждой строчке последней формулы зависит от массива V—, определяемого по входным данным: функциям аг(£), г = 1,п — 1 и фиксированной (при конкретном значении N) сетке.

Каждый интеграл в последнем равенстве теперь аппроксимируется по формуле средних прямоугольников, т.е.

[ Ы (+ \ ( (+ \ + \ Ы (+ ар(£к) + £^р,1_А /ар(£к) + £^р,1 _А

Кроме того, на тех интервалах, где искомая функция определена, выбираем ж— (t) (т.е. t ^ tfc-i). На остальных интервалах неизвестное значение ж& появляется в нескольких последних слагаемых. Выражаем явно ж& и переходим к следующему шагу в цикле по k. Количество таких слагаемых определяется по начальным данным в результате анализа массива Vj. Погрешность метода

е = max |x(tj) — xh(tj)| (9)

0 Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1/4096 0,001715 0,001580 1,280209

1/8192 0,000780 0,000650 0,477592

1/16384 0,000510 0,000467 0,941993

1/32768 0,000231 0,000243 0,911317

1/65536 0,000124 0,000129 0,571444

1/131072 0,000078 0,000087

Работа частично поддержана интеграционным проектом СО и УрО РАН «Теория и методы решения задач дискретной оптимизации и их применение в информационнотелекоммуникационных системах>.

1. Сидоров, Д.Н. Методы анализа интегральных динамических моделей: теория и приложения / Д.Н. Сидоров. — Иркутск: Изд-во ИГУ, 2013.

2. Boikov, I.V. Approximate Solution of Nonlinear Integral Equations of Developing Systems Theory / I.V. Boikov, A.N. Tynda // Differential Equations. — 2003. — V. 39, № 9. -P. 1277-1288.

3. Сидоров, Д. Н. О семействах решений интегральных уравнений Вольтерры первого рода с разрывными ядрами / Д.Н. Сидоров // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. — 2012. — №18 (277), вып. 12. — С. 44-52.

4. Markova, E.V. On One Integral Volterra Model of Developing Dynamical Systems / E.V. Markova, D.N. Sidorov // Automation and Remote Control. — 2014. — V. 75, № 3.

5. Micke, A. The Treatment of Integral Equations with Discontinuous Kernels Using Product Type Quadrature Formula / A. Micke // Computing. — 1989. — V. 42. — P. 207-223.

6. Sidorov, D.N. Volterra Equations of the First Kind with Discontinuous Kernels in the Theory of Evolving Systems Control / D.N. Sidorov // Stud. Inform. Univ. — 2011. — V. 9. -P. 135-146.

7. Sidorov, D.N. On Parametric Families of Solutions of Volterra Integral Equations of the First Kind with Piecewise Smooth Kernel / D.N. Sidorov // Differential Equations. — 2013. — V. 49, № 2. — P. 210-216.

8. Sidorov, D.N. Solvability of Systems of Volterra Integral Equations of the First Kind with

Piecewise Continuous Kernels / D.N. Sidorov // Russian Mathematics. — 2013. — V. 57, № 1.

9. Tynda, A.N. Numerical Algorithms of Optimal Complexity for Weakly Singular Volterra

Integral Equations / A.N. Tynda // Comp. Meth. Appl. Math. — 2006. — V. 6, № 4. —

Денис Николаевич Сидоров, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Вычислительная техника>, Иркутский государственный технический университет, Иркутский государственный университет, Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН (г. Иркутск, Российская Федерация), contact.dns@gmail.com.

Александр Николаевич Тында, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая и прикладная математика>, Пензенский государственный университет (г. Пенза, Российская Федерация), tyndaan@mail.ru.

Ильдар Ринатович Муфтахов, аспирант кафедры «Вычислительная техника>, Иркутский государственный технический университет (г. Иркутск, Российская Федерация), ildar_sm@mail.ru.

Поступила в редакцию 20 мая 2014 г.

Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software»,

2014, vol. 7, no. 3, pp. 107-115.

MSC 45D05 DOI: 10.14529/mmp140311

Numerical Solution of Volterra Integral Equations of the First Kind with Piecewise Continuous Kernel

D.N. Sidorov, Irkutsk State Technical University, Irkutsk State University, Energy Systems Institute, Siberian Branch of Russian Academy of Sciences, Irkutsk, Russian Federation, contact.dns@gmail.com,

A.N. Tynda, Penza State University, Penza, Russian Federation, tyndaan@mail.ru,

I.R. Muftahov, Irkutsk State Technical University, Irkutsk, Russian Federation,

Integral equations are in the core of many mathematical models in physics, economics and ecology. Volterra integral equations of the first kind with jump discontinuous kernels play important role in such models and they are considered in this article. Regularization method and sufficient conditions for existence and uniqueness of the solution of such integral equations are derived. An efficient numerical method based on the mid-rectangular quadrature rule for these equations with jump discontinuous kernels is proposed. The accuracy of proposed numerical method is O(N-1). The model examples demonstrate efficiency of proposed method: errors, two mesh differences and orders of convergent.

Keywords: Volterra integral equations of the 1st kind; evolving systems; Glushkov integral model; numerical method.

1. Sidorov D.N. Metody analiza integral’nykh dinamicheskikh modelei: teoriya i prilozheniya [Methods of Analysis of Integral Dynamic Models: Theory and Applications]. Irkutsk, Izd. IGU, 2013. 293 p.

2. Boikov I.V., Tynda A.N. Approximate Solution of Nonlinear Integral Equations of Developing Systems Theory. Differential Equations, 2003, vol. 39, no. 9, pp. 1277-1288. DOI: 10.1023/B:DIEQ.0000012695.06431.c4

3. Sidorov D.N. Solution to the Volterra Integral Equations of the First Kind with Discontinuous

Kernels. Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling,

Programming & Computer Software, 2012, no. 18 (277), pp. 44-52. (in Russian)

4. Markova E.V., Sidorov D.N. On One Integral Volterra Model of Developing Dynamical

Systems. Automation and Remote Control, 2014, vol. 75, no. 3, pp. 413-421.

5. Micke A. The Treatment of Integral Equations with Discontinuous Kernels Using Product Type Quadrature Formula. Computing, 1989, vol. 42, pp. 207-223. DOI: 10.1007/BF02239749