Решение уравнения xy y имеет вид

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Дифференциальные уравнения по-шагам

Результат

Примеры дифференциальных уравнений

• Простейшие дифференциальные ур-ния 1-порядка
• Дифференциальные ур-ния с разделяющимися переменными
• Линейные неоднородные дифференциальные ур-ния 1-го порядка
• Линейные однородные дифференциальные ур-ния 2-го порядка
• Уравнения в полных дифференциалах
• Решение дифференциального уравнения заменой
• Смена y(x) на x в уравнении
• Другие

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Решение уравнения xy y имеет вид

Числа α ± iβ − корни кратности k характеристического уравнения

xᵏe αx ( Rᵥ ( x ) cosβx + Sᵥ ( x ) sinβx )

4.2-1. Найти частное решение уравнения
y ʹʹ(1 + lnx ) + y ʹ/ x = 2 + lnx , (1)
удовлетворяющее начальным условиям
y (1) = 1/2; y ʹ(1) = 1. (2)

Решение:
Уравнение (1) − это уравнение вида F ( x , y ʹ, y ʹʹ) = 0. Полагая
y ʹ = p ( x ), y ʹʹ = dp / dx , (*)
получаем линейное дифференциальное уравнение 1-го порядка относительно неизвестной функции p ( x ):
p ʹ(1 + lnx ) + p / x = 2 + lnx . (3)
Полагая в (3)
p = uv , p ʹ = u ʹ v + uv ʹ, (**)
получаем ( u ʹ v + uv ʹ)( 1 + lnx ) + uv / x = 2 + lnx или
u ʹ v ( 1+ lnx ) + u ( v ʹ(1+ lnx ) + v / x ) = 2 + lnx . (4)
Для нахождения v ( x ), положим в (4)
v ʹ(1+ lnx ) + v / x = 0, (***)
dv v dv dx dv dx
––– · (1+ lnx ) = — ––– . Разделяем переменные: ––– = — ––––––– . Интегрируем: ∫ ––– = — ∫ ––––––– ;
dx x v x (1+ lnx ) v x (1+ lnx )
dv d (1+ lnx )
∫ ––– = — ∫ ––––––– ; ln | v | = — ln |1+ lnx |; ln | v | = ln |1+ lnx |⁻¹; v = (1+ lnx )⁻¹ или
v (1+ lnx )
1
v = –––––– . (5)
1+ lnx
Далее, найдём u из уравнения (4) с учётом (***):
u ʹ v ( 1+ lnx ) = 2 + lnx . Подставим v из (5)
du 1 du
––– · ––––– · ( 1+ lnx ) = 2 + lnx ; ––– = 2 + lnx . Разделяем переменные: du = (2+ lnx ) dx .
dx 1+ lnx dx
Интегрируем:
∫ du = ∫ (2+ lnx ) dx ;
u = ∫ 2 dx + ∫ lnxdx = 2 x + ∫ lnxdx = (Интегрируем по частям: u = lnx , du = dx / x ; dv = dx , v = x ) = 2 x + xlnx — ∫ x dx / x = 2 x + xlnx — ∫ dx = 2 x + xlnx — x + C ₁ .
Получили
u = x + xlnx + C ₁ . (6)
Следовательно ( см. (**), (5) и (6) ),
x + xlnx + C ₁
p = uv = ––––––––––– .
1+ lnx
Возвращаясь к переменной у ( см. (*) ), имеем:
x + xlnx + C ₁ x (1 + lnx ) + C ₁ C ₁
y ʹ = ––––––––––– = ––––––––––––– = x + ––––– .
1+ lnx 1+ lnx 1+ lnx
Получили
C ₁
y ʹ = x + ––––– . (7)
1+ lnx
Воспользуемся начальными условиями (2): x = 1, y ʹ = 1. Подставим в (7):
C ₁
1 = 1 + ––––– или 1 = 1 + C ₁/1, отсюда C ₁ = 0 и (7) примет вид: y ʹ = x .
1+ ln 1
Разделяем переменные и интегрируем:
dy / dx = x ; dy = xdx ; ∫ dy = ∫ xdx ;
y = x ²/2 + C ₂ . (8)
С учётом начальных условий (2): x = 1, y = 0,5, имеем:
0,5 = 1²/2 + C ₂ , отсюда C ₂ = 0.
Тогда (8) примет вид
y = x ²/2 − частное решение уравнения (1).

4.2-2 . Найти частное решение уравнения:

при x = 0, y = 1, y’ = 2. (*)

Уравнение (1) – это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение k ² + k — 2 = 0 имеет корни k ₁ = 1; k ₂ = -2. Тогда общее решение дифференциального уравнения (1).
y = C ₁ e ˣ + C ₂ e ⁻²ˣ. (2)
Продифференцируем (2)
y ’ = C ₁ e ˣ — 2 C ₂ e ⁻²ˣ. (3)
Подставим в (2) и (3) начальные условия (*). Получим систему для нахождения постоянных C ₁ и C ₂
< 1 = C ₁ e ⁰ + C ₂ e ⁰
< 2 = C ₁ e ⁰ - 2 C ₂ e ⁰,
или
< 1 = C ₁ + C ₂
< 2 = C ₁ - 2 C ₂,
отсюда C ₁ = 4/3, C ₂ = -1/3.
Подставим в (2) найденные C ₁ и C ₂ и получим частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям (*):
y = 4 e ˣ/3 — e ⁻²ˣ/3 или y = (4 e ˣ — e ⁻²ˣ)/3 .
Ответ: y = (4eˣ — e⁻²ˣ)/3.

4.2-3. Проинтегрировать неоднородное линейное уравнение
ӱ + 3 ẏ = 3 xe ⁻³ˣ, (1)
найдя его частное решение методом неопределённых коэффициентов.

Решение:
(1) − это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение уравнения (1) ищем в виде
y = Ӯ + Y *, (2)
где Ӯ − общее решение однородного уравнения
ӱ + 3 ẏ = 0 (1*)
и Y * − частное решение уравнения (1).
Найдём Ӯ.
Составим характеристическое уравнение для (1*):
k ² + 3 k = 0.
Его корни k ₁ = 0, k ₂ = -3 действительны и различны. Им отвечают линейно независимые решения y ₁ = e ⁰ · ˣ, y ₂ = e ⁻³ˣ. Следовательно, общее решение уравнения (1*) имеет вид Ӯ = C ₁ e ⁰ · ˣ + C ₂ e ⁻³ˣ или
Ӯ = C ₁ + C ₂ e ⁻³ˣ. (2*)
Найдём Y *.
Правая часть уравнения (1) имеет вид:
f ( x ) = e α x P_n ( x ),
где число α = -3 − корень кратности k = 1 характеристического уравнения и P_n ( x ) = 3 x − многочлен 1-й степени. Следовательно (см. выше Таблицу 1, строка № 3, вторая подстрока), частное решение Y * неоднородного уравнения (1) будем искать в виде
Y * = xe ⁻³ˣ( Ax + B ), (*)
где А, В − неопределённые коэффициенты. Для нахождения А и В, дифференцируем дважды функцию Y *
Y * ʹ = ( xe ⁻³ˣ( Ax + B ) ) ʹ = ( Ax ² e ⁻³ˣ + Bxe ⁻³ˣ) ʹ = 2 Axe ⁻³ˣ — 3 Ax ² e ⁻³ˣ + Be ⁻³ˣ — 3 Bxe ⁻³ˣ,
Y * ʹʹ = 2 Ae ⁻³ˣ — 6 Axe ⁻³ˣ — 6 Axe ⁻³ˣ + 9 Ax ² e ⁻³ˣ — 3 Be ⁻³ˣ — 3 Be ⁻³ˣ + 9 Bxe ⁻³ˣ = 2 Ae ⁻³ˣ — 12 Axe ⁻³ˣ + 9 Ax ² e ⁻³ˣ — 6 Be ⁻³ˣ + 9 Bxe ⁻³ˣ.
Подставляя Y *, Y * ʹ, Y * ʹʹ в уравнение (1), получаем:
2 Ae ⁻³ˣ — 12 Axe ⁻³ˣ + 9 Ax ² e ⁻³ˣ — 6 Be ⁻³ˣ + 9 Bxe ⁻³ˣ + 3(2 Axe ⁻³ˣ — 3 Ax ² e ⁻³ˣ + Be ⁻³ˣ — 3 Bxe ⁻³ˣ) = 3 xe ⁻³ˣ.
Сокращая на e ⁻³ˣ и упрощая, получим:
-6 Ax + 2 A — 3 B = 3 x .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в обеих частях последнего равенства, имеем
< -6 A = 3
< 2 A - 3 B = 0,
откуда (решая систему) А = -1/2, В = -1/3.
Следовательно, частное решение Y * уравнения (1) ( см. (*) )
Y * = xe ⁻³ˣ(- x /2 — 1/3), (2**)
а его общее решение ( см. (2), (2*), (2**) )
y = C ₁ + C ₂ e ⁻³ˣ — xe ⁻³ˣ( x /2 + 1/3).
Ответ: y = C ₁ + C ₂ e ⁻³ˣ — xe ⁻³ˣ( x /2 + 1/3).

____________________________________________________________________________________

4.4. Системы дифференциальных уравнений.

4.4-1. Решить линейную однородную систему дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами:

Решение:
Здесь точкой обозначена производная по независимой переменной t . Применим метод последовательного исключения неизвестных. Из (1) выразим у:
y = ẋ — x . (1*)
Дифференцируя по t уравнение (1*), находим
ẏ = ẍ — ẋ . (1**)
Подставим в (2) y и ẏ из (1*) и (1**)
ẍ — ẋ = 3( ẋ — x ) — 2 x или
ẍ — 4 ẋ + 5 x = 0. (3)
Таким образом, данная система сведена к одному дифференциальному уравнению (3) второго порядка с постоянными коэффициентами относительно неизвестной функции х.
Решим уравнение (3).
Соответствующее характеристическое уравнение k ² — 4 k + 5 = 0 имеет корни k ₁ = 2 — i , k ₂ = 2 + i . Следовательно, общее решение уравнения (3) имеет вид
x ( t ) = e ² ᵗ ( C ₁ cost + C ₂ sint ). (4)
Дифференцируя по t (4), получим
ẋ = ( e ² ᵗ ( C ₁ cost + C ₂ sint ) )ʹ = (производная произведения) = ( e ² ᵗ )ʹ( C ₁ cost + C ₂ sint ) + e ² ᵗ ( C ₁ cost + C ₂ sint )ʹ = 2 e ² ᵗ ( C ₁ cost + C ₂ sint ) + e ² ᵗ (- C ₁ sint + C ₂ cost ) = e ² ᵗ [ (2 C ₁ + C ₂) cost + (2 C ₂ — C ₁) sint ].
Получили
ẋ = e ² ᵗ [ (2 C ₁ + C ₂) cost + (2 C ₂ — C ₁) sint ]. (5)
Подставляя в (1*) х и ẋ из (4) и (5), найдём функцию y ( t ):
y ( t ) = e ² ᵗ [ (2 C ₁ + C ₂) cost + (2 C ₂ — C ₁) sint ] — e ² ᵗ ( C ₁ cost + C ₂ sint ) = e ² ᵗ [ ( C ₁ + C ₂) cost + ( C ₂ — C ₁) sint ].
Таким образом, общее решение исходной системы (1)-(2) имеет вид
x ( t ) = e ² ᵗ ( C ₁ cost + C ₂ sint ); y ( t ) = e ² ᵗ [ ( C ₁ + C ₂) cost + ( C ₂ — C ₁) sint ].
Ответ: x ( t ) = e ² ᵗ ( C ₁ cost + C ₂ sint ); y ( t ) = e ² ᵗ [ ( C ₁ + C ₂) cost + ( C ₂ — C ₁) sint ].
________________________________________________________________________________________________

Литература:

1. А. А. Гусак. Справочное пособие по решению задач: математический анализ и дифференциальные уравнения. — Мн.: ТетраСистемс, 1998.
2. Т. А. Сухая, В. Ф. Бубнов. Задачи по высшей математике: учеб. пособие. В 2 ч. Ч. 2. — Мн.: «Вышэйшая школа», 1993.
3. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗОВ. Под редакцией Б. П. Демидовича. — М.: Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы, 1972.
4. А. И. Герасимович, Н. П. Кеда, М. Б. Сугак. Математический анализ: Справ. пособие. В 2 ч. Ч. 2. − Мн. : «Вышэйшая школа», 1990.