Решение волнового уравнения методом фурье онлайн

Ряд Фурье по-шагам

Результат

Примеры разложения в ряд Фурье

• Элементарные функции

Указанные выше примеры содержат также:

• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x)
• число Пи pi
• комплексное число i

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5

Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:

Разложение в ряд Фурье онлайн

Разложение некоторой функции f ( x ) в тригонометрический ряд Фурье на отрезке [- k , k ] имеет вид:

В качестве примера, разложим в ряд Фурье функцию f ( x ) = x на отрезке [ -1 , 1 ]. В этом случае коэффициенты a _n и b _n определяются по формулам:

Таким образом, разложение функции f ( x ) = x в ряд Фурье на отрезке [ -1 , 1 ] имеет вид:

На рисунке ниже приведено два графика: f ( x ) = x (красным цветом) и

, (синим цветом) для которого мы взяли порядок разложения функции в ряд Фурье равным 25.

Стоит отметить, что в приведенном выше примере, коэффициенты a _n равны нулю не случайно. Дело в том, что функция f ( x ) = x является нечетной на интервале [ -1 , 1 ]. Функция

— напротив является чётной. Произведение чётной функции на нечетную является нечётной функцией, поэтому согласно свойствам, интеграл от нечётной функции на симметричном интервале равен нулю.

В случае, если бы мы раскладывали в ряд Фурье на симметричном интервале какую-нибудь чётную функцию, например x 2 , коэффициенты b _n равнялись бы нулю, поскольку в этом случае, подинтегральное выражение

— являлось бы нечётной функцией.

Исходя из приведённых выше рассуждений можно сделать следующие выводы:

• Разложение в ряд Фурье нечётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с синусами.
• Разложение в ряд Фурье чётной функции на симметричном интервале будет содержить только слагаемые с косинусами.
• Если нам необходимо получить разложение в ряд Фурье некоторой произвольной функции на интервале [ 0 , b ] , то у нас есть две возможности. Мы можем продолжить эту функцию на интервал [ -b , 0 ] нечётным образом и тогда в разложении получим только синусы. Или же мы можем продолжить её в указанный интервал чётным образом и тогда получим в разложении только косинусы.

Стоит также отметить, что используя приведённые выше формулы и соответствующую замену переменной, можно получить формулы для коэффициентов разложения функции в ряд Фурье на произвольном интервале [ p , q ]:

Лекция 3. Метод Фурье

Метод Фурье — один из распространенных и эффективных методов решения уравнений с частными производными. Этот метод часто встречается и под другими названиями: метод разделения переменных или метод собственных функций.

Общая схема метода Фурье.

Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи для уравнения с частными производными сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом независимых переменных. В частности, если заданное уравнение содержит две независимые переменные, то вспомогательные задачи будут уже зависеть только от одной переменной. Таким образом решение уравнения с частными производными сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

При применении метода Фурье удобно использовать следующую лемму.

Основная лемма метода Фурье.

Если в прямоугольнике R плоскости XOY:

для некоторых функций выполняется тождество

то в этом случае

Доказательство. Предположим противное, т.е. что

Тогда существуют значения такие, что

Рассмотрим точки (x₁,y) и (x₂,y), принадлежащие прямоугольнику R. На R справедливо тождество (8), а поэтому

Сравнивая эти равенства, приходим к противоречию с нашим предположением. Следовательно X(x) = const, а тогда Y(y)=const.

Решение первой начально-краевой задачи для волнового уравнения.

Рассмотрим волновое уравнение

Граничные условия первого рода

И начальные условия

Решим эту задачу методом Фурье.

Шаг 1. Представим функцию U(x,t) в виде

Найдем частные производные U_xx и U_tt и подставим в уравнение (9):

В полученном уравнении левая часть зависит только от x, а правая- только от t. Используя основную лемму, заключаем:

Из граничных условий (10) получим

Шаг 2. Решим задачу Штурма-Лиувилля

Она имеет собственные значения и собственные функции

Шаг 3. Подставим найденные значения λ_n в уравнение а) и решим его:

Шаг 4. Выпишем частные решения уравнения (9):

Для волнового уравнения эти решения называются собственными колебаниями. В лекции 6 мы изучим их подробнее. В силу линейности и однородности уравнения (9) линейная комбинация этих решений

Замечание 1. Здесь мы предполагаем, что полученный функциональный ряд равномерно сходится и его можно дважды почленно дифференцировать по x и по t в области 0 0. Об условиях, при которых это можно сделать, будет рассказано в лекции 5.

Шаг 5. Определим коэффициенты A_nи B_n в формуле (12), используя начальные условия (11). Из первого начального условия получим

Равенство (13) означает, что начальная функция φ(x) разлагается в ряд Фурье по синусам, которые в данном случае являются собственными функциями X_n(x) задачи Штурма-Лиувилля.

Коэффициенты Фурье вычисляются по формулам

Из второго начального условия находятся коэффициенты B_n.

Вычислив коэффициенты A_n и B_n для конкретных начальных функций и подставив их значения в (12), мы получим решение первой начально-краевой задачи.

Замечание 2. Используя формулу (12), можно получить решение первой начально-краевой задачи для уравнения колебания струны: Для этого проведем замену переменной τ=at и получим

При этом начальное условие не изменится, а условие преобразуется к виду Тогда решение задачи в переменных (x,τ) будет иметь вид

Возвращаясь к переменным (x,t), получим