Решение волнового уравнения в пространстве

Решение волнового уравнения в пространстве

4 .1. Физический смысл решения волнового уравнения аналитическими функциями комплексного пространственного переменного. Вихрь как причина образования заряда в пространстве.

Рассмотрим волновые уравнения, описывающие различные физические среды. Например, распространение звука в среде описывается уравнением

где функция ¦ — описывающая поведение среды (воздуха) — скорость звука

Далее, если плоская световая волна распространяется вдоль оси x и поляризована так, что электрическое поле E направлено по оси y, то имеем

где c — скорость света.

Уравнение (4.2) является следствием уравнения Максвелла. Уравнения (4.1.), (4.2.) согласно современному представлению теоретической физики, являются уравнением одномерных волн. Для их вывода используется векторная интерпретация точечного вихря. Уравнения содержат временную координату. Эти два условия говорят о том, что в пространстве можно получить решение непосредственно из его физической сущности.

Так, решением одномерного волнового уравнения

в действительных координатах является функция

,

где представляют жесткое перемещение вдоль оси x (рис. 42, рис. 43).

Рис. 42. Жесткое перемещение плоской волны по направлению действительной оси

Рис. 43. Образование крутящего момента в пространстве при отображении пространства конуса-фильтра делителей нуля

В пространстве векторная операция точечного вихря определяет функцию от комплекса

, где ,

как функцию двух действительных функций от двух действительных переменных

В соответствии с определением производной от этой функции по формуле ( 1.26. ) будем иметь

Откуда, приравняв комплексные части получим пространственный ротор. В пространстве имеем два вектора, имеющих начало в окрестности e -туннеля. Вектора лежат

в двух взаимно перпендикулярных плоскостях так, что образуется крутящий момент (рис. 4 3).

Из формулы (4.3) имеем систему уравнений, дающих волновое уравнение.

.

Такой подход вскрывает механизм распространения электромагнитной волны (рис. 44), образованной из двух волн электрической E и магнитной H) и существующей благодаря наличию светового e -туннеля как одна волна.

Рис.44. Пространственная электромагнитная волна в комплексной интерпретации

Таким образом, решением волнового уравнения является функция и решение принадлежит четырехмерному пространству, а не плоскости, как считалось до настоящего времени.

Комплексные части аналитических функций, определенных в пространстве , являются решением волнового уравнения.

В теоретической физике рассматривается волновое уравнение, определенное в четырехмерном пространстве. Например, вектор Е электрической напряженности описывается пространственным уравнениям.

.

Решение этого уравнения представляется в виде суперпозиции решений одномерного уравнения. В решение входят волны, бегущие в направлении оси x , если поле не зависит от у, x , а также от у, если поле не зависит от х и x и так далее. В общем случае решение содержит суперпозицию волн, идущих в любых направлениях пространства.

Математического аппарата для получения общего уравнения в теоретической физике не существует, поэтому его сводят к решению уравнения (4.4), вводя вместо переменных x, у, x переменную r

.

После замены переменных в уравнении (4.4) и преобразований получим уравнение сферических волн, исходящих из центра точечного источника.

Решением в общем случае является Функция

.

описывающая первым своим членом сходящуюся волну (рис. 45).

В решении (4.5) функция y в начале координат бесконечна. Решение физически означает, что в начале координат располагается источник и поэтому решение не отвечает

Рис. 45. Сходящаяся волна

свободному волновому уравнению, следовательно, и начало координат не отвечает свободному волновому уравнению, Начало координат исключается из рассмотрения. Теоретическая физика в настоящее время не может объяснить этот момент.

В комплексном пространстве ситуация меняется. По аналогии с решением одномерного волнового уравнения составим решение в пространстве, которым будет функция от комплекса

,

В этом решении параметр r уже ограничен градусом e — туннеля, ибо при

функция определяется от делителей нуля. Это первая особенность решения, которая снимает вопрос об образовании волн в пространстве без наличия точечного источника — заряда.

Точечным зарядом в пространстве служит наличие в пространстве e -туннеля, Если e -туннель не закрыт структурой пространства более высокой размерности, то это пространство следует считать заряженным, в противном случае — нейтральным.

Отображение, осуществляемое функцией , позволяет определить в новых координатах, которыми будут комплексные части функции, туннель определенной уже физической природы. В окрестности этого нового туннеля комплексные части, выступающие как векторы, образуют крутящий момент (рис. 46)

Рис. 46. Образование пространственной волны

Аналитические функции, определенные в комплексном пространстве, дают решение волнового уравнения в более общем виде. Условия дифференцирования функции дают жесткие ограничения, которые представляют в принципе физический принцип суперпозиции волн.

Если дана функция

,

то действительные функции U, V, P, Q от действительных переменных удовлетворяют системе из четырёх эллиптических :

; ;;

и системе из двух гиперболических уравнений:

; .

Совместно система дает волновое уравнение

.

Замена переменной на временную переменную ct дает свободное волновое уравнение

.

Решением этого уравнения будет функция , определенная в пространстве комплексных координат

.

В этом комплексе произведена замена переменной с базисным вектором на переменную с вектором , то есть вектор переменной повернут на угол p /2 относительно вектора j (см. рис. 46). Вследствие этого в пространстве образуется крутящий момент между плоскостью

и вектором i y , что и приводит к образованию сферических волн.

;

Функции U, V, P, Q являются решением волнового уравнения .

.

Комплексные функции W, R являются решением волнового уравнения.

Таким образом, пространство с e -туннелем рассматриваем как заряженное пространство, В этом смысле вихрь, идущий по вихревой траектории типа C ₃ , создает заряженное пространство. Заряд в виде вихревого образование включает в себя сходящуюся и расходящуюся волны.

Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, «Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного», изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. — М. НИАТ. — 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.

2.2. Решение волнового уравнения

Уравнение типа (2.2), описывающее колебания различных упругих сред, называется волновым уравнением. Запишем его формально в виде:

Введем теперь вместо (x, t) новые переменные:

Производные по новым переменным выражаются по стандартным правилам дифференцирования сложной функции:

Отсюда следует, что уравнение (2.16) в новых переменных записывается в виде:

Поскольку производная по равна нулю,

не зависит от этой переменной и, следовательно, является некоторой функцией w только от переменной :

Интегрируем теперь это уравнение:

Первое слагаемое в правой части является только функцией переменной , которую мы обозначим как . Второе слагаемое — постоянная интегрирования. Она не зависит от , являясь, стало быть, функцией только переменной :

Мы получили, что решение волнового уравнения имеет вид:

Подставляя сюда выражения (2.17), мы возвращаемся к прежним переменным (x, t):

Функции f₁ и f₂ — совершенно произвольны и должны быть определены из начальных и граничных условий.

Обсудим физический смысл полученных решений. Ограничимся сначала первым слагаемым. Пусть

В момент времени t = 0 функция f₁(x) задает распределение смещений (профиль струны, деформацию твердого тела, распределение давления или частиц в газе и т. д.):

Предположим, например, что это распределение имеет максимум в точке (рис. 2.6).

Такое распределение называют обычно волновым пакетом. В момент t максимум функции по-прежнему будет в точке, в которой аргумент равен , но теперь (в момент времени ) аргумент равен , таким образом: или . Другими словами, за время от 0 до волновой пакет сдвинется вправо на расстояние vt, так что максимум теперь придется на точку

Нетрудно сообразить, что форму свою волновой пакет при этом перемещении не изменит.

Мы видим, что начальное распределение движется вправо со скоростью . Аналогично, второе слагаемое, , описывает движение волнового пакета налево с той же скоростью . Общее решение (2.21) является суперпозицией двух этих решений.

В свою очередь, любой волновой пакет может быть представлен как суперпозиция гармонических функций. Отсюда — особая роль решений волнового уравнения вида:

Это решение описывает монохроматическую волну, распространяющуюся направо со скоростью

Волновое уравнение движущейся волны

Физика > Математическое отображение движущейся волны

Волновое уравнение – математическая формула движения волны. Рассмотрите, как вывести решение волнового уравнения, вид уравнения, граничные условия, примеры.

Наиболее общее волновое уравнение задается как u(x, t) = f (x + ct) + g (x — ct), где f и g – произвольные функции.

Задача обучения

• Вывести решение для волнового уравнения перемежающейся волны.

Основные пункты

• Любая функция u(x, t), подходящая к условию , выступает решением волнового уравнения. Для этого были введены новые переменные φ = x — ct, ψ = x + ct.
• Решения 1D-волнового уравнения – суммы левой и правой движущихся функций.
• Волновая функция также вычисляется путем получения дополнительной информации, обычно заданной граничными условиями.

Термины

• Волновое уравнение – линейной уравнение частных производных второго порядка для описания различных типов волн.
• Граничное условие – набор ограничений на границах, используемых в дифференциальных уравнениях.

Чаще всего, для одномерных волн используют уравнение:

Например, синусоидальная форма u(x, t) = A sin(kx — ωt) выступает решением волнового уравнения для с = ω/k.

Решение волнового уравнения

Отметим, что любая функция u(x, t), подходящая к условию , выступает решением волнового уравнения. Так что обратите внимание на

В середине мы использовали первое уравнение. Теперь вставим новые переменные φ = x — ct, ψ = x + ct и получим:

При смене переменных ∂u+/∂φ = 0 для уравнения со знаком «+» и ∂u-/∂ψ = 0 для знака «-». Поэтому мы видим, что

u₊(φ,ψ) = f(ψ), u_— (φ, ψ) = g(φ), где f и g – произвольные функции. Возвращаясь к исходным переменным x и t, выводим, что решение волнового уравнения:

u (х, t) = f (х + ct) + g (х — ct).

Мы видим, что решение для 1D-волнового уравнения отображает сумму левой (f) и правой (g) перемещающихся волн. Движение означает, что форма их отдельных произвольных функции по х остается стабильной, а вот время и скорость – нет.

Граничное условие

Любая функция с «x + ct» или «x — ct» может выступать решением волнового уравнения. Также можно вычислить при помощи дополнительной информации в виде граничного условия. Например, если речь идет о гитарной струне, то мы знаем, что волна обладает нулевой амплитудой на обоих концах: u (x = 0) = u (x = L) = 0.

Решение волнового уравнения в двух измерения с граничным условием нулевого смещения вдоль всего внешнего края.

,