Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений
Примеры
Пример 1. От посёлка до речки 60 км. Утром турист на скутере отправился на речку. Вечером он возвратился в посёлок, но при этом ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей и потратил на дорогу на 18 мин больше. Сколько времени ехал турист от речки к посёлку?
Пусть t — время вечером, на дорогу от речки к посёлку.
Тогда время утром, на дорогу от посёлка к речке t- $\frac<18><60>$ = t-0,3 (ч)
По условию разность скоростей равна 10:
$$1,8=t(t-0,3), t \neq 0, t \neq 0,3$$
$$ D = 0,3^2-4 \cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2 $$
$$ t = \frac<0,3 \pm 2,7> <2>= \left[ \begin
Выбираем положительный корень, t = 1,5 ч
Пример 2. Катер прошёл по течению 120 км. На этот же путь против течения от тратит времени в 1,5 раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.
Пусть u — скорость течения
По условию время против течения в 1,5 раз больше:
$$ 1,5(20-u) = 20+u, u \neq \pm 20 $$
Пример 3. В раствор, содержащий 50 г соли, добавили 150 г воды. В результате концентрация соли уменьшилась на 7,5%. Найдите первоначальную массу раствора.
Пусть x — масса воды в первоначальном растворе, в граммах.
По условию разность концентраций:
$$ 50 \cdot 150 = \frac<75> <1000>(x+50)(x+200), x \neq -50, x \neq -200 $$
$$ D = 250^2-4 \cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = $$
$$ = 100 \cdot 4225 = 650^2 $$
$$ x = \frac<-250 \pm 650> <2>= \left[ \begin
Выбираем положительный корень x=200 г – начальное количество воды в растворе. Начальная масса всего раствора: 50+200 = 250 г.
Пример 4. Мастер и его ученик, работая вместе, выполняют норму на 8 ч. Если каждый работает самостоятельно, то мастер тратит на выполнение нормы на 12 ч меньше, чем ученик. Сколько часов тратит каждый из них на выполнении нормы?
Пусть N изделий – это норма, t — время, потраченное мастером.
Из последней строки таблицы получаем:
$$ 8(2t+12) = t(t+12), t \neq 0, t \neq -12$$
$$ t^2-4t-96 = 0 \Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin
Выбираем положительный корень, t=12 ч — время, которое мастер потратит самостоятельно. Ученик потратит 12+12=24 ч.
Ответ: 12 ч и 24 ч
Пример 5*. Один фрилансер может выполнить проект на 12 дней быстрее, чем второй. Над новым проектом первый фрилансер сначала проработал самостоятельно 6 дней, а затем к нему присоединился второй. Через 3 дня совместной работы \frac<3> <5>проекта было готово.
За сколько дней каждый из фрилансеров может выполнить проект самостоятельно? За сколько дней проект был фактически выполнен?
Пусть d — количество дней первого фрилансера при самостоятельной работе.
Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений. Алгебра (8-й класс)
Разделы: Математика
Класс: 8
— отработка навыков решения задач на составление дробных рациональных уравнений;
— знакомство с геометрическим способом решения уравнений;
— развитие способности к содержательному обобщению и рефлексии;
— развитие алгоритмического мышления;
— повышение интереса к решению математических задач
— показать связь с другими предметами, с жизнью.
Пусть математика сложна,
Ее до края не познать
Откроет двери всем она,
В них только надо постучать.
Чтобы двери в мир математики открывались как можно легче мы сегодня будем учиться… Чему?
Ребус этот разреши,
А ответ нам напиши
Сей ответ встречаешь часто,
Не решаешь их напрасно.
— Правильно, наш урок посвящен задачам, и не простым, а задачам на составление дробных рациональных уравнений.
I. Актуализация опорных знаний.
1. Большинство задач на составление дробных рациональных уравнений в результате сводится к решению квадратных уравнений. Большой вклад в решение уравнений внес французский математик — … Как его звали? — Франсуа Виет “вызывает вас на соревнование, предлагая для решения следующие уравнения:
(На экране и на партах уравнения)
— Как называются такие уравнения?
— С помощью какой теоремы решим данные уравнения?
— Какое свойство коэффициентов квадратного уравнения можно использовать при решений некоторых уравнений?
В-1
- Х 2 + 7Х +10 = 0
- Х 2 — 19 Х+18=0
- Х 2 +9Х+20=0
- Х 2 -17Х+30=0
- 13Х 2 -29Х+16=0
- 17Х 2 -19Х-36=0
В-2
- Х 2 + 7Х-8 = 0
- Х 2 + 17Х-18=0
- Х 2 -15Х+50=0
- Х 2 +13Х+30=0
- 12Х 2 -35Х+23=0
- 100Х 2 +150Х+50=0
А сейчас поменяйтесь работами с соседом по парте, делаем проверку, выставляем оценку (ответы на экране) Собираем работы, чтобы я тоже могла посмотреть и выставить оценки.
2. Проверка домашнего задания с последующим использованием для углубленного изучения темы:
— нужно оформить решение домашней задачи № 610 на доске (1 ученик);
— а мы поработаем устно.
1) Верно ли решены уравнения?
А) х1 =1, х2=4
Ответ: нет, корень х=1 — посторонний.
Б) х=1
Ответ: нет, есть еще один корен Х=2.
Какой вывод нужно сделать?
2) Найти общий знаменатель дробей в каждом из уравнений:
Ответ: 5х-2 или 2-5х
II. Поиск задач, математическими моделями которых являются дробные уравнения.
— Мы научились решать дробные уравнения.
А для чего они нужны? Какие задачи приводят к их появлению?
— Такие ,в которых одна величина выражается через другие при помощи дробного выражения.
Например: время =; ;
Cторона прямоугольника=;
;
и другие.
Итак, вы могли убедиться, что людям разных профессий приходится иметь дело с задачами на дробно-рациональные уравнения.
И на свете нет профессий
Вы заметьте-ка
Где бы нам не пригодилась Ма-те-ма-ти-ка!
III. Решение задач + рисунок.
Проверим домашнюю задачу № 610. Поезд опаздывал на 1 час,чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 10 км/час на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию.
S (км) | V(км/час) | T (ч) | |
По расписанию | 720 | Х | 720 |
Х
720х+7200-720х-х2-10х=0
Х1=80 х2= -90 (не удовлетворяет условию задачи).
80 км/час- скорость поезда по расписанию.
Вы решили эту задачу алгебраическим методом. Я предлагаю решить используя геометрический метод
2. Геометрический метод.
Экскурс в историю. Геометрический метод решения задач появился во времена Евклида ( 3 век до нашей эры) и использовался не только в геометрии, но и в алгебре. Развивалась геометрическая алгебра. В старинных индийских сочинениях этого времени доказательство или решение сводилось к чертежу, подписанному одним словом “Смотри!”. Решение алгебраической задачи геометрическим методом осуществляется в три этапа:
1) построение геометрической задачи, то есть перевод ее на язык геометрии,
2) решение получившейся геометрической задачи,
3) перевод полученного ответа с геометрического языка на естественный.
АВ=х –скорость поезда по расписанию (км/час).
АД – время движения поезда по расписанию (ч).
SАВСД = АВ х АД =720
Так как поезд увеличил скорость на 10 км/час, то прибавим к отрезку АВ отрезок ВЕ, условно изображающий 10 км/час. C увеличенной скоростью поезд прошел весь путь на 1 час быстрее, поэтому вычтем из отрезка АД отрезок ДК, условно изображающий 1 час.
S AEFK=SАВСД =720
S1+S3=S2+S3 —> S1=S2. S1 = Х и S2 =10 х EF.
Получили, что используя что S 1=S2 получим уравнение:
Решив это уравнен мы узнаем, что скорость поезда по расписанию была 80 км/час
Уравнения могут быть такими:
Обратите внимание, что переход к квадратному уравнению от первого и последнего уравнений осуществляется быстрее, чем в случае с другими составленными уравнениями.
IV.Физкультминутка (упражнение для глаз).
V. Задача ( ЕГЭ) В9.
Одна мастерская должна была изготовить 420 деталей, другая, за тот же срок 500 деталей. Первая выполнила свою работу на 4 дня раньше срока, а вторая на 7. Сколько деталей в день изготовляла вторая мастерская, если известно, что ежедневно она изготовляла на 5 деталей больше, чем первая?
— О чем идет речь в задаче? (О двух мастерских)
— Значит имеем: 1 и 2 мастерские
— Чем занимались эти мастерские ?
— Что спрашивается в задаче?
Пусть х (х>0)l деталей в день изготавливала П мастерская, тогда 1 изготавливала (Х-5) деталей в день. Сколько дней работала каждая мастерская?
— Какая из них быстрее справилась с работой?
— На сколько? (На 3 дня раньше чем 1 мастерская)
Детали | Количество деталей в день | Сколько дней работала | Справились раньше | |
1 мастерская | 420 | (х-5) | на 4 дня | |
П мастерская | 500 | Х | На 7 дней |
Получим уравнение х(х-5)
420х-500х +2500-3х?+15х =0
Х 1 =
Х2= (не удовлетворяет условию задачи)
— Значит 2 мастерская изготавливала в день 20 деталей.
Ответ: 20 деталей.
VI. Домашнее задание: (заранее написать на доске) № 609.
(Придумать задачу по уравнению и решить ее )
VII. Самостоятельно решить задачу № 615.
12(Х+10)+12Х-(х 2 +10Х)=0
12Х+120+12Х-х 2 -10Х=0
Х 2 -14Х-120=0 Д=196+480=676=26? Х1=
Один из рабочих выполнит работу за 20 дней, а другой за 30 дней. Ответ: 20 дней и 30 дней.
Итог урока: Общеизвестно высказывание: “Решение математической задачи можно сравнить со взятием крепости”.
После данного урока решение большинства задач, я надеюсь,со взятием крепости уже не ассоциируется. Вы согласны со мной, ребята?
То интересна, то сложна.
Получается задача —
Радуется душа.
Пусть вам будут по плечу любые задачи. Успехов!
Спасибо за урок!
Подборка задач по алгебре 8 класс на составление рациональных уравнений
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Задачи на составление рациональных уравнений.
Из пунктов А и В , расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А . Найдите скорость пешехода, шедшего из А , если известно, что он шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В , и сделал в пути получасовую остановку.
Из пункта А в пункт В , расстояние между которыми 19 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел турист и встретил пешехода в 9 км от В . Турист шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход. Найдите скорость пешехода, шедшего из А .
Расстояние между пристанями А и В равно 126 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 34 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 13 км, вышел пешеход. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист. Велосипедист ехал со скоростью, на 11 км/ч большей скорости пешехода, и сделал в пути получасовую остановку. Найдите скорость пешехода, если известно, что они встретились в 8 км от пункта В.
Два велосипедиста одновременно отправляются в 60-километровый пробег. Первый едет со скоростью на 10 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость велосипедиста, пришедшего к финишу вторым.
Два автомобиля одновременно отправляются в 240-километровый пробег. Первый едет со скоростью, на 20 км/ч большей, чем второй, и прибывает к финишу на 1 ч раньше второго. Найдите скорость первого автомобиля.
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 100 км. Отдохнув, он отправился обратно в А, увеличив скорость на 15 км/ч. По пути он сделал остановку на 6 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
http://urok.1sept.ru/articles/579993
http://infourok.ru/podborka-zadach-po-algebre-klass-na-sostavlenie-racionalnih-uravneniy-1468299.html