Решение задач на уравнение ван дер ваальса

Электронная библиотека

9.1. В сосуде вместимостью V = 0,3 л находится углекислый газ, содержащий количества вещества ν = 1 моль при температуре Т = 300 К. Определить давление газа если: 1) газ реальный; 2) газ идеальный.

1) Газ реальный. Уравнение состояния реального газа уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа уравнение имеет вид:

Здесь R = 8,31 Дж/моль К ; а и b – поправки Ван-дер-Ваальса. Их значение определяется из справочных таблиц: а = 0,361 Н·м 4 / моль 2 ; b = 4,28·10 -5 м 3 / моль.

Из формулы (1) получим:

Проверка единиц измерения:

2). Газ идеальный. Применим уравнение Клаперона-Менделеева для одного моля газа: , откуда .

Проверка единиц измерения:

9.2. В сосуде вместимостью V₁ = 1л содержится m =10 г азота. Определить изменение (ΔТ) температуры азота, если он расширяется в пустоту до объема V₂ = 10л.

Решение: Процесс расширения газа в пустоту является адиабатическим, то есть происходит без теплообмена с окружающей средой: ΔQ = 0.

При расширении в пустоту работа не совершается: А = 0 .

Из первого начала термодинамики следует, что ΔU = 0, или U = const.

Внутренняя энергия газа остается постоянной.

Для реального газа внутренняя энергия определяется по формуле:

Здесь ν = – количество вещества, C_v – молярная теплоемкость газа, а – поправка Ван-дер-Ваальса, V_μ – объем одного моля газа.

Объём одного моля газа вычисляем по формуле:

Применим формулы (1) и (2) к решению задачи. До расширения

Выполним расчеты. Значение а возьмем из справочных таблиц: а = 0,135(Н м 4 )/моль 2 . Азот – двухатомный газ, поэтому его теплоемкость равна:

Проверка единиц измерения:

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Примеры решения задач по физике

Основные понятия и формулы.

Поведение реальных газов описывается уравнением состояния Ван-дер-Ваальса: для одного моля:

, (6.1)

для ν молей газа:

, (6.2)

где a, b – константы, зависящие от природы газа, которые приводятся в справочниках и приложениях к сборникам задач.

Внутренняя энергия ν молей реального газа:

. (6.3)

Критические параметры вещества удовлетворительно описываются уравнением Ван-дер-Ваальса и выражаются через его параметры a и b:

Pкр = a/27b2, Vкр. = 3b, Tкр. = 8a/27bR (6.4)

Эффект Джоуля-Томпсона описывается соотношением:

где H1 и H2 – энтальпия газа до и после его расширения, соответственно.

Задачи на эту тему можно разделить на следующие группы:

а) задачи, которые учат работать с уравнением Ван-дер-Ваальса и позволяют получить ряд полезных соотношений;

б) задачи по описанию критического состояния вещества;

в) задачи на эффект Джоуля-Томпсона.

6.2. Примеры решения задач.

Один моль кислорода расширили до объема V1 = 1 л до V2 = 5 л при постоянной температуре T = 280 K. Вычислить количество поглощенного газом тепла, газ считать ван-дер-ваальсовым.

Дано: V1 = 1 л = 10-3 м3, V2 =5 л =5 10-3 м3, T = 280 К.

Решение. Для ответа на вопрос задачи запишем первое начало, в которое входит искомая величина Q. Элементарное тепло . Тогда поглощенное газом тепло в ходе конечных превращений:

(1)

Согласно (6.3), внутренняя энергия реального газа:

,

а давление p из (6.1):

.

Подставим полученные выражения в (1), тогда:

.

Первый интеграл равен нулю, так как процесс идет при постоянной T. Из второго и третьего интегралов получим:

.

Реальные газы. · Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа

· Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа

,

для произвольного количества вещества

,

где a и b – постоянные Ван-дер-Ваальса; V – объем, занимаемый газом; V_m – молярный объем; р – давление газа на стенки сосуда; ν – количество вещества.

· Связь критических параметров – объема, давления и температуры газа – с постоянными Ван-дер-Ваальса

, , .

· Внутренняя энергия реального газа

.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1.В закрытом гараже объемом V₁ = 80 м 3 хранился открытый сосуд с ацетоном объемом V₂ = 0.5 л, который полностью испарился. Плотность ацетона ρ = 0.8·10 3 кг/м 3 . Вентиляция в гараже отсутствует. Определить количество ацетона в 1 м 3 воздуха.

Решение: Количество паров ацетона в 1 м 3 воздуха равно

,

где — масса испарившегося ацетона.

.

Подставив числовые данные, получим

кг/м 3 .

Пример 2.Сколько молекул воздуха находится в комнате объемом 240 м 3 при температуре 15 0 С и давлении 750 мм.рт.ст.?

Решение: Чтобы использовать объединенный закон газового состояния, сравним между собой состояния данной массы воздуха при заданных (p₁, V₁, T₁) и нормальных (p₀, V₀, T₀) условиях:

.

Поскольку объем воздуха при нормальных условиях (ρ₀ – плотность воздуха при нормальных условиях), то предыдущее уравнение примет вид:

,

откуда .

Найдем, сколько молей содержится в данной массе воздуха:

.

Поскольку в одном моле любого газа, в том числе и воздуха, содержится число молекул, равное постоянной Авогадро, то:

молекул.

Пример 3. Из баллона со сжатым водородом вместимостью V = 10 л вследствие неисправности вентиля утекает газ. При температуре t₁ = 7 0 С барометр показывает p = 51 атм. Показание барометра не изменилось и при температуре t₂ = 17 0 С. Определите, сколько газа утекло.

Решение: Используя уравнение Клапейрона-Менделеева

,

найдем первоначальную массу водорода

.

Аналогично найдем массу водорода m₂ после утечки:

.

Следовательно, масса утекшего газа:

кг.

Пример 4.Давление атомарного водорода в космическом пространстве примерно р = 1,7·10 -15 Па при температуре Т = 125 К, эффективный диаметр его молекул d_эф = 0,22 нм. Найти, какое время t в среднем движется молекула водорода между последовательными столкновениями.

Решение: Время между последовательными столкновениями можно найти, разделив среднюю длину свободного пробега молекулы на ее среднюю арифметическую скорость:

.

Концентрация молекул n связана с давлением р формулой , откуда и выразим концентрацию молекул: .

Тогда время между последовательными столкновениями молекул водорода найдем как: .

лет.

Пример 5.Кислород массой m = 2 кг занимает объем V₁ = 1 м 3 и находится под давлением р₁ = 0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂ = 3 м 3 , а затем при постоянном объеме до давления р₃ = 0,5 МПа. Найти изменение внутренней энергии ΔU газа, совершаемую им работу А и теплоту Q, переданную газу.

Решение: Изменение внутренней энергии газа:

,

где i = 5 – число степеней свободы молекул кислорода; ΔТ = Т₃ – Т₁ – разность температур газа в конечном (третьем) и начальном состояниях.

Начальную и конечную температуру газа найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева

,

откуда .

Работа расширения газа при постоянном давлении выражается формулой:

.

Работа газа, нагреваемого при постоянном объеме, равна нулю:

.

Следовательно, полная работа, совершаемая газом, равна:

.

Согласно первому началу термодинамики, теплота, переданная газу, равна сумме изменения внутренней энергии и работы:

Произведем все вычисления, учтя, что для кислорода М = 32·10 -3 кг/моль.

К; К; К;

Дж = 0.4 МДж;

МДж;

Дж = 3,24МДж;

МДж.

Пример 6.Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление р = 79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h₁ полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с 5 0 С до 1 0 С. Какую ошибку Δh в определении высоты допустил летчик? Давление р₀ у поверхности Земли считать нормальным.

Решение: Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой

Барометр может показывать неизменное давление при различных температурах Т₁ и Т₂ за бортом только в том случае, если самолет находится не на высоте h (которую летчик считает неизменной), а на некоторой другой высоте h₂.

Запишем барометрическую формулу для этих двух случаев:

, .

Найдем отношение р₀/р и обе части полученного равенства прологарифмируем:

, .

Из полученных соотношений выразим высоты h₁ и h₂ и найдем их разность:

Подставим значения и произведем вычисления:

м.

Знак «–» означает, что h₂ 7 Дж/кг. Температура котла t₁ = 200 0 С, температура холодильника t₂ = 58 0 С. Найти фактический η_ф КПД этой машины. Определить во сколько раз КПД идеальной η_ид тепловой машины, работающей по циклу Карно при тех же температурах нагревателя и холодильника, превосходит КПД этой паровой машины η_ф.

Решение: КПД реальной паровой машины (фактический КПД) определяется отношением работы, совершенной этой машиной за некоторое время, к количеству теплоты Q₁, которое отдано нагревателем за это время:

.

Работу, совершаемую паровой машиной, можно определить произведением мощности на время ее работы: .

Паровая машина отдает количество теплоты Q₁, которое выделит сгоревший уголь массой m. Это количество теплоты равно:

.

Тогда фактический КПД паровой машины определим как:

. (1)

КПД идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно, определяется формулой:

. (2)

Разделив (2) на (1) мы ответим на второй вопрос задачи:

.

Пример 9.Какую температуру Т имеет масса m = 2г азота, занимающего объем V = 820 см 3 при давлении р = 0,2 МПа? Для азота Т_к = 126 K, р_к = 3,4 МПа.

Решение: Реальные газы подчиняются уравнению Ван-дер-Ваальса: . Известно, что , откуда выразим a:

, подставим сюда значение для а: , откуда выразим b: и вычислим а: