Решение задач на уравнения весы

Решение задач на уравнения весы

Запись двух равных чисел будет выглядеть, например, так:

а запись двух равных числовых выражений может быть записана:

Про равенство можно сказать верно оно или нет. Например, 4 + 3 = 10 — 3 — верное равенство, 11 — 2 = 5 + 1 — неверное.

Можно заметить, что если в равенстве поменять местами правую и левую части, то оно не изменится. Действительно, если 2 + 5 = 9 — 2 — это верное равенство, то и 9 — 2 = 2 + 5 — тоже верное равенство. Это свойство равенств называется симметричностью.

Если в равенстве присутствует неизвестная величина, то его называют уравнением.

Например, самое простое уравнение может выглядеть так:

или чуть сложнее:

или еще немного сложнее:

2x — 18x + 6 — 3 = 7 — 4x + 2 + 15x.

Возникает вопрос при каких значениях неизвестной, наше уравнение превратится в верное равенство? Сколько таких значений и как их найти?

Значения неизвестной, при которых уравнение превращается в верное равенство называются корнями уравнения, а поиск этих значений — процессом решения уравнения. Например уравнение:

Превращается в верное равенство при х = 2:

Значит это уравнение имеет один корень х = 2. Есть уравнения, которые имеют два корня, есть, которые имеют 3 или более корней. Есть уравнения, которые имеют бесконечное количество корней. Например уравнение:

10x + 7 — 2 = 12x — 2x + 5

Будет верно при любом x. Также уравнение может совсем не иметь корней:

10x + 7 — 1 = 12x — 2x + 5

Легко убедиться, что какое бы x мы не взяли это уравнение не превратится в верное равенство.

Давайте представим себе весы, на которых мы будем сравнивать различные предметы (точнее их веса). Будем говорить, что весы находятся в равновесии, если чаши весов находятся на одном уровне. Вот эти весы в равновесии:

Рис.1 Весы в равновесии

Рис.2 Весы не в равновесии

Если весы находятся в равновесии, это значит что вес содержимого левой чаши равен весу содержимого правой чаши. Посадим на обе чаши по одинаковому слону и получим весы в равновесии:

Можно сказать, что у нас есть равенство: Мслона = Мслона.

Рис.3 Весы в равновесии

А если на левой чаше сидит слон, а на правой мышка, то равновесия нет:

Рис.4 Весы не в равновесии

Добавим на правую чашу миллион мышек и получим другое неравенство:

Рис.5 Весы не в равновесии

Уберем лишних мышек чтобы привести весы в равновесие:

Рис.6 Весы в равновесии

Теперь мы можем сказать что вес слона равен весу мышек, то есть мы получили равенство: Мслона = Ммышек.

Отметим еще раз аналогию, которую мы проводим: если весы находятся в равновесии, можно говорить о равенстве содержимого левой и правой чаши.

Что произойдет если к весам, находящимся в равновесии, на левую чашу что-нибудь добавить? Очевидно, левая чаша перевесит правую:

Рис.7 Весы в равновесии

Вместе с потерей равновесия пропадает и равенство правой и левой чаши. Чтобы восстановить равновесие надо добавить такой же банан на правую чашу:

Рис.8 Весы в равновесии

Равновесие восстановлено! Из вышепроделанного можно сделать вывод, что если к чашам весов, которые находятся в равновесии добавить одинаковый груз, то равновесие не изменится! Вспоминаем нашу аналогию и получаем важное свойство равенства:

1. Если к обеим частям верного равенства добавить одинаковое число или выражение, то равенство останется верным!

7 = 7 — равенство верно.

Добавим к обеим частям 33:

7 + 33 = 7 + 33 — равенство верно.

3 + 4 = 10 -3 — равенство верно.

Добавим к обеим частям 15:

3 + 4 + 15 = 10 — 3 + 15 — равенство верно.

Следующие свойства равенства можно получить аналогичными рассуждениями на примере весов (проведите их самостоятельно):

2. Если от обеих частей верного равенства отнять одинаковое число или выражение, то равенство останется верным

3. Если обе части равенства умножить на одно и тоже число или выражение, то равенство останется верным.

4. Если обе части равенства разделить на одно и тоже число или выражение не равное нулю, то равенство останется верным.

Итак, метод “весов” помог нам найти эти важные свойства равенства. Давайте применим их для решения уравнений. Возьмем для примера следующее уравнение:

Для начала вспомним, что решить уравнение — это значит найти все его корни, то есть все значения x, при которых уравнение превращается в верное равенство или доказать, что таких корней нет. Процесс решение уравнения — это последовательность преобразований исходного уравнения, в результате которой получается уравнение вида x = значение. Т.е. решение нашего уравнения должно выглядеть так:

Полученное значение x и будет корнем уравнения. Еще раз, наша цель: путем преобразований исходного уравнения получить уравнение: x = число.

Заметим, что чтобы достичь нашей цели необходимо чтобы в правой части уравнения не осталось членов с неизвестным, а в левой свободных членов (чисел без x). Действительно, в выражении x = число, слева от знака равно нет свободных членов, а справа нет членов с неизвестным.

Для начала давайте избавимся от слагаемых с неизвестным в правой части уравнения. Для этого воспользуемся свойством, которое мы получили из метода весов, а именно: если отнять одно и тоже значение от обеих частей равенства, то равенство останется верным. В правой части уравнения присутствует член 3x, отнимем его от обеих частей уравнения:

5x + 7 — 3x = 3x + 17 — 3x

Приведем подобные члены:

Теперь избавимся от свободного члена в левой части уравнения путем вычитания из обеих частей числа 7:

2x + 7 — 7 = 17 — 7

Приведем подобные слагаемые:

Чтобы найти x, разделим обе части уравнения на 2:

Корень нашего уравнения 5. Убедимся в этом подставив его в исходное уравнение:

32 = 32 — верное равенство.

5x + 7x — 8x + 4 -6 = 15x — 17x + 4x — 5 -8

Метод весов

Разделы: Математика

Тип урока: урок изучения нового материала.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, парная.

Основные цели: показать еще один способ решения уравнений.

— сформировать представление о методе “весов”, отрабатывать вычислительные навыки;

— развивать логическое мышление, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы, развивать внимание, математическую речь;

— воспитание коммуникативной культуры, умения работать в паре, познавательного интереса к предмету.

Цель для учителя: создать условия для усвоения учащимися данной темы.

1. Учебник “Математика 5 класс”. Г.В.Дорофеев, Л.Г. Петерсон.

2. Цветные карточки с цифрами. (Рисунок №1)

3. Круги с числами.

4. Макет весов с подвижными гирями.

5. Рисунки логических весов со съемными квадратиками и звездочками.

6. Карточки с ритмическими рисунками.

7. Рисунки квадрата и круга.

8. Эталон к самостоятельной работе.

9. Карточка для этапа рефлексии.

10. Карточка с домашней творческой задачей по теме.

1. Организационный момент

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания детей, создание благоприятного психологического настроя на работу.

Дидактическая задача этапа: подготовить учащихся к работе на уроке.

Здравствуйте, ребята, садитесь. Подпишем число, классная работа и оставим место для темы урока. Тему вы сами определите чуть позже.

Девиз нашего урока:

Логика есть попытка понять действительный мир
по известной созданной нами схеме сущего.
Фридрих Ницше

2. Устная работа

1) Устный блиц опрос.

• У стола четыре угла. Один отпилили. Сколько осталось?
• Какая третья буква в слове “дуб”?
• Сколько месяцев в году?
• Что мы слышим в начале урока? (Букву “у”)
• Чему равно произведение всех цифр?

2) Упражнение на развитие памяти.

Учащимся предлагаются цветные карточки (рисунок №1)с цифрами. Учащиеся рассматривают и запоминают их, в течение 30 сек. Затем задаются вопросы.

• Какая цифра изображена на коричневой карточке?
• Сколько карточек между желтой и бирюзовой карточками?
• Запишите в тетрадь цифры (номера) и цвет карточек.

3) Задание на развитие внимания и способности анализировать.

Перед вами круги с числами. Некоторые числа пропущены. Числа расставлены в соответствии с определенными законами. Вставьте пропущенные числа.

3. Актуализация опорных знаний

На доске макет весов с подвижными гирями. Предлагаются вопросы:

— Что произойдет, если на чашки весов положить одинаковый вес?

— А если с чашек убрать одинаковый вес?

— Что произойдет, если убрать с чашек килограмм сахара и гирю весом 1 кг, зная, что весы были в равновесии?

4. Решение развивающих задач

5. Изучение нового материала

Пробное задание: Решить уравнение

1. Рассмотреть уравнение, как модель задачи с весами.

2. Привести данное уравнение к уравнению, где переменная стоит в одной части.

3. Решить, получившееся уравнение, используя известные способы.

4. Вывести общее правило для решения уравнений такого типа.

3a – 3a + 33 = 8a – 3a + 8; 33 = 5a + 8; 5a + 8 = 33; 5a = 33 – 8; 5a = 25; a = 25 : 5; a = 5

– Как же вы преобразовали уравнение? (Мы вычли из обеих частей уравнения одно и то же число и получили уравнение, которое можно решить, пользуясь правилами нахождения неизвестного компонента.)

– Как такой метод можно назвать, если вспомнить, с каким предметом вы сравнивали уравнение? (Метод “весов”.)

– Молодцы! (Сформулируйте алгоритм решения уравнений методом “весов”.)

1) Вычесть из обеих частей уравнения одно и то же выражение с переменной.

2) Упростить получившиеся уравнение.

3) Решить уравнение, используя правила нахождения неизвестного компонента.

Алгоритм фиксируется на доске.

— Уточните тему урока. (Решение уравнений методом “весов”)

6. Психологический тренинг.

1. Упражнение для профилактики нарушения зрения.

Глазами нарисовать сегодняшнюю дату.

2. Отстукивание простых ритмических рисунков подушечками пальцев обеих рук по подражанию: с — средний; м — мизинец; у — указательный; бо — большой; бе — безымянный; 1 — один удар.

3. Дыхательно-координационное упражнение.

Глубокий вдох. Во время вдоха медленно поднять прямые руки до уровня груди ладонями вперед (4-6 сек.).

Задержать дыхание. Во время задержки сконцентрировать внимание на середине ладоней (ощущение “горячей монетки” в центре ладони (2-3 сек.)).

Медленный выдох. Выдыхая, рисовать перед собой обеими руками одновременно окружность (правой рукой) и квадрат (левой рукой).

7. Первичное закрепление

Цель: организовать усвоение детьми нового способа решения данного уравнения с их проговариванием во внешней речи: фронтально; в парах или группах.

Страница 51 – правило “весов” — читают.

Первое уравнение один ученик решает у доски, комментируя решение вслух. Второе и третье уравнение учащиеся решают в парах, комментируя решение друг другу.

1) 2х-5=х 2х-х-5=х-х х-5=0 х=5

8. Подведение итогов

— Проверьте, как вы поняли новый метод: решите уравнение 5x + 6 = 7x – 10 методом “весов”.

После выполнения работы проводится самопроверка по эталону:

Сопоставление проводится по шагам алгоритма, фиксируя выполнение каждого шага.

— У кого вызвал затруднение первый шаг алгоритма?

— Что у вас вызвало затруднение?

— В каком месте дальше у вас возникло затруднение?

— В чём причина, возникшего затруднения?

9. Рефлексия деятельности на уроке

Карточка для этапа рефлексии:

На другой стороне:

Я смог понять причину ошибки, которую допустил в самостоятельной работе (если были)___

Я достиг поставленной цели________________________________________________

Сегодня я учился самостоятельно учиться____________________________________

У меня остались затруднения________________________________________________

10. Домашнее задание

Стр. 51 — правило “весов”.

№ 1 — творческая задача.

Мальчик Пат и собачонка весят два пустых бочонка.
Собачонка без мальчишки весит две больших коврижки.
А с коврижкой поросенок весит – видите – бочонок.
Сколько весит мальчик Пат? Сосчитай-ка поросят.

(Мальчик весит столько же, сколько два поросёнка.)

№199 — из учебника.

1. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика..5 класс. Часть 1. -М.: Издательство “Ювента”, 2011.

2. htt://www.probydis.ru/aforizmy-po-temam-o-cheloveke/774- aforizmy-o-logike/html/

4. Сценарии уроков к учебнику Математика для 5-6 классов основной школы по программе “Учусь учиться”. Диск. Центр СДП АПК и ППРО Минобрнауки РФ, 2008.

5. Гончарова Л.В. Предметные недели в школе. Математика. Волгоград: Учитель, 2006.

Решение задач на уравнения весы

Хотя и не увидишь сейчас везде чашечных весов, поскольку их везде заменили электронные, но все же тема взвешивания на них не должна пройти мимо учеников. Именно поэтому задачи про весы и взвешивание предметов и даже животных были и будут в учебниках и рабочих тетрадях по математике. Давайте рассмотим некоторые из них, порешаем вместе. Мы вам с удовольствием объясним, как решаются такие задачи.

*** Задание из рабочей тетради по математике, Дорофеев, 1 класс

1 часть, страница 69, задание 7.

У продавца такие гири: 3 кг, 3 кг, 2 кг. Как с их помощью отвесить 1 кг муки? 4 кг муки? На каждом рисунке нарисуй нужные гири.

Рисунок

Решение

Чтобы точно определить вес на таких весах, нужно, чтобы товар был уравновешен с гирями на другой чаше весов. Но у нас нет гирь по 1 и 4 кг, значит к муке нужно добавить такие гири, чтобы в сумме с мукой они давали массу гирь на другой чаше.

На первой картинке к муке ставим гирю в 2 кг, на вторую чашу 3 кг, насыпаем муку, пока не уравновесятся весы. 2-3=1

На второй картинке к муке ставим гирю 2 кг, на вторую чашу — две по 3 кг. 6-2=4

*** Задача из учебника математики за 2 класс Моро

1 часть, страница 50.

Рассмотри рисунки. Определи, на сколько килограммов кролик легче, чем медведь.

Рисунок

Решение

На 1 рисунке весы уравновешены. Значит масса кота 5-1=4кг На рис. 2 весы тоже уравновешены. Кот весит 4 кг, а гиря 2 кг, значит кролик легче медведя на 4+2=6 кг

Определим, какую гирю нужно поставить на чашу с кроликом, чтобы весы пришли в равновесие. Кролик легче мишки на 6 кг (ставим гирю к кролику). И у мишки еще сидит кот массой 4 кг, ставим кролику вторую гирю — 4кг. 6+6=10кг. На чашу с кроликом нужно поставить гирю в 10 кг.

*** Математика учебник за 2 класс Дорофеев

1 часть, страница 25, задача 9.

На весах лежат одинаковые по массе ананасы и одинаковые по массе дыни. Найди массу одного ананаса. Можно ли найти массу дыни, если известно, что масса всех фруктов, лежащих на чашах весов, составляет 17 кг?

Рисунок

Решение

Смотрим на рисунок. Если с каждой чаши весов убрать одинаковую часть (а это 2 дыни и 2 ананаса), то равновесие не нарушится. На левой чаше останется гиря в 5 кг, а на правой ананас и гиря в 4 кг. Они уравновешены, значит ананас весит 1кг.

Из массы всех фруктов на, к примеру, левой чаше отнимем массу ананасов (их 2 штуки по 1 кг, значит 2кг) и массу гири: 17-2-5=10 кг — весят оставшиеся 2 дыни. Значит масса одной дыни 10:2=5 кг.

*** Задача из того же учебника

Страница 52, задание 2.

Масса одного пакета с мукой 2 кг. На первую чашу весов положили 4 таких пакета, а на вторую — 3 гири по 2 кг. Сколько гирь массой 2 кг надо добавить на вторую чашу весов, чтобы они пришли в равновесие?

Рисунок

Решение

Тут нужно найти массу вещей на первой чаше и на второй. Видим, что разница в 2 кг, а это как раз 1 гиря. Одну гирю нужно добавить, чтобы весы пришли в равновесие.

*** И еще одна за 2 класс, Дорофеев

Масса одной дыни 2 кг. На первую чашу весов положили 3 такие дыни, а на вторую — 2 гири по 5 кг. Как уравновесить весы? Попробуй найти несколько вариантов.

Рисунок

Решение

Посчитаем, сколько весят вещи на 1 и второй чашах. Разница в 4 кг. То есть нужно к дыням доложить или еще 2 дыни, или 2 гири по 2 кг.
Или заменить 1 гирю в 5 кг на гирю 1 кг.
Или положить к дыням еще 3 дыни, а к гирям еще гирю в 2 кг.

*** Задача из рабочей тетради за 2 класс, Дорофеев

1 часть, страница 79, задание 4.

У продавца такие гири: 5кг, 4кг, 3кг. Как с их помощью отвесить 2 кг муки? 6кг муки? На каждой картинке нарисуй нужные гири.

Рисунок

Решение

Нужно добавить такие гири, которые приведут весы в равновесие, то есть количество килограммов на каждой чаше будет одинаково. Далее методом подбора ставим гирю к муке и рассчитываем, какие гири нужно поставить на вторую чашу.

*** Задача из учебника математики за 3 класс Дорофеев

1 часть, страница 31

Андрюше подарили чашечные весы, и он стал взвешивать игрушки. Машину уравновесили мяч и два кубика, а машину с кубиком — два мяча. Сколько кубиков уравновесят машину? (Все мячи и кубики у Андрюши одинаковые.)

Рисунок к задаче

Решение

Машина весит как 1 мяч и 2 кубика. Значит на вторые весы положим вместо машины 1 мяч и 2 кубика. Отсюда узнаем, что 1 мяч весит как 3 кубика. Заменим мяч на 3 кубика на первых весах и увидим, что машина весит как 5 кубиков.

*** Математика 3 класс Дорофеев рабочая тетрадь

1 часть, страница 49, задание 5.

Рисунок

Решение

Что имеем: уравновешенные чаши весов, на одной 3 пакета муки+8кг гири, на другой 1 пакет муки+12 кг гири. Решить можно логически, убрав с обеих чаш весов одинаковые части — по 1 пакету муки и 8 кг гирь. Останется на первой чаше 2 пакета муки, это будет равно 4 кг гирь на второй чаше. То есть 2 пакета муки весят 4 кг, значит 4:2=2 кг весит 1 пакет муки.
Но если учитель требует выражение, записываем все свои действия
(12-8):(3-1)=2 (кг)

*** Следующее задание в рабочей тетради

Страница 63, задача 4.

Рассмотри внимательно весы на рисунке вверху и выясни, сколько яблок нужно положить на свободную чашу весов на рисунке внизу. Нарисуй эти яблоки. (Все яблоки на весах одинаковые, груши тоже)

Рисунок

Решение

Уберем с каждой чаши весов одинаковые фрукты в одинаковом количестве: по 2 груши и 1 яблоку. Получится, что 2 яблока весят столько, сколько 4 груши, а значит 1 яблоко столько, сколько 2 груши. Считаем груши на на нижних весах — их 10. Значит яблок должно быть в 2 раза меньше — 5

*** Математика 4 класс 2 часть Истомина

На одной чашке весов дыня и гиря массой 2 кг. На другой гири массой 10 кг и 5 кг. Весы находятся в равновесии.
Какое уравнение можно составить по данному рисунку, если масса дыни х кг?

Сможет ли продавец взвесить на чашечных весах дыню массой 14 кг, если у него есть только 5 гирь по 5 кг и одна массой 1 кг?

Да, сможет, если поставит гирю 1 кг на чашу с дыней, а гирями по 5 кг уровняет вес чаш.