Решение задач по физике через систему уравнений

Решение задач по физике через систему уравнений

Примеры решения задач по механике, требующих интегрирования дифференциальных уравнений

(Задачи взяты из задачника: И.В. Мещерский «Сборник задач по теоретической механике», М.: Наука, 1981г., 460с.)

Задача №1. Пример задачи, приводящей к интегрированию дифференциальных уравнений методом разделения переменных.

При движении тела в неоднородной среде сила сопротивления изменяется по закону Н, где v – скорость тела в м/с, а s – пройденный путь в метрах. Определить пройденный путь как функцию времени, если начальная скорость v 0=5 м/с.

Будем считать, что движение происходит вдоль оси 0Х, и что при t =0 тело находилось в начале координат, тогда проекция на ось 0Х силы, действующей на тело, может быть записана в виде

.

С учётом этого выражения, имеем следующее уравнение движения (считая массу тела m =1 кг)

, (1)

которое дополняется начальными условиями

, (2)

Решение уравнения второго порядка (1) можно свести к двум последовательным интегрированиям дифференциальных уравнений первого порядка. Чтобы получить первое уравнение, перепишем (1) в виде:

, (3)

и домножим на dt левую и правую части (3), учитывая при этом, что dx = vxdt , получим:

, или (4)

Это уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.5) из Раздела №1 Части I ). Очевидно, что оно, дополняется начальным условием, следующим из (2):

(5)

Разделив переменные в (4), в соответствие с формулой (1.7):

,

вычисляя данные интегралы, получим частный интеграл уравнения (4) (в форме (В.4) из Введения к Части I ):

(6)

Выразив отсюда vx , будем иметь частное решение уравнения (4) (в форме (В.6) из Введения к Части I ):

(7)

Заменяя теперь в (7)

,

мы снова получаем уравнение с разделяющимися переменными (вида (1.1) из Раздела №1 Части I )

(8)

Разделяя в (8) переменные, с учётом начального условия (2), ищем частный интеграл этого уравнения (в виде (1.4) из Раздела №1 Части I ):

(9)

Вычисляя интегралы в (9), получим:

(10)

— частный интеграл уравнения (8) в форме (В.4) из Введения к Части I. Выражая отсюда x , получим частное решение уравнения (8):

, (11)

которое одновременно является и частным решением уравнения движения (1), удовлетворяющим начальным условиям (2), то есть, представляет собой закон движения тела (координата x , (или в данном случае путь), как функция времени). Таким образом, решение исходного уравнения движения второго порядка (1) в процессе решения задачи было сведено к интегрированию двух уравнений первого порядка с разделяющимися переменными (4) и (8).

Задача №2. Пример задачи, приводящей к интегрированию линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Тело К, размерами которого можно пренебречь, установлено в верхней точке А шероховатой поверхности неподвижного полуцилиндра радиуса R . Какую начальную горизонтальную скорость , направленную по касательной к цилиндру, нужно сообщить телу К, чтобы оно начав движение, остановилось на поверхности цилиндра, если коэффициенты трения скольжения при движении и покое одинаковы и равны .

Расставляем силы, действующие на тело, и записываем второй закон Ньютона:

Спроектируем данное равенство на направление движения и перпендикулярное ему. Эти направления указаны на рисунке векторами и . Таким образом, для описания движения мы используем естественный способ. В результате получим:

(1)

Здесь учтено, что центростремительное ускорение

,

.

Сделаем в первом уравнении в (1) замену переменной — перейдем от дифференцирования по времени к дифференцированию по углу :

(т.к. )

С учетом этой замены перепишем (1):

(2)

Домножая второе уравнение на , и вычитая из первого, получим:

(3)

Это уравнение типа (2.1) (из Раздела №2 Части I ), в котором независимой переменной вместо t является ; неизвестной функцией вместо ;

; .

Уравнение (3) дополняется начальным условием:

(4)

С учетом указанных обозначений, используя формулу (2.9) (из Раздела №2 Части I ), решение уравнения (3) можно записать в виде:

(5)

Вычисляя с помощью интегрирования по частям интервалы в (5) , окончательно получим:

(6)

По условиям задачи тело должно остановиться на поверхности; т.е. при каком-то угле .

Подставляя вместо в (6) выразим оттуда :

(7)

Значение угла можно выразить через , поскольку ;

то из уравнений (2) получим:

(8)

Отсюда: ;

(9)

;

из (7) будем иметь:

(10)

Следовательно, чтобы тело остановилось на шероховатой поверхности цилиндра, нужно, чтобы его начальная скорость не превосходила значение, определенного в (10).

Задача №3. Пример задачи, приводящей к решению линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Тело массы 5 кг подвешено к концу пружины жёсткости 20 Н/м и помещено в вязкую среду. Период его колебаний в этом случае равен 10 с. Найти постоянную демпфирования, логарифмический декремент колебаний и период свободных колебаний.

Выберем начало координат в положении статического равновесия тела и расставим силы, действующие на тело в процессе колебаний (считаем, что тело в данный момент времени движется вверх). Если АВ обозначает длину нерастянутой пружины, то отрезок ОВ представляет статическое удлинение пружины под действием силы mg . По закону Гука mg = k × ОВ, где k — коэффициент жёсткости пружины. Записываем второй закон Ньютона:

.

Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что

, .

В результате получим уравнение колебаний

, или (1)

где , .

Уравнение (1) представляет собой однородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (уравнение (1.1) Части II ). Для его решения используем схему, описанную в Разделе №1 Части II .

Составляем характеристическое уравнение:

. (2)

Вычисляем дискриминант уравнения (2):

. (3)

Поскольку в данном случае, в соответствие с условиями задачи движение тела носит колебательный (периодический) характер, то его координата должна изменяться со временем по гармоническому закону, то есть по закону косинуса или синуса. Для того же, чтобы решение уравнения (1) выражалось через данные функции, мы должны считать, что D (4)

где величины и определяются следующим образом:

, (5)

В случае отсутствия затухания (когда n =0), , и тело совершает свободные колебания с периодом с.

Если же n ¹ 0, то период колебаний, с учётом (5),:

.

Выражаем отсюда , и определяем постоянную демпфирования a (коэффициент пропорциональности в формуле для силы сопротивления):

Подставляя данные задачи, получим a =19 .

В соответствие со своим определением, логарифмический декремент затухания есть натуральный логарифм отношения двух последовательных амплитуд, (то есть взятых через половину периода колебания ): . Вычисляя n и подставляя значение Т, получим =9,5.

Задача №4. Пример задачи, приводящей к решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для уменьшения действия на тело массы m возмущающей силы устанавливают пружинный амортизатор с жидкостным демпфером. Коэффициент жёсткости пружины k . Считая, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости ( ), найти максимальное динамическое давление всей системы на фундамент при установившихся колебаниях.

Направим ось 0 X вдоль направления движения, выбрав начало координат в положении статического равновесия тела. При этом считаем, что сила тяжести скомпенсирована силой статического сжатия пружины амортизатора. Записываем второй закон Ньютона:

.

Проектируем это равенство на ось ОХ, учитывая, что

, , .

В результате получим уравнение колебаний

, или , (1)

где обозначено , .

При колебаниях на фундамент действует сила, складывающаяся из силы деформации пружины и силы сопротивления, равная в соответствие с третьим законом Ньютона,

. (2)

Следовательно, для вычисления этой силы нужно знать уравнение движения тела , для чего необходимо решить уравнение (1). Поскольку в задаче рассматриваются уже установившиеся колебания, то есть рассматривается движение тела, установившееся по истечению достаточно большого промежутка времени от момента его начала. При этом тело будет совершать колебания с частотой вынуждающей силы. Поэтому мы должны найти частное решение уравнения (1), соответствующее этим вынужденным колебаниям. Для этого используем метод подбора по правой части. Представим, в соответствие с формулой (2.5) (из Раздела №2 Части II ) решение уравнения (1) в виде

(3)

Обозначим для краткости записи через и подставим (3) в (1):

Приравнивая коэффициенты при и , получим следующую систему уравнений:

Решая данную систему, находим

, (4)

Подставим (4) в (3):

(5)

Данную формулу, обозначая

, (6)

можно переписать в виде:

(7)

Подставим теперь (7) в (2):

(8)

, (9)

формулу (8) можно переписать в виде

(10)

Отсюда следует, что максимальное динамическое давление всей системы на фундамент равно

. (11)

Алгоритмы решения задач по физике

Разделы: Физика

Всегда хотелось найти универсальный способ решения задач, но, наверное, его просто не существует. Однако, можно составить рекомендации для решения отдельных групп задач (что я и делал, решая различные задачи), при этом я постоянно изучал методическую литературу (задачники для поступающих в ВУЗы, методические пособия для учителей, учебные пособия для студентов и др.) и понял, что не нужно “изобретать велосипед”, ведь уже давно составлены такие схемы.

В предлагаемом вам материале собраны схемы (алгоритмы, если точнее, то предписания алгоритмического типа) предложенные разными авторами. По возможности мной были сохранены схемы в том виде, в каком они приводились в первоисточнике. Те же, кто желает более детально ознакомиться с приведенными в материале схемами, может обратиться к первоисточникам, ссылки на которые указаны возле каждой схемы.

Как искать решение? [2] стр. 212

  1. Понять предложенную задачу.
  2. Найти путь от неизвестного к данным, если нужно, рассмотрев промежуточные задачи (“анализ”).
  3. Реализовать найденную идею решения (“синтез”).
  4. Решение проверить и оценить критически.

Кинематика материальной точки. [1] стр. 18

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Выбрать систему отсчета (это предполагает выбор тела отсчета, начала системы координат, положительного направления осей, момента времени, принимаемого за начальный).
    2. Определить вид движения вдоль каждой из осей и написать кинематические уравнения движения вдоль каждой оси – уравнения для координат и для скорости (если тел несколько, уравнения пишутся для каждого тела).
    3. Определить начальные условия (координаты и проекции скоростей в начальный момент времени), а также проекции ускорения на оси и подставить эти величины в уравнения движения.
    4. Определить дополнительные условия, т.е. координаты или скорости для каких-либо моментов времени (для каких-либо точек траектории), и написать кинематические уравнения движения для выбранных моментов времени (т.е. подставить эти значения координат и скорости).
  3. Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Динамика материальной точки. [1] стр. 36

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Выбрать систему отсчета.
    2. Найти все силы, действующие на тело, и изобразить их на чертеже. Определить (или предположить) направление ускорения и изобразить его на чертеже.
    3. Записать уравнение второго закона Ньютона в векторной форме и перейти к скалярной записи, заменив все векторы их проекциями на оси координат.
    4. Исходя из физической природы сил, выразить силы через величины, от которых они зависят.
    5. Если в задаче требуется определить положение или скорость точки, то к полученным уравнениям динамики добавить кинетические уравнения.
  3. Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Статика. [1] стр. 53

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Выбрать систему отсчета.
    2. Найти все силы, приложенные к находящемуся в равновесии телу.
    3. Написать уравнение, выражающее первое условие равновесия (Fi = 0), в векторной форме и перейти к скалярной его записи.
    4. Выбрать ось, относительно которой целесообразно определять момент сил.
    5. Определить плечи сил и написать уравнение, выражающее второе условие равновесия (Mi = 0).
    6. Исходя из природы сил, выразить силы через величины, от которых они зависят.
  3. Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Закон сохранения импульса. [1] стр. 67

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Выбрать систему отсчета.
    2. Выделить систему взаимодействующих тел и выяснить, какие силы для нее являются внутренними, а какие – внешними.
    3. Определить импульсы всех тел системы до и после взаимодействия.
    4. Если в целом система незамкнутая, сумма проекций сил на одну из осей равна нулю, то следует написать закон сохранения лишь в проекциях на эту ось.
    5. Если внешние силы пренебрежительно малы в сравнении с внутренними (как в случае удара тел), то следует написать закон сохранения суммарного импульса (p = 0) в векторной форме и перейти к скалярной.
    6. Если на тела системы действуют внешние силы и ими нельзя пренебречь, то следует написать закон изменения импульса
      (p = Ft) в векторной форме и перейти к скалярной.
    7. Записать математически все вспомогательные условия.
  3. Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Закон сохранения механической энергии. [1] стр. 82

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Выбрать систему отсчета.
    2. Выделить два или более таких состояний тел системы, чтобы в число их параметров входили как известные, так и искомые величины.
    3. Выбрать нулевой уровень отсчета потенциальной энергии.
    4. Определить, какие силы действуют на тела системы – потенциальные или непотенциальные.
    5. Если на тела системы действуют только потенциальные силы, написать закон сохранения механической энергии в виде: Е1 = Е2.
    6. Раскрыть значение энергии в каждом состоянии и, подставить их в уравнение закона сохранения энергии.
  3. Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Теплота (первое начало термодинамики Q = U + A). [3] стр. 168

Задачи об изменении внутренней энергии тел можно разделить на три группы.

В задачах первой группы рассматривают такие явления, где в изолированной системе при взаимодействии тел изменяется лишь их внутренняя энергия без совершения работы над внешней средой.

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Определить изолированную систему.
    2. Установить у каких тел внутренняя энергия уменьшается, а у каких – возрастает.
    3. Составить уравнение теплового баланса (U = 0), при записи которого в выражении cm(t2 – t1), для изменения внутренней энергии, нужно вычитать из конечной температуры тела начальную и суммировать члены с учетом получающегося знака.
  3. Полученное уравнение решить относительно искомой величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

В задачах второй группы рассматриваются явления, связанные с превращением одного вида энергии в другой при взаимодействии двух тел. Результат такого взаимодействия – изменение внутренней энергии одного тела в следствие совершенной им или над ним работы.

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Следует убедиться, что в процессе взаимодействия тел теплота извне к ним не подводится, т.е. действительно ли Q = 0.
    2. Установить у какого из двух взаимодействующих тел изменяется внутренняя энергия и что является причиной этого изменения – работа, совершенная самим телом, или работа, совершенная над телом.
    3. Записать уравнение 0 =U + A для тела, у которого изменяется внутренняя энергия, учитывая знак перед А и к.п.д. рассматриваемого процесса.
    4. Если работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии одного из тел, то А=U, а если внутренняя энергия тела увеличивается за счет работы, совершенной над телом, то А = U.
    5. Найти выражения для U и A.
    6. Подставляя в исходное уравнение вместо U и A их выражения, получим окончательное соотношение для определения искомой величины.
  3. Полученное уравнение решить относительно искомой величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Задачи третьей группы объединяют в себе две предыдущие.

Тепловое расширение твердых и жидких тел. [3] стр. 184

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Для каждого теплового состояния каждого тела записать соответствующую формулу теплового расширения.
    2. Если в задаче наряду с расширением тел рассматриваются другие процессы, сопутствующие расширению, – теплообмен, изменение гидростатического давления жидкости или выталкивающей силы, то к уравнениям теплового расширения надо добавить формулы калориметрии и гидростатики.
  3. Синтез (получить результат).
    1. Решить полученную систему уравнений относительно искомой величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Газы. [3] стр. 195

По условию задачи даны два или несколько состояний газа и при переходе газа из одного состояния в другое его масса не меняется.

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Представить какой газ участвует в том или ином процессе.
    2. Определить параметры p,V и T, характеризующие каждое состояние газа.
    3. Записать уравнение объединенного газового закона Клапейрона для данных состояний.
    4. Если один из трех параметров остается неизменным, уравнение Клапейрона автоматически переходит в одно из трех уравнений: закон Бойля – Мариотта, Гей-Люссака или Шарля.
    5. Записать математически все вспомогательные условия.
  3. Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

По условию задачи дано только одно состояние газа, и требуется определить какой либо параметр этого состояния или же даны два состояния с разной массой газа.

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Установить, какие газы участвуют в рассматриваемых процессах.
    2. Определить параметры p,V и T, характеризующие каждое состояние газа.
    3. Для каждого состояния каждого газа (если их несколько) составить уравнение Менделеева – Клапейрона. Если дана смесь газов, то это уравнение записывается для каждого компонента. Связь между значениями давлений отдельных газов и результирующим давлением смеси устанавливается законом Дальтона.
    4. Записать математически дополнительные условия задачи
  3. Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Насыщающие и ненасыщающие пары. Влажность. [3] стр. 219

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Установить число состояний газа, рассматриваемых в условии задачи, обратить особое внимание на то, дается ли чистый пар жидкости или смесь пара с сухим воздухом.
    2. Для каждого состояния пара записать уравнение Менделеева – Клапейрона и формулу относительной влажности, если о последней что-либо сказано в условии. Составить уравнение Менделеева – Клапейрона для каждого состояния сухого воздуха (если дана смесь пара с воздухом). В тех случаях, когда при переходах из одного состояния в другое масса пара не меняется, вместо уравнения Менделеева – Клапейрона можно использовать сразу объединенный газовый закон.
    3. Записать математически все вспомогательные условия
  3. Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Электростатика. [3] стр. 234

Решение задачи о точечных зарядах и системах, сводящихся к ним, основано на применении законов механики с учетом закона Кулона и вытекающих из него следствий.

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Расставить силы, действующие на точечный заряд, помещенный в электрическое поле, и записать для него уравнение равновесия или основное уравнение динамики материальной точки.
    2. Выразить силы электрического взаимодействия через заряды и поля и подставить эти выражения в исходное уравнение.
    3. Если при взаимодействии заряженных тел между ними происходит перераспределение зарядов, к составленному уравнению добавляют уравнение закона сохранения зарядов.
    4. Записать математически все вспомогательные условия
  3. Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Постоянный ток. [2] стр. 274

Задачи на определение силы тока, напряжения или сопротивления на участке цепи.

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Начертить схему и указать на ней все элементы.
    2. Установить, какие элементы цепи включены последовательно, какие – параллельно.
    3. Расставить токи и напряжения на каждом участке цепи и записать для каждой точки разветвления (если они есть) уравнения токов и уравнения, связывающие напряжения на участках цепи.
    4. Используя закон Ома, установить связь между токами, напряжениями и э.д.с.
    5. Если в схеме делают какие-либо переключения сопротивлений или источников, уравнения составляют для каждого режима работы цепи.
  3. Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Электромагнетизм. [2] стр. 323

Задачи о силовом действии магнитного поля на проводники с током.

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Сделать схематический чертеж, на котором указать контур с током и направление силовых линий поля. Отметить углы между направлением поля и отдельными элементами контура.
    2. Используя правило левой руки, определить направление сил поля (сила Ампера), действующих на каждый элемент контура, и проставить векторы этих сил на чертеже.
    3. Указать все остальные силы, действующие на контур.
    4. Исходя из физической природы сил, выразить силы через величины, от которых они зависят.
  3. Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Задачи о силовом действии магнитного поля на заряженные частицы.

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Нужно сделать чертеж, указать на нем силовые линии магнитного и электрического полей, проставить вектор начальной скорости частицы и отметить знак ее заряда.
    2. Изобразить силы, действующие на заряженную частицу.
    3. Определить вид траектории частицы.
    4. Разложить силы, действующие на заряженную частицу, вдоль направления магнитного поля и по направлению, ему перпендикулярному.
    5. Составить основное уравнение динамики материальной точки по каждому из направлений разложения сил.
    6. Исходя из физической природы сил, выразить силы через величины, от которых они зависят.
  3. Решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Задачи на закон электромагнитной индукции.

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Установить причины изменения магнитного потока, связанного с контуром, и определить какая из величин В, S или , входящих в выражение для Ф, изменяется с течением времени.
    2. Записать формулу закона электромагнитной индукции.
    3. Выражение для Ф представить в развернутом виде (Ф) и подставить в исходную формулу закона электромагнитной индукции.
    4. Записать математически все вспомогательные условия.
  3. Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Преломление света. [3] стр. 366

Задачи о преломлении света на плоской границе раздела двух сред.

  1. Понять предложенную задачу (увидеть физическую модель).
  2. Анализ (построить математическую модель явления):
    1. Установить переходит ли луч из оптически менее плотной среды в более плотную или наоборот.
    2. Сделать чертеж, где указать ход лучей, идущих из одной среды в другую.
    3. В точке падения луча на границу раздела сред провести нормаль и отметить углы падения и преломления.
    4. Записать формулу закона преломления для каждого перехода луча из одной среды в другую.
    5. Составить вспомогательные уравнения, связывающие углы и расстояния, используемые в задаче.
  3. Полученную систему уравнений решить относительно искомой величины.
  4. Решение проверить и оценить критически.

Разумеется, в статье приведены не все схемы, да и это, наверное, невозможно, ведь “сколько существует задач, столько же и алгоритмов” ([4] стр. 11) их решения (все же найти универсальный способ решения очень хочется. ).

Литература.

  1. Гутман В.И., Мощанский В.Н. Алгоритмы решения задач по механике в средней школе: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1988. – 95 с.
  2. Пойа Д. Как решать задачу. – Львов: журнал “Квантор”, 1991.
  3. Балаш В.А. Задачи по физике и методы их решения. Изд. 3-е, переаб. и испр. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1974. – 430 с.
  4. Игруполо В.С., Вязников Н.В. Физика: алгоритмы, задачи, решения: Пособие для всех, кто изучает и преподает физику. – М.: Илекса, Ставрополь: Сервисшкола, 2002. – 592 с.

Рекомендую так же изучить следующую литературу:

  1. Каменский С.Е., Орехов В.П. Методика решения задач по физике в средней школе. – М.:Просвещение, 1971.
  2. Усова А.В., Тулькибаева Н.Н. Практикум по решению физических задач. 2-е изд. – М.: Просвещение, 2001. – 206 с.
  3. Кобушкин В.К. Методика решения задач по физике. – Издательство ленинградского университета, 1970.
  4. Савченко Н.Е. Решение задач по физике. Пособие для поступающих в вузы. – Минск, “Вышэйш. школа”, 1977. – 240 с.

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

  1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
  2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
  3. Решить полученную систему уравнений.
  4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <\left\< \begin P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3b+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 18 \\ b = 6 \end \right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <\left\< \begin 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end \right.> (-) \Rightarrow <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end \right.>$$

$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 17x = 11900 \\ y = x-185 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 700 \\ y = 515 \end \right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 350 \\ y = 280 \end \right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <\left\< \begin 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x+3y = 170 |\times \frac<2,4> <5>\\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <\left\< \begin x+ \frac<1> <2>y = 44 | \times 2 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2x+y = 88 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 1\frac<5> <6>x = 44 \\ y = 88-2x \end \right.> \Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ \frac = \frac<0,5> <2>= 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = \frac<2s> = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$


источники:

http://urok.1sept.ru/articles/310656

http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/resheniya-zadachi-s-pomoshchyu-sistemy-linejnyh-uravnenij/

© 2023 Русский язык. Привила написания. Наш первый проект тут и тут