Общее уравнение прямой: описание, примеры, решение задач
Данная статья продолжает тему уравнения прямой на плоскости: рассмотрим такой вид уравнения, как общее уравнение прямой. Зададим теорему и приведем ее доказательство; разберемся, что такое неполное общее уравнение прямой и как осуществлять переходы от общего уравнения к другим типам уравнений прямой. Всю теорию закрепим иллюстрациями и решением практических задач.
Общее уравнение прямой: основные сведения
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат O x y .
Любое уравнение первой степени, имеющее вид A x + B y + C = 0 , где А , В , С – некоторые действительные числа ( А и В не равны одновременно нулю) определяет прямую линию в прямоугольной системе координат на плоскости. В свою очередь, любая прямая в прямоугольной системе координат на плоскости определяется уравнением, имеющим вид A x + B y + C = 0 при некотором наборе значений А , В , С .
указанная теорема состоит из двух пунктов, докажем каждый из них.
- Докажем, что уравнение A x + B y + C = 0 определяет на плоскости прямую.
Пусть существует некоторая точка М 0 ( x 0 , y 0 ) , координаты которой отвечают уравнению A x + B y + C = 0 . Таким образом: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Вычтем из левой и правой частей уравнений A x + B y + C = 0 левую и правую части уравнения A x 0 + B y 0 + C = 0 , получим новое уравнение, имеющее вид A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Оно эквивалентно A x + B y + C = 0 .
Полученное уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 является необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) . Таким образом, множество точек M ( x , y ) задает в прямоугольной системе координат прямую линию, перпендикулярную направлению вектора n → = ( A , B ) . Можем предположить, что это не так, но тогда бы векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) не являлись бы перпендикулярными, и равенство A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 не было бы верным.
Следовательно, уравнение A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 определяет некоторую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости, а значит и эквивалентное ему уравнение A x + B y + C = 0 определяет ту же прямую. Так мы доказали первую часть теоремы.
- Приведем доказательство, что любую прямую в прямоугольной системе координат на плоскости можно задать уравнением первой степени A x + B y + C = 0 .
Зададим в прямоугольной системе координат на плоскости прямую a ; точку M 0 ( x 0 , y 0 ) , через которую проходит эта прямая, а также нормальный вектор этой прямой n → = ( A , B ) .
Пусть также существует некоторая точка M ( x , y ) – плавающая точка прямой. В таком случае, векторы n → = ( A , B ) и M 0 M → = ( x — x 0 , y — y 0 ) являются перпендикулярными друг другу, и их скалярное произведение есть нуль:
n → , M 0 M → = A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0
Перепишем уравнение A x + B y — A x 0 — B y 0 = 0 , определим C : C = — A x 0 — B y 0 и в конечном результате получим уравнение A x + B y + C = 0 .
Так, мы доказали и вторую часть теоремы, и доказали всю теорему в целом.
Уравнение, имеющее вид A x + B y + C = 0 – это общее уравнение прямой на плоскости в прямоугольной системе координат O x y .
Опираясь на доказанную теорему, мы можем сделать вывод, что заданные на плоскости в фиксированной прямоугольной системе координат прямая линия и ее общее уравнение неразрывно связаны. Иначе говоря, исходной прямой соответствует ее общее уравнение; общему уравнению прямой соответствует заданная прямая.
Из доказательства теоремы также следует, что коэффициенты А и В при переменных x и y являются координатами нормального вектора прямой, которая задана общим уравнением прямой A x + B y + C = 0 .
Рассмотрим конкретный пример общего уравнения прямой.
Пусть задано уравнение 2 x + 3 y — 2 = 0 , которому соответствует прямая линия в заданной прямоугольной системе координат. Нормальный вектор этой прямой – это вектор n → = ( 2 , 3 ) . Изобразим заданную прямую линию на чертеже.
Также можно утверждать и следующее: прямая, которую мы видим на чертеже, определяется общим уравнением 2 x + 3 y — 2 = 0 , поскольку координаты всех точек заданной прямой отвечают этому уравнению.
Мы можем получить уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 , умножив обе части общего уравнения прямой на число λ , не равное нулю. Полученное уравнение является эквивалентом исходного общего уравнения, следовательно, будет описывать ту же прямую на плоскости.
Неполное уравнение общей прямой
Полное общее уравнение прямой – такое общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , в котором числа А , В , С отличны от нуля. В ином случае уравнение является неполным.
Разберем все вариации неполного общего уравнения прямой.
- Когда А = 0 , В ≠ 0 , С ≠ 0 , общее уравнение принимает вид B y + C = 0 . Такое неполное общее уравнение задает в прямоугольной системе координат O x y прямую, которая параллельна оси O x , поскольку при любом действительном значении x переменная y примет значение — C B . Иначе говоря, общее уравнение прямой A x + B y + C = 0 , когда А = 0 , В ≠ 0 , задает геометрическое место точек ( x , y ) , координаты которых равны одному и тому же числу — C B .
- Если А = 0 , В ≠ 0 , С = 0 , общее уравнение принимает вид y = 0 . Такое неполное уравнение определяет ось абсцисс O x .
- Когда А ≠ 0 , В = 0 , С ≠ 0 , получаем неполное общее уравнение A x + С = 0 , задающее прямую, параллельную оси ординат.
- Пусть А ≠ 0 , В = 0 , С = 0 , тогда неполное общее уравнение примет вид x = 0 , и это есть уравнение координатной прямой O y .
- Наконец, при А ≠ 0 , В ≠ 0 , С = 0 , неполное общее уравнение принимает вид A x + B y = 0 . И это уравнение описывает прямую, которая проходит через начало координат. В самом деле, пара чисел ( 0 , 0 ) отвечает равенству A x + B y = 0 , поскольку А · 0 + В · 0 = 0 .
Графически проиллюстрируем все вышеуказанные виды неполного общего уравнения прямой.
Известно, что заданная прямая параллельна оси ординат и проходит через точку 2 7 , — 11 . Необходимо записать общее уравнение заданной прямой.
Решение
Прямая, параллельная оси ординат, задается уравнением вида A x + C = 0 , в котором А ≠ 0 . Также условием заданы координаты точки, через которую проходит прямая, и координаты этой точки отвечают условиям неполного общего уравнения A x + C = 0 , т.е. верно равенство:
Из него возможно определить C , если придать A какое-то ненулевое значение, к примеру, A = 7 . В таком случае получим: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = — 2 . Нам известны оба коэффициента A и C , подставим их в уравнение A x + C = 0 и получим требуемое уравнение прямой: 7 x — 2 = 0
Ответ: 7 x — 2 = 0
На чертеже изображена прямая, необходимо записать ее уравнение.
Решение
Приведенный чертеж позволяет нам легко взять исходные данные для решения задачи. Мы видим на чертеже, что заданная прямая параллельна оси O x и проходит через точку ( 0 , 3 ) .
Прямую, которая параллельна очи абсцисс, определяет неполное общее уравнение B y + С = 0 . Найдем значения B и C . Координаты точки ( 0 , 3 ) , поскольку через нее проходит заданная прямая, будут удовлетворять уравнению прямой B y + С = 0 , тогда справедливым является равенство: В · 3 + С = 0 . Зададим для В какое-то значение, отличное от нуля. Допустим, В = 1 , в таком случае из равенства В · 3 + С = 0 можем найти С : С = — 3 . Используем известные значения В и С , получаем требуемое уравнение прямой: y — 3 = 0 .
Ответ: y — 3 = 0 .
Общее уравнение прямой, проходящей через заданную точку плоскости
Пусть заданная прямая проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) , тогда ее координаты отвечают общему уравнению прямой, т.е. верно равенство: A x 0 + B y 0 + C = 0 . Отнимем левую и правую части этого уравнения от левой и правой части общего полного уравнения прямой. Получим: A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) + C = 0 , это уравнение эквивалентно исходному общему, проходит через точку М 0 ( x 0 , y 0 ) и имеет нормальный вектор n → = ( A , B ) .
Результат, который мы получили, дает возможность записывать общее уравнение прямой при известных координатах нормального вектора прямой и координатах некой точки этой прямой.
Даны точка М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая, и нормальный вектор этой прямой n → = ( 1 , — 2 ) . Необходимо записать уравнение заданной прямой.
Решение
Исходные условия позволяют нам получить необходимые данные для составления уравнения: А = 1 , В = — 2 , x 0 = — 3 , y 0 = 4 . Тогда:
A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 1 · ( x — ( — 3 ) ) — 2 · y ( y — 4 ) = 0 ⇔ ⇔ x — 2 y + 22 = 0
Задачу можно было решить иначе. Общее уравнение прямой имеет вид A x + B y + C = 0 . Заданный нормальный вектор позволяет получить значения коэффициентов A и B , тогда:
A x + B y + C = 0 ⇔ 1 · x — 2 · y + C = 0 ⇔ x — 2 · y + C = 0
Теперь найдем значение С, используя заданную условием задачи точку М 0 ( — 3 , 4 ) , через которую проходит прямая. Координаты этой точки отвечают уравнению x — 2 · y + C = 0 , т.е. — 3 — 2 · 4 + С = 0 . Отсюда С = 11 . Требуемое уравнение прямой принимает вид: x — 2 · y + 11 = 0 .
Ответ: x — 2 · y + 11 = 0 .
Задана прямая 2 3 x — y — 1 2 = 0 и точка М 0 , лежащая на этой прямой. Известна лишь абсцисса этой точки, и она равна — 3 . Необходимо определить ординату заданной точки.
Решение
Зададим обозначение координат точки М 0 как x 0 и y 0 . В исходных данных указано, что x 0 = — 3 . Поскольку точка принадлежит заданной прямой, значит ее координаты отвечают общему уравнению этой прямой. Тогда верным будет равенство:
2 3 x 0 — y 0 — 1 2 = 0
Определяем y 0 : 2 3 · ( — 3 ) — y 0 — 1 2 = 0 ⇔ — 5 2 — y 0 = 0 ⇔ y 0 = — 5 2
Ответ: — 5 2
Переход от общего уравнения прямой к прочим видам уравнений прямой и обратно
Как мы знаем, существует несколько видов уравнения одной и той же прямой на плоскости. Выбор вида уравнения зависит от условий задачи; возможно выбирать тот, который более удобен для ее решения. Здесь очень пригодится навык преобразования уравнения одного вида в уравнение другого вида.
Для начала рассмотрим переход от общего уравнения вида A x + B y + C = 0 к каноническому уравнению x — x 1 a x = y — y 1 a y .
Если А ≠ 0 , тогда переносим слагаемое B y в правую часть общего уравнения. В левой части выносим A за скобки. В итоге получаем: A x + C A = — B y .
Это равенство возможно записать как пропорцию: x + C A — B = y A .
В случае, если В ≠ 0 , оставляем в левой части общегь уравнения только слагаемое A x , прочие переносим в правую часть, получаем: A x = — B y — C . Выносим – В за скобки, тогда: A x = — B y + C B .
Перепишем равенство в виде пропорции: x — B = y + C B A .
Конечно, заучивать полученные формулы нет необходимости. Достаточно знать алгоритм действий при переходе от общего уравнения к каноническому.
Задано общее уравнение прямой 3 y — 4 = 0 . Необходимо преобразовать его в каноническое уравнение.
Решение
Запишем исходное уравнение как 3 y — 4 = 0 . Далее действуем по алгоритму: в левой части остаётся слагаемое 0 x ; а в правой части выносим — 3 за скобки; получаем: 0 x = — 3 y — 4 3 .
Запишем полученное равенство как пропорцию: x — 3 = y — 4 3 0 . Так, мы получили уравнение канонического вида.
Ответ: x — 3 = y — 4 3 0 .
Чтобы преобразовать общее уравнение прямой в параметрические, сначала осуществляют переход к каноническому виду, а затем переход от канонического уравнения прямой к параметрическим уравнениям.
Прямая задана уравнением 2 x — 5 y — 1 = 0 . Запишите параметрические уравнения этой прямой.
Решение
Осуществим переход от общего уравнения к каноническому:
2 x — 5 y — 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2
Теперь примем обе части полученного канонического уравнения равными λ , тогда:
x 5 = λ y + 1 5 2 = λ ⇔ x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R
Ответ: x = 5 · λ y = — 1 5 + 2 · λ , λ ∈ R
Общее уравнение можно преобразовать в уравнение прямой с угловым коэффициентом y = k · x + b , но только тогда, когда В ≠ 0 . Для перехода в левой части оставляем слагаемое B y , остальные переносятся в правую. Получим: B y = — A x — C . Разделим обе части полученного равенство на B , отличное от нуля: y = — A B x — C B .
Задано общее уравнение прямой: 2 x + 7 y = 0 . Необходимо преобразовать то уравнение в уравнение с угловым коэффициентом.
Решение
Произведем нужные действия по алгоритму:
2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y — 2 x ⇔ y = — 2 7 x
Ответ: y = — 2 7 x .
Из общего уравнения прямой достаточно просто получить уравнение в отрезках вида x a + y b = 1 . Чтобы осуществить такой переход, перенесем число C в правую часть равенства, разделим обе части полученного равенства на – С и, наконец, перенесем в знаменатели коэффициенты при переменных x и y :
A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1
Необходимо преобразовать общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 в уравнение прямой в отрезках.
Решение
Перенесем 1 2 в правую часть: x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .
Разделим на -1/2 обе части равенства: x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .
Преобразуем далее в необходимый вид: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .
Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1 .
В общем, несложно производится и обратный переход: от прочих видов уравнения к общему.
Уравнение прямой в отрезках и уравнение с угловым коэффициентом легко преобразовать в общее, просто собрав все слагаемые в левой части равенства:
x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y — 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y — k x — b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Каноническое уравнение преобразуется к общему по следующей схеме:
x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ a y · ( x — x 1 ) = a x ( y — y 1 ) ⇔ ⇔ a y x — a x y — a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0
Для перехода от параметрических сначала осуществляется переход к каноническому, а затем – к общему:
x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x — x 1 a x = y — y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0
Заданы параметрические уравнения прямой x = — 1 + 2 · λ y = 4 . Необходимо записать общее уравнение этой прямой.
Решение
Осуществим переход от параметрических уравнений к каноническому:
x = — 1 + 2 · λ y = 4 ⇔ x = — 1 + 2 · λ y = 4 + 0 · λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y — 4 0 ⇔ x + 1 2 = y — 4 0
Перейдем от канонического к общему:
x + 1 2 = y — 4 0 ⇔ 0 · ( x + 1 ) = 2 ( y — 4 ) ⇔ y — 4 = 0
Ответ: y — 4 = 0
Задано уравнение прямой в отрезках x 3 + y 1 2 = 1 . Необходимо осуществить переход к общему виду уравнения.
Решение:
Просто перепишем уравнение в необходимом виде:
x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y — 1 = 0
Ответ: 1 3 x + 2 y — 1 = 0 .
Составление общего уравнения прямой
Выше мы говорили о том, что общее уравнение возможно записать при известных координатах нормального вектора и координатах точки, через которую проходит прямая. Такая прямая определяется уравнением A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 . Там же мы разобрали соответствующий пример.
Сейчас рассмотрим более сложные примеры, в которых для начала необходимо определить координаты нормального вектора.
Задана прямая, параллельная прямой 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Также известна точка M 0 ( 4 , 1 ) , через которую проходит заданная прямая. Необходимо записать уравнение заданной прямой.
Решение
Исходные условия говорят нам о том, что прямые параллельны, тогда, как нормальный вектор прямой, уравнение которой требуется записать, возьмем направляющий вектор прямой n → = ( 2 , — 3 ) : 2 x — 3 y + 3 3 = 0 . Теперь нам известны все необходимые данные, чтобы составить общее уравнение прямой:
A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 2 ( x — 4 ) — 3 ( y — 1 ) = 0 ⇔ 2 x — 3 y — 5 = 0
Ответ: 2 x — 3 y — 5 = 0 .
Заданная прямая проходит через начало координат перпендикулярно прямой x — 2 3 = y + 4 5 . Необходимо составить общее уравнение заданной прямой.
Решение
Нормальный вектором заданной прямой будет направляющий вектор прямой x — 2 3 = y + 4 5 .
Тогда n → = ( 3 , 5 ) . Прямая проходит через начало координат, т.е. через точку О ( 0 , 0 ) . Составим общее уравнение заданной прямой:
A ( x — x 0 ) + B ( y — y 0 ) = 0 ⇔ 3 ( x — 0 ) + 5 ( y — 0 ) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0
4.1.8. Примеры решения задач по теме «Уравнение прямой на плоскости»
Даны уравнения двух сторон параллелограмма: 2Х + У + 3 = 0 и 2Х – 5У + 9 = 0 и уравнение одной из его диагоналей: 2Х – у — 3 = 0. Найти координаты вершин этого параллелограмма.
Выясните, уравнения каких сторон даны в условии задачи: параллельных или
Смежных, и как расположена данная диагональ по отношению к данным сторонам.
Выясним, уравнения каких сторон даны в условии задачи: параллельных или
Следовательно, прямые пересекаются, то есть даны уравнения смежных сторон параллелограмма.
Условие параллельности прямых
.
Пусть даны уравнения сторон АВ и AD. Тогда координаты точки А будут решением системы уравнений:
Теперь определим, уравнение какой диагонали: АС или BD – нам известно. Если это диагональ АС, то на ней лежит точка А, следовательно, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению диагонали. Проверим:
Значит, точка А не лежит на данной прямой, то есть дано уравнение диагонали BD.
Тогда вершина В лежит на прямых АВ и BD, значит, ее координаты найдем из системы:
Система уравнений для определения координат точки D составлена из уравнений прямых AD И BD:
Остается найти координаты точки С. Составим уравнения прямых ВС и DC.
Поскольку ВС параллельна AD, их угловые коэффициенты равны. Найдем угловой коэффициент прямой AD:
Тогда ВС можно задать уравнением
Найдем координаты точки С, решив систему из двух полученных уравнений:
Найти точку, симметричную точке А(2; 1) относительно прямой, проходящей через точки В(-1; 7) и С(1; 8).
Представьте себе, что вам нужно Построить искомую точку на плоскости. Последовательность действий при этом можно задать так:
1) провести прямую ВС;
2) провести через точку А прямую, перпендикулярную ВС;
3) найти точку О пересечения этих прямых и отложить на прямой АО по другую сторону прямой ВС отрезок ОА1 = АО.
Представим себе, что нам нужно Построить искомую точку на плоскости. Последовательность действий при этом можно задать так:
4) провести прямую ВС;
5) провести через точку А прямую, перпендикулярную ВС;
6) найти точку О пересечения этих прямых и отложить на прямой АО по другую сторону прямой ВС отрезок ОА1 = АО.
Тогда точка А1 будет симметричной точке А относительно прямой ВС.
Теперь заменим каждое из действий составлением уравнений и вычислением координат точек.
1) Найдем уравнение прямой ВС в виде:
2) Найдем угловой коэффициент прямой ВС:
Прямая АО Перпендикулярна прямой ВС, поэтому
Составим уравнение прямой АО:
3) Найдем координаты точки О как решение системы:
4) Точка О – середина отрезка АА1, поэтому
Найти угол между прямыми L1: 3Х – у + 5 = 0 и L2: 2Х + У – 7 = 0.
Если J – угол между прямыми L1 и L2, то J = A2 — A1, где A2 и A1 – углы, образованные прямыми L1 и L2 с положительной полуосью Ох. Тогда
Где K1 и K2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2.
Если J – угол между прямыми L1 и L2, то J = A2 — A1, где A2 и A1 – углы, образованные прямыми L1 и L2 с положительной полуосью Ох. Тогда
Где K1 и K2 – угловые коэффициенты прямых L1 и L2. Найдем K1 и K2: для L1
Y = 3X + 5, K1 = 3; для второй: Y = -2X + 7, K2 = -2. Следовательно,
Для прямых А1х + В1У + С1 = 0 И А2Х + В2У + С2 = 0
.
Определить, лежит ли точка М(2; 3) внутри или вне треугольника, стороны которого заданы уравнениями 4Х – у – 7 = 0, Х + 3У – 31 = 0, Х + 5У – 7 = 0.
Если точка М расположена внутри треугольника АВС, то ее отклонение δ от каждой стороны треугольника имеет тот же знак, что и для вершины, не лежащей на этой стороне, а если точка М лежит вне треугольника, то по крайней мере с одной из вершин она окажется в разных полуплоскостях относительно стороны треугольника.
Пусть первое уравнение задает сторону АВ, второе – ВС, третье – АС. Найдем координаты точек А, В и С:
Для ответа на вопрос задачи отметим, что:
1) если точка М расположена внутри треугольника АВС, то ее отклонение δ от каждой стороны треугольника имеет тот же знак, что и для вершины, не лежащей на этой стороне (т. е. точка М расположена относительно каждой стороны треугольника в одной полуплоскости с третьей вершиной);
2) если точка М лежит вне треугольника, то по крайней мере с одной из вершин она окажется в разных полуплоскостях относительно стороны треугольника (на рисунке: точки М1 и В расположены по разные стороны от прямой АС).
Составим нормальные уравнения сторон треугольника АВС:
Вычислим соответствующие отклонения:
1) для точек М и А относительно прямой ВС:
2) для точек М и В относительно прямой АС:
3) для точек М и С относительно прямой АВ:
Итак, точки М И С лежат по разные стороны от прямой АВ. Следовательно, точка М расположена вне треугольника АВС.
Ответ: Точка М расположена вне треугольника АВС.
Для треугольника АВС с вершинами А(-3; -1), В(1; 5), С(7; 3) составить уравнения медианы и высоты, выходящих из вершины В.
Составьте уравнение медианы как прямой, проходящей через точки В и М – середину стороны АС, а высоты – как прямой, проходящей через точку В и перпендикулярной стороне АС.
1) Медиана ВМ проходит через точку В и точку М – середину отрезка АС. Найдем координаты точки М:
Тогда уравнение медианы можно записать в виде:
2) Высота ВН перпендикулярна стороне АС. Составим уравнение АС:
Ответ: медиана ВМ: 4Х + У – 9 = 0; высота ВН: 5Х + 2У – 15 = 0.
Определить, при каком значении А прямая
Параллельна оси ординат. Написать уравнение прямой.
Если прямая параллельна оси ординат, то в уравнении Ах + Ву + С = 0
Если прямая параллельна оси ординат, то в уравнении Ах + Ву + С = 0
В = 0, С ≠ 0. Из условия В = 0 получаем: А2 – 1 = 0, А = ± 1.
При А = 1 С = 2 + 7 – 9 = 0 – второе условие не выполняется (получившаяся при этом прямая -4Х = 0 не параллельна оси Оу, а совпадает с ней).
При А = -1 получим: -6Х – 14 = 0, 3Х + 7 = 0.
Составить уравнения всех прямых, проходящих через точку М(2; 3) и отсекающих от координатного угла треугольник площадью 12.
Составьте уравнение искомой прямой «в отрезках»:
Где |A| и |B| — длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях. Тогда
Откуда |Ab| = 24. Кроме того, координаты точки М(2; 3) должны удовлетворять уравнению «в отрезках».
Составим уравнение искомой прямой «в отрезках»:
Где |A| и |B| — длины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях. Тогда
Откуда |Ab| = 24. Кроме того, координаты точки М(2; 3) должны удовлетворять уравнению «в отрезках». Таким образом, для А и B можно составить систему уравнений:
Следовательно, условию задачи удовлетворяют три прямые:
Разработка урока по теме «Уравнение прямой».
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Геометрия – 9 класс Урок № 14
Тема: «Уравнение прямой».
вывести уравнение прямой и показать, как можно использовать это уравнение при решении геометрических задач;
закрепить умения и навыки по теме «Уравнение окружности»;
подготовка к ГИА.
– Распознать уравнение окружности и уравнение прямой по предложенному уравнению, научить обучающихся составлять уравнение окружности и уравнение прямой по готовому чертежу, строить окружность и прямую по заданному уравнению.
— Формулы уравнений окружности и прямой и уметь их применять при решении задач.
— Формирование критического мышления и навыков работы в группе.
— Содействовать в ходе урока воспитанию решительности, смелости при выполнении заданий, самостоятельности.
— Развитие памяти, логического мышления обучающихся при решении задач.
— Развитие умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в соответствии с предложенным алгоритмом.
– Видеть проблему и наметить пути её решения.
– Кратко излагать свои мысли устно и письменно.
Тип урока: усвоения новых знаний.
Оборудование: ПК, мультимедийный проектор, экран.
Сообщение темы и целей урока. Отчет старосты класса об отсутствующих. Проверка готовности к класса к уроку.
II. Актуализация опорных знаний.
Проверка выполнения домашнего задания. Разбор нерешенных заданий.
1. Лежит ли точка А (2; –1) на окружности, заданной уравнением (x – 2) 2 + (y – 3) 2 = 25?
2. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 3.
3. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку С (–2; 3).
4. Найдите длину вектора <–12; 5>.
5. Найдите координаты середины отрезка PQ, если Р (5; –3); Q (3; –7).
6. Найдите координаты вектора , если А (2; –5), В (–3; 4).
1. Лежит ли точка А (2; –1) на прямой, заданной уравнением 2х – 3y – 7 = 0?
2. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 2.
3. Напишите уравнение окружности с центром в точке Р (–2; –1), если она проходит через точку Q (1; 3).
4. Найдите расстояние между точками А (–1; 3) и В (2; –1).
5. Найдите координаты вектора, равного сумме векторов и, если <–12; 5>, <7; –3>.
6. Найдите координаты вектора , если С (–1; 6), D (3; –2).
III . Изучение нового материала.
Для выведения уравнения прямой проведем эту прямую как серединный перпендикуляр к некоторому отрезку с данными координатами конечных точек отрезка.
Все точки серединного перпендикуляра находятся на равных расстояниях от концов отрезка.
Рис. 1. Серединный перпендикуляр к отрезку
Пусть – это произвольная точка на прямой (см. Рис. 1), которая является серединным перпендикуляром к отрезку (точка имеет координаты , точка имеет координаты ). Тогда , отсюда следует, что , то есть справедливо равенство:
— это равенство и есть уравнением прямой.
Возведем в квадрат выражения в скобках и приведем подобные слагаемые:
Введем новые обозначения:
Следовательно, уравнение прямой будет иметь следующий вид:
– уравнение вертикальной прямой
На рис. 2 изображены вертикальные прямые, уравнение которых выглядят следующим образом:
а) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .
б) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .
в) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату , то есть это уравнение оси .
Рис. 2. Вертикальные прямые
– уравнение горизонтальной прямой
На рис. 3 изображены горизонтальные прямые, уравнения которых выглядят следующим образом:
а) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .
б) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату .
в) . Это означает, что все точки на этой прямой имеют координату , то есть это уравнение оси .
Рис. 3. Горизонтальные прямые
Уравнение наклонной прямой к оси ( )
Введем новые обозначения:
Таким образом, уравнение наклонной к оси прямой выглядит следующим образом:
, где
– угловой коэффициент (если , то функция возрастает, если – убывает);
– ордината точки пересечения прямой с осью .
1. Дано уравнение прямой: .
В этом случае ; . Следовательно, данная функция возрастает, прямая пересекает ось в точке с координатами (см. Рис. 4).
Рис. 4. Прямая
2. Дано уравнение прямой: .
В этом случае ; . Следовательно, данная функция убывает, прямая пересекает ось в точке с координатами (см. Рис. 5).
Рис. 5. Прямая
Даны две прямые:
1. Данные прямые будут параллельными, если выполняются следующие условия:
То есть эти прямые должны быть наклонены под одним углом к оси , но проходить через разные точки на оси .
2. Данные прямые будут перпендикулярными, если выполняется следующее условие:
Дана точка с координатами . Уравнение наклонной прямой: , следовательно, условие того, что точка лежит на прямой, – это .
– уравнение любой наклонной прямой, проходящей через точку .
Задавая коэффициент , можно выбрать конкретную прямую, проходящую через точку.
Дано : прямая ; точка .
Найти : а) уравнение прямой, которая проходит через точку и параллельна заданной прямой; б) уравнение прямой, которая проходит через точку и перпендикулярна заданной прямой.
Все наклонные прямые, которые проходят через точку , имеют уравнение:
1. Угловые коэффициенты параллельных прямых равны. Поэтому уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной заданной прямой, имеет угловой коэффициент . Следовательно, уравнение такой прямой имеет следующий вид:
2. Произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно . Следовательно, угловой коэффициент прямой, перпендикулярной, равен:
Подставляем данный коэффициент в уравнение прямых, проходящих через точку :
Ответ : а) ; б) .
Дано : точка ; точка .
Найти : уравнение прямой и точки ее пересечения с осями координат.
Уравнение прямой имеет вид:
Необходимо определить числа , , . Подставим координаты точек и в уравнение прямой, получим систему из двух уравнений:
Решим эту систему, выразив и через :
Подставим это значение в равенство:
Найденные значения и подставляем в общее выражение прямой:
При разделим это выражение на и умножим на :
Мы получили уравнение прямой, которая проходит через две данные точки ( и ). Запишем это уравнение в таком виде:
Это уравнение наклонной прямой, которая имеет угловой коэффициент и пересекает ось в точке с координатой (на рисунке 6 точка ).
Определим координаты точки пересечения прямой с осью , для этого приравняем к нулю :
Следовательно, координаты точки пересечения прямой с осью – (на рисунке 6 точка ).
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Ответ : ; ; .
Дано : точка ; точка .
Найти : уравнение серединного перпендикуляра к отрезку .
Рис. 7. Иллюстрация к задаче
Пусть (см. Рис. 7) – это произвольная точка на серединном перпендикуляре к отрезку . Тогда , отсюда следует, что , то есть справедливо равенство:
Подставим в данное равенство соответствующие координаты:
Разделим обе части уравнения на 4 и получим искомое уравнение серединного перпендикуляра:
Ответ : .
Уравнение прямой в отрезках
Пусть – уравнение наклонной прямой, которая пересекает оси и в точках и . Тогда уравнение этой прямой можно представить в виде:
Такое уравнение называется уравнением прямой в отрезках . В данном случае отрезок , а отрезок .
Дано : точка ; точка .
Найти : уравнение прямой .
Уравнение прямой в отрезках выглядит следующим образом:
В данном случае: ; . Подставляем эти значения в уравнение:
Ответ : .
Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Дано : точки и на наклонной прямой (см. Рис. 11).
Требуется : вывести уравнение наклонной прямой .
Рис. 11. Наклонная прямая, проходящая через две точки
Подставляем координаты первой точки в уравнение наклонной прямой:
Получаем систему уравнений:
Вычтем из первого уравнения второе:
Необходимо найти , для этого подставляем координаты двух точек в уравнение наклонной прямой:
Вычтем из первого уравнения второе:
Ответ : , где и .
1. Учитель объясняет решение задачи:
напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки Р (2; 1) и Q (–3; –1).
Уравнение прямой PQ имеет вид ax + by + c = 0. Так как точки P и Q лежат на прямой PQ, то их координаты удовлетворяют этому уравнению:
2cx – 5cy + c = 0 |: c 0, тогда прямая PQ задана уравнением 2x – 5y + 1 = 0.
Ответ: 2x – 5y + 1 = 0.
2. Самостоятельно по учебнику обучающиеся разбирают решение задачи № 972 (а), с. 245.
3. Решить задачу № 973 на доске и в тетрадях.
4. Решить задачу № 975.
Пересечение прямой с осью OX: y = 0, тогда 3x – 4 ∙ 0 + 12 = 0; 3x = –12; x = –4; точка А (–4; 0);
пересечение прямой с осью OY: x = 0, тогда 3 ∙ 0 – 4y + 12 = 0; –4y = –12; y = 3; точка В (0; 3).
5. Решить задачу № 976 (повторить при решении способ сложения систем уравнений):
Точка пересечения прямых D (3; –2).
6. Решить задачу № 977.
Прямая, проходящая через точку М (2; 5) и параллельная оси OX, имеет вид: y = 5; прямая, параллельная оси OY, записывается уравнением: х = 2.
7. Самостоятельное решение обучающимися задачи № 978.
8. Решить устно задачи:
1) Окружность задана уравнением (x – 1)2 + y2 = 9. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси ординат.
Центр О (1; 0) и параллельная оси OY прямая x = 1.
2) Окружность задана уравнением (x + 1)2 + (y – 2)2 = 16. Назвать уравнение прямой, проходящей через ее центр и параллельной оси абсцисс.
Центр А (–1; 2); прямая y = 2 параллельна оси OX.
V . Подведение итогов урока.
С чем мы сегодня познакомились на уроке?
Назовите общий вид уравнения прямой.
Какое уравнение имеет прямая параллельная ОХ, ОУ?
VI . Домашнее задание: прочитать п. 95, ответить на вопросы с.249, выполнить № 972(а,б), № 979.
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/lineinaia-algebra-i-analiticheskaia-geometriia/4-1-8-primery-resheniia-zadach-po-teme-uravnenie-priamoi-na-ploskosti
http://infourok.ru/razrabotka-uroka-po-teme-uravnenie-pryamoy-1442042.html