Решение задач по теме уравнение сферы

Решение задач по теме уравнение сферы

Глава VI. Простейшие криволинейные поверхности и тела вращения.

Множество всех точек пространства, находящихся на данном расстоянии R от данной точки С, называется сферой радиуса R с центром в точке С (рис. 211).

Другими словами, сфера радиуса R с центром в точке С — это множество всех точек М пространства, удовлетворяющих условию

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, что длина диаметра сферы радиуса R равна 2R.

Если в пространстве задана некоторая прямоугольная декартова система кородинат и
(а; b; с) — координаты точки С, а (х; у; z) — координаты точки М, то условие (1) принимает вид

Отсюда следует, что сфера радиуса R с центром в точке С (а; b; с) имеет уравнение

(x — a) 2 + (y — b) 2 + (z — c) 2 = R 2 (2)

B частности, сфера радиуса R с центром в начале координат имеет уравнение

Задача 1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение (3) получим

Задача 2. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.

Подставив значение координат точки С и значение радиуса в уравнение (2), получим

(x — 2) 2 + (y + 3) 2 + (z — 5) 2 = 36.

Задача 3. Найти центр и радиус сферы

Сравнивая данное уравнение с уравнением сферы (2), видим, что
а = — 4, b = 3, с = 0, R = 10. Следовательно, С(—4; 3; 0), R = 10.

Задача 4. Доказать, что уравнение

является уравнением сферы.

Преобразуем левую часть данного уравнения, выделив квадраты двучленов, содержащих соответственно х, у и z:

Следовательно, данная поверхность имеет уравнение

Это уравнение представляет собой уравнение сферы с центром в точке С(1; —2; 3) и радиусом R = 3.

Множество всех точек пространства, расстояние которых от данной точки С не превосходит данного числа R, называется шаром радиуса R с центром в точке С.

Иначе, шар радиуса R с центром в точке С — это множество всех точек М пространства, удовлетворяющих условию

Сфера радиуса R с центром в точке С называется поверхностью соответствующего шара. Про нее говорят, что она ограничивает шар радиуса R с центром в точке С.

Теорема. Через любые четыре точки, не лежащие в одной плоскости, проходит и притом единственная сфера.

Пусть А, В, D, Е четыре точки, не лежащие в одной плоскости. Достаточно доказать, что существует и притом единственная точка, С, равноудаленная от четырех данных точек. Очевидно, точка С и будет центром сферы, проходящей через данные точки.

Через точки А, В, D, которые, очевидно, не лежат на одной прямой, проходит единственная плоскость р и единственная окружность. Пусть С₁ — центр этой окружности. Очевидно, множество всех точек пространства, равноудаленных от трех точек А, В, D — это перпендикуляр l к плоскости р, проходящий через точку C₁ (рис. 212).

Рассмотрим теперь точки А и Е. Множество всех точек пространства, равноудаленных от точек А и Е, — это плоскость q, перпендикулярная прямой АЕ и проходящая через середину отрезка АЕ. Плоскость q обязательно пересечет прямую l , так как точка Е не лежит в плоскости р. Очевидно, что точка С, являющаяся пересечением плоскости q с прямой l, будет равноудаленной от всех четырех данных точек А, В, D, Е. Из построения видно, что точка С — единственная точка пространства, удовлетворяющая этому условию.

Конспект урока решения задач по геометрии на тему: «Сфера и шар»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока на тему: «Сфера и шар» по учебнику Атанасяна Л.С. Геометрия 10-11 класс.

Тема урока: «Сфера и шар»

Тип урока: урок решения задач.

· Повторить материал по теме «Сфера и шар»

· Продолжить формировать навыки решения задач на составление уравнения сферы, навыки использования формул вычисления площади сферы, навыки решения более сложных задач по теме.

· Развитие пространственных представлений у учащихся.

· Развивать логическое мышление и умение делать предположения и выводы.

· Развивать самостоятельность и потребность в приобретении знаний.

· воспитывать познавательный интерес к математике;

· воспитывать положительное отношение к приобретению новых знаний.

1. Знать понятия сферы, шара, центра сферы и шара, радиуса сферы и шара, диаметр сферы и шара; знать уравнение сферы; знать взаимное расположение сферы и плоскости; знать понятия касательная плоскость к сфере, точка касания, многогранник описанный около сферы, вписанная сфера в многогранник; знать свойство касательной плоскости к сфере и формулу площади сферы.

2. Уметь решать задачи по данной теме.

1. Уметь соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата, определять способы действий в рамках предложенных условий и требований;

2. Развивать математическую речь.

1. Формировать интерес к предмету.
2. Воспитывать аккуратность и положительное отношение к приобретению знаний.

Тема предыдущего урока: «Площадь сферы»

Тема последующего урока « Решение задач по теме «Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар ».

Домашнее задание к этому уроку: п.68 №593 (б,в), 595, 597, 600.

1. Актуализация знаний.

1. Организационный момент (Приветствие, проверка готовности к уроку)

2. Сбор тетрадей (выборочно 5 штук) с целью проверки домашнего задания.

3. Фронтальный опрос с целью повторения пройденного материала.

2. Формирование умений и навыков.

1. Устное решение задач по слайдам.

2. Решение задач по вариантам с последующей проверкой с целью закрепления знаний.

3. Решение задач на комбинацию: шара и конуса, шара и куба, призмы и сферы, пирамиды и сферы у доски с целью закрепления материала.

4. Задача из ЕГЭ.

5. Самостоятельная работа с целью контроля и оценки знаний.

6. Подведение итогов урока. Рефлексия.

7. Постановка домашнего задания.

1. Организационный момент (Приветствие, проверка готовности к уроку)

2. Сбор тетрадей (выборочно 5 штук) с целью проверки домашнего задания.

3. Фронтальный опрос с целью повторения пройденного материала.

Учитель: сегодня мы с вами решаем задачи по теме «Сфера и шар», но прежде, чем их решать, давайте вспомним, что мы знаем из теории.

1) Что называется сферой, а что шаром?

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Тело, ограниченное сферой называется шаром.

2) Что называется центром, радиусом и диаметром сферы?

Данная точка — центр сферы.

Данное расстояние – радиусом сферы.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы также называется радиусом шара.

Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы.

3) Что называется центром, радиусом и диаметром шара?

Центр, радиус и диаметр сферы называются центром, радиусом и диаметром шара.

4) Составьте уравнение сферы радиуса R и центром .

5) Что будет являться сечением сферы плоскостью, если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы? Что будет являться сечением шара?

6) Когда сфера и плоскость имеют одну общую точку?

Когда расстояние от сферы до плоскости равно радиусу сферы.

7) Когда сфера и плоскость не имеют общих точек?

Когда расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы.

8) Что называется касательной плоскостью к сфере? Точкой касания сферы и плоскости?

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере. Общая точка сферы и плоскости – точка касания сферы и плоскости.

9) Сформулируйте свойство касательной плоскости к сфере?

Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

10) Какой многогранник называется описанным около сферы (шара)? Какая сфера называется вписанной в многогранник?

Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник.

11) По какой формуле находится площадь сферы?

Учитель: мы повторили с вами весь материал, теперь переходим к решению задач по данной теме.

2. Формирование умений и навыков.

1. Устное решение задач по слайдам.

Задача . Сечение шара плоскостью имеет площадь 36 (м ). Радиус шара 10м. Найти расстояние от центра шара до плоскости сечения.

Д ано: шар S(O,OX) S = 36 (м ) , R = OX = 10 м

Найти: ОО

Решение:
1. Любое сечение шара плоскостью есть круг. S = r 36 = r r = 36 (м )
2. ОО Х – прямоугольный

ОО = h , O X = r , OX = R
h = R — r — т. Пифагора
h =100 – 36 =64, h = 8 м
Ответ: h = 8м

Урок «Сфера. Уравнение сферы»

Краткое описание документа:

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара.

Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка — центр сферы.

Заданное расстояние — радиус сферы.

Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве.

Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F.

Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.

1.Рассмотрим сферу радиуса R и с центром С(x0; y0; z0).

2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами.

3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть

4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит, координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2.

5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром

С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид:

Применим полученные знания при решении задач.

Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1).

1.Запишем уравнение сферы с центром

А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R:

2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в данное уравнение:

Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид:

3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид:

Сфера задана уравнением:

1) Найти координаты центра и радиус сферы;

2) Найти значение m, при котором точки

А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере.

1. Уравнение данной сферы имеет вид:

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4

Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения:

x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4

Уравнение примет вид:

x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 или

Таким образом, центр сферы имеет координаты:

О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3

2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид:

Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:

Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые:

Таким образом, мы получили 4 значения m:

Несложно проверить, что при m=-4 и m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.

Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением

x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке

О (0;-1;2) и радиусом R=3.

—> —>

АвторДата добавленияРазделПодразделПросмотровНомер материала

Инфоурок

07.11.2014

Геометрия

Видеоурок

51709

1003

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.