Решение задач помощью системы уравнений 9 класс

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

1. Обучение составлению системы уравнений по условию задачи.
2. Повышение интереса к решению текстовых задач.

Ход урока

I. Устный счет (8 мин)

Является ли решением уравнения х+2у=5 пара чисел: а) (0;1) б) (3;-1) в) (-1;3)

1. Является ли решением системы уравнений ,

пара чисел: а) х=1, у=6 б)х=3, у=2

2. Решите систему уравнений:

3. Определите степень уравнения:

• А) х-у-1,2=0
• Б)
• В)
• Г)

II. Изучение нового материала (10 мин)

При решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений.

Решить задачу двумя способами: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого».

1 способ— с помощью одной переменной.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет – х+7 см. Используя теорему Пифагора, составим уравнение:

корень х=-12 не удовлетворяет условию х>0.

Один катет равен 5 см, второй 12 см

2 способ— с помощью введения двух переменных.

Пусть первый катет х см, второй катет у см (х>0, у>0)

,

,

,

у1=5, у2=-12 (не удовл. условию)

если у=5, то х=7+5=12

один катет равен 5 см, второй катет 12 см

Ответ: 12 см, 5 см

III. Закрепление нового материала (10 мин)

Решение задач:

1. Прямоугольный газон обнесён изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найдите длины сторон газона?

Решение: пусть х м –длина газона, у-ширина газона.

,

,

Ответ: 7 см, 8 см

2. Двое рабочих совместно могут выполнить заданную работу за 12 дней. Если первый рабочий сделает половину работы, а затем второй – вторую половину, то вся работа будет закончена за 25 дней нужно каждому из рабочих в отдельности для выполнения работы?

Решение: пусть для выполнения всей работы первому рабочему потребуется х дней, а второму у дней, тогда за 1 день первый выполняет 1/х часть, а второй 1/у часть всей работы. Работая совместно, всю работу они выполняют за 12 дней.

Таким образом 12(1/х+1/у)=1.

Пусть теперь работа выполняется рабочими поочередно. Тогда для выполнения половины всей работы первому потребуется 1/2:1/х=х/2 дней, а второму 1/2: 1/у=у/2 дней.

,

,

,

,

,

Одному рабочему для выполнения всей работы требуется 20 дней, а другому 30 дней.

Ответ: 20 дней, 30 дней

Решаем по учебнику: №455, №457 (15 мин)

IV. Итог урока.

Домашнее задание: №456, №458, №460 (2 мин)

Открытый урок по алгебре «Решение задач с помощью систем уравнений» 9 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Алгебра Дата: 12.10.2018 г.

9 Учитель Малюков А. Н.

УМК (название учебника, автор, год издания)

Алгебра 9 класс А. Н. Шыныбеков Алматы «Атамура» 2013 г.

Решение задач с помощью систем уравнений

Общее количество часов, отведенное на изучение темы

Место урока в системе уроков по теме

Урок обобщения и систематизации знаний.

Научить учащихся решать задачи с помощью систем уравнений как математических моделей реальных ситуаций.

Общеобразовательные: обеспечить овладение основными алгоритмическими приемами применения систем уравнений при решении задач; формировать умения переносить знания в новую ситуацию; обобщить и систематизировать знания и умения учащихся в решении задач с помощью систем уравнений различными методами.

Развивающие: развитие аналитического мышления; познавательной активности мышления, умения работать с текстовой, графической информацией через использование задач моделирующих жизненные ситуации

Воспитательные: воспитание самостоятельности, познавательной активности, создание условий для сотрудничества, самоконтроля, формирования самооценки

Учащийся должен знать:

основные алгоритмические приемы применения систем уравнений при решении задач.

Учащийся должен уметь:

составлять систему уравнений к условию задачи;

использовать таблицы при интерпретации задач на работу;

исследовать построенную модель.

Техническое обеспечение урока

доска, учебник, карточки, демонстрационный материал

Дополнительное методическое и дидактическое обеспечение урока (возможны ссылки на интернет-ресурсы)

А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс М.: Мнемозина, 2013

1. Организационный момент

Здравствуйте, друзья! Рад приветствовать Вас на нашем уроке.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания

Вспомним что мы изучали на предыдущем уроке

Решение задач с помощью системы уравнений как математической модели реальных ситуаций

Давайте вспомним алгоритм составление математической модели

Составление математической модели.

Работа с составленной моделью.

Ответ на вопрос задачи.

Каков алгоритм решения задач с помощью системы уравнений?

Обозначить неизвестные величины буквами.

Выразить оставшиеся неизвестные величины.

Найти в задаче условия для составления уравнений.

Решить получившуюся систему.

Найденное решение использовать для ответа на вопрос задачи

Назовите основные методы решения системы уравнений

Алгебраического сложения, подстановки, введение новых переменных, графический.

Какие виды задач мы решали на последних уроках

Задачи на движение, на работу, геометрические задачи, задачи с числами

Откроем рабочие тетради и начнём проверку домашнего задания. (Фронтальная проверка). На доске заполняется таблица, анализируется условие и выписывается система уравнений. Озвучивается метод решения системы. Ответы на вопросы.

Включение с систему знаний и повторения. Решение задач.

Сегодня у нас важный и ответственный урок. Мы будем решать разные задачи. Запишите число в рабочих тетрадях. Сформулируем тему урока ( Решение задач с помощью систем уравнений как математической модели реальных ситуаций )

Будьте внимательны, в течение урока постарайтесь выделить общее в решении в разных задач, а также что-то особенное, что отличает одно решение от другого.

Для каждой задачи учащиеся заполняют на доске таблицу и составляют систему уравнений, указывают метод решения системы. Все с проговариванием во внешней речи. Фронтальная работа.

Прямоугольный газон обнесен изгородью, длина которой 40 м. Площадь газона 96 . Найдите длину и ширину газона.

Составим выражения по данным задачи, пусть 2( a + b )=40 будет периметр газона, тогда площадь газона выразим как . По данным выражениям составим систему уравнений и найдем решения данной системы.

Ответ: 12 м и 8 м

Задача из рассказа А.П. Чехова “Репетитор”

Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого сукна, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное – 3 руб?

Пусть черного сукна приобрел купец – y м и синего сукна – x м. Так как синее сукно стоит 5 руб. за 1м, а черное – 3 руб. за 1м, то составим и решим систему уравнений:

Метод сложения

Ответ: 63 м и 75 м

Задача № 3 (из контрольной работы)

Двое рабочих вместе выполнят некоторую работу за 10 дней. После 7 дней совместной работы один из них был переведен на другой участок, а второй закончил работу, проработав ещё 9 дней. За сколько дней каждый рабочий мог выполнить всю работу?

Ответ: 15 дней и 30 дней

Задача 4. Вместе с учителем

Смешали 10% и 25% растворы соли и получили 3 кг 20% раствора. Какое количество растворов было использовано?

Масса вещества (соли)

Метод сложения

Ответ: 1 кг и 2 кг

От пристани А вниз по течению отправился катер. Катер прошел 96 км, затем повернул обратно и вернулся в А через 14 часов. Известно, что скорость катера по течению в раза больше скорости катера против течения. Найдите скорость катера и скорость течения реки.

Решение: Пусть х км/ч – скорость катера в стоячей воде, у км/ч – скорость течения.

Скорость по течению

Скорость против течения

Метод введения новой переменной

Ответ: 14 км/ч и 2км/ч

Итак, мы разобрали решение трех задач, проверили решение домашней задачи. Сравните таблицы к условиям задач. Что общего Вы заметили? — т аблицы аналогичны

Сравним формулы основные при заполнении таблиц. Что общего? — формулы аналогичны

Чем отличаются? — входящими в них величинами (зависит от типа задачи)

Спасибо. Вы правильно заметили, что при решении данных задач, величины связаны одинаковой формулой . Эти наблюдения помогут Вам в решении задач.

4. Самостоятельная работа и локализация индивидуальных затруднений

Учащиеся решают составленные системы уравнений дифференцировано. Проверяют результаты выполнения самостоятельной работы по эталону и проговаривают вместе с учителем вслух те понятия, алгоритмы из теоретической базы, на которые они допустили ошибки

5. Решение задач. Повторение. Задача 6 (при наличии времени)

Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получится число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найдите исходное число.

Работаем вместе на доске и в тетрадях. Учитель помогает в составлении системы уравнений и предлагает решить ее графическим методом .

Пусть х – цифра десятков двузначного числа,

у – цифра единиц.

Тогда исходное двузначное число равно 10 х + у .

6. Домашнее задание

Параграф 3. Решить № 124. Творческое задание: подобрать задачу из литературы

7. Подведение итогов урока. Рефлексия:

Аргументация, замечания по уроку, оценка работы класса

1.Какую цель поставили?

2. Достигли ли вы этой цели?

3.Узнали ли вы что-нибудь нового?

А теперь я предлагаю самим оценить свою работу. Сегодня вы выполняли трудную работу. Мы с вами взбирались на гору знаний. Как вы считаете, на каком уровне вы сейчас находитесь?

Дорогие друзья, это был еще один урок по теме «Система уравнений как математическая модель реальных ситуаций». Мы подходим к концу изучения темы, на следующих уроках мы будем готовиться к самостоятельной работе.

Конспект урока «Решение задач спомощью систем уравнении». Математика. 9 класс

Образовательный: обобщение знаний учеников о способах решения систем уравнений; изучить способы решения задач с помощью систем уравнений второй степени;

Развивающий: закрепление математических навыков, расширение знаний об окружающем мире;

Воспитательный: воспитывать познавательный интерес к математике с использованием ИКТ.

2.Проверка домашнего задания

3.Устная разминка, математический диктант

4.Решение задач геометрического содержания, решение задач на движение, решение задач на работу, решение задач на смеси и сплавы.

5.Обобщение материала урока.

7. Итоги урока. Домашнее задание

Вместе с дежурными учитель проверяет готовность класса к уроку, Учащимся сообщается тема, цели и задачи урока.

2.Проверка домашнего задания.

Проверка домашнего задания осуществляется в виде самостоятельной работы

1 вариант. Решите систему уравнений графическим методом:

2 вариант. Решите систему уравнений методом подстановки:

3 вариант. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

4 вариант. Решите систему уравнений методом замены переменной:

3. Устная разминка. Стратегия «Поймай вопрос»

Учитель бросает мяч, когда задает вопрос. Это делает процесс опроса кинестетическим и позволяет вовлечь учеников, обычно не проявляющих желание отвечать добровольно. Вы можете позволить ученикам перебросить вопрос кому-то другому в случае если они не знают ответа.

Что называется системой уравнений с двумя переменными?

Что называют решением системы уравнений?

Что значит решить систему уравнений?

Сформулируй алгоритм решения системы уравнений графически.

Сформулируй алгоритм решения системы методом подстановки.

Сформулируй алгоритм решения системы уравнений методом алгебраического сложения

Математический диктант. Стратегия «Покажи мне!»

Ученикам предлагаются 5 заданий, для которых надо составить уравнение с двумя переменными. Когда учитель досчитает до 3-х, ученики должны поднять свои листочки с верным ответом для каждого конкретного задания.

4. Решение задач.

Для подготовки учащихся к решению задач повторяются и систематизируются их знания.

Решение задач состоит из трёх этапов:

• Введение условных обозначений по условию задачи и составление при помощи них системы уравнений.
• Работа с системой уравнений.
• Ответ на вопрос задачи.

Каждый из этих этапов является важным в решении задачи.

Применение систем уравнений при решении геометрических задач

Ученик решает на доске. Задача № 7.12.[1]

Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b –стороны прямоугольника.

Составим систему уравнений:

196 – 28 b +b2 +b2 =100

Задача для самостоятельного решения в группе №7.2

Применение систем уравнений при решении задач на «движение»

Ученик решает на доске (№ 7.1) [1]:

Из двух городов, расстояние между которыми 700 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 5 часов.

Если второй поезд отправится на 7 ч раньше первого, то они встретятся через 2 ч после отправления первого поезда. Найдите скорость каждого поезда.

Пусть скорости поездов равны х и у соответственно, тогда их скорость равна х+у, значит

Если 2-й поезд отправится на 7 часов раньше первого, то в момент начала движения 1-го поезда между ними будет 700 -7у километров, отсюда 2 – е уравнение:

700 =280 — 2у +9у, 700= 280 +7у, 7у =420, у =60 => x=80

Ответ: 60 км/ч, 80 км/ч

Задание для самостоятельной работы в группе № 7.2

Применение систем уравнений при решении задач на «совместную работу»

Ученик решает на доске № 7.21 [1]:

Два комбайна, работая совместно, могут выполнить задание за 6 ч. Первый комбайн, работая один, может выполнить это задание на 5 ч скорее, чем второй комбайн. За сколько времени может выполнить задание первый комбайн, работая один?

Решение: Пусть 1-й комбайн один может выполнить задание за х часов, а второй за у часов, примем объем всей работы за 1, тогда получим систему: