Решение задач при помощи рациональных уравнений 8 класс

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Примеры

Пример 1. От посёлка до речки 60 км. Утром турист на скутере отправился на речку. Вечером он возвратился в посёлок, но при этом ехал со скоростью на 10 км/ч меньшей и потратил на дорогу на 18 мин больше. Сколько времени ехал турист от речки к посёлку?

Пусть t — время вечером, на дорогу от речки к посёлку.

Тогда время утром, на дорогу от посёлка к речке t- $\frac<18><60>$ = t-0,3 (ч)

По условию разность скоростей равна 10:

$$1,8=t(t-0,3), t \neq 0, t \neq 0,3$$

$$ D = 0,3^2-4 \cdot (-1,8) = 0,09+7,2=7,29 = 2,7^2 $$

$$ t = \frac<0,3 \pm 2,7> <2>= \left[ \begin t_1 = -1,1 \\ t_2 = 1,5 \end \right. $$

Выбираем положительный корень, t = 1,5 ч

Пример 2. Катер прошёл по течению 120 км. На этот же путь против течения от тратит времени в 1,5 раза больше. Найдите скорость течения, если скорость катера в стоячей воде 20 км/ч.

Пусть u — скорость течения

По условию время против течения в 1,5 раз больше:

$$ 1,5(20-u) = 20+u, u \neq \pm 20 $$

Пример 3. В раствор, содержащий 50 г соли, добавили 150 г воды. В результате концентрация соли уменьшилась на 7,5%. Найдите первоначальную массу раствора.

Пусть x — масса воды в первоначальном растворе, в граммах.

По условию разность концентраций:

$$ 50 \cdot 150 = \frac<75> <1000>(x+50)(x+200), x \neq -50, x \neq -200 $$

$$ D = 250^2-4 \cdot (-90000) = 62500+360000 = 100(625+3600) = $$

$$ = 100 \cdot 4225 = 650^2 $$

$$ x = \frac<-250 \pm 650> <2>= \left[ \begin x_1 = -450 \\ x_2 = 200 \end \right. $$

Выбираем положительный корень x=200 г – начальное количество воды в растворе. Начальная масса всего раствора: 50+200 = 250 г.

Пример 4. Мастер и его ученик, работая вместе, выполняют норму на 8 ч. Если каждый работает самостоятельно, то мастер тратит на выполнение нормы на 12 ч меньше, чем ученик. Сколько часов тратит каждый из них на выполнении нормы?

Пусть N изделий – это норма, t — время, потраченное мастером.

Из последней строки таблицы получаем:

$$ 8(2t+12) = t(t+12), t \neq 0, t \neq -12$$

$$ t^2-4t-96 = 0 \Rightarrow (t-12)(t+8) = 0 \Rightarrow \left[ \begin t_1 = -8 \\ t_2 = 12 \end \right. $$

Выбираем положительный корень, t=12 ч — время, которое мастер потратит самостоятельно. Ученик потратит 12+12=24 ч.

Ответ: 12 ч и 24 ч

Пример 5*. Один фрилансер может выполнить проект на 12 дней быстрее, чем второй. Над новым проектом первый фрилансер сначала проработал самостоятельно 6 дней, а затем к нему присоединился второй. Через 3 дня совместной работы \frac<3> <5>проекта было готово.

За сколько дней каждый из фрилансеров может выполнить проект самостоятельно? За сколько дней проект был фактически выполнен?

Пусть d — количество дней первого фрилансера при самостоятельной работе.

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений. Алгебра (8-й класс)

Разделы: Математика

Класс: 8

— отработка навыков решения задач на составление дробных рациональных уравнений;

— знакомство с геометрическим способом решения уравнений;

— развитие способности к содержательному обобщению и рефлексии;

— развитие алгоритмического мышления;

— повышение интереса к решению математических задач

— показать связь с другими предметами, с жизнью.

Пусть математика сложна,
Ее до края не познать
Откроет двери всем она,
В них только надо постучать.

Чтобы двери в мир математики открывались как можно легче мы сегодня будем учиться… Чему?

Ребус этот разреши,
А ответ нам напиши
Сей ответ встречаешь часто,
Не решаешь их напрасно.

— Правильно, наш урок посвящен задачам, и не простым, а задачам на составление дробных рациональных уравнений.

I. Актуализация опорных знаний.

1. Большинство задач на составление дробных рациональных уравнений в результате сводится к решению квадратных уравнений. Большой вклад в решение уравнений внес французский математик — … Как его звали? — Франсуа Виет “вызывает вас на соревнование, предлагая для решения следующие уравнения:

(На экране и на партах уравнения)

— Как называются такие уравнения?

— С помощью какой теоремы решим данные уравнения?

— Какое свойство коэффициентов квадратного уравнения можно использовать при решений некоторых уравнений?

В-1

1. Х 2 + 7Х +10 = 0
2. Х 2 — 19 Х+18=0
3. Х 2 +9Х+20=0
4. Х 2 -17Х+30=0
5. 13Х 2 -29Х+16=0
6. 17Х 2 -19Х-36=0

В-2

1. Х 2 + 7Х-8 = 0
2. Х 2 + 17Х-18=0
3. Х 2 -15Х+50=0
4. Х 2 +13Х+30=0
5. 12Х 2 -35Х+23=0
6. 100Х 2 +150Х+50=0

А сейчас поменяйтесь работами с соседом по парте, делаем проверку, выставляем оценку (ответы на экране) Собираем работы, чтобы я тоже могла посмотреть и выставить оценки.

2. Проверка домашнего задания с последующим использованием для углубленного изучения темы:

— нужно оформить решение домашней задачи № 610 на доске (1 ученик);

— а мы поработаем устно.

1) Верно ли решены уравнения?

А) х₁ =1, х₂=4

Ответ: нет, корень х=1 — посторонний.

Б) х=1

Ответ: нет, есть еще один корен Х=2.

Какой вывод нужно сделать?

2) Найти общий знаменатель дробей в каждом из уравнений:

Ответ: 5х-2 или 2-5х

II. Поиск задач, математическими моделями которых являются дробные уравнения.

— Мы научились решать дробные уравнения.

А для чего они нужны? Какие задачи приводят к их появлению?

— Такие ,в которых одна величина выражается через другие при помощи дробного выражения.

Например: время =; ;

Cторона прямоугольника=;

;

и другие.

Итак, вы могли убедиться, что людям разных профессий приходится иметь дело с задачами на дробно-рациональные уравнения.

И на свете нет профессий
Вы заметьте-ка
Где бы нам не пригодилась Ма-те-ма-ти-ка!

III. Решение задач + рисунок.

Проверим домашнюю задачу № 610. Поезд опаздывал на 1 час,чтобы приехать вовремя, увеличил скорость на 10 км/час на перегоне в 720 км. Найти скорость поезда по расписанию.

ХНа самом деле720Х+1072О

720х+7200-720х-х2-10х=0

Х₁=80 х₂= -90 (не удовлетворяет условию задачи).

80 км/час- скорость поезда по расписанию.

Вы решили эту задачу алгебраическим методом. Я предлагаю решить используя геометрический метод

2. Геометрический метод.

Экскурс в историю. Геометрический метод решения задач появился во времена Евклида ( 3 век до нашей эры) и использовался не только в геометрии, но и в алгебре. Развивалась геометрическая алгебра. В старинных индийских сочинениях этого времени доказательство или решение сводилось к чертежу, подписанному одним словом “Смотри!”. Решение алгебраической задачи геометрическим методом осуществляется в три этапа:

1) построение геометрической задачи, то есть перевод ее на язык геометрии,

2) решение получившейся геометрической задачи,

3) перевод полученного ответа с геометрического языка на естественный.

АВ=х –скорость поезда по расписанию (км/час).

АД – время движения поезда по расписанию (ч).

SАВСД = АВ х АД =720

Так как поезд увеличил скорость на 10 км/час, то прибавим к отрезку АВ отрезок ВЕ, условно изображающий 10 км/час. C увеличенной скоростью поезд прошел весь путь на 1 час быстрее, поэтому вычтем из отрезка АД отрезок ДК, условно изображающий 1 час.

S AEFK=SАВСД =720

S1+S3=S2+S3 —> S1=S2. S1 = Х и S2 =10 х EF.

Получили, что используя что S 1=S2 получим уравнение:

Решив это уравнен мы узнаем, что скорость поезда по расписанию была 80 км/час

Уравнения могут быть такими:

Обратите внимание, что переход к квадратному уравнению от первого и последнего уравнений осуществляется быстрее, чем в случае с другими составленными уравнениями.

IV.Физкультминутка (упражнение для глаз).

V. Задача ( ЕГЭ) В9.

Одна мастерская должна была изготовить 420 деталей, другая, за тот же срок 500 деталей. Первая выполнила свою работу на 4 дня раньше срока, а вторая на 7. Сколько деталей в день изготовляла вторая мастерская, если известно, что ежедневно она изготовляла на 5 деталей больше, чем первая?

— О чем идет речь в задаче? (О двух мастерских)

— Значит имеем: 1 и 2 мастерские

— Чем занимались эти мастерские ?

— Что спрашивается в задаче?

Пусть х (х>0)l деталей в день изготавливала П мастерская, тогда 1 изготавливала (Х-5) деталей в день. Сколько дней работала каждая мастерская?

— Какая из них быстрее справилась с работой?

— На сколько? (На 3 дня раньше чем 1 мастерская)

Детали	Количество деталей в день	Сколько дней работала	Справились раньше
1 мастерская	420	(х-5)		на 4 дня
П мастерская	500	Х		На 7 дней

Получим уравнение х(х-5)

420х-500х +2500-3х?+15х =0

Х ₁ =

Х₂= (не удовлетворяет условию задачи)

— Значит 2 мастерская изготавливала в день 20 деталей.

Ответ: 20 деталей.

VI. Домашнее задание: (заранее написать на доске) № 609.

(Придумать задачу по уравнению и решить ее )

VII. Самостоятельно решить задачу № 615.

12(Х+10)+12Х-(х 2 +10Х)=0

12Х+120+12Х-х 2 -10Х=0

Х 2 -14Х-120=0 Д=196+480=676=26? Х₁=

Один из рабочих выполнит работу за 20 дней, а другой за 30 дней. Ответ: 20 дней и 30 дней.

Итог урока: Общеизвестно высказывание: “Решение математической задачи можно сравнить со взятием крепости”.

После данного урока решение большинства задач, я надеюсь,со взятием крепости уже не ассоциируется. Вы согласны со мной, ребята?

То интересна, то сложна.
Получается задача —
Радуется душа.

Пусть вам будут по плечу любые задачи. Успехов!

Спасибо за урок!

Алгебра. 8 класс

Тема: Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Рассмотрим задачу №1.
При совместной работе двух программистов программа была написана за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому программисту отдельно для написания программы, если первому программисту для этого требуется на 5 часов больше, чем второму?
Составим таблицу с данными по основным величинам: производительность (скорость работы), время и работа.

Запишем уравнение, отражающее производительность при совместной работе двух программистов
1/(x + 5) + 1/x = 1/6
По смыслу задачи х ≠ 0 и х ≠ 5. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей 6х(х + 5)
(1 • 6x(x + 5))/(x + 5) + (1 • 6x(x + 5))/x = (1 • 6x(x + 5))/6
После преобразований, решим уравнение
6x + 6(x + 5) = x(x + 5)
6x + 6x + 30 = x 2 + 5x
x 2 — 7x — 30 = 0
x₁ = 10; x₂ = -3
Значение –3 не подходит по смыслу задачи, значит, второй программист напишет программу за 10 часов, а первый потратит на 5 часов больше, то есть 15 часов. t₁ = 15ч; t₂ = 10ч.
Рассмотрим задачу №2.
В лимонад добавили 150 граммов воды. В результате концентрация сахара в лимонаде уменьшилась на 3%. Определим первоначальную массу лимонада, если известно, что в нём содержалось 65 граммов сахара.
Основные величины задачи: масса лимонада, масса сахара и концентрация сахара. Составим таблицу

Запишем уравнение
65/x • 100% — 65/(x + 150) • 100% = 3%
По смыслу задачи х ≠ 0 и х ≠ –150. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей х(х + 150)
(65 • x(x + 150))/x • 100% — (65 • x(x + 150))/(x + 150) • 100% = 3% • x(x + 150)
После преобразований, решим уравнение
6500(x + 150) — 6500x = 3x(x + 150)
6500x + 6500 • 150 — 6500x = 3x 2 + 450x
3x 2 + 450x — 6500 • 150 = 0
x 2 + 150x — 6500 • 50 = 0
x₁ = 500; x₂ = -650
Значение –650 не подходит по смыслу задачи, значит, первоначальная масса лимонада 500 граммов.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Восстановите порядок действий при решении дробного рационального уравнения.