Решение задач с помощью дробных уравнений 9 класс

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений табличным методом

Разделы: Математика

Математика в наши дни проникает во все сферы жизни. Овладение практически любой профессией требует тех или иных знаний по математике. Особое значение в этом смысле имеет умение смоделировать математически определённые реальные ситуации. Данное умение интегрирует в себе разнообразные специальные умения, адекватные отдельным элементам математических знаний, их системам, а также различные мыслительные приёмы, характеризующие культуру мышления.

В школьной математике знакомство с математическим моделированием основано, прежде всего, на решении текстовых задач. Текстовая задача несет в себе важные элементы математического моделирования. Решая ее, учащийся некие производственные, экономические, житейские связи зашифровывает с помощью математических символов, придавая им абстрактную математическую форму. Решая уравнения, учащийся расшифровывает результат, согласуя его со здравым смыслом. Вот почему решению текстовых задач, этому важнейшему мостику между математикой и ее приложениями должно уделяться особое внимание. При этом представляется, что техника решения текстовых задач может отрабатываться на любых задачах. Было бы наивным думать, что задача на движение, начинающаяся словами «Два автомобиля:» непременно предназначена для будущих водителей, а для школы со спортивным уклоном она должна начинаться словами «Два лыжника:».

Применение на практике различных задач на составление уравнений позволяет создавать такие учебные ситуации, которые требуют от учащегося умения смоделировать математически определённые физические, химические, экономические процессы и явления, составить план действия в решении реальной проблемы. Практика последних лет говорит о необходимости формирования умений решения задач на составление уравнений различных типов ещё и в связи с включением их в содержание ГИА и ЕГЭ.

Однако, анализ образовательной практики по данному направлению говорит о том, что значительная часть учащихся испытывает серьёзные затруднения при решении задач на составление уравнений. В большей степени это связано с недостаточной сформированностью у учащихся умения составлять план действий, алгоритм решения конкретной задачи, культурой моделирования явлений и процессов. Большинство учащихся решают такие задачи лишь на репродуктивном уровне.

Решению текстовых задач предшествует достаточно долгое время, отводимое на отработку решения уравнений. Начиная с 8 класса, как только выучены дробные рациональные выражения, решения задач по алгебре практически все сводятся к решению дробных рациональных уравнений, которые, в свою очередь, включают чаще всего решение квадратных уравнений.

В 8 классе решение задач с помощью дробных рациональных уравнений как показывает опыт эффективнее решать табличным методом, так как он является более наглядным, что важно для подготовки к ГИА в 9 классе.

Все задачи, решаемые с помощью дробных рациональных уравнений, можно разделить на несколько групп:

• Задачи на движение по местности.
• Задачи на движение по воде.
• Задачи на работу.
• Задачи на нахождение дробей и т.д.

Начинать обучение следует с простых задач, условия которых полностью соответствуют названиям основных типов, и сводящихся к решению дробных рациональных уравнений. Затем можно приступать к решению более сложных задач. Рекомендуется подобрать разноуровневые задачи по каждому типу, что дает возможность работать со школьниками разных математических способностей.

Мы стараемся научить детей строить таблицы с данными величинами задачи, слева обозначаются объекты (автомобили, лодки, пешеходы, самолеты и т.д.), сверху в колонках — величины, характеризующие данную задачу, и обязательно единицы их измерения. И дети понимают, что из трех величин, зная две, всегда можно записать третью.

Приведем пример оформления задачи:

Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 120км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 10 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?

Пусть км/ч — скорость автобуса, тогда составим и заполним таблицу:

Скорость (км/ч)	Время (ч)	Путь (км)
Автобус
Такси

Т.к. по условию задачи пассажир опоздал на автобус на 10 минут =часа, то составим и решим уравнение:

, ОДЗ: >0 (т.к. скорость положительна)

720(х+10) — 720х= х (х+10),

Далее решая квадратное уравнение, получаем:

-90 — не входит в ОДЗ, значит, скорость автобуса равна 80 км/ч.

Основная часть класса уверенно заполняет таблицу и составляет уравнение.

В зависимости от выделенного времени, обучаемым может быть предложен широкий спектр мероприятий — семинары, кружки, факультативы, индивидуальные и групповые консультации и т.д., в рамках которых обучаемые более глубоко осваивают решение задач с помощью уравнений.

Практикум по решению задач табличным методом с помощью дробных рациональных уравнений можно провести во второй половине дня на групповой консультации по математике, что целесообразно в рамках школы полного дня.

Список предлагаемых задач:

Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на . Найдите эту дробь.

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова скорость течения реки?

Два комбайна убрали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому?

Моторная лодка прошла против течения 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

Расстояние 700 км экспресс проходит на 4 часа быстрее товарного поезда, так как его скорость больше скорости товарного поезда на 20 км/ч. Определите скорость каждого из поездов, если известно, что они движутся с постоянной скоростью без остановок.

Мастеру на выполнение заказа потребуется на 5 дней меньше, чем его ученику, но при совместной работе они выполнят заказ на 4 дня быстрее, чем мастер, работающий в одиночку. За сколько дней выполнит заказ мастер, работая в одиночку?

На участке пути длиной 300 км поезд увеличил скорость на 10 км/ч, в результате чего прибыл на конечную станцию на 1 час раньше, чем планировалось по расписанию. С какой скоростью должен был идти поезд по расписанию?

Прозаик хочет набрать на компьютере рукопись объемом 450 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 3 дня раньше. Сколько страниц в день планирует набирать прозаик?

Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 19 км. Пешеход прошел путь из А в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 4 часа. С какой скоростью пешеход шел на спуске, если скорость его движения на подъеме меньше скорости движения на спуске на 1 км/ч?

Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через 2 часа пути вынужден был сделать остановку на 10 минут. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Количество решаемых задач может меняться в зависимости от отводимого на это время.

Используемая литература:

Презентация 9 класс «Решение задач на работу с помощью дробно-рациональных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Урок на тему: «Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений»

Тест Вариант1 Вариант2

Ответы Вариант 1 5 и 2 1 и 18 4 и 5 15 и 2 -3 и -5 Вариант 2 8 и -1 9 и -2 5 и 10 3 и 10 -3 и 6

Выберите дробно-рациональные уравнения:

Сформулируйте алгоритм решения дробно-рациональных уравнений. 1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение. 2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель. 3. Решить получившееся целое уравнение. 4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель. 5. Записать ответ

Назовите общий знаменатель дробей, входящих в уравнения:

Этапы решения задач 1. Анализ условия задачи. 2. Составление математической модели. 3. Работа с составленной моделью 4. Анализ полученных результатов 5. Анализ решения задачи

Задача Заказ на 180 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 3 детали больше?

Составим таблицу: х 180 2 рабочий х+3 180 1 рабочий p, дет/ч t, ч А, деталей

Получили уравнение Ответ: 12 деталей в час делает второй рабочий

1 группа: Составить математическую модель к задаче и решить его Первая бригада может выполнить некоторую работу на 10 дней быстрее, чем вторая, а работая вместе они могли бы выполнить ту же работу за 12 дней. За сколько дней каждая бригада могла бы выполнить ту же работу?

2 группа. Определите уравнение к задаче и решите его Два подъемных крана, работая вместе, разгрузят баржу за 6 часов. За какое время может разгрузить баржу каждый из кранов, работая отдельно, один кран, если одному из них нужно для этого на 9 ч меньше, чем другому? А: ; Б: ; В: ; Г:

Поставьте в соответствие:

Найдите значения следующих величин при х=40: 9 ч общее время работы токарей, если каждый из них выполнит половину задания в одиночку 2 ч разность во времени работы токарей, если каждый выполнит все задание один ч время, за которое оба токаря вместе выполнят задание 8 ч время, за которое второй токарь сделает все задание один

Ещё задачи: №1. Сотрудницы Жанна и Снежанна вместе справляются с работой в три раза быстрее, чем одна Жанна, работая отдельно. Во сколько раз отличаются производительности труда сотрудниц? №2. При двух открытых кранах ванна набирается за 12 минут. Насколько дольше будет набираться ванна, если закрыть один из двух кранов, при условии что напор в нем на 25% больше напора в другом кране?

Домашнее задание: Задания на карточках.

СПАСИБО ЗА УРОК!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 579 494 материала в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 17.02.2019
• 1752
• 53

• 16.02.2019
• 691
• 1

• 13.02.2019
• 2189
• 1

• 13.02.2019
• 356
• 0

• 12.02.2019
• 2009
• 33

• 12.02.2019
• 317
• 2

• 11.02.2019
• 357
• 5

• 11.02.2019
• 231
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 17.02.2019 770
• PPTX 285 кбайт
• 56 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Власова Александра Павловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 3 года и 3 месяца
• Подписчики: 3
• Всего просмотров: 24747
• Всего материалов: 25

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

В Курганской области дистанционный режим для школьников продлили до конца февраля

Время чтения: 1 минута

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Конспект+ презентация по теме»Решение задач с помощью дробных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Решение задач с помощью уравнений.doc

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 34

ИМЕНИ ГЕРОЯ СОВЕТСКОГО СОЮЗА ГЕОРГИЯ ИВАНОВИЧА ХЕТАГУРОВА

Конспект урока по алгебре
в 9 классе

«Решение задач с помощью уравнений»

Мильдзихова Индира Карсановна

(УМК Дорофеев Г.В. и др.)

Продолжить формирование фактических знаний и умений решать задачи с помощью уравнений.

Развитие наглядно-образного мышления, практических и трудовых умений, навыков учебного труда.

Привитие навыков коллективного труда, сотрудничества, общения.

I . Организационный момент.

II . Этап целеполагания. На предыдущих уроках мы решали целые и дробные уравнения. На сегодняшнем уроке мы попытаемся применить полученные знания к решению задач. Тема нашего урока «Решение задач с помощью уравнений» ( слайд 1 ).

Учащиеся записывают: число, классная работа, тема.

Для успешности нам необходимо вспомнить некоторые моменты.

III . Этап актуализации знаний. Устная работа (фронтальная). Ответить на вопросы:

Как определяется скорость движения по течению? ( слайд 3 ):

Как определяется скорость движения против течения?

Как найти время, если известны путь и скорость?

Катер прошёл по озеру 10 км за 0,5 ч. Какова скорость катера?

Катер прошёл по озеру км, двигаясь со скоростью 15 км/ч. За какое время катер прошёл км? ( слайд 4 )

Катер двигался по озеру со скоростью 18 км/ч. С какой скоростью двигался бы он против течения реки, скорость которой 3 км/ч?

IV . Изучение нового материала. Можно ли также легко решить следующую задачу:

Ещё одна задача.

Велосипедист проехал 4 км по участку шоссе, на котором шёл ремонт, и 6 км – по уже отремонтированному участку. Его скорость на первом участке была на 4 км/ч меньше, чем на втором. На весь путь у него ушёл 1 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке? (Ответы учащихся).

Анализ задачи (заполняется таблица, на экране слайд 6 ).

Какой процесс рассматривается в задаче?

Какие объекты участвуют в движении?

Какие величины рассматриваются?

скорость, время, расстояние

Сколько ситуаций описано в задаче?

Какова первая ситуация?

на первом участке

Какова вторая ситуация?

на втором участке

Укажите величину, которую необходимо найти?

скорости движения на первом участке и на втором

Что же требуется, чтобы изложить рассмотренные ситуации на математическом языке? ( Нужно составить уравнение, а для этого как-то обозначить неизвестную величину. Обозначим через – скорость движения на втором участке ).

Я предлагаю вам один из способов составления уравнения по условию задачи с помощью таблицы.

1. Заполняем таблицу ( слайд 7 ):

2. Составляем уравнение ( слайд 8 ):

3. Решаем уравнение у доски (сильный ученик).

4. Анализ записи ответа (фронтально).

Попытайтесь выделить основные этапы решения задач с помощью уравнений ( слайд 9 ):

Решение полученного уравнения.

Выбор верного ответа. ( 8 – является, -2 – не является, т.к. не удовлетворяет условию задачи)

V . Первичное закрепление (работа в парах).

Поработаем в парах. Выполним задачи из учебника стр. 153: № 417(а), № 419(а).

Решаем задачу, составив уравнение.

VII . Домашнее задание: п.3.4, № 416(а) и № 417(б)

VIII . Подведение итогов.

Выбранный для просмотра документ решение задач с помощью уравнений.pptx

Описание презентации по отдельным слайдам:

«Решение ЗАДАЧ с помощью УРАВНЕНИЙ» УРОК В 9 КЛАССЕ Учитель Мильдзихова И.К. МБОУ СОШ №34 им. Г.И. Хетагурова

Место темы в системе знаний по предмету. Изучение темы «Решение задач с помощью уравнений» занимает важное место в курсе математики. Это объясняется тем, что задачи широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач, при решении ГИА и ЕГЭ, а частности В11.

Цели и задачи. Образовательные: Продолжить формирование фактических знаний и умений решать задачи с помощью уравнений. Развивающие: Развитие наглядно-образного мышления, практических и трудовых умений, навыков учебного труда. Воспитательные: Привитие навыков коллективного труда, сотрудничества, общения.

Устная работа Как определяется скорость движения по течению? Как определяется скорость движения против течения? Как найти время, если известны путь и скорость?

Устная работа Катер прошёл по озеру 10 км за 0,5 ч. Какова скорость катера? Катер прошёл по озеру X км, двигаясь со скоростью 15 км/ч. За какое время катер прошёл X км? Катер двигался по озеру со скоростью 18 км/ч. С какой скоростью двигался бы он против течения реки, скорость которой 3 км/ч?

Изучение нового материала.

Изучение нового материала. Задача. Велосипедист проехал 4 км по участку шоссе, на котором шёл ремонт, и 6 км – по уже отремонтированному участку. Его скорость на первом участке была на 4 км/ч меньше, чем на втором. На весь путь у него ушёл 1 ч. С какой скоростью ехал велосипедист на каждом участке?

Изучение нового материала. Рассмотрим ещё один из способов составления уравнения по условию задачи с помощью таблицы. 1. Заполняем таблицу: V, км/ч t, ч S, км 1 ситуация x 4 км 2 ситуация x+4 6 км

Изучение нового материала. 2. Составляем уравнение + = 1 3. Решаем уравнение 4. Анализ записи ответа (фронтально).( 8 – является, -2 – не является, т.к. не удовлетворяет условию задачи) + = 1

Вывод. Основные этапы решения задач с помощью уравнений Составление уравнения. Решение полученного уравнения. Выбор верного ответа.

Первичное закрепление Поработаем в парах. Выполним задачи из учебника стр. 153: № 417(а), № 419(а). Решаем задачу, составив уравнение.

Домашнее задание п.3.4, № 416(а) и № 417(б) Спасибо за внимание! Удачного дня!

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 579 494 материала в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 12.02.2016
• 4672
• 19

• 12.02.2016
• 347
• 1

• 12.02.2016
• 6449
• 17

• 12.02.2016
• 697
• 2

• 12.02.2016
• 441
• 1

• 12.02.2016
• 322
• 0

• 12.02.2016
• 1329
• 1

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 12.02.2016 1403
• RAR 525.7 кбайт
• 101 скачивание
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Мильдзихова Индира Карсановна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 4
• Всего просмотров: 16185
• Всего материалов: 11

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Онлайн-конференция о создании школьных служб примирения

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.