Урок алгебры для 8-го класса по теме «Решение задач с помощью квадратных уравнений»
Разделы: Математика
Тема урока: Решение задач с помощью квадратных уравнений.
Цели урока:
- Закрепить навыки решения текстовых задач с помощью квадратных уравнений;
- Развивать у учащихся внимание при чтении условия задачи и выборе способа решения уравнения;
- Воспитание ответственности и коллективизма у учащихся.
Оборудование: мультимедийный проектор, экран, графопроектор, шесть конвертов с шестью карточками, на каждой из которых написана задача.
Структура урока:
- Организационный момент: замена тетрадей, учащиеся рассаживаются по группам: 6 групп по 5-6 человек в каждой, группы составлены разноуровневые– 3 мин.
- Мотивация учебной деятельности через осознание учащимися практической значимости применяемых знаний и умений, сообщение темы, цели и задач урока -2 мин
- Актуализация изученного материала:
- Вопросы:
- Какое уравнение называется квадратным?
- Что показывает дискриминант?
- Формулы корней квадратного уравнения?
- Задания для устного решения Презентация 1 – 7 мин:
- Решить уравнения;
- Найти натуральный корень уравнения.
- Решение задач (работа в группах):
Каждой группе предлагается конверт с 6 задачами. Набор задач у каждой группы одинаков. Каждый ученик выбирает себе задачу и решает ее. В первую очередь выбирать задачи № 1-5. Возможно советоваться с ребятами из своей группы. Учитель контролирует процесс и, в случае необходимости, оказывает помощь – 7 мин.
От каждой группы выходят по 1 человеку (те, кто раньше решил свою задачу) и оформляют свои решения на доске (3 чел.), на пленках для графопроектора (2 чел). Учитель контролирует, чтобы задачи были различны (задачи 1-5).
Весь класс сверяет свои решения с теми, которые представлены на доске. Те задачи, которых у учеников нет в тетрадях, они записывают. Для удобства текст проверяемой на доске задачи представлен в виде слайдов Презентации 2.
В ходе проверки задач, записанных на доске, остальные ребята, решавшие эти же задачи, вносят свои коррективы, если необходимо. Задачу 6 проверяет учитель в тетрадях, если есть время, то – разбор на доске. (15 мин.)
- Подведение итогов урока, обобщение и систематизация результатов выполненных заданий. (4 мин.)
- Постановка домашнего задания: № 656, 651, составить свою задачу, аналогичную одной из решенных в классе, и решить ее. (2 мин)
Задачи (в порядке разбора их у доски):
1. Несколько подруг решили обменяться фотографиями на память. Чтобы каждая девочка получила по одной фотографии каждой своей подруги, потребовалось 30 фотографий. Сколько было подруг?
Пусть было х подруг, тогда каждая должна получить по (х – 1) фотографии. Всего фотографий было х(х – 1), что по условию задачи равно 30. Составим и решим уравнение:
х(х – 1) = 30
х 2 – х – 30 = 0,
D = 1 + 120 = 121,
х = ,
х1 = – 5 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х2 = 6.
По смыслу ясно, что х – натуральное число, и существует только два последовательных натуральных числа, произведение которых равно 30. Итак, х = 6. 6 подруг обменивались фотографиями.
2. Несколько приятелей решили сыграть турнир по шахматам. Кто-то из них подсчитал, что если каждый сыграет с каждым по одной партии, то всего будет сыграно 36 партий. Сколько было приятелей?
Решение:
Пусть х приятелей участвует в турнире, тогда каждый из них сыграет (х – 1) партию, но в этом случае партия каждой пары учтена дважды, значит всего было сыграно х(х – 1) партий, что по условию задачи равно 36. Составим и решим уравнение:
х(х – 1) = 36,
х(х – 1) = 72,
х 2 – х – 72 = 0,
D = 1 + 288 = 289,
х = ,
х1 = 9,
х2 = – 8 – не удовлетворяет смыслу задачи.
Рассуждения, аналогичные задаче 1.
9 приятелей участвовало в турнире.
Ответ: 9 приятелей.
3. Задача Диофанта (III в.)
Найти два числа. Зная, что их сумма равна 20, а произведение – 96.
Пусть х – одно из чисел, тогда второе число – (20 – х). Значит х(20 – х) – произведение этих чисел, что по условию задачи равно 96. Составим и решим уравнение:
х(20 – х) = 96,
20х – х 2 – 96 = 0,
х 2 – 20х + 96 = 0,
= 100 – 96 = 4,
х = 10 + 2,
х1 = 12,
х2 = 8.
12 – первое число, тогда 20 – 12 = 8 – второе число;
8 – первое число, тогда 20 – 8 = 12 второе число.
4. Решение Диофанта (показывает учитель):
Пусть числа 10 + х и 10 – х (сумма их равна 20), тогда (10 + х)(10 – х) – их произведение, что равно 96. Имеем:
(10 + х)(10 – х) = 96,
100 – х 2 = 96,
х 2 = 4.
х = + 2.
В обоих случаях искомые числа 12 и 8.
5. Задача Бхаскары, Индия, XII в.
Цветок лотоса возвышается над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся под водой. Определите глубину озера.
Пусть глубина озера х ф., тогда длина стебля (х + ) ф. Учитывая, что цветок рос вертикально, составим и решим уравнение:
х 2 + 22 = (х + ) 2
х 2 + 4 = х 2 + х +
х = 3
3 фута – глубина озера.
Ответ: 3 ф.
6. В море встретились два корабля. Один из них шел в восточном направлении, другой – в северном. Скорость первого на 10 узлов больше, чем второго. Через 2 часа расстояние между ними оказалось равным 100 милям. Найдите скорость каждого корабля.
Пусть х узлов – скорость второго корабля, тогда (х – 10) узлов – скорость первого корабля, за 2 часа они пройдут 2х и 2(х – 10) миль соответственно, т.к. они идут в перпендикулярных направлениях, то, используя теорему Пифагора, составим и решим уравнение:
(2х) 2 + (2(х + 10)) 2 = 100 2
4х 2 + 4(х 2 + 20х + 100) = 10000
2х 2 + 20х + 100 = 2500
х 2 + 10х + 50 – 1250 = 0
х 2 + 10х – 1200 = 0
= 25 + 1200 = 1225
х = – 5 + 35
х1 = – 40 – не удовлетворяет смыслу задачи,
х2 = 30
30 узлов – скорость корабля, идущего на север, тогда 30 + 10 = 40 (узлов) – скорость корабля, идущего на восток.
Ответ: 30 узлов и 40 узлов.
7. Два равных прямоугольника сложили так, что они образуют букву Т и их общей частью является меньшая сторона одного из прямоугольников. Периметр образовавшейся фигуры равен 42 м, а площадь каждого прямоугольника равна 27 м 2 . Найти стороны прямоугольников.
P = 3b + 3a + (b – a) = 4b + 2a, a = – 2b, S = ab
Пусть b см длина прямоугольника, тогда ширина прямоугольника ( – 2b) м, т.к. P = 42 м, то длина – (21 – 2b)м. Площадь прямоугольника b(21 – 2b), что по условию равно 27 м 2 . Составим и решим уравнение.
b(21 – 2b) = 27
21b – 2b 2 – 27 = 0
2b 2 – 21b + 27 = 0
D = 441 – 4 * 2 * 27 = 441 – 216 = 225
b =
b1 = 9
b2 = 1
Если 9 м – длина, тогда 21 – 2 * 9 = 3(м) – ширина.
Если 1м – длина, тогда 21 – 2 * 1 = 18(м) – ширина, что не удовлетворяет смыслу задачи.
Алгебра. 8 класс
Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений.
Содержание модуля (краткое изложение модуля):
Задача №1.
Иван Иванович приехал в магазин покупать изгородь для своего дачного участка, имеющего прямоугольную форму, но забыл его размеры. Какой длины изгородь надо купить Ивану Ивановичу, если единственное, что он помнит, это площадь участка – 750 м 2 , и то, что длина участка на 5 метров больше ширины?
Пусть ширина участка будет х. Чаще всего удобнее брать за х меньшую из неизвестных величин. Тогда длина участка составит х + 5.
Площадь прямоугольника S = х • (x + 5)
x • (x + 5) = 750,
x 2 + 5x — 750 = 0.
Найдем дискриминант этого уравнения и его корни.
a = 1, b = 5, c = -750
D = b 2 — 4ac
D = 5 2 — 4 • 1 • (-750) = 25 + 3000 = 3025 = 55 2
x1,2 = (-5 ± √3025)/(2 • 1), x1 = (-5 — 55)/2 или x2 = (-5 + 55)/2.
x1 = -30 или x2 = 25
Первый из найденных корней является посторонним по смыслу задачи, значит, ширина участка будет равна 25 м. Следовательно, длина окажется равной 25 + 5 = 30 м.
Теперь Иван Иванович может рассчитать периметр своего участка.
P = 2 • (25 + 30) = 110 м
Необходимо купить 110 м изгороди.
Задача №2.
Известно, что в прямоугольном треугольнике один из катетов на 4 сантиметра меньше гипотенузы, а другой – на 2 сантиметра меньше гипотенузы. Найдем длину гипотенузы.
Пусть гипотенуза треугольника будет равна х см. Тогда бОльший катет будет равен х – 2 см, а меньший х – 4 см.
По теореме Пифагора
x 2 = (x — 2) 2 + (x — 4) 2
Упростим полученное уравнение, используя формулу квадрат разности.
x 2 = x 2 — 4x + 4 + x 2 — 8x + 16
x 2 = 2x 2 — 12x + 20
x 2 — 12x + 20 = 0
Решив полученное квадратное уравнение, найдем два корня.
x1 = 2, x2 = 10
2 является посторонним корнем по смыслу задачи, т. к. в этом случае один из катетов получится равным 0, а второй будет отрицательным. Значит, гипотенуза треугольника равна 10 см, а его катеты 8 см и 6 см.
Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.
НАШИ ПАРТНЁРЫ
© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»
#115 Урок 1. Квадратные уравнения. Дискриминант. Алгебра 8 класс.
Квадратные уравнения. Какое квадратное уравнение называется полным? Формула дискриминанта и корней полного квадратного уравнения. Уравнения с дробями. Как избавиться от всех знаменателей сразу. Алгебра 8 класс. Примеры с решением и объяснением. Видеоуроки по математике. Устранение пробелов в знаниях. Подготовка к ЗНО ( ВНО ) по математике. Подготовка к ЕГЭ, ДПА ( ГИА ), ОГЭ по математике.
#116 Урок 2. Неполные квадратные уравнения. Решение через дискриминант. Алгебра 8 класс.Математика.
Квадратные уравнения. Какое квадратное уравнение называется полным? Какое квадратное уравнение называется неполным? Формула дискриминанта и корней полного квадратного уравнения. Как решать неполное квадратное уравнение через дискриминант. Алгебра 8 класс. Примеры с решением и объяснением.
#117 Урок 3. Квадратные уравнения. Текстовые задачи. Алгебра 8 класс.
Решение текстовых задач составлением квадратного уравнения. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.
- Пример 1: Найдите три последовательных целых числа, если удвоенный квадрат первого из них на 26 больше произведения второго и третьего чисел.
- Пример 2: Найдите четыре последовательных четных числа, если утроенное произведение второго и третьего чисел на 344 больше произведения первого и четвертого.
- Пример 3: Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 23 дм, а диагональ 37 дм.
- Пример 4: Сколько сторон имеет многоугольник, если в нем можно провести 77 диагоналей.
Задачи с объяснением. Видеоуроки по математике. Устранение пробелов в знаниях. Подготовка к ЗНО ( ВНО ) по математике. Подготовка к ЕГЭ, ДПА ( ГИА ), ОГЭ по математике.
#118 Урок 4 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.
Квадратные уравнения. Параметры. Алгебра 8 класс. Что такое параметр? Понятие параметра в математике. Определение параметра: Если в уравнение или неравенство наряду с неизвестной величиной входят неизвестные, но фиксированные числа, обозначаемые буквами, то они называются параметрами. Пример: 10х2 +4х+b=0; х — переменная; b — параметр; В уравнениях (неравенствах) коэффициенты при неизвестных или свободные члены заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами называются параметрами. Примеры с решением и объяснением.
- Пример 1: При каком значении а, число 1/3 является корнем уравнения.
- Пример 2: При каком значении b имеет единственный корень уравнение? Условие единственности корня. Видеоуроки по математике. Устранение пробелов в знаниях. Подготовка к ЗНО ( ВНО ) по математике. Подготовка к ЕГЭ, ДПА ( ГИА ), ОГЭ по математике.
#119 Урок 5. Параметры. Решение квадратных уравнений с параметрами. Алгебра 8 класс. Математика.
Параметры. Решение квадратных уравнений с параметрами. Алгебра 8 класс. Квадратные уравнения. Примеры с решением и объяснением.
- Пример 1: Решить квадратное уравнение с параметром, если коэффициент при х2 фиксированное число.
- Пример 2: Решить квадратное уравнение с параметром, если коэффициент при х2 записано с использованием параметра.
#120 Урок 6. Квадратные уравнения с модулем. Алгебра 8 класс. Решить уравнение. Модуль. Математика.
Решение квадратных уравнений с модулем. Алгебра 8 класс. Примеры с решением.
- Пример 1: Решить квадратное уравнение с модулем, раскрыв модуль по определению.
- Пример 2: Решить квадратное уравнение с модулем, раскрыв модуль, используя свойства модуля.
Квадратные уравнения с модулем 8 класс; квадратное уравнение под модулем; квадратные уравнения с модулем примеры; решение квадратных уравнений с модулем 8 класс; квадратные уравнения с модулем примеры решения; решение квадратных уравнений содержащих модуль; как раскрыть модуль квадратного уравнения. Как решать квадратное уравнение с модулем. Как раскрыть модуль, используя его определение. Определение модуля. Свойства модуля. Решить квадратное уравнение. Решить через дискриминант. Сделать проверку. Посторонние корни. Как убрать посторонние корни. Математика. Образование. Подготовка к егэ, егэ математика, видео уроки, подготовка к зно, вно математика. Видео уроки алгебра, алгебра видеоуроки, онлайн урок, математика видео уроки, онлайн урок, инфо урок, огэ, огэ математика. Дистанционное обучение.
#121 Урок 7. Решение квадратных уравнений с использованием свойств функций. Алгебра 8 класс.
Квадратные уравнения. Использование свойств функций для решения квадратных уравнений. Оценка левой и правой частей уравнения. Сумма нескольких неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда все функции одновременно равны нулю. Примеры с решением.
- Пример 1: Решить иррациональное уравнение, приводящееся к квадратному, используя свойства функций.
- Пример 2: Решить уравнение, преобразовав условие по формулам сокращенного умножения и оценив левую и правую части уравнения.
- Пример 3: Решить уравнение с корнем и модулем.
#122 Урок 8. Решение квадратных уравнений с учетом ОДЗ. Область определения. Алгебра 8 класс.
Область определения функции, 4 случая: многочлен, дробь, квадратный корень и квадратные корень в знаменателе. ОДЗ дроби. ОДЗ корня. ОДЗ уравнения. Область определения квадратного корня. Область определения квадратного дроби. Область определения квадратного корня в знаменателе. Что такое область определения. Область определения теория. Область определения, табличка. Примеры с решением. Алгебра 8 класс. Решить квадратное уравнение с учетом ОДЗ. ОДЗ квадратного уравнения; как найти одз в квадратном уравнении; одз корня квадратного уравнения; 2 квадратных уравнения; решение квадратных уравнений; произведение квадратных уравнений; 3 квадратных уравнения. Математика. Образование. Подготовка к егэ, егэ математика, видео уроки, подготовка к зно, вно математика. Видео уроки алгебра, алгебра видеоуроки, онлайн урок, математика видео уроки, онлайн урок, инфо урок, огэ, огэ математика. Дистанционное обучение.
#62 Урок 9. Решение квадратных и кубических уравнений разложением на множители.
Как решить квадратное или кубическое уравнение, разложив его на множители?
- Разложить на множители (вынести общий множитель за скобки, посмотреть формулы, посмотреть способ группировки).
- Приравнять каждый множитель к нулю.
- Решить полученные уравнения.
Формулы сокращенного умножения. Разность квадратов, разность кубов, квадрат разности.Примеры с решением. Решение кубических уравнений. Уравнение четвертой степени. Как решить уравнение?
- Пример 1: Решить кубическое уравнение разложением на множители.
- Пример 2: Решить кубическое уравнение, используя формулы сокращенного умножения.
- Пример 3: Решить кубическое уравнение, используя способ группировки.
- Пример 4: Решить уравнение 4-й степени разложением на множители.
http://resh.edu.ru/subject/lesson/1977/main/
http://math.xfresh.info/index.php/8-klass/algebra-8-klass/38-kvadratnye-uravneniya