Решение задач с помощью линейных уравнений тренажер

Решение задач с помощью уравнений .Зачёт. 6 кл
тренажёр по алгебре (6 класс) на тему

Решение задач с помощью уравнений .Зачёт. 6 кл

Скачать:

Предварительный просмотр:

Приложение 2

Зачёт по теме «Решение задач с помощью уравнений»

1) 0,4у – 2,6 = 0,8у+1,4

3) 3(4 – 3х) – 2 = -10(0,9х — 1)

4) В двух книгах 70 страниц. В первой книге страниц в 6 раз больше, чем во второй. Сколько страниц в каждой книге?

Кол-во стр.

I кн _____________

5) В первом бидоне краски в 2 раза больше, чем во втором. Если из первого бидона взять 2 л краски, а во второй добавить 5 л краски, то в обоих бидонах станет поровну. Сколько краски было в каждом бидоне первоначально?

1) 0,2(5у – 2) = 0,3(2у – 1) – 0,9

2) Скорость автобуса на 26 км/ч меньше скорости легкового автомобиля. Автобус за 5 ч проходит такой же путь, как легковой автомобиль за 3 ч. Найдите скорость автобуса.

3) За 9 часов по течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11 часов против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.

4) Ледокол три дня пробивался через ледяное поле. В первый день прошел ½ всего пути, во второй день – 0,6 оставшегося пути, а в третий день – остальные 24 км. Найти длину пути, пройденного ледоколом за три дня. (120)

Пусть весь путь – х км

Длина пути (км)

II д 0,6 (х – 1/2х) х

5) В трех гаражах 460 машин. Число машин в первом гараже составляет 75% числа машин во втором гараже, а в третьем гараже в 1,5 раза больше машин, чем в первом. Сколько машин помещается в каждом гараже? (120,160,180)

1) Свитер, шапку и шарф связали из 1 кг 200 г шерсти. На шарф потребовалось на 100 г шерсти больше, чем на шапку, и на 400 г меньше, чем на свитер. Сколько шерсти израсходовали на каждую вещь?

2) Расстояние от пункта А до пункта В равно 116 км. Из А в В одновременно отправляются велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста 12 км/ч, скорость мотоциклиста 32 км/ч. Через сколько часов велосипедисту останется проехать в 4 раза больший путь, чем мотоциклисту? (3)

3) Три класса школьников сажали деревья. Первый класс посадил 0,35 всех деревьев, второй класс – 3/5 оставшихся деревьев, а третий класс – остальные 260 деревьев. Сколько всего деревьев посадили три класса? (1000)

4) Моторная лодка, собственная скорость которой 12км/ч, прошла по течению реки расстояние между двумя пристанями за 6 ч, а обратный путь она совершила за 8,4 ч. За сколько времени пройдет это же расстояние плот, пущенный по течению реки? (2, 41)

5) По плану бригада должны была выполнить заказ за 10 дней. Но фактически она перевыполняла норму на 27 деталей в день и за 7 дней работы не только выполнила предусмотренное планом задание, но и изготовила сверх плана 54 детали. Сколько деталей в день должна была изготовить бригада по плану? (45)

Решение задач с помощью уравнений

Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.

Введение

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.

Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.

Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.

Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

1. Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
2. Решают уравнение.
3. Истолковывают результат.

Примеры решений

Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?

Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.

Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.

Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)

Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7\cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7\cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.

Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.

Монет в мешке: $48$

Монет в сундуке: $48\cdot 3=144$

Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?

Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.

Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.

Муки в первом мешке: $700\cdot 3=2100$ кг.

Муки во втором мешке: $700$ кг.

Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.

Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:

Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:

Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:

Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.

Картошки в первом мешке: $15\cdot 4=60$ кг.

Картошки во втором мешке: $15$ кг.

Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.

Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:

По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)

Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.

Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).

Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.

Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?

Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3\cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3\cdot 200$ кг.

По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:

$$x-50-3\cdot 150=1,5(x-3\cdot 200)$$

Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.

Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:

Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=\frac<15><10>=\frac<3><2>$.

Запишем с учётом перевода дробей и упростим:

Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:

Домножим обе части на 2 и получим ответ:

Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$

Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.

Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.

Задачи для самостоятельного решения

По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?

Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.

В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$

Ответ: Рабочие отработали 6 дней.

Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?

Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:

1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.

Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?

Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:

$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:

Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.

Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.

На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?

Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:

Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5\cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.

Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?

Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:

$$2x-10+0,3\cdot 2x-0,3\cdot 10=65$$

$$2x+0,3\cdot 2x=65+10+0,3\cdot 10$$

Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.

Тренажёр «Решение задач с помощью уравнений» .

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Решите задачи с помощью уравнения.

1. Вовка и Двое из ларца, одинаковых с лица, съели 4кг 400г мороженого причем, Двое из ларца, съели в 10 раз больше, чем Вовка. Сколько мороженого съели Двое из ларца и сколько досталось Вовке?

2. Мороженое содержит 7 частей воды, 2 части молочного жира и 2 части сахара. Сколько потребуется сахара и воды для приготовления мороженого, которое съели Вовка и Двое их ларца?

3. Площадь пещеры Кощея Бессмертного в 3 раза меньше площади хором Василисы Премудрой, поэтому для отопления хором Василисы требуется на 24м³ дров больше, чем для пещеры Кощея. Сколько кубометров дров требуется для отопления пещеры Кощея?

4. На одной стороне улицы деревни, в которой жил Емеля, в 2 раза больше домов, чем на другой. Когда на улице построили еще 12 домов, то всего стало 99 домов. Сколько домов было на каждой стороне улицы деревни, где жил Емеля?

5. В избушке Бабы-Яги в двух больших и пяти маленьких ларцах 130 кг сокровищ. Сколько сокровищ в каждом ларце, если вес большого ларца в 4 раза больше веса маленького?

6. Бронза, которой покрыты купола терема Василисы-Премудрой, содержит 42 части меди, 8 частей олова и 1 часть цинка. Какова масса бронзы, которая потребовалась для покрытия терема Василисы-Премудрой, если в ней олова меньше, чем меди, на 136кг?

7.-8. Маша задумала число, вычла его из 46, результат разделила на 5 и получила 6. Медведь тоже задумал число, увеличил его на 9, результат умножил на 6 и получил 282. Какие числа задумали Маша и Медведь?

9. Жар-птица повадилась воровать в саду яблоки. Во второй день она унесла в 4 раза больше, чем в первый, а в третий день – в 2 раза больше чем во второй. Сколько яблок Жар-птица унесла в третий день, если всего она унесла 39 яблок?

10. Заяц тащил капусту. По дороге он встретил Волка, который нес арбуз. Ноша волка в 3 раза тяжелее ноши Зайца. Какой груз нес Волк и какой Заяц, если ноша Зайца на 6 кг легче, чем ноша Волка?