Решение задач с помощью рациональных уравнений конспект

Конспект урока алгебры на тему «Решение задач с помощью рациональных уравнений»

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока алгебры на тему «Решение задач с помощью рациональных уравнений»»

Конспект урока алгебры на тему

«Решение задач с помощью рациональных уравнений»

Тип урока: урок открытия новых знаний

образовательная – формирование умений решать дробные рациональные уравнения; составлять уравнения по условию задачи, уметь проверять соответствие найденного решения условиям задачи; умение решать задачи прикладного характера с помощью дробных рациональных уравнений;

развивающая – развитие вычислительных навыков учащихся; развитие познавательных процессов, памяти, воображения, мышления, внимания, наблюдательности, сообразительности; расширение кругозора учащихся;

воспитательная – воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры; воспитание чувства ответственности перед товарищами, умение контролировать свои действия.

Методы обучения: эвристический, репродуктивный.

Формы обучения: фронтальная, парная, самостоятельная.

Учебно – информационное обеспечение: Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И. Нешков и др.–18-е изд. – М.: Просвещение, 2015. – 291 с.;

Организационный момент (1 мин).

Актуализация опорных знаний и способов действий (6 мин).

Изучение нового материала (15 мин).

Закрепление изученного материала (21 мин).

Домашнее задание (1 мин.)

Подведение итогов урока (1 мин).

Организационный момент (1 мин).

– Здравствуйте, ребята. Ещё начиная с начальной школы, вы учились решать задачи. Для этого с каждым годом вы обучались всё новым и новым методам и способам решения. Сегодня мы познакомимся с задачами, решение которых сводится к дробным рациональным уравнениям.

Актуализация опорных знаний и способов действий (6 мин).

– Эпиграфом нашего урока я взяла слова Генри Форда « Залогом успеха является, в первую очередь, хорошая подготовка»; они имеют отношение не только к предпринимательской деятельности, но и к учебной, в том числе и к изучению математики. Для того чтобы успешно решать задачи с помощью дробных рациональных уравнений, необходимо хорошо знать теорию решения этих самых уравнений. Поэтому повторим необходимые в дальнейшем понятия и формулы.

– Какие уравнения называются дробными рациональными? (рациональное уравнение, в котором хотя бы одна из частей является дробным выражением, называют дробным рациональным уравнением)

– Сформулируйте алгоритм решения дробных рациональных уравнений (найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; умножить обе части уравнения на общий знаменатель; решить получившееся уравнение; исключить проверкой из корней уравнения те, которые обращают в нуль общий знаменатель).

– Обратите внимание на доску, среди данных уравнений выберите то, которое не является дробным рациональным (3)

– При каких значениях переменной х уравнение не имеет смысла: (1)

всегда имеет смысл.

– Укажите общий знаменатель

Изучение нового материала (15 мин).

– Давайте сделаем вывод: итак, вы научились решать дробные рациональные уравнения. Решать эти уравнения вы научились не зря, а для решения большого аппарата задач.

– Как вы думаете, где можно применить данные уравнения? (на практике).

– Какова же тема урока? (решение задач с помощью рациональных уравнений).

– Сформулируйте цель урока (научиться решать дробные рациональные уравнения).

– Запиши число и тему урока в рабочую тетрадь.

– Перед нами стоит задача: совершенствовать навык составления уравнения по условию задачи и умение проверять соответствие найденного решения условиям задачи.

– Рассмотрим применение дробных рациональных уравнений при решении следующей задачи №1 из учебника на стр. 144.

Моторная лодка прошла 25 км по течению реки и 3 км против течения, затратив на весь путь 2 ч. Какова скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч?

– Для начала, давайте вспомним основные этапы решения задачи на составление уравнения. Нам известны три этапа. Какие это этапы?

Анализ условия, составление математической модели; 2. Работа с моделью; 3. Запись ответа).

– Возвращаемся к нашей задаче. Будем решать с помощью уравнения.

– Задачу будем оформлять при помощи таблицы.

– Оформим шапку таблица.

– Какие у на в задаче есть данные движения моторной лодки по реке? (по течению, против течения)

– Далее записываем путь, время и скорость.

– Пусть х км/ч – скорость скорость лодки в стоячей воде.

– Тогда скорость лодки по течению чему будет равна?

– Запишем в таблицу.

– А чему по условию задачи равен путь моторной лодки по течению и против течения? (25 км и 3 км)

– Тогда какое время будет у моторной лодки по течению реки? (25/(х+3)ч)

– А какое время будет против течения реки? (3/(х-3)ч)

Алгебра. 8 класс

Тема: Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Рассмотрим задачу №1.
При совместной работе двух программистов программа была написана за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому программисту отдельно для написания программы, если первому программисту для этого требуется на 5 часов больше, чем второму?
Составим таблицу с данными по основным величинам: производительность (скорость работы), время и работа.

Запишем уравнение, отражающее производительность при совместной работе двух программистов
1/(x + 5) + 1/x = 1/6
По смыслу задачи х ≠ 0 и х ≠ 5. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей 6х(х + 5)
(1 • 6x(x + 5))/(x + 5) + (1 • 6x(x + 5))/x = (1 • 6x(x + 5))/6
После преобразований, решим уравнение
6x + 6(x + 5) = x(x + 5)
6x + 6x + 30 = x 2 + 5x
x 2 — 7x — 30 = 0
x₁ = 10; x₂ = -3
Значение –3 не подходит по смыслу задачи, значит, второй программист напишет программу за 10 часов, а первый потратит на 5 часов больше, то есть 15 часов. t₁ = 15ч; t₂ = 10ч.
Рассмотрим задачу №2.
В лимонад добавили 150 граммов воды. В результате концентрация сахара в лимонаде уменьшилась на 3%. Определим первоначальную массу лимонада, если известно, что в нём содержалось 65 граммов сахара.
Основные величины задачи: масса лимонада, масса сахара и концентрация сахара. Составим таблицу

Запишем уравнение
65/x • 100% — 65/(x + 150) • 100% = 3%
По смыслу задачи х ≠ 0 и х ≠ –150. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей х(х + 150)
(65 • x(x + 150))/x • 100% — (65 • x(x + 150))/(x + 150) • 100% = 3% • x(x + 150)
После преобразований, решим уравнение
6500(x + 150) — 6500x = 3x(x + 150)
6500x + 6500 • 150 — 6500x = 3x 2 + 450x
3x 2 + 450x — 6500 • 150 = 0
x 2 + 150x — 6500 • 50 = 0
x₁ = 500; x₂ = -650
Значение –650 не подходит по смыслу задачи, значит, первоначальная масса лимонада 500 граммов.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Восстановите порядок действий при решении дробного рационального уравнения.

Конспект урока по алгебре на тему «Решение задач с помощью рациональных уравнений» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Алгебра 8 класс

Уроки № № 60-61 Решение задач с помощью рациональных уравнений

Обучающая: закрепление понятия дробного рационального уравнения; составление математической модели задачи, перевод условия задачи с обычного языка на математический; умение проверять соответствие найденного решения условию задачи; проверка уровня усвоения темы путем проведения проверочной работы.

Развивающая: развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить; развитие интеллектуальных умений; развитие умения принимать решения.

Воспитательная: воспитание познавательного интереса к предмету; воспитание самостоятельности при решении учебных задач; воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Задачи: 1)актуализировать знание решения дробных рациональных уравнений, умение решать задачи при помощи рациональных уравнений; добиться усвоения алгоритма решения задач;

2) УУД: — Познавательные : овладение основами логического и алгоритмического мышления;

Регулятивные: развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

Коммуникативные : строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

Личностные : развитие навыков сотрудничества со сверстниками, 3) — воспитывать чувство товарищества.

Оборудование: конспект урока, учебник.

I. Организационный момент.

II. Устная работа.

1. Решите уравнение:

а) х 2 – 4 х + 4 = 0; г) у 2 + 13 х + 22 = 0; б) 3 х 2 + 6 = 0; д) ; в) –2 х 2 – 8 х = 0; е) .

2. Заполните таблицу.

III. Проверочная работа.

В а р и а н т 1 В а р и а н т 2

Найти корни уравнений:

1) = 3; 2) . 1) = 2; 2) .

IV. Объяснение нового материала.

Учащиеся уже знакомы с алгебраическим методом решения текстовых задач. Единственное отличие от ранее решаемых задач состоит в том, что математической моделью будет являться дробное рациональное уравнение. Это можно продемонстрировать, используя примеры, разобранные в учебнике. При этом основное внимание следует уделять процессу перевода условия задачи на математический язык.

Затем следует ещё раз напомнить учащимся о с н о в н ы е э т а п ы решения текстовой задачи алгебраическим методом:

1-й э т а п. Анализ условия задачи и его схематическая запись.

2-й э т а п. Перевод естественной ситуации на математический язык (построение математической модели: введение переменной и составление дробного рационального уравнения).

3-й э т а п. Решение полученного уравнения.

4-й э т а п. Интерпретация полученного результата.

V. Формирование умений и навыков. Большая часть урока должна быть посвящена анализу условий задач, их схематичной записи, обоснованию выбора переменной и составлению уравнений. Решение самих уравнений можно также предлагать учащимся для самостоятельной работы.

1. № 617. Р е ш е н и е

А н а л и з: на .

Пусть х – числитель обыкновенной дроби, тогда ( х + 3) – её знаменатель. Увеличив числитель на 7, а знаменатель на 5, мы получили дробь . Зная, что дробь увеличилась на , составим уравнение:

; ОДЗ: х ≠ –3; х ≠ –8. х ₁ = 2, х ₂ = –9. Смыслу задачи удовлетворяет только х = 2, тогда дробь равна .

О т в е т: .

2. № 619. Р е ш е н и е

t ₁ = ч

на 20 мин меньше

t ₂ = ч

; О т в е т: 10 км/ч; 12 км/ч.

3. № 621. Р е ш е н и е

= 1; ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ –10.

По теореме, обратной теореме Виета, х ₁ = –90, х ₂ = 80. Корень х = –90 не удовлетворяет условию задачи.

О т в е т: 80 км/ч.

4. № 623. Р е ш е н и е

= 4; О т в е т: 20 р.

VI. Итоги урока. В о п р о с ы у ч а щ и м с я:

– Каковы этапы решения задач на составление дробного рационального уравнения.

– Каков алгоритм решения дробного рационального уравнения?

– Как проводится интерпретация полученных решений?
– В каких случаях полученные корни уравнения могут не удовлетворять условию задачи?

Домашнее задание: № 618, № 620, № 624, № 639.