Решение задач с помощью систем уравнений треугольник

Решение задач с помощью систем уравнений второй степени. 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цели урока:

1. Обучение составлению системы уравнений по условию задачи.
2. Повышение интереса к решению текстовых задач.

Ход урока

I. Устный счет (8 мин)

Является ли решением уравнения х+2у=5 пара чисел: а) (0;1) б) (3;-1) в) (-1;3)

1. Является ли решением системы уравнений ,

пара чисел: а) х=1, у=6 б)х=3, у=2

2. Решите систему уравнений:

3. Определите степень уравнения:

• А) х-у-1,2=0
• Б)
• В)
• Г)

II. Изучение нового материала (10 мин)

При решении задач можно вводить две переменные и составлять систему уравнений.

Решить задачу двумя способами: «Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Найдите его катеты, если известно, что один из них на 7 см больше другого».

1 способ— с помощью одной переменной.

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет – х+7 см. Используя теорему Пифагора, составим уравнение:

корень х=-12 не удовлетворяет условию х>0.

Один катет равен 5 см, второй 12 см

2 способ— с помощью введения двух переменных.

Пусть первый катет х см, второй катет у см (х>0, у>0)

,

,

,

у1=5, у2=-12 (не удовл. условию)

если у=5, то х=7+5=12

один катет равен 5 см, второй катет 12 см

Ответ: 12 см, 5 см

III. Закрепление нового материала (10 мин)

Решение задач:

1. Прямоугольный газон обнесён изгородью, длина которой 30 м. Площадь газона 56 м². Найдите длины сторон газона?

Решение: пусть х м –длина газона, у-ширина газона.

,

,

Ответ: 7 см, 8 см

2. Двое рабочих совместно могут выполнить заданную работу за 12 дней. Если первый рабочий сделает половину работы, а затем второй – вторую половину, то вся работа будет закончена за 25 дней нужно каждому из рабочих в отдельности для выполнения работы?

Решение: пусть для выполнения всей работы первому рабочему потребуется х дней, а второму у дней, тогда за 1 день первый выполняет 1/х часть, а второй 1/у часть всей работы. Работая совместно, всю работу они выполняют за 12 дней.

Таким образом 12(1/х+1/у)=1.

Пусть теперь работа выполняется рабочими поочередно. Тогда для выполнения половины всей работы первому потребуется 1/2:1/х=х/2 дней, а второму 1/2: 1/у=у/2 дней.

,

,

,

,

,

Одному рабочему для выполнения всей работы требуется 20 дней, а другому 30 дней.

Ответ: 20 дней, 30 дней

Решаем по учебнику: №455, №457 (15 мин)

IV. Итог урока.

Домашнее задание: №456, №458, №460 (2 мин)

Решение геометрических задач с помощью систем уравнений 2-ой степени

Решение геометрических задач с помощью систем уравнений 2-ой степени.

По учебнику «Алгебра 9»,

Решение геометрических задач с помощью систем уравнений 2-ой степени.

1. Отработать навыки по решению задач с помощью систем уравнений.

2. Развитие познавательных процессов учащихся.

1. Организационный момент:

2. Проверка домашнего задания:

Проверка наличия домашнего задания. Ответы на вопросы учащихся.

Сформулируйте теорему Пифагора

Назовите формулы площади и периметра прямоугольника со сторонам a и b.

Назовите формулы площади и периметра квадрата со стороной а

Какие способы решения систем уравнений вам известны?

5. Работа с учебником:

Обсуждение условия задачи. Выполнение чертёжа. Составление плана решения.

Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

Ответ: 6 см и 8 см

Пусть катеты прямоугольного треугольника х см, у см.

Составим первое уравнение системы, применив теорему Пифагора к первому рисунку рисунку.

Составим второе уравнение системы, применив теорему Пифагора ко второму рисунку рисунку.

Составим систему уравнений и решим ее. Найдём первоначальные длины катетов треугольника.

Ответ: 5см и 12 см.

На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см2. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 30см2.

Решение:

Ответ: 5 см и 6 см.

6. Самостоятельная работа.

7. Домашнее задание:

8. Подведение итога урока. Выставление оценок.

Решение геометрических задач с помощью систем уравнений второй степени

Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Решение:

Ответ: 6 см и 8 см

Прямоугольный участок земли площадью 2400 м2 обнесен изгородью, длина которой равна 200м. Найдите длину и ширину этого участка.

Решение:

Ответ: 40 м и 60 м

Периметр прямоугольного треугольника равен 84 см, а его гипотенуза равна 37 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

На каждой из сторон прямоугольника построен квадрат. Сумма площадей квадратов равна 122 см2. Найдите стороны прямоугольника, если известно, что его площадь равна 30см2.

Решение:

Ответ: 5 см и 6 см.

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см. Если один из катетов увеличить на 4 см, то гипотенуза увеличится на 2 см. Найдите катеты треугольника.

Решение:

Ответ: 5 см и 12 см

Диагональ прямоугольника равна 15 см. Если одну из его сторон уменьшить на 8 см, а другую уменьшить на 6 см, то периметр уменьшится в 3 раза. Найдите стороны прямоугольника

Решение:

Ответ: 6 см и 15 см

7. № 000(1) сборник.

Для сада выделен прямоугольный участок земли определенной площади. Длина изгороди, которой будет обнесен сад, окажется меньшей, если прямоугольный участок заменить квадратным той же площади. Для этого надо длину участка уменьшить на 40м, а ширину увеличить на 30м. Какова сторона квадратного участка?

Решение:

Ответ: 90 м и 60 м.

8. № 000(1) сборник

Длина садового участка на 10м больше его ширины. Его площадь решили увеличить на 400м. Для этого длину увеличили на 10м, а ширину — на 2м. Найдите площадь нового участка.

Решение:

Ответ: 40 см и 30 см

Лист жести имеет форму прямоугольника, длина которого на 10 см больше ширины. По углам этого листа вырезали квадраты со стороной 5 см. Найдите размеры картонного листа, если объем коробки равен 1000 см3.

Решение:

Ответ: 20 см и 30 см

10. № 000 геометрия

В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона равна 13см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение:

Ответ: R= см.

11. № 000 геометрия

Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

Решение:

12. № 000(1) геометрия

В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса R. Найдите периметр треугольника, если гипотенуза равна 26см, R=4cм.

Решение:

13. № 000(2) геометрия

В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса R. Найдите периметр треугольника, если точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5см и 12см.

Решение:

(Старинная задача Бхаскары, Индия XII в)

Цветок Лотоса возвышается над тихим озером на полфута. Когда порыв ветра отклонил цветок от прежнего места на 2 фута, цветок скрылся над водой. Определите глубину озера.

Решение:

Ответ: 3 фута

( Пизанского, XII-XIII в)

Две башни, одна высотой 40 футов, а другая — 30 футов, расположены на расстоянии 50 футов одна над другой. К расположенному между ними колодцу слетают одновременно с обеих башен две птички, и летя с одинаковой скоростью, одновременно прибывают к колодцу. Найти расстояние от колодца до башен.

Решение:

Ответ: 18 футов и 32 фута

12.Диагональ прямоугольника равна 10 см, а его периметр равен 28 см. Найдите стороны прямоугольника.

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если известно, что один из них на 7 см больше другого, а площадь этого треугольника равна 30 см2.

2. № 000(2) Сборник

Для школьной площадки выделен прямоугольный участок земли определенной площади. Если его заменить квадратным участком той же площади, то потребуется меньше материала для его отгораживания. Для этого надо длину участка уменьшить на 12м, а ширину увеличит на 10м. чему равна сторона квадратного участка?.

2. № 000(2) Сборник

Под строительную площадку отвели прямоугольный участок, длина которого на 25м больше его ширины. При утверждении плана застройки длину участка увеличили на 5 м, а ширину — на 4м, в результате площадь участка увеличилась на 300м. Найдите площадь образовавшейся строительной площадки?

“Сборник задач для проведения экзамена по алгебре за курс основной школы“. М.: Дрофа, 2005г.

3. . «Тестовые задачи в школьном курсе математики»

М.: Педагогический университет «Первое сентября». 2009

«Решение задач геометрического содержания с помощью систем уравнений».
методическая разработка по алгебре (9 класс) по теме

Конспект и презентация урока по алгебре в 9 классе. Это урок усвоения нового материала, на котором ребята тренируются составлять системы уравнений с двумя переменными к условию задач, и решать их.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Конспект урока по алгебре в 9 классе

Решение задач геометрического содержания

с помощью систем уравнений второй степени.

Тип урока : урок усвоения новых знаний.

Цель урока:
овладение общей схемой решения текстовых задач с помощью системы уравнений;

формирование умений решать задачи с помощью систем уравнений;
обеспечение логической последовательности математических рассуждений при разборе условия задачи и составления системы уравнений, развитие наблюдательности, находчивости, смекалки, сообразительности;
развитие умения анализировать ответы товарищей;

Настроить ребят на серьёзную работу на уроке.

Девизом, или мотиватором к уроку, будут такие слова: (слайд1)

Сегодня мы с вами будем тренироваться в решении задач геометрического содержания с помощью систем уравнений.

Но сначала проверим домашнюю работу.

II . Фронтальная проверка домашнего задания учащихся:

1.Решение задания № 6.11г) выводится на слайд 3 с тем, чтобы ученики могли найти свои ошибки; скорректировать их; задать вопросы. Ученик кратко комментирует своё решение.

2. Решение задания №5.35а) также подаётся на слайд 4 с краткими комментариями.

3.Решение задачи №7.36 объясняется подробно сильным учеником. Решение заранее записано на доске.

III . Повторение схемы решения задач.

Остановимся на задаче №7.36 подробнее, с тем, чтобы на примере этой задачи повторить общую схему решения текстовых задач.

Как видно на слайде 5, в условии задачи выделяют вопрос и две ситуации. Отталкиваясь от вопроса, определяют, что удобно обозначить за x и y. А каждая ситуация даёт своё уравнение.

Обратить внимание, что в решении задачи помогает не только рисунок,

но и составление таблицы. Рассмотреть данную таблицу на слайде.

Заполнить её до конца.

С помощью анимации проверить правильность заполнения таблицы.

Устно повторить общую схему решения задач:

Общая схема решения текстовых задач с помощью систем уравнений:

1) Составить краткую запись (таблицу, рисунок и др.)

2) обозначить две неизвестные величины переменными.

3) Найти условия для составления уравнений.

Составить систему уравнений.

2 ситуации – 2 уравнения

4) Удобным способом решить полученную систему уравнений.

5) Выбрать ответ, удовлетворяющий условию задачи.

6) Выполнить проверку.

IV . Фронтальная работа с классом.

Устные задания ( слайды 6 — 10 ):

1. Выразить «х» в следующих уравнениях через другие буквы:

а) ху=2; б) 3x + 3у =3; в) у – х = 6.

1. Составить уравнение с двумя неизвестными:

— сумма квадратов двух натуральных чисел равна 40;
— из пунктов А и В, удалённых друг от друга на 600км,

выехали одновременно два автомобиля и встретились

-периметр прямоугольника равен 20см;

-одна сторона прямоугольника на 5см меньше другой

-площадь прямоугольника равна 16см ;

-площадь прямоугольного треугольника равна 12см ;

— диагональ прямоугольника 15см.

V . Этап усвоения новых знаний.

Решение задач геометрического содержания.

№ 7.13 – решаем подробно у доски.

№ 1- также, решаем подробно у доски.

Один из катетов прямоугольного треугольника на 7см меньше другого, гипотенуза равна 13см. Найдите катеты.

Пусть один катет х см ( х > 0 ), а другой у см ( у > 0 ). Один катет меньше другого на 7см, т.е. у – х = 7. Гипотенуза равна 13см, т.е. по теореме Пифагора х 2 + у 2 = 169. Составим и решим систему уравнений:

у – х = 7, у = 7 + х, х = 5,

х 2 + у 2 = 169; х = 5; у = 12.

х 2 + (7 + х) 2 = 169, 13см хсм

х 2 + 7х – 60 = 0,

х = — 12 — посторонний корень усм

VI. Этап информации учащихся о домашнем задании и инструктаж к его выполнению.