Решение задач с помощью систем уравнений задачи

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений

1. Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
2. По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
3. Решить полученную систему уравнений.
4. Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).

Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.

«От смысла к буквам»:

Пусть x и y — задуманные числа.

Уравнения по условию задачи::

Решение системы уравнений:

«От букв к смыслу»:

Задуманы числа 37 и 27.

Примеры

Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.

Найдите стороны прямоугольника.

Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.

$$ <\left\< \begin P = 2(a+b) = 48 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 3b+b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 4b = 24 \\ a = 3b \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin a = 18 \\ b = 6 \end \right.> $$

Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.

Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?

Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.

$$ <\left\< \begin 70x+100y = 100500 |:10 \\ 30x-30y = 5550 |:30 \end \right.> (-) \Rightarrow <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ x-y=185 | \times 10 \end \right.>$$

$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin 7x+10y = 10050 \\ 10x-10y = 1850 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 17x = 11900 \\ y = x-185 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 700 \\ y = 515 \end \right.> $$

Ответ: 700 строк и 515 строк

Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?

Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.

$$ <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ 2y-x = 210 | \times 2 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 2x+3y = 1540 \\ -2x+4y = 420 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 7y = 1960 \\ x = 2y-210 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin x = 350 \\ y = 280 \end \right.> $$

Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.

Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.

Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).

$$ \Rightarrow <\left\< \begin 5v-u = 73 \\ v+7u = 29 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5(29-7u)-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 145-35u-u = 73 \\ v = 29-7u \end \right.> \Rightarrow$$

Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч

Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.

Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.

$$ <\left\< \begin 5x+3y = 170 \\ 3\cdot0,8x+5\cdot1,3y = 284 \end \right.> \Rightarrow <\left\< \begin 5x+3y = 170 |\times \frac<2,4> <5>\\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2,4x+1,44y = 81,6 \\ 2,4x+6,5y = 284 \end \right.> $$

Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.

Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.

Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).

Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:

Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч

Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.

Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).

Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:

Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:

$$ <\left\< \begin x+ \frac<1> <2>y = 44 | \times 2 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (-) <\left\< \begin 2x+y = 88 \\ \frac<1> <6>x+y = 44 \end \right.> \Rightarrow (+) <\left\< \begin 1\frac<5> <6>x = 44 \\ y = 88-2x \end \right.> \Rightarrow $$

Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л

Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?

Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.

По условию задачи:

Из второго уравнения $ \frac = \frac<0,5> <2>= 0,25 $. Подставляем в первое уравнение:

И тогда искомое время:

$$ t = \frac<2s> = 2\cdot1,25 = 2,5 (ч) $$

Алгоритмы решения задач с помощью систем уравнений

Разделы: Математика

Объяснительная записка.

В курсе алгебры 9 класса отводится всего 4 часа на решение задач с помощью систем уравнений второй степени. Это задачи на движение, совместную работу и задачи с геометрическим содержанием. Мне захотелось расширить тематику задач, и на факультативе по алгебре я предложила учащимся задачи, которые не включены в учебник. Для каждого из рассматриваемых типов задач я предлагаю алгоритм решения. Уважаемые коллеги, быть может, это покажется интересным и вам.

Алгоритм решения задач на совместную работу.

1. Принимаем всю работу, которую необходимо выполнить за 1.
   Находим производительность труда каждого рабочего в отдельности, т.е. , где t – время, за которое этот рабочий может выполнить всю работу, работая отдельно.
2. Находим ту часть всей работы, которую выполняет каждый рабочий отдельно за то время, которое он работал.
3. Составляем уравнение, приравнивая объем всей работы к сумме слагаемых, каждое из которых есть часть всей работы, выполненная отдельно каждым из рабочих.

Один комбайнер может убрать урожай пшеницы с участка на 24 ч быстрее, чем другой. При совместной работе они закончат уборку урожая за 35 часов. Сколько времени потребуется каждому комбайнеру, чтобы одному убрать урожай?

1. Принимаем площадь участка, с которого необходимо собрать урожай, за 1.

2. Пусть х – время, необходимое первому комбайнеру для уборки всего урожая, у — время, необходимое второму
комбайнеру для уборки всего урожая. Тогда– производительность первого комбайнера, – производительность второго комбайнера.
3. 35 – часть участка, с которого может убрать урожай первый комбайнер за 35 часов работы, 35 – часть участка, с которого может убрать урожай второй комбайнер за 35 часов работы.

4.Составим систему уравнений:

у = 60, х = 84
Ответ: для уборки всего урожая первому комбайнеру потребуется 84 часа, второму – 60 часов.

Две бригады, работая совместно, могут выполнить некоторое задание за 3 ч 36 мин. Сколько времени затратит на выполнение этого задания каждая бригада, работая в отдельности, если известно, что первой бригаде требуется для этого на 3 часа больше времени, чем второй.

Мастер и ученик должны были выполнить некоторое задание. После четырех дней совместной работы ученик был переведен в другой цех, и, чтобы закончить выполнение задания, мастеру пришлось еще 2 дня работать одному. За сколько дней мог бы выполнить каждый из них это задание, если известно, что мастеру для этого требуется на 3 дня меньше, чем ученику?

Алгоритм решения задач, в которых используется формула двузначного числа.

1. Вводится обозначение:
   х – цифра десятков
   у – цифра единиц
2. Искомое двузначное число 10х + у
3. Составить систему уравнений

Двузначное число в четыре раза больше суммы его цифр. Если к этому числу прибавить произведение его цифр, то получится 32. Найдите это двузначное число.

Х – цифра десятков. У – цифра единиц. 10х + у – искомое число.

2х 2 + 12х – 32 =0

х₁ =-8 (посторонний корень) х₂ =2, тогда у =4.

Задача №2.
Двузначное число в трое больше суммы его цифр. Если из этого числа вычесть произведение его цифр, то получится 13. Найдите это двузначное число. (27).

Задача №3.
Двузначное число в шесть раз больше суммы его цифр. Если это число сложить с произведением его цифр, то получится 74. Найдите это число.(54).

Задача №4.
Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если от этого числа отнять 9, то получим число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти число.(32).

Задача №5.
Произведение цифр двузначного числа в три раза меньше самого числа. Если к искомому числу прибавить 18, то получится число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Найти это число.

Алгоритм решения задач на смеси.

х – масса первого раствора, у – масса второго раствора, (х + у ) – масса полученной смеси.

Найти содержание растворенного вещества в растворах, т.е.
а % от х, в % от у, с % от (х+у)

Составить систему уравнений.

Задача №1
Смешали 30% -ный раствор соляной кислоты с 10% -ным и получили 600г 15% -ого раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Введем обозначение. Пусть взяли х г первого раствора, у г – второго раствора, тогда масса третьего раствора – (х+у).

Определим количество растворенного вещества в первом, втором, третьем растворах, т.е. найдем 30% от х, 10% от у, 15% от 600.

Составим систему уравнений:


0,3х + 60 – 0,1х = 90
0,2х = 30
х = 30:0,2
х = 150, у = 600 – 150 = 450
Ответ: взяли 150 г первого раствора и 450 г второго раствора.

Задача №2
Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого их этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием 30% никеля?

Задача №3
Смешали 10% -ный и 25% -ный растворы соли и получили 3 кг 20% -ного раствора. Какое количество каждого раствора в килограммах было использовано?

Литература:

1. В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. “ Просвещение”.
2. М.Б.Миндюк, Н.Г. Миндюк. Разноуровневые дидактические материалы по алгебре. 9 класс. “Генжер”.

3. М.И. Сканави. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. “ Высшая школа”.

4. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре.

Конспекты уроков по теме: «Решение задач с помощью систем уравнений » ( 7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Чернослободская основная школа»

Шацкий муниципальный район

Конспекты уроков по теме:

«Решение задач с помощью систем уравнений »

Автор: Трандина Л.Н. учитель математики

МОУ «Чернослободская ОШ»

Шацкого района Рязанской области

Тема: «Решение задач с помощью систем уравнений»

Цели изучить способ решения задач с помощью составления систем уравнений; формировать умение составлять системы уравнений по условию задачи и решать их.

изучить алгоритм решения задач с помощью систем уравнений;

применять алгоритм для решения задач

Тип урока: изучение нового материала.

I .Актуализация знаний 1) анализ самостоятельной работы: работа над ошибками.

2) Решим систему уравнений.

Выполним замену переменных: = a , = b . Получим и решим систему уравнений:

Вернёмся к замене: = 4, значит, x = ;

= 3, значит, y = .

Ответ : .

II . Объяснение нового материала.

Вспомним, в чём заключается способ решения задач с помощью составления уравнения: обычно , но не всегда. за х обозначают меньшую величину, а дальше по условию задачи.

Также задачи могут решаться и с помощью составления системы уравнений.

Схема решения задачи с помощью системы уравнений:

1). вводят обозначения неизвестных и

составляют систему уравнений;

2). решают систему уравнений;

3). возвращаясь к условию задачи и

Составьте систему уравнений по условию задачи( c выбором ответа)

« Одна сторона прямоугольника меньше другой на 5 см, периметр прямоугольника равен 38 см. Найти стороны этого прямоугольника.»

ВЫБЕРИТЕ ПРАВИЛЬНЫЙ ОТВЕТ.

А) Х – У = 5, Б) Х + У = 5, В) Х – У = 5

II. Формирование умений и навыков.

1) Вначале рассмотрим несколько заданий на составление системы уравнений по условию задачи, а затем уже перейдем непосредственно к решению задач.

1. Запишите с помощью системы уравнений следующую ситуацию:

а) Сумма двух чисел равна 17. Одно из них на 7 меньше другого.

б) Периметр прямоугольника равен 400 м. Его длина в 3 раза больше ширины.

В классе 20 учеников. Среди них есть девочки и мальчики. Известно, что девочек больше чем мальчиков на 4 человека. Сколько мальчиков и девочек в этом классе?

Найти два неизвестных элемента.

В этой задаче неизвестно количество девочек и количество мальчиков в классе.

2. Обозначить неизвестные элементы двумя переменными.

Пусть в классе x девочек, а y количество мальчиков,

Всего в классе (х+у) учеников.

По условию задачи известно, что всего в классе 20 учеников.

Составим первое уравнение системы: х+у=20.

По условию задачи известно, что девочек на 4 человека больше, то есть ху на4. Составим второе уравнение системы. х-у=4

Составим и решим систему двух уравнений.

х+у=20 х+у=20 х+у=20 у=20-х

х-у=4 2х= 24 х=12; у= 20-12; у=8

Ответ: 12 девочек в классе; 8 мальчиков в классе.

Решим задачу № 1099 (учебник)

Пусть под просо отведено хга, а под гречиху уга.

Вместе просо и гречиха занимают (х+у) га.

По условию задачи известно, что вместе просо и гречиха и занимают 19га.

Составим первое уравнение системы: х+у=19

По условию задачи известно, что под гречиху отведено на 5 га больше, чем под просо, то есть ух на5. Составим второе уравнение системы.

Составим и решим систему двух уравнений.

х+у=19 х+у=19 х+у=19 х=19-у

у-х=5 2у= 24 у=12; х= 19-12; х=7

Ответ: 7га отведено под просо; 12 га отведено под гречиху.

IV . Подведение итогов урока. Выставление оценок.

V . На дом: п.45; Выучить алгоритм решения задач с помощью систем линейных уравнений; № 1100; №1096(б)

Тема: «Решение задач с помощью систем уравнении»

Цели: продолжить формирование умения решать задачи с помощью систем уравнения; закрепить способы решения систем уравнений; развивать логическое мышление, память, речь; воспитывать внимательность, самостоятельность, умение оценивать свои возможности.

Организационный момент с постановкой целей урока.

Девиз «Где есть желание, найдётся путь»

Активизация изученного материала

а) работа по карточкам (2 человека) решают систему уравнений

б) устная работа

— тест (презентация) ответы дают с помощью сигнальных карточек.

1. Выразите х через у в уравнении х+5у=14

2. Выразите у через х в уравнении 4х-у=6

3. .Результат сложения уравнений 4х-2у=6 и -2х+5у=-12 равен

Формирование умений и навыков.

Решим задачу №1101 (учебник)

Пусть в мастерской отремонтировали легковых х машин, а грузовых машин у.

Вместе легковых и грузовых машин отремонтировали (х+ у).

По условию задачи известно, что вместе легковых и грузовых машин отремонтировали 22 машины. Составим первое уравнение системы: х+у=22

По условию задачи известно, что легковых машин на 8 меньше отремонтировали, чем грузовых, то есть ху на8. Составим второе уравнение системы.

Составим и решим систему двух уравнений.

Ответ: 15 машин грузовых

Решим задачу № 1104(учебник)

Пусть ослица несла х мешков, а мул нёс у мешков. Если ослица отдаст 1 мешок мулу, то у неё останется х – 1 мешок, а у мула станет у + 1 мешок. По условию у мула станет в 2 раза больше мешков, чем у ослицы, то есть получим уравнение: у + 1 = 2( х – 1).

Если мул отдаст 1 мешок ослице, то у него останется у – 1 мешок, а у ослицы станет х + 1 мешок. По условию в этом случае количество мешков у них станет равным, то есть получим уравнение: у – 1 = х + 1.

В итоге имеем систему уравнений:

Ответ : 5мешков и 7 мешков.

У Толи 18 монет по 2 р. и по 5 р. на сумму 57 р. Сколько монет каждого достоинства у Толи?

Пусть у Толи х монет по 2 р , и у монет по 5р. Всего монет у мальчика (х+у).

По условию задачи известно, что всего монет у мальчика 18 штук. Составим первое уравнение системы: х+у=18

У Толи денег двухрублевыми купюрами 2хруб, а денег пятирублевыми купюрами 5уруб. Всего денег у Толи (2х+5у)руб.

По условию задачи известно что всего денег у Толи 57 руб.

Составим второе уравнение системы.

Составим и решим систему двух уравнений.

х+у=18 (-2) -2х-2у=-36 х+у=18

2х+5у=57 2х+5у =57 3у= 21 у=7 ; х=18-7; х=11

Ответ: 11 монет по 2 рубля; 7 монет по 5 рублей.

– Какие существуют способы решений систем уравнений с двумя переменными? Опишите каждый из них.

– Как решаются задачи с помощью составления системы уравнений?

На дом: № 1102,1103. Выучить памятку (схему).

Схема решения задачи с помощью системы уравнений:

1). вводят обозначения неизвестных и

составляют систему уравнений;

2). решают систему уравнений;

3). Возвращаясь к условию задачи и

Тема: «Решение задач с помощью систем уравнений»

Цели: отработать навыки применения схемы решения текстовых задач на составление системы линейных уравнений с двумя переменными к решению задач на движение (движение навстречу и движение в одном направлении); совершенствовать умение решать системы линейных уравнений с двумя переменными аналитическими способами.

Тип урока: применение знаний, умений и навыков

I . Формулировка цели и задач урока

Напоминаем ученикам о существовании и необходимости рассмотрения еще одного вида задач: на движение с помощью системы двух уравнений. Поэтому основная учебная цель урока: научиться составлять системы линейных уравнений, отражающих процесс движения (прямолинейного, равномерного), описанный в текстовых задачах ( обратив внимание на движение навстречу и движение в одном направлении.

I I . Актуализация опорных знаний

; 3) 2х — 3 = 2; 4) 0х = 5.

2. Составьте уравнение по условию задачи:

1) стороны прямоугольника х и у, а периметр 26 см;

2) в одном шкафу х книг, во второй у книжек; если перевести с первой шкафы во вторую 20 книг, то в первой будет в 2 раза больше, чем стало во второй; тетрадь стоит х грн. ручка в грн.; за две ручки заплатили на 2 грн. больше, чем за три тетради.

3 . Являются ли данные системы уравнений равносильными:

III. Формирование умений и навыков.

1 . Решим задачу № 1107 (учебник)

Решение ( с помощью таблицы)(через проектор)

Пусть первый автомат изготовлял в час х деталей, а второй – у деталей. Можно заполнить таблицу и решить задачу так:

п ервый автомат

в торой автомат

с овместная работа

Составим и решим систему уравнений:

3 х + 600 – 2 х = 720;

2 у = 600 – 2 · 120 = 360;

Ответ : 120деталей изготовил первый автомат; 180 деталей изготовил второй автомат.

2. Решим задачу: № 1110 ( учебник)

Обозначим скорости автомобилей через х км/ч и у км/ч. Выделим процессы: движение автомобилей навстречу друг другу и движение в одном направлении. Соответственно заполним две таблицы.

Получаем первое уравнение: 2 х + 2 у = 280.

Движение в одном направлении

Получаем второе уравнение: 14 х – 14 у = 280.

Составим и решим систему уравнений:

Ответ : 80 км/ч скорость автомобиля из пункта А; 60 км/ч скорость автомобиля из пункта В.

3. Решим задачу ( данную задачу можно решить с помощью систем уравнений, а можно с помощью уравнения).

Поезд прошёл первый перегон за 2 ч, а второй за 3 ч. Всего за это время он прошёл 330 км. Найдите скорость поезда на каждом перегоне, если на втором перегоне она была на 10 км/ч больше, чем на первом.

Решение: (с помощью системы уравнений) первый способ решения.

Пусть на первом перегоне скорость поезда была х км/ч, а на втором перегоне у км/ч.

По условию задачи известно, что на втором перегоне скорость была на 10 км/ч больше, чем на первом, то есть ух на 10.

Получим первое уравнение системы: у-х=10.

За 2 часа поезд прошел 2х км, а за 3 часа поезд прошел 3у км. Всего поезд прошел (2х+3у)км.

По условию задачи известно, что всего поезд прошел 330км.

Получим второе уравнение системы: 2х+3у=330.

Составим и решим систему уравнений.

у-х=10 (  3) 3х -3у=-30 у-х=10 у-х=10 у= 60+10; у=70

2х+3у=330 2х+3у= 330 5х=300 х=60 х=60 х=60

Ответ: 60 км/ч скорость поезда первом перегоне; 70 км/ч скорость поезда втором перегоне.

Второй способ решения задачи ( с помощью уравнения).

Пусть на первом перегоне скорость поезда была х км/ч,

Тогда на втором перегоне скорость была (х+10) км/ч,

За 2 часа поезд прошел 2х км, а за 3 часа поезд прошел 3(х+10) км.

Всего поезд прошел 2х +3(х+10) км.

По условию задачи известно, что всего поезд прошел 330км.

Составим и решим уравнение.

60 км/ч скорость поезда первом перегоне;

60+10=70(км/ч) скорость поезда втором перегоне.

Ответ: 60 км/ч ; 70 км/ч.

Вывод: Ребята, вы поняли, что одну и ту же задачу можно решить и с помощью систем уравнений и с помощью уравнения.

Но есть такие задачи, которые можно решить только с помощью систем уравнений.

IV .Подведение итога урока и выставление оценок.

Обобщаем и систематизируем представления о: 1) содержание задач на составление систем уравнений с двумя переменными и 2) общую схему решения таких задач составлением системы уравнений;3) рассмотрели задачи «на движение», решаемые двумя способами.

V . На дом: № 1108,1110, 1092(а)

Тема: «Решение задач с помощью систем уравнений»

Образовательная: рассмотреть способ решения задач на движение по реке с помощью систем двух уравнений, добиться понимания учащимися, что скорости на воде бывают разными, рассмотреть формулы вычисления скорости по течению реки, против течения, собственной скорости и скорости течения реки. Формировать навык решения несложных задач, применяя эти формулы. Продолжить формирование умения решать задачи с помощью систем уравнения, Развивающая: Через восприятие нового материала и решение задач, используя элементы неожиданности, развивать у учащихся умение мыслить, сводить задачи к простым житейским ситуациям, тем самым учить не пугаться нового материала. Формировать умение обобщать, логически мыслить, развивать навыки коллективной работы и самостоятельной, приучать к постоянному самоконтролю. Развивать интерес к математике с помощью использования ИКТ и через создание на уроке положительных эмоций.

Воспитательная: Прививать интерес к знаниям, в том числе интерес к математике. Воспитывать коммуникативность, ответственность у учащихся за собственные знания и успехи класса в целом. Учить точности, четкости и аккуратности в работе, на которых базируется математика. Создавать атмосферу, которая стимулирует сотрудничество и взаимопомощь учащихся в учебном труде.

Тип урока: Комбинированный урок.

Организационный момент. Проверка домашней работы.

Домашняя работа состоит из одной простой задачи, сложной задачи, решаемые с помощью систем уравнений и решение системы уравнений.

Решение сложной задачи «сильный» ученик на перемене сканирует и демонстрирует классу в начале урока, отвечая на вопросы, если они возникнут. Если есть ошибки в данном решении, то исправляем их по тексту красным маркером. Решение несложной задачи и системы учитель проверит, собрав тетради.

Ответьте устно на следующие вопросы:

Как вы понимаете скорость лодки в неподвижной( стоячей) воде?

Как найти скорость по течению и против течения, если известны собственная скорость лодки и скорость течения? ( V _с +Vт); ( V _с –Vт)

Как вычислить скорость собственную лодки, если известны скорость по течению и скорость против течения и скорость течения.( Vп.т — Vт); (Vпр.т + Vт)

Особое внимание следует обратить на единицы измерения – они

должны быть одинаковыми (например: путь в км, время в часах,

скорость в км/ч или путь в м, время в минутах, скорость в м/мин).

Вместо «скорость течения реки» можно говорить «скорость реки» (если так понятнее)

Формирование умений и навыков.

Решим задачу № 1112 (учебник)

Решение:1) 70:3,5= 20км/ч – скорость по течению.

Пусть х км/ч – собственная скорость лодки, а у км/ч – скорость течения реки.

Тогда скорость по течению реки (х+у) км/ч. По условию задачи известно, что скорость по течению реки 20км/ч .

Получим первое уравнение системы: х+у=20.

Скорость лодки против течения (х-у) км/ч.

Лодка по течению прошла за 4 ч расстояние 4(х+у)км.

Лодка против течению прошла за5 ч расстояние 5(х-у)км.

Лодка по течению за 4 часа прошла столько же сколько против течения за 5 часов.

Получим второе уравнение системы: 4(х+у)= 5(х-у)

Составим и решим систему уравнений.

х+у=20 х+у= 20 х+у=20 х+у=20

4(х+у)= 5(х-у) 4х+4у= 5х-5у 4х+4у-5х+5у=0 -х +9у=0

Ответ: 18 км/ч скорость лодки в стоячей воде ( собственная скорость лодки)

Решим задачу № 1113 ( учебник)

Пусть х км/ч – собственная скорость теплохода, а у км/ч – скорость течения реки. Выделим процессы: движение теплохода по течению и против течения реки в первом и во втором случаях. Заполним таблицу

Получим первое уравнение: 3 ( х + у ) + 4 ( х – у ) = 380. Получим второе уравнение: ( х + у ) + 0,5 ( х – у ) = 85.

Составим и решим систему уравнений:

Ответ : 55 км/ч и 5 км/ч.

3*. Решим задачу № 1121.

Пусть 10 %-ного раствора нужно взять х г, а 15 %-ного – у г.

Всего нужно получить 80 г раствора, то есть получим уравнение:
х + у = 80.

В х г 10 %-ного раствора содержится 0,1 х г соляной кислоты, а в у г 15 %-ного раствора – 0,15 у г соляной кислоты. В результате получили 80 г 12 %-ного раствора, в нём соляной кислоты 80 · 0,12 = 9,6 г.

Получим уравнение: 0,1 х + 0,15 у = 9,6.

Составим и решим систему уравнений:

III. Итоги урока. Проставление оценок.

– Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?

– Какие существуют способы решения систем уравнений? Опишите каждый из них.

– Как решить задачу с помощью системы уравнений?

– Как используется таблица при решении задач «на движение»?