Решение задач с помощью уравнений учебник

8. Решение задач с помощью уравнений

При решении .задач с помощью уравнений поступают следующим образом:

обозначают некоторое неизвестное число буквой и, используя условие задачи, составляют уравнение; решают это уравнение;

истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.

Задача 1. В корзине было в 2 раза меньше яблок, чем в ящике. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в ящике их стало в 5 раз больше, чем в корзине. Сколько яблок было в корзине и сколько в ящике?

Решение: Пусть в корзине было х яблок, тогда в ящике было 2х яблок. После того как из корзины переложили в ящик 10 яблок, в корзине стало х — 10 яблок, а в ящике стало 2х + 10 яблок. Но условию задачи в ящике стало в 5 раз больше яблок, чем в корзине. Значит,

Решим составленное уравнение:

5х — 50 = 2х + 10,
5х — 2х = 10 + 50,
Зх = 60,
х = 20.

Следовательно, в корзине было 20 яблок.

Так как 2х = 2 • 20 = 40, то в ящике было 40 яблок.

Ответ: 20 яблок и 40 яблок.

Задача 2. Предназначенные для посадки 78 саженцев смородины решили распределить между тремя бригадами так, чтобы первой бригаде досталось саженцев в 2 раза меньше, чем второй, а третьей — на 12 саженцев больше, чем первой. Сколько саженцев надо выделить первой бригаде?

Решение: Пусть первой бригаде решили выделить х саженцев. Тогда второй следует выделить 2х саженцев, а третьей х + 12 саженцев. Общее число саженцев х + 2х + (х + 12), что по условию задачи равно 78.

х + 2х + (х + 12) = 78.

Решим полученное уравнение:

х + 2х + х + 12 = 78,
4х = 78 — 12, 4х = 66, х = 16,5.

По смыслу задачи значение х должно быть натуральным числом, а корень уравнения — дробное число. Значит, распределить саженцы указанным способом нельзя.

Ответ: Такое распределение саженцев невозможно.

Упражнения

1. В одной кассе кинотеатра продали на 36 билетов больше, чем в другой. Сколько билетов продали в каждой кассе, если всего было продано 392 билета?
2. На Парковой и Молодёжной улицах восстановили разрушенные в половодье 19 домов. На Парковой было восстановлено на 3 дома меньше, чем на Молодёжной. Сколько домов было восстановлено на каждой из этих улиц?
3. Периметр треугольника равен 16 см. Две его стороны равны между собой, и каждая из них на 2,9 см больше третьей. Каковы стороны треугольника?
4. Протяжённость автомобильной трассы составляет 6940 м. Большую часть трассы занимают два тоннеля, длина одного из которых на 1 7 м больше длины другого. Найдите длину каждого тоннеля, если наземная часть трассы составляет 703 м.
5. Старинная задача. Из четырёх жертвователей второй дал вдвое больше первого, третий — втрое больше второго, четвёртый — вчетверо больше третьего, а все вместе дали 132 рупий. Сколько дал каждый?
6. Двое рабочих изготовили 86 деталей, причём первый изготовил на 15% деталей больше, чем второй. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?
7. Прибыль, полученная фирмой за первые два квартала текущего года, составила 126 000 р., причём прибыль, полученная во втором квартале, была на 10% выше, чем в нервом. Какую прибыль получила эта фирма в нервом квартале?
8. Три школы получили 70 компьютеров. Вторая школа получила на 6 компьютеров больше первой, а третья — на 10 компьютеров больше второй. Сколько компьютеров получила каждая школа?
9. На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причём на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?
10. Можно ли расположить 158 книг на трёх полках так, чтобы на первой полке было на 8 книг меньше, чем на второй, и на 5 книг больше, чем на третьей?
11. Можно ли 59 банок консервов разложить в три ящика так, чтобы в третьем было на 9 банок больше, чем в первом, а во втором — на 4 банки меньше, чем в третьем?
12. На одном садовом участке в 5 раз больше кустов малины, чем на другом. После того как с первого участка пересадили на второй 22 куста, на обоих участках кустов малины стало поровну. Сколько кустов малины было на каждом участке?
13. За 9 ч но течению реки теплоход проходит тот же путь, что за 11ч против течения. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 2 км/ч.
14. По шоссе идут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 10 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 10 км/ч, то первая за 2 ч пройдёт столько же, сколько вторая за 3 ч. С какой скоростью идут автомашины?
15. Старинная задача. Послан человек из Москвы в Вологду и велено ему проходить во всякий день по 40 вёрст. На следующий день вслед ему был послан другой человек и велено ему проходить по 45 вёрст в день. Через сколько дней второй догонит первого?
16. Для ремонта школы прибыла бригада, в которой было в 2,5 раза больше маляров, чем плотников. Вскоре прораб включил в бригаду ещё четырёх маляров, а двух плотников перевёл на другой объект. В результате маляров в бригаде оказалось в 4 раза больше, чем плотников. Сколько маляров и сколько плотников было в бригаде первоначально?
17. (Для работы в парах.) В классе учится . учащихся. Отношение числа девочек к числу мальчиков равно 5 : 4. Сколько девочек и сколько мальчиков учится в классе?
    1. Выясните, какие числа, соответствующие смыслу задачи, можно поставить вместо многоточия.
    2. Предложите друг другу закончить решение для одного из найденных чисел.
    3. Обсудите полученные ответы.
18. В корзине было в 2 раза меньше винограда, чем в ящике. После того как в корзину добавили 2 кг, в ней стало винограда на 0,5 кг больше, чем в ящике. Сколько винограда было в корзине?
19. Один арбуз на 2 кг легче, чем другой, и в 5 раз легче, чем третий. Первый и третий арбузы вместе в 3 раза тяжелее, чем второй. Найдите массу каждого арбуза.
20. В двух мешках было но 50 кг сахара. После того как из одного мешка взяли в 3 раза больше сахара, чем из другого, в нём осталось в 2 раза меньше сахара, чем в другом. Сколько сахара осталось в каждом мешке?
21. Постройте в координатной плоскости точку, у которой:

    а) абсцисса равна 3, а ордината противоположна абсциссе;
    б) абсцисса равна -2, а ордината на единицу больше;
    в) абсцисса равна 1,5, а ордината на единицу меньше;
    г) абсцисса равна 6, а ордината — противоположному числу.

22. Постройте в координатной плоскости отрезок MN, зная координаты его концов: М (-1; 4) и N(2; -2). Найдите координаты точек пересечения этого отрезка с осью х и с осью у.
23. Найдите значение выражения -0,5(76 — 12а) — (8,4а — 14b) при а = -10, b = -6.
24. Сравните с нулём значение выражения:

    Решение задач при помощи уравнений 8 класс учебник Мерзляк

    Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

    

    Описание презентации по отдельным слайдам:

    

    Решение задач
    с помощью уравнений
    Учитель
    Котова Ирина Евгеньевна
    МАОУ СОШ №2
    имени Н. А. Тимофеева г.о. Бронницы

    

    Домашняя самостоятельная работа
    Решить уравнения
    х 4 −5 х 2 −36=0

    х 2 −9 2 −4 х 2 −9 +3=0

    х+5 х−2 − 5 х−5 = х−20 х−5 х−2

    

    1) х 4 −5 х 2 −36=0
    Пусть t= 𝑥 2
    𝑡 2 −5𝑡−36=0
    t=9 или t=-4
    𝑥 2 =9 𝑥 2 =−4
    X=±3 ∅
    Ответ. ±3
    2) 5х+3 х+5 = 3х+1 х+2
    5х+3 х+2 = х+5 3х+1
    5 х 2 +10х+3х+6= 3х 2 +х+15х+5
    2х 2 −3х+1=0
    х=1 х=0,5
    Ответ. 0,5;1
    Одз
    х≠−5
    х≠-2

    

    3) х 2 −9 2 −4 х 2 −9 +3=0
    пусть 𝑡= 𝑥 2 −9
    𝑡 2 −4𝑡+3=0
    t=1 t=3
    𝑥 2 −9=1 𝑥 2 −9=3
    𝑥 2 =10 𝑥 2 =12
    X=± 10 X=± 12
    X=±2 3
    Ответ: =± 10 , ±2 3
    4) х+5 х−2 − 5 х−5 = х−20 х−5 х−2
    х 2 −25−5х+10=х−20
    х 2 −6х+5=0
    х=1 х=5
    не удовлетворяет одз
    Ответ. 1
    Одз
    х≠5
    х≠2

    

    Первые 150км дороги из города А в город В автомобиль проехал с некоторой скоростью, а остальные 240км – со скоростью на 5 км/ч большей. Найдите первоначальную скорость автомобиля, если на весь путь потратил 5ч.
    Пусть х км/ч первоначальная скорость
    На весь путь потратил 5ч.
    150 х + 240 х+5 =5

    

    150 х + 240 х+5 =5 х х+5
    х≠0
    х≠−5
    150 х+5 +240х=5х х+5
    5 х 2 −365х−750=0 ÷5
    х 2 −73х−150=0
    Д=5329+600=5929
    д =77
    х=75 и х=−2 не удовлетворяет условию задачи
    ответ: первоначальная скорость 75 км/ч.

    

    Расстояние между пристанями А и В равно 63 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 20 км. Найдите скорость моторной лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

    

    Расстояние между пристанями А и В равно 63 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошел 20 км. Найдите скорость моторной лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 4 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
    63 х+4 + 63 х−4 =5−1
    Пусть х км/ч собственная скорость .

    

    Катер прошел 16 км по течению реки и 30 км против течения, затратив на весь путь 1ч 30мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 1км/ч.
    16 х+1 + 30 х−1 =1 1 2
    Пусть х км/ч собственная скорость .

    

    Первый мотоциклист проезжает 90 км на 18 мин быстрее второго, поскольку его скорость на 10 км/ч больше скорости второго мотоциклиста. Найти скорость каждого мотоциклиста.
    Пусть х км/ч скорость второго мотоциклиста
    18мин= 18 60 ч= 3 10 ч
    90 х − 90 х+10 = 3 10
    900 х+10 −900х=3х х+10
    900х+9000-900х=3 х 2 +30х
    3 х 2 +30х-9000=0
    х 2 +10х−3000=0
    Х=50 х=-60 не удовлетворяет условию задачи
    Скорость 50 второго км/ч, а скорость первого 60 км/ч
    10х(х+10)
    Одз
    х≠0
    х≠−10

    

    Наборщик должен был за некоторое время набрать 180 стр. Однако он выполнил эту работу на 5ч раньше срока, так как набирал на 3 страницы в час больше, чем запланировал. Сколько страниц в час он набирал?
    Пусть х стр в час набирал наборщик по плану
    180 х — 180 х+3 =5 х(х+3)
    180(х+3)-180х=5х(х+3)
    180х+540-180х=5 х 2 +15х
    х 2 +3х−108=0
    Х=9 х=-12
    По плану набирал 9 стр в час, а в действительности 12стр.
    Ответ. 12 стр в час.
    Одз
    х≠0
    х≠−3

    

    Повторение
    1.Отметьте на координатной прямой числа 10 и 34

    2. Представьте в виде дроби выражение и найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.
    3. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?

    

    Курс повышения квалификации

    Дистанционное обучение как современный формат преподавания

    • Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

    

    Курс профессиональной переподготовки

    Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

    • Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

    

    Курс повышения квалификации

    Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

    • Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

    Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

    Дистанционные курсы для педагогов

    «Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

    Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

    Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

    5 587 987 материалов в базе

    Материал подходит для УМК

    

    «Алгебра», Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.

    § 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций

    Самые массовые международные дистанционные

    Школьные Инфоконкурсы 2022

    33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

    «Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

    Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

    Другие материалы

    • 01.06.2021
    • 112
    • 0

    

    • 01.06.2021
    • 126
    • 4

    

    • 01.06.2021
    • 139
    • 5

    

    • 01.06.2021
    • 93
    • 0
    • 01.06.2021
    • 92
    • 0
    • 01.06.2021
    • 397
    • 3
    • 01.06.2021
    • 64
    • 0
    • 01.06.2021
    • 56
    • 0

    Вам будут интересны эти курсы:

    Оставьте свой комментарий

    Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

    Добавить в избранное

    • 01.06.2021 244
    • PPTX 464.9 кбайт
    • 18 скачиваний
    • Оцените материал:

    Настоящий материал опубликован пользователем Котова Ирина Евгеньевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Автор материала

    

    • На сайте: 5 лет и 3 месяца
    • Подписчики: 1
    • Всего просмотров: 4093
    • Всего материалов: 7

    Московский институт профессиональной
    переподготовки и повышения
    квалификации педагогов

    Дистанционные курсы
    для педагогов

    663 курса от 690 рублей

    Выбрать курс со скидкой

    Выдаём документы
    установленного образца!

    

    Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

    Время чтения: 11 минут

    

    Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

    Время чтения: 3 минуты

    

    В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

    Время чтения: 1 минута

    

    Инфоурок стал резидентом Сколково

    Время чтения: 2 минуты

    

    В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

    Время чтения: 1 минута

    

    Школьник из Сочи выиграл международный турнир по шахматам в Сербии

    Время чтения: 1 минута

    

    РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

    Время чтения: 1 минута

    Подарочные сертификаты

    Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

    Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

    Только 23 февраля!
    Получите новую
    специальность
    по низкой цене

    Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки

    Задачи на составление уравнений и методы их решения. Крамор В.С., 2009

    Название: Задачи на составление уравнений и методы их решения.

    Автор. Крамор В.С.
    2009

    Цель книги — научить выпускников средней школы самостоятельно решать задачи на составление уравнений и помочь усвоить методы их решения.
    Пособие содержит свыше 300 задач с подробными решениями и более 100 задач для самостоятельного решения.
    Книга может быть использована при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, к сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в ВУЗ.

    

    ОГЛАВЛЕНИЕ
    Предисловие. 3
    Глава 1. Задачи на проценты. 5
    1. Вычисление процентов данного числа. Сложные проценты. 5
    2. Нахождение неизвестного числа по его заданным процентам. 16
    3. Процентное отношение двух чисел. 19
    4. Задачи на проценты, пропорции, пропорциональное деление. 22
    5. Разные задачи. 25
    Задачи для самостоятельного решения. 34
    Глава 2. Задачи на растворы, смеси, сплавы. 37
    1. Задачи на смешивание. 38
    2. Задачи на разбавление и насыщение. 47
    3. Разные задачи. 54
    Задачи для самостоятельного решения. 61
    Глава 3. Задачи на движение. 64
    1. Простейшие задачи на вычисление компонентов движения. 64
    2. Задачи на совместное движение двух и более тел. 74
    3. Движение по водному пути. 100
    4. Движение вдоль окружности. 108
    5. Разные задачи. 115
    Задачи для самостоятельного решения. 127
    Глава 4. Задачи на работу. 131
    1. Простейшие задачи на вычисление компонентов работы. 131
    2. Задачи на совместную работу. 137
    3. Задачи на «бассейны и трубы». 148
    4. Разные задачи. 157
    Задачи для самостоятельного решения. 172
    Глава 5. Другие типы задач. 175
    1. Задачи на числовые зависимости. 175
    2. Задачи, приводящие к неравенствам. 182
    3. Задачи с целочисленными неизвестными. 193
    4. Задачи, содержащие параметры. 200
    5. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений. 207
    6. Задачи, в которых число неизвестных превышает число уравнений системы. 215
    7. Разные задачи. 220
    Задачи для самостоятельного решения. 247
    Использованная литература. 250

    
    ПРЕДИСЛОВИЕ.
    В течение многих лет задачи на составление уравнений включаются в экзаменационные билеты по математике для абитуриентов высших учебных заведений, а в последние годы такие задачи предлагаются и при сдаче ЕГЭ. Умение решать эти задачи позволяет проверить у будущих студентов наличие логического мышления, сообразительности и наблюдательности, а также способности к анализу полученных результатов.

    Вместе с тем в общеобразовательной школе задачам на составление уравнений уделяется недостаточно внимания. Цель данной книги состоит в том, чтобы научить выпускников средней школы решать подобного рода задачи и прочно усвоить различные методы, применяемые в процессе их решения.

    Весь изложенный в книге материал разбит на 5 глав, состоящих из нескольких параграфов. Каждый параграф содержит небольшой справочный материал (основные формулы, утверждения, допущения, используемые при решении задач рассматриваемого типа) и набор задач, сопровождающихся подробными решениями. В конце каждой главы приводятся задачи для самостоятельного решения и ответы к ним.

    В общей сложности книга содержит свыше 300 задач с решениями, а также 100 задач для самостоятельного решения.
    Наряду с традиционными типами задач (задачи на проценты; задачи на растворы, смеси, сплавы; задачи на движение; задачи на работу) в книге рассматриваются и другие типы задач (задачи на числовые зависимости; задачи, приводящие к неравенствам; задачи с целочисленными неизвестными и т.п.).

    Приведенные в книге решения задач сопровождаются подробными пояснениями, каждое действие в процесс решения нумеруется, поскольку оно несет определенную смысловую нагрузку. Все этапы решения включают необходимую информацию о правомерности того или иного шага.

    Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
    Скачать книгу Задачи на составление уравнений и методы их решения. Крамор В.С., 2009 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

    Скачать pdf
    Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

    
    

    источники:

    http://infourok.ru/reshenie-zadach-pri-pomoshi-uravnenij-8-klass-uchebnik-merzlyak-5214542.html

    http://nashol.me/2011103061368/zadachi-na-sostavlenie-uravnenii-i-metodi-ih-resheniya-kramor-v-s-2009.html