Решение задач с системой уравнений видео

Системы уравнений в задачах на работу

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим задачи на работу и их решение с помощью системы уравнений. Подробно рассмотрим составление математических моделей и их решение с помощью стандартных методов решений. Вспомним понятия и формулы объема работы, производительности и времени работы.

Решение задач с системой уравнений видео

При решении задачи с помощью системы уравнений сначала обозначают буквами неизвестные числа. Затем составляют систему уравнений, решают ее и, наконец, истолковывают полученный результат в соответствии с условием задачи.

Задача 1. Для клуба приобрели 5 комплектов шахмат и 8 комплектов шашек на сумму 55р. Сколько стоит один комплект шахмат и сколько один комплект шашек, если известно, что 3 комплекта шахмат на 2 р. 20 к. дороже, чем 4 комплекта шашек?

Решение. Пусть один комплект шахмат стоит х рублей, а один комплект шашек у рублей. Тогда 5 комплектов шахмат и 8 комплектов шашек стоят рублей. Так как за всю покупку заплатили 55 р., то

По условию задачи 3 комплекта шахмат дороже 4 комплектов шашек на 2 р. 20 к. Отсюда получаем второе уравнение:

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения х и у, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнениям, т. е. удовлетворяют системе:

Решим полученную систему. Умножим обе части второго уравнения на 2:

Сложим уравнения почленно:

Подставим в уравнение вместо х число 5,4:

Пара х = 5,4, у = 3,5 — решение системы.

Ответ: комплект шахмат стоит 5 р. 40 к., а комплект шашек — 3 р. 50 к.

Задача 2. Требуется разложить 163 шара в два ящика так, чтобы в одном из них шаров оказалось в 2 раза больше, чем в другом. Сколько шаров надо положить в каждый ящик?

Решение. Пусть в один ящик положили х шаров, а в другой у шаров. Тогда в соответствии с условием задачи . Мы получили систему:

Решив ее, найдем, что

По смыслу задачи значения х и у должны быть натуральными числами, а мы получили дробные числа.

Ответ: разложить шары таким образом нельзя.

Решение уравнений с двумя неизвестными

В математике большая часть задач ориентирована на решение стандартных уравнений, в которых представлена одна переменная. Однако, некоторые из них, помимо числовых выражений, содержат одновременно две неизвестные. Перед тем как приступить к решению такого уравнения, стоит изучить его определение.

Определение

Итак, уравнением с двумя неизвестными называют любое равенство следующего типа:

a*x + b*y =с, где a, b, c — числа, x, y — неизвестные переменные.

Ниже приведены несколько примеров:

Уравнение с двумя неизвестными точно так же, как и с одной, имеет решение. Однако такие выражения, как правило, имеют бесконечное множество разных решений, поэтому в алгебре их принято называть неопределенными.

Решение задач

Чтобы решить подобные задачи, необходимо отыскать любую пару значений x и y, которая удовлетворяла бы его, другими словами, обращала бы уравнение с неизвестными x и y в правильное числовое равенство. Найти удовлетворяющую пару чисел можно при помощи метода подбора.

Для наглядности объяснений подберем корни для выражения: y-x = 6.

При y=5 и x=-1 равенство становится верным тождеством 5- (-1) = 6. Поэтому пару чисел (-1; 5) можно считать корнями выражения y-x = 6. Ответ: (-1; 5).

Необходимо отметить, что записывать полученный ответ по правилам необходимо в скобках через точку с запятой. Первым указывается значение х, вторым — значение y.

У равенств такого вида может и не быть корней. Рассмотрим такой случай на следующем примере: x+y = x+y+9

Приведем исходное равенство к следующему виду:

В результате мы видим ошибочное равенство, следовательно, это выражение не имеет корней.

При решении уравнений можно пользоваться его свойствами. Первое их них: каждое слагаемое можно вынести в другую часть выражения. Вместе с этим обязательно нужно поменять знак на обратный. Получившееся равенство будет равнозначно исходному.

Например, из выражения 20y — 3x = 16 перенесем неизвестное y в другую его часть.

Оба равенства равносильны.

Второе свойство: допустимо умножать или делить части выражения на одинаковое число, не равное нолю. В итоге получившиеся равенства будут равнозначны.

Оба уравнения также равносильны.

Система уравнений с двумя неизвестными

Система уравнений представляет собой некоторое количество равенств, выполняющихся одновременно. В большинстве задач приходится находить решение системы, состоящей из двух равенств с двумя переменными.

Для решения системы уравнений необходимо найти пару чисел, обращающих оба уравнения системы в правильное равенство. Решением может служить одна пара чисел, несколько пар чисел или вовсе их отсутствие.

Решить подобные системы уравнений можно, применяя следующие методы.

Метод подстановки

1. Выражаем неизвестное из любого равенства через вторую переменную.
2. Подставляем получившееся выражение неизвестного во второе равенство и решаем его.
3. Делаем подстановку полученного значения неизвестного и вычисляем значение второго неизвестного.

Метод сложения

1. Приводим к равенству модули чисел при каком-либо неизвестном.
2. Производим вычисление одной из переменных, произведя сложение или вычитание полученных выражений.
3. Подставляем найденное значение в какое-либо уравнение в первоначальной системе и вычисляем вторую переменную.

Графический метод

1. Выражаем в каждом равенстве одну переменную через другую.
2. Строим графики двух имеющихся уравнений в одной координатной плоскости.
3. Определяем точку их пересечения и ее координаты. На этом шаге у вас может получиться три варианта: графики пересекаются — у системы единственно верный вариант решения; прямые параллельны друг другу — система решений не имеет; графики совпадают — у системы бесконечно много решений.
4. Делаем проверку, подставив полученные значения в исходную систему равенств.

При нахождении корней у одной системы всеми этими способами у вас обязательно должен получиться одинаковый результат, если вы, конечно, все сделали правильно.

В настоящее время есть возможность решения подобных задач с помощью встроенных средств офисной программы Excel, а также на специализированных онлайн-ресурсах и калькуляторах. С помощью них вы легко можете проверить правильность своих вычислений и результатов.

Надеемся, что наша статья помогла вам в освоении этой базовой темы школьной математики. Если же вы пока не можете справиться с решением уравнений такого вида, не расстраивайтесь. Для понимания и закрепления изученной темы рекомендуется как можно больше практиковаться, и тогда у вас без труда получится решать задачи любой сложности. Желаем вам удачи в покорении математических вершин!

Видео

Из этого видео вы узнаете, как решать уравнения с двумя неизвестными.