Урок алгебры «Решение задач с помощью систем уравнений» (7-й класс)
Разделы: Математика
Класс: 7
Цели:
- научить детей решать задачи с помощью составления систем уравнений;
- познакомить и литературным наследием родного края, вспоминая творчество П.П.Бажова;
- использовать при решении задач факты окружающей действительности.
1. Подготовка к восприятию материала (проверка опорных знаний)
Учитель, используя медиапроектор, восстанавливает изученную ранее тему. Детям задаются вопросы их предполагаемые ответы, воспроизводятся на экране.
Вопросы:
- Посмотрите на экран, что вы видите? (Презентация. Слайд 1)
- Что такое система уравнений? (Презентация. Слайд 2)
- Какие способы решения систем уравнений вы знаете? (Презентация. Слайд 3)
- Давайте вспомним суть применения каждого способа (Презентация. Слайды 4, 5, 6).
– Система уравнений не только позволяет установить общие корни уравнений, содержащихся в ней, но и становится хорошим помощником при решении задач. В таких задачах неизвестных компонентов более одного и они связаны друг с другом условием. Сегодня мы рассмотрим задачи, в которых неизвестно два каких либо элемента и будем учиться решать такие задачи с помощью составления системы уравнений.
Дети записывают в тетрадях число, тему урока. (Презентация. Слайд 7)
2. Изучение новой темы
Задача 1
– Рассмотрим для примера такую задачу.
Я знаю, что в классе 20 учеников. Среди них есть девочки и мальчики. А еще я знаю, что девочек больше чем мальчиков на 4 человека. Сколько мальчиков и девочек в этом классе? Ответ можно узнать двумя способами: 1) просто пересчитать; 2) решить такую задачу: (Презентация. Слайд 8)
Пусть х – количество девочек
y – количество мальчиков
Т.к. мальчиков и девочек вместе – 20. Получим уравнение: х + у = 20
С другой стороны девочек больше чем мальчиков на 4
Значит можно получить следующее уравнение х – у = 4
Объединим оба эти уравнения в систему, т.к в каждом уравнении речь идет об одних и те же детях., получим: 
Далее дети самостоятельно решают систему уравнений, на листочках под копирку.
Ответ: В классе 8 мальчиков и 12 девочек.
3. Самостоятельная работа в парах
У вас на партах лежат цветные карточки. На экране появятся условия задач. Вы выбираете для решения ту задачу, которая расположена на таком же цветном фоне, что и цвет вашей карточки. (Слайд 9)
Записывают составленную систему на тех же листочках под копирку.
Задача 2
1) В Зоопарке г. Екатеринбурга, живет много разных животных. Среди них есть медведи – бурые и белые. Известно, что всего в зоопарке живет 9 медведей, а бурых на 5 медведей больше, чем белых. Сколько белых и бурых медведей живет в зоопарке г. Екатеринбурга?
Решение: 
Ответ: В зоопарке 2 белых медведя и 7 бурых медведей.
2) В Зоопарке г. Екатеринбурга, живет много разных животных. Среди них есть лисы – черные и рыжие. Известно, что всего в зоопарке живет 7 лис, а черных на 3 лисы меньше, чем рыжих. Сколько черных и рыжих лис живет в зоопарке г. Екатеринбурга?
Решение 
Ответ: В зоопарке 5 рыжих лисиц и 2 черные лисицы.
После того как дети самостоятельно составили систему уравнений – листочки сдают, проверка. Решать эти системы они будут дома.
– Вы должны поднять карточку в том случае, если система составлена правильно. (Презентация. Слайд 10)
4. Закрепление материала
– А сейчас, я хочу рассказать вам об очень интересном человеке. Он родился в 28 января 1879 году, в семье мастера Сысертского завода. И отец, и дед его, и прадед всю жизнь провели на медеплавильных заводах Сысертского горного округа. В 1899 году он стал народным учителем и трудовой свой путь начал в глухой уральской деревне Шайдурихе, возле старинного города Невьянска.
С детства он прислушивался к рассказам рабочих об их тяжелой жизни, позже изучил много документов, рассказывающих о горнозаводском Урале. В летние каникулы он пешком или на велосипеде путешествовал по уральским заводам и деревням, по реке Чусовой, изучал труд камнерезов и гранильщиков, сталеваров и литейщиков, беседовал с ними о тайнах их ремесла
Люди говорили, что живет в горах Малахитница (Хозяйка Медной горы), охраняет камни, рядом с ней всегда много ящериц, а иногда и сама ящерицей оборачивается.
А звали этого интересного человека Павел Петрович Бажов. (Презентация. Слайд 11)
Колдун уральский бородатый,
Бажов дарит нам новый сказ.
«Живинка в деле» – сказ богатый
И поучительный для нас.
В нем слово каждое лучится,
Его направленность мудра,
Найдут, чему здесь поучиться,
Любого дела мастера
Важны в работе ум и чувство,
В труде двойное естество
«Живинкой в деле» мастерство
Преображается искусство,
И нет тогда ему границ.
И совершенству нет предела,
Не оторвать тогда от дела
Ни мастеров, ни мастериц.
Их вдохновение безмерно,
Глаза их пламенем горят.
Они работают? Неверно.
Они – творят.
– Вы знаете его сказы или повести?
– Что означает слово «сказ»?
Сказ – это литературное произведение, в котором рассказчиком является не сам писатель, а другой, вымышленный им человек.
– В сказах Бажова живет хранительница недр, покровительница уральских рудокопов. Как ее зовут?
– Хозяйка Медной горы. (Презентация. Слайд 12)
– В каких сказах Бажова встречается Хозяйка Медной горы?
- Малахитовая шкатулка,
- Каменный цветок
- Горный мастер
- Хрупкая веточка
- Таюткино зеркальце
- Две ящерки
- Приказчиковы подошвы
- Сочневы камешки
– В сказах Бажова главными героями выступали и дети (Презентация. Слайд 13), это такие сказы как:
- Тяжелая витушка
- Серебряное копытце
- Хрупкая веточка
- Каменный цветок
- Огневушка-Поскакушка
- Таюткино зеркальце
- Малахитовая шкатулка
- Жабреев ходок
- Голубая змейка
– У меня в руках книга, в которой собраны произведения П.П.Бажова. Она называется «Малахитовая шкатулка». В этой книге разное количество сказов и повестей. Книга большая и в ней много страниц.
Я знаю, что 2 сказа о Хозяйке Медной горы и 3 сказа о героях-детях занимают 94 страницы. А 3 сказа о Хозяйке Медной горы и и 4 сказа о героях детях занимают 133 страниц. Помогите мне узнать, сколько страниц может занимать 1 сказ о Хозяйке Медной горы и 1 сказ о героях-детях?
Х стр. – о Х. М.г. 2х + 3у = 94
У стр. – о Д. 3х + 4у = 133
Получим систему
Ответ: 1 сказ о ХМг занимает 23 страницы; 1 сказ о детях занимает 16 страниц
Старик Кокованя приютил у себя сироту. Девочка Даренка была смышленая и чудная. Встретилась она с волшебным козлом, которого прозвали Серебряное копытце. При каждой встрече с ним можно было собрать много каменьев. При первой встрече Даренка собрала два мешочка гранатов и три мешочка малахита, всего 1300 гр. А при второй встрече один мешочек гранатов и два мешочка малахит, всего 800 грамм. Сколько грамм самоцветов содержится в каждом мешочке с малахитом и в каждом мешочке с гранатом?
Хгр – 1 мешочек малахита 2у + 3х = 1300
Угр – 1 мешочек граната у + 2х = 800
Получим систему 
Ответ: В 1 мешочке 300гр малахита и 200гр. граната
– Я предлагаю каждому из вас, вернувшись, домой, прочитать сказы Бажова, ведь он писал их для нас.
5. Подведение итогов урока, выставление оценок.
– Итак, подведем итоги. Какая сегодня у нас была тема урока?
– Что нового вы узнали, чему научились?
– Остались ли у вас вопросы, на которые учитель должен будет ответить на следующем уроке?
6. Домашнее задание
- Решить задачу 1 графическим способом.
- Составить и решить задачу, в которой вы можете узнать возраст своих родителей, с помощью системы уравнений.
Решение задач с помощью систем линейных уравнений
Алгоритм решения задачи с помощью системы линейных уравнений
- Обозначить неизвестные величины переменными («от смысла к буквам»).
- По условию задачи записать уравнения, связывающие обозначенные переменные.
- Решить полученную систему уравнений.
- Истолковать результат в соответствии с условием задачи («от букв к смыслу»).
Задуманы два числа. Если от первого отнять второе, то получается 10. Если к первому прибавить удвоенное второе, то получается 91. Найдите задуманные числа.
«От смысла к буквам»:
Пусть x и y — задуманные числа.
Уравнения по условию задачи::
Решение системы уравнений:
«От букв к смыслу»:
Задуманы числа 37 и 27.
Примеры
Пример 1. Периметр прямоугольника равен 48 см. Его длина больше ширины в 3 раза.
Найдите стороны прямоугольника.
Пусть a и b — длина и ширина прямоугольника.
$$ <\left\< \begin
Ответ: длина прямоугольника 18 см, ширина 6 см.
Пример 2. Два программиста из Бомбея, работающие в одном проекте, написали 100500 строк кода. Первый работал 70 дней, второй – 100 дней. Сколько строк писал каждый программист ежедневно, если за первые 30 дней первый написал на 5550 строк больше, чем второй?
Пусть x — ежедневное количество строк для 1-го программиста, y- для 2-го.
$$ <\left\< \begin
$$ \Rightarrow (+) <\left\< \begin
Ответ: 700 строк и 515 строк
Пример 3. За 2 кг конфет и 3 кг печенья заплатили 1540 руб. Сколько стоит 1 кг конфет и 1 кг печенья, если 2 кг печенья дороже 1 кг конфет на 210 руб.?
Пусть x — цена за 1 кг конфет, y — за 1 кг печенья.
$$ <\left\< \begin
Ответ: 1 кг конфет — 350 руб. и 1 кг печенья — 280 руб.
Пример 4. Катер за 3 ч движения против течения реки и 2 часа по течению проходит 73 км. Найдите собственную скорость катера и скорость течения, если за 4 ч движения по течению катер проходит на 29 км больше, чем за 3 ч движения против течения.
Пусть v — скорость катера (км/ч), u — скорость течения (км/ч).
$$ \Rightarrow <\left\< \begin
Ответ: скорость катера 15 км/ч и скорость течения 2 км/ч
Пример 5. 5 карандашей и 3 тетрадки вместе стоили 170 руб. После того, как карандаши подешевели на 20%, а тетрадки подорожали на 30%, за 3 карандаша и 5 тетрадок заплатили 284 руб. Найдите первоначальную цену карандаша и тетрадки.
Пусть x – первоначальная цена карандаша, y — тетрадки.
$$ <\left\< \begin
Ответ: карандаш сначала стоил 10 руб., тетрадка — 40 руб.
Пример 6*. Велосипедист планирует добраться из пункта А в пункт В. Если он будет ехать на 3 км/ч быстрее, чем обычно, он доберётся на 1 час раньше. А если он будет ехать на 2 км/ч медленней, чем обычно, то – на 1 час позже. Найдите обычную скорость велосипедиста и время поездки при этой скорости.
Пусть v – обычная скорость велосипедиста (км/ч), t — обычное время (ч).
Расстояние между А и В неизменно, и по условию равно:
Ответ: обычная скорость 12 км/ч, время 5 ч
Пример 7*. В одной бочке налито 12 л, во второй – 32 л. Если первую бочку доверху наполнить водой из второй, то вторая бочка будет наполнена ровно наполовину своего объёма. Если вторую бочку доверху наполнить водой из первой, то первая бочка будет наполнена на 1/6 своего объёма. Найдите объём каждой бочки.
Пусть x — объём первой бочки (л), y – объём второй (л).
Пусть a л перелито из второй бочки, и первая наполнилась до краёв, а во второй воды осталось наполовину:
Теперь пусть b л перелито из первой бочки, и вторая наполнилась до краёв, а в первой воды осталось на 1/6:
$$ <\left\< \begin
Ответ: первая бочка 24 л, вторая – 40 л
Пример 8*. Если школьник едет в школу на автобусе, а возвращается домой пешком, то он тратит на всю дорогу полтора часа. Если он едет туда и обратно на автобусе, то он тратит полчаса. Сколько времени потратит школьник, если он пойдёт туда и обратно пешком?
Пусть s — расстояние между домом и школой, v — скорость автобуса, u — скорость школьника, t — искомое время, потраченное на дорогу туда и обратно пешком.
По условию задачи:
Из второго уравнения $ \frac
И тогда искомое время:
$$ t = \frac<2s>
Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 1
презентация к уроку по алгебре (7 класс)
Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 1. Объяснение новой темы. Решение №1078,1080,1082 (Мерзляк А.Г.)
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| разбор новой темы, примеры, решение задач | 506.59 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Решение задач с помощью систем линейных уравнений
Способы решения систем линейных уравнений: графический способ; с пособ подстановки; с пособ сложения.
Задача. В корзине лежат бананы и яблоки. Известно, что бананов на 5 больше, чем яблок. Сколько бананов и сколько яблок в корзине, если всего в ней 17 фруктов? Решение. Пусть х – количество бананов в корзине, у – количество яблок. ( х + х) + (– у + у) = 5 + 17, х + х – у + у = 5 + 17, 11 + у = 17, у = 17 – 11, у = 6. Ответ: 11 бананов и 6 яблок. 2х = 22, х = 11.
Чтобы решить задачу с помощью системы уравнений, надо: выделить две неизвестные величины и обозначить их буквами; и спользуя условие задачи, составить систему уравнений; р ешить систему уравнений удобным способом; и столковать результат в соответствии с условием задачи.
Задача. Первый ученик за 3 тетради и 2 карандаша заплатил 66 рублей. Второй ученик за такие же 2 тетради и 3 карандаша заплатил 49 рублей. Сколько стоит тетрадь и сколько стоит карандаш? Решение. Пусть х рублей стоит тетрадь, у рублей стоит карандаш. тетради карандаши Всего Первый ученик 3х 2у 66 Второй ученик 2х 3у 49 ∙3 ∙ (– 2) 9х – 4х = 198 – 98, 5х = 100, х = 100 : 5, х = 20. 3∙20 + 2у = 66, 60 + 2у = 66, 2у = 66 – 60, 2у = 6, у = 6 : 2, у = 3. Ответ: 20 рублей стоит тетрадь, 3 рубля стоит карандаш.
Задача. 8 лошадей и 15 коров ежедневно съедают 162 килограмма травы. Сколько травы ежедневно съедает каждая лошадь и каждая корова, если известно, что 5 лошадей съедают травы на 3 килограмма больше, чем 7 коров? Решение. Пусть х кг травы съедает за день каждая лошадь, у кг съедает за день каждая корова. Лошади Коровы Всего/ разница I 8х 15у 162 II 5х 7у 3 ∙ 5 ∙ (– 8) 75у + 56у = 810 – 24, 131у = 786, у = 786 : 131, у = 6. 5х – 7 ∙ 6 = 3, 5х – 42 = 3, 5х = 3 + 42, 5х = 45, х = 45 : 5, х = 9. Ответ: 9 кг съедает лошадь, 6 кг съедает корова.
№ 1078 Решение. Пусть х –первое число, у – второе число. х + х + у – у = 63 + 19, 2х = 82, х = 82 : 2, х = 41. 41 + у = 63, у = 63 – 41, у = 22. Ответ: числа 41 и 22.
№1080. Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 р. Спрашивается, сколько аршин он купил того и другого, если синее стоило 5 р. за аршин, а черное 3р.? Решение. Пусть х аршин черного сукна, у аршин синего сукна купил купец. черное синее Всего Количество х у 138 Стоимость 3х 5у 540 ∙ (– 3) – 3у + 5у = – 414 + 540, 2у = 126, у = 126 : 2, у = 63. х + 63 = 138, х = 138 – 63, х = 75. Ответ: 75 аршин черного сукна, 63 аршин синего.
№1082. Чтобы накормить 4 лошадей и 12 коров, надо 120 кг сена в день, а чтобы накормить 3 лошадей и 20 коров – 167 кг сена. Найдите дневную норму сена для лошади и для коровы. Решение. Пусть х кг травы съедает за день каждая лошадь, у кг съедает за день каждая корова. Лошади Коровы Всего/ разница I 4х 12у 120 II 3х 20у 167 ∙ 3 ∙ (– 4) 36у – 80у = 360 – 668, – 44у = –308, у = –308 : (–44), у = 7. 3 х + 20 ∙ 7 = 167, 3 х +140 = 167, 3 х = 167 – 140, 3х = 27, х = 27 : 3, х = 9. Ответ: 9 кг съедает лошадь, 7 кг съедает корова.
Чтобы решить задачу с помощью системы уравнений, надо: выделить две неизвестные величины и обозначить их буквами; и спользуя условие задачи, составить систему уравнений; р ешить систему уравнений удобным способом; и столковать результат в соответствии с условием задачи. Итог урока
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок алгебры в 7 классе «Решение задач с помощью систем линейных уравнений»
Рекомендации к уроку: учителю математики совместно с классным руководителем необходимо провести заранее анкету о типе личности учащихся по объектам труда (методика Е.А. Климова). На начало урока класс.
Технологическая карта урока алгебры 7 класс по теме «Решение задач с помощью систем линейных уравнений»
Технологическая карта урока алгебры 7 класс по теме » Решение задач с помощью систем линейных уравнений".
Решение задач при помощи систем линейных уравнений
Различные задачи к учебнику А.Г. Мерзляка.
Урок по теме «Решение задач с помощью систем линейых уравнений»
На уроке используется инструмент коучинга — шкалирование.
Технологическая карта урока в 7 классе по теме «Решение задач с помощью систем линейных уравнений»
Тема урока: «Решение задач с помощью систем линейных уравнений» (1-й урок их 4-х по данной теме)Тип урока: урок новых знанийЦель: учить решать задачи с помощью систем линейных уравненийЗад.
Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 2
Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 2. Решение № 1094,1098,1100 (Мерзляк А.Г.).
Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 3
Решение задач с помощью систем линейных уравнений. Урок 3. Решение №1102,1104,1108,1110 (Мерзляк А.Г.).
http://reshator.com/sprav/algebra/7-klass/resheniya-zadachi-s-pomoshchyu-sistemy-linejnyh-uravnenij/
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2020/05/15/reshenie-zadach-s-pomoshchyu-sistem-lineynyh-uravneniy-urok-1