Решение задач системы рациональных уравнений

Рациональные уравнения с примерами решения

Содержание:

Рациональные уравнения. Равносильные уравнения

два уравнения называют равносильными, если они имеют одни и те же корни. Равносильными считают и те уравнения, которые корней не имеют.

Так, например, равносильными будут уравнения

Уравнения — не равносильны, так как корнем первого уравнения является число 10, а корнем второго — число 9.

Ранее, в 7 классе, вы знакомились со свойствами, которые преобразуют уравнения в равносильные им уравнения.

1) Если в любой части уравнения раскрыть скобки или привести подобные слагаемые, то получим уравнение, равносильное данному;

2) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному;

3) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.

Левая и правая части каждого из них являются рациональными выражениями.

Уравнении, левая и правая части которых являются рациональными выражениями, называют рациональными уравнениями.

В первых двух из записанных выше уравнений левая и правая части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми рациональными уравнениями. Если хотя бы одна часть уравнения — дробное выражение, то его называют дробным рациональным уравнением. Третье из записанных выше уравнений является дробным рациональным.

Как решать целые рациональные уравнения, мы рассмотрели при изучении математики в предыдущих классах. Рассмотрим теперь, как решать дробные рациональные уравнения, то есть уравнения с переменной в знаменателе.

Применение условия равенства дроби нулю

Напомним, что когда

Пример №202

Решите уравнение

Решение:

С помощью тождественных преобразований и свойств уравнений приведем уравнение к виду где и — целые рациональные выражения. Имеем:

Окончательно получим уравнение:

Чтобы дробь равнялась нулю, нужно, чтобы числитель равнялся нулю, а знаменатель не равнялся нулю.

Тогда откуда При знаменатель Следовательно, — единственный корень уравнения.

Решение последнего, равносильного данному, уравнения, учитывая условие равенства дроби нулю, удобно записывать так:

Значит, решая дробное рациональное уравнение, можно:

1) с помощью тождественных преобразований привести уравнение к виду

2) приравнять числитель к нулю и решить полученное целое уравнение;

3) исключить из его корней те, при которых знаменатель равен нулю, и записать ответ.

Использование основного свойства пропорции

Если то где

Пример №203

Решите уравнение

Решение:

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении. Так как знаменатели дробей не могут равняться нулю, то Имеем: то есть ОДЗ переменной содержит все числа, кроме 1 и 2.

Сложив выражения в правой части уравнения, приведем его к виду: получив пропорцию:

По основному свойству пропорции имеем:

Решим это уравнение:

откуда

Так как число 4 принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, то 4 является его корнем.

Запись решения, чтобы не забыть учесть ОДЗ, удобно закончить так:

Таким образом, для решения дробного рационального уравнения можно:

1) найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной в уравнении;

2) привести уравнение к виду

3) записать целое уравнение и решить его;

4) исключить из полученных корней те, которые не принадлежат ОДЗ, и записать ответ.

Метод умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель дробей

Пример №204

Решите уравнение

Решение:

Найдем ОДЗ переменной и простейший общий знаменатель всех дробей уравнения, разложив знаменатели на множители:

Областью допустимых значений переменной будут те значения при которых то есть все значения кроме чисел А простейшим общим знаменателем будет выражение

Умножим обе части уравнения на это выражение:

Получим: а после упрощения: то есть откуда или

Число 0 не принадлежит ОДЗ переменной исходного уравнения, поэтому не является его корнем.

Следовательно, число 12 — единственный корень уравнения. Ответ. 12.

Решая дробное рациональное уравнение, можно:

3) умножить обе части уравнения на этот общий знаменатель;

4) решить полученное целое уравнение;

5) исключить из его корней те, которые не принадлежат ОДЗ переменной уравнения, и записать ответ.

Пример №205

Являются ли равносильными уравнения

Решение:

Поскольку уравнения являются равносильными в случае, когда они имеют одни и те же, или не имеют корней, найдем корни данных уравнений.

Первое уравнение имеет единственный корень а второе — два корня (решите уравнения самостоятельно). Следовательно, уравнения не являются равносильными.

Степень с целым показателем

Напомним, что в 7 классе мы изучали степень с натуральным показателем. По определению:

где — натуральное число,

В математике, а также при решении задач практического содержания, например в физике или химии, встречаются степени, показатель которых равен нулю или является целым отрицательным числом. Степень с отрицательным показателем можно встретить и в научной или справочной литературе. Например, массу атома гелия записывают так: кг. Как понимать смысл записи

Рассмотрим степени числа 3 с показателями — это соответственно

В этой строке каждое следующее число втрое больше предыдущего. Продолжим строку в противоположном направлении, уменьшая каждый раз показатель степени на 1. Получим:

Число должно быть втрое меньше числа равного числу 3. Но втрое меньшим числа 3 является число 1, следовательно, Равенство справедливо для любого основания при условии, что

Нулевая степень отличного от нуля числа а равна единице, то есть при

Вернемся к строке со степенями числа 3, где слева от числа записано число Это число втрое меньше, чем 1, то есть равно Следовательно, Рассуждая аналогично получаем: и т. д.

Приходим к следующему определению степени с целым отрицательным показателем:

если натуральное число, то

Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

К изучению предлагается тема «Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений». Для более уверенного решения систем рациональных неравенств и систем уравнений ученикам к рассмотрению предлагается рассмотреть решение систем уравнений. Решением системы является такая пара чисел, при подстановке которых получаем из системы верные равенства. Первое решение систем осуществляется методом подстановки, второе – графическим методом.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Алгебра. 8 класс

Тема: Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

Содержание модуля (краткое изложение модуля):

Рассмотрим задачу №1.
При совместной работе двух программистов программа была написана за 6 ч. Сколько времени потребовалось бы каждому программисту отдельно для написания программы, если первому программисту для этого требуется на 5 часов больше, чем второму?
Составим таблицу с данными по основным величинам: производительность (скорость работы), время и работа.

Запишем уравнение, отражающее производительность при совместной работе двух программистов
1/(x + 5) + 1/x = 1/6
По смыслу задачи х ≠ 0 и х ≠ 5. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей 6х(х + 5)
(1 • 6x(x + 5))/(x + 5) + (1 • 6x(x + 5))/x = (1 • 6x(x + 5))/6
После преобразований, решим уравнение
6x + 6(x + 5) = x(x + 5)
6x + 6x + 30 = x 2 + 5x
x 2 — 7x — 30 = 0
x₁ = 10; x₂ = -3
Значение –3 не подходит по смыслу задачи, значит, второй программист напишет программу за 10 часов, а первый потратит на 5 часов больше, то есть 15 часов. t₁ = 15ч; t₂ = 10ч.
Рассмотрим задачу №2.
В лимонад добавили 150 граммов воды. В результате концентрация сахара в лимонаде уменьшилась на 3%. Определим первоначальную массу лимонада, если известно, что в нём содержалось 65 граммов сахара.
Основные величины задачи: масса лимонада, масса сахара и концентрация сахара. Составим таблицу

Запишем уравнение
65/x • 100% — 65/(x + 150) • 100% = 3%
По смыслу задачи х ≠ 0 и х ≠ –150. Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей х(х + 150)
(65 • x(x + 150))/x • 100% — (65 • x(x + 150))/(x + 150) • 100% = 3% • x(x + 150)
После преобразований, решим уравнение
6500(x + 150) — 6500x = 3x(x + 150)
6500x + 6500 • 150 — 6500x = 3x 2 + 450x
3x 2 + 450x — 6500 • 150 = 0
x 2 + 150x — 6500 • 50 = 0
x₁ = 500; x₂ = -650
Значение –650 не подходит по смыслу задачи, значит, первоначальная масса лимонада 500 граммов.

Алгебра. 8 класс: учеб. для общеобразоват. организаций / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. – 6-е изд. – М.: Просвещение, 2017.

Восстановите порядок действий при решении дробного рационального уравнения.