Решение задач составлением уравнения
Разделы: Математика
«Умственную самодеятельность, сообразительность и смекалку нельзя ни «вдолбить», ни «вложить» ни в чью голову. Результаты надёжны лишь тогда, когда введение в область математических знаний осуществляется в лёгкой и приятной форме, на предметах и примерах обыденной и повседневной обстановки, подобранных с надлежащим остроумием и занимательностью».
Е.И. Игнатьев «В царстве смекалки»
Цель обучающая: Научить анализировать условие задачи, выбирать рациональные способы решения, составлять уравнение, решать его, проверять правильность решения.
Цель воспитательная: Развитие абстрактного и логического мышления.
I. Актуализация опорных знаний.
1) Что называется уравнением? Что называется корнем уравнения? Что значит решить уравнение?
2) Решите уравнение .
Решение: а) ; ; x= ;
б) НОЗ=6; ; ; ; ;
3) Составьте буквенное выражение.
Наташа купила блокнот за m рублей, книгу на 20 рублей дороже блокнота и ручку в 2.5 раза дешевле книги. Сколько рублей стоит ручка?
Решение: (m+20) рублей цена книги, рублей цена ручки.
4) Из двух сёл, расстояние между которыми 10 км навстречу друг другу вышли мальчик и девочка и встретились через 2 часа. Скорость мальчика 3 км/час. Найдите скорость девочки.
Решение: а) 3*2=6(км) прошел мальчик, 10-6=4(км) прошла девочка, 4:2=2(км/ч) скорость девочки
б) 10:2=5(км/ч) скорость сближения, 5-3=2(км/ч) скорость девочки.
II. Сообщение темы и цели урока.
III. Решение задач составлением уравнения.
1) Андрей старше Олега на 4 года, а Олег старше Бориса в 1,5 раза. Вместе им 36 лет. Сколько лет каждому из них?
Первый ряд решает задачу, взяв за неизвестную величину возраст Андрея, второй ряд — возраст Олега, третий ряд-возраст Бориса. А затем каждый ряд объясняет своё решение у доски.
Условие задачи | Решение уравнения | Проверка |
Х лет Андрею, лет Борису, | 16+12+8=36 | |
Х лет Олегу лет Борису | 12+16+8=36 | |
Х лет Борису (1,5х+4) лет Андрею | 8+12+16=36 |
Если в задаче несколько неизвестных величин, лучше обозначить буквой наименьшую из них.
2) Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух посёлков и встретились через 3ч. Расстояние между посёлками 30 км. Найдите скорость каждого пешехода, если у одного она на 2 км/ч меньше, чем у другого.
а) Ученики решают задачу составлением уравнения.
Х км/ч – скорость 1-го пешехода
(х+2) км/ч – скорость 2-го пешехода
3х км прошел 1-й пешеход
3(х+2) км прошел 2-й пешеход
3х+3(х+2)=30 | 4 |
3х+3х+6=30 | +6 |
6х+6=30 | +12 |
6х=24 | +18 |
Х=4 | =30 |
б) Затем решают арифметическим способом.
10-2=8(км/ч)-две скорости 1-го пешехода.
8:2=4(км/ч)-скорость 1-го пешехода.
4+2=6(км/ч)-скорость 2-го пешехода.
Вывод. Арифметическое решение задачи более рациональное
3)Для распечатки 340 страниц были использованы две копировальные машины. Первая машина работала 10 минут, а вторая 15 минут. Сколько страниц в минуту печатает каждая машина, если первая печатает на 4 страницы больше, чем вторая?
Снова дети решают задачу алгебраически и арифметически.
А) х страниц за 1 минуту печатает 2-я машина,
(х+4) страниц за 1 минуту напечатает 1-я машина,
15х страниц напечатает 2 машина,
10(х+4) страниц напечатает 2 машина,
15х+10(х+4=340 | 12 |
15х+10х+40=340 | +16 |
25х+40=340 | +180 |
25х=300 | +160 |
Х=12 | =340 |
б) 10*4=40(стр) на столько страниц больше напечатает 1-я машина за 10 минут
340-40=300(стр) напечатали бы обе машины вместе, если бы у них были одинаковые скорости.
10+15=25(мин) работали обе машины.
300:25=12(стр) за 1-у минуту печатает 2-я машина.
12+4=16 (стр) за 1-у минуту печатает 1-я машина.
При решении задач с помощью уравнения поступают следующим образом:
- Внимательно читают условие задачи.
- Обозначают неизвестную величину буквой.
- Переводят условие задачи на алгебраический язык.
- Составляют уравнение.
- Решают уравнение.
- Проверяют правильность решения
V. Домашнее задание.
Решить задачу алгебраически и арифметически.
Охотничья собака спугнула зайца, который сидел под кустом в 150м от неё. Через сколько минут собака догонит зайца, если она пробегает за 6 минут 3,6км, а заяц только 3км?
- Л.В. Кузнецова, Е.А. Бунимович, Б.П. Пигарев, С.Б. Суворова «Алгебра» сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. Москва. «Дрофа». 2001г; стр 43, работа №31, вариант 1(5); стр 50, работа №38, вариант 2(7); стр 65, работа №48, вариант 1(6).
- Составители Т.А. Братусь, Н.А. Жарковская, Е.А Рисс, Т.Е Савелова «Детский математический календарь 2001-2002». Санкт — Питербург стр10.
- Н.Т. Кострикина «Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов». Москва. «Просвещение» 1991 стр5-19.
Решение задач с помощью уравнений
Тема урока: § 6. Решение задач с помощью уравнений. Приведены все необходимые и достаточные сведения для решения текстовых задач с помощью составления уравнений.
Введение
В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия.
Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным.
Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение — это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого либо процесса, события.
Чтобы получить ответ — уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.
Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений
Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:
- Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
- Решают уравнение.
- Истолковывают результат.
Примеры решений
Задача 1.
В мешке было в 3 раза меньше монет, чем в сундуке. После того как из мешка переложили 24 монеты, в сундуке их стало в 7 раз больше, чем в мешке. Сколько было монет в мешке и сколько в сундуке?
Пусть $x$ — количество монет в мешке, а значит в сундуке: $3x$ монет. После того, как из мешка переложили $24$ монеты, в сундуке стало: $3x+24$, а в мешке $x-24$. И если в сундуке их стало в $7$ раз больше чем в мешке, то имеем: $3x+24=7(x-24)$.
Ну вот мы и составили уравнение (математическую модель), осталось решить уравнение относительно $x$ и записать ответ.
Решим полученное уравнение: $3x+24=7(x-24)$. Легко увидеть, что уравнение является линейным (узнать как решаются линейные уравнения можно тут.)
Раскроем скобки в правой части уравнения: $3x+24=7x-7\cdot 24$. Перенесём все слагаемые содержащие переменную в правую часть, а всё что не содержит $x$ в левую, получим: $24+7\cdot 24=7x-3x$. После упрощения получили $192=4x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном, т.е на $4$, тогда получим $x=48$.
Осталось истолковать ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество монет в мешке, значит в сундуке в три раза больше т.е $3x$.
Монет в мешке: $48$
Монет в сундуке: $48\cdot 3=144$
Задача 2.
Купили 3600 кг муки и высыпали её в три мешка. В первый мешок муки вошло в 3 раза больше, чем во второй, а в третий мешок насыпали 800 кг муки. Сколько муки насыпали в первый и сколько во второй мешок?
Пусть в первый мешок насыпали $3x$ кг муки, тогда во второй мешок насыпали $x$ кг. Если сложим количество кг в каждом мешке, то получим $3600$ кг муки. Имеем: $3x+x+800=3600$, решим уравнение классическим методом.
Все слагаемые содержащие $x$ оставим слева, а всё остальное перенесём в правую часть равенства: $3x+x=3600-800$, упростим обе части; $4x=2800$ поделим обе части равенства на $4$ и получим ответ: $x=700$.
Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество муки во втором мешке, по условию в первом в три раза больше.
Муки в первом мешке: $700\cdot 3=2100$ кг.
Муки во втором мешке: $700$ кг.
Задача 3.
В первом мешке в 4 раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 40 кг картофеля, а во второй насыпали ещё 5 кг, в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.
Пусть во втором мешке $x$ кг картофеля, тогда в первом мешке $4x$ кг. Из первого взяли $40$ кг, тогда в первом стало: $4x-40$. Во второй мешок насыпали $5$ кг и теперь в нём: $x+5$ кг картошки. Нам известно, что после этих изменений количество картофеля в мешках стало поровну, запишем это с помощью линейного уравнения:
Решим это линейное уравнение. Все слагаемые содержащие переменную перенесём влево, а свободные члены вправо и получим:
Избавимся от коэффициента при неизвестном и получим ответ:
Ответ.
За переменную $x$ мы обозначали количество кг картошки во втором мешке, по условию в первом в четыре раза больше.
Картошки в первом мешке: $15\cdot 4=60$ кг.
Картошки во втором мешке: $15$ кг.
Задача 4.
По шоссе едут две машины с одной и той же скоростью. Если первая увеличит скорость на 20 км/ч, а вторая уменьшит скорость на 20 км/ч, то первая за 2 часа пройдёт то же самое расстояние, что и вторая за 4 часа. Найдите первоначальную скорость машин.
Пусть машины едут со скоростью $v$ км/ч, тогда после ускорения первой машины её скорость стала: $v+20$ км/ч, а скорость второй машины после замедления стала: $v-20$ км/ч. Нам известно по условию, что после изменения скоростей машин, первая проходит за два часа ровно столько, сколько вторая за четыре, тогда имеем:
По известной нам формуле $S=vt$ ($S$ — расстояние, $v$ — скорость, $t$ — время)
Сократим обе части равенства на $2$, тогда получим: $v+20=2(v-20)$. Раскроем скобки в правой части уравнения и сгруппируем все переменные в правой части равенства.
Ответ.
В качестве неизвестной величины в задаче мы взяли $v$ (первоначальную скорость машин).
Первоначальная скорость машин: $v=60$ км/ч.
Задача 5.
В первую бригаду привезли раствора цемента на 50 кг меньше, чем во вторую. Каждый час работы первая бригада расходовала 150 кг раствора, а вторая – 200кг. Через 3 ч работы в первой бригаде осталось раствора в 1,5 раза больше, чем во второй. Сколько раствора привезли в каждую бригаду?
Пусть во вторую бригаду привезли $x$ кг раствора цемента, тогда в первую бригаду привезли $x-50$ кг. Через 3 часа работы у первой бригады осталось $x-50-3\cdot 150$ кг цемента, а у второй $x-3\cdot 200$ кг.
По условию известно, что через 3 часа работы в первой бригаде осталось в 1,5 раза больше цемента, чем во второй, тогда имеем:
$$x-50-3\cdot 150=1,5(x-3\cdot 200)$$
Осталось решить данное уравнение относительно $x$ и истолковать ответ.
Упростим и раскроем скобки в правой части, тогда получим:
Если вам неудобно работать с десятичными дробями, то вы всегда можете их переводить в рациональный вид: $1,5=\frac<15><10>=\frac<3><2>$.
Запишем с учётом перевода дробей и упростим:
Перенесём слагаемые содержащие переменную в правую сторону, а всё остальное в левую:
Домножим обе части на 2 и получим ответ:
Ответ.
В качестве переменной в задаче мы взяли $x$ (кол-во кг цемента который привезли во вторую бригаду), по условию в первую привезли на 50 кг меньше, а значит $x-50$
Кол-во цемента в первой бригаде: $800-50=750$ кг.
Кол-во цемента во второй бригаде: $800$ кг.
Задачи для самостоятельного решения
По контракту работникам причитается 48 франков за каждый отработанный день, а за каждый неотработанный день с них вычитается по 12 франков. Через 30 дней выяснилось, что работникам ничего не причитается. Сколько дней они отработали в течение этих 30 дней?
Пусть работники отработали $n$ дней, тогда $30-n$ дней они не отработали.
В итоге мы понимаем, что за $n$ рабочих дней они зарабатывают $48n$ франков и с них вычитается за $30-n$ не отработанных дней по $12(30-n)$ франков. Тогда ясно, что: $48n-12(30-n)=0$
Ответ: Рабочие отработали 6 дней.
Кирпич весит фунт и полкирпича. Сколько фунтов весит кирпич?
Пусть целый кирпич весит весит $k$ фунтов, тогда имеем:
1 фунт и половина кирпича = целый кирпич.
Бутылка с пробкой стоит 10 копеек, причем бутылка на 9 копеек дороже пробки. Сколько стоит бутылка без пробки?
Пусть бутылка стоит $b$ копеек, а пробка $p$ копеек, тогда:
$b+p=10$ и $b=p+9$, подставив значение $b$ в первое равенство — получим:
Т.е пробка стоит пол копейки, тогда бутылка $9,5$ копеек.
Ответ: 9,5 копеек стоит бутыка без пробки.
На свитер, шапку и шарф израсходовали 555 г шерсти, причем на шапку ушло в 5 раз меньше шерсти, чем на свитер, и на 5 г больше, чем на шарф. Сколько шерсти израсходовали на каждое изделие?
Пусть на свитер потратили $5x$ г шерсти, тогда на шапку ушло $x$ г и на шарф потребовалось $x-5$ г, имеем:
Ответ: На шапку ушло $80$ г, на свитер $5\cdot 80=400$ г, на шарф $80-5=75$ г.
Три пионерских звена собрали для школьной библиотеки 65 книг. Первое звено собрало на 10 книг меньше, чем второе, а третье — 30% того числа книг, которое собрали первое и второе звено вместе. Сколько книг собрало каждое звено?
Пусть второе звено собрало $x$ книг, тогда первое собрало $x-10$ книг, а третье $0,3(2x-10)$, имеем:
$$2x-10+0,3\cdot 2x-0,3\cdot 10=65$$
$$2x+0,3\cdot 2x=65+10+0,3\cdot 10$$
Ответ: Первое звено собрало $30-10=20$ книг, второе $30$ книг, третье $0,3(60-10)=15$ книг.
http://reshu.su/algebra/06/