Решение задач уравнение ax b

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Специальная часть Ax + B

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Дифференциальные уравнения

Пример 2. y’’ -2y’ + y = x-1
Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 -2 r + 1 = 0
D = (-2) 2 — 4 • 1 • 1 = 0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r₁ = 1 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e x
y₂ = xe x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = x-1
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = x-1, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y * = Ax + B
Вычисляем производные:
y’ = A
y» = 0
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y» -2y’ + y = -2A + (Ax + B) = x-1
или
A•x-2A+B = x-1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
A = 1
-2A + B = -1
Откуда: A = 1;B = 1;
Частное решение имеет вид:
y * = x + 1
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 3. y’’ +6y’ + 9y = 9x 2 +12x-43

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Решение уравнения будем искать в виде y = e rx . Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r 2 +6 r + 9 = 0
D = 6 2 — 4 • 1 • 9 = 0


Корни характеристического уравнения:
Корень характеристического уравнения r₁ = -3 кратности 2.
Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:
y₁ = e -3x
y₂ = xe -3x
Общее решение однородного уравнения имеет вид:

Рассмотрим правую часть:
f(x) = 9•x 2 +12•x-43
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = e αx (P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) — некоторые полиномы
имеет частное решение
y(x) = x k e αx (R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k — кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) — полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = 9•x 2 +12•x-43, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0 + 0i не является корнем характеристического уравнения .
Уравнение имеет частное решение вида:
y * = Ax 2 + Bx + C
Вычисляем производные:
y’ = 2•A•x+B
y» = 2•A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y» + 6y’ + 9y = 2•A + 6(2•A•x+B) + 9(Ax 2 + Bx + C) = 9•x 2 +12•x-43
или
9•A•x 2 +12•A•x+2•A+9•B•x+6•B+9•C = 9•x 2 +12•x-43
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
9A = 9
12A + 9B = 12
2A + 6B + 9C = -43
Решая ее методом Гаусса, находим:
A = 1;B = 0;C = -5;
Частное решение имеет вид:
y * = x 2 -5
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y = C₁ e -3 x + C₂ xe -3 x + x 2 -5

Решение матричных уравнений: теория и примеры

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,

где x — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:

.

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому

.

Так как E — единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

.

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

,

,

.

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

.

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Пример 2. Решить матричное уравнение

.

Пример 3. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Находим неизвестную матрицу:

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

.

Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 5. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 6. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Найдём матрицу, обратную матрице B .

Сначала найдём определитель матрицы B :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы B :

Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :

.

Находим матрицу, обратную матрице B :

.

Уравнение с одним неизвестным

Уравнение вида ax = b, где x — неизвестное, a и b — числа, называется уравнением с одним неизвестным или линейным уравнением.

Число a называется коэффициентом при неизвестном, а число b — свободным членом.

Если в уравнении ax = b коэффициент не равен нулю (a ≠ 0), то, разделив обе части уравнения на a, получим . Значит, уравнение ax = b, в котором a ≠ 0, имеет единственный корень .

Если в уравнении ax = b коэффициент равен нулю (a = 0), а свободный член не равен нулю (b ≠ 0), то уравнение не имеет корней, так как равенство 0x = b, где b ≠ 0, не является верным ни при каком значении x.

Если в уравнении ax = b и коэффициент, и свободный член равны нулю (a = 0 и b = 0), то уравнение имеет бесконечное множество корней, так как равенство 0x = 0 верно при любом значении x.

Решение уравнений с одним неизвестным

Все уравнения с одним неизвестным решаются одинаково с помощью преобразований, которые могут выполняться в любом порядке. Список возможных преобразований, которые могут быть использованы для решения уравнений:

• освобождение от дробных членов;
• раскрытие скобок;
• перенос всех членов, содержащих неизвестное, в одну часть, а известные — в другую (члены с неизвестными, как правило, переносят в левую часть уравнения);
• сделать приведение подобных членов;
• разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Пример 1. Решить уравнение

Освобождаем уравнение от дробных членов:

20x — 28 — 24 = 9x + 36.

20x — 9x = 36 + 28 + 24.

Выполняем приведение подобных членов:

Делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном (на 11):

Делаем проверку, подставив в данное уравнение вместо x его значение:

Уравнение обратилось в верное равенство, следовательно, корень был найден верно.

Пример 2. Решить уравнение

Это уравнение проще решить, не раскрывая скобок, поэтому делим обе части уравнения на 5:

Выполняем приведение подобных членов:

Обычно все рассуждения при решении уравнения производят устно, а само решение записывается так: