Решение задач уравнение в отрезках

Уравнение прямой в отрезках

В данной статье мы рассмотрим уравнение прямой в отрезках. Представим методы преобразования уравнения прямой в отрезках в уравнение прямой в общем виде и обратно. Рассмотрим численные примеры.

Уравнение прямой в отрезках представляется следующей формулой:

(1)

где a и b числа, отличные от нуля.

Отметим, что числа a и b в уравнении (1) имеют простой геометрический смысл. Они равны длинам отрезков, которые отсекает прямая на осях Ox и Oy (Рис.1).

Действительно. Подставляя в (1) y=0, получим x=a, если же подставить в (1) x=0, то получим y=b. Таким образом прямая L проходит через точки M₁(a, 0) и M₂(0, b).

Пример 1. Составить уравнение прямой, которая пересекает оси Ox и Oy в точках −1 и 3, соответственно.

Решение. Подставляя значения a=−1 и b=3 в (1), получим:

.

.

Приведение уравнения прямой в отрезках к общему виду

Левая часть уравнения (1) приведем к общему знаменателю:

.

Далее, умножив обе части уравнения на ab, получим:

Пример 2. Уравнение прямой в отрезках представлено следующим уравнением:

Перевести уравнение к общему виду.

Решение. Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

.

Умножив обе части уравнения на −20, получим:

Приведение общего уравнения прямой на плоскости к уравнению прямой в отрезках

где A, B, C − отличные от нуля числа.

Сделаем следующие преобразования. Переведем свободный член C на правую часть уравнения и разделим обе части уравнения на −C:

(2)

Уравнение (2) можно переписать в следующем виде:

(3)

Сделаем следующие обозначения:

Тогда получим уравнение прямой в отрезках (1).

Пример 3. Привести общее уравнение прямой

к уравнению прямой в отрезках.

Решение. Так как все коэффициенты уравнения отличны от нуля, можно построить уравнение прямой в отрезках. Воспользуемся формулой (3). Имеем: A=5, B=8, C=−3. Подставив эти значения в формулу (3), получим:

Уравнение прямой в отрезках: описание, примеры, решение задач

Продолжаем изучение раздела «Уравнение прямой на плоскости» и в этой статье разберем тему «Уравнение прямой в отрезках». Последовательно рассмотрим вид уравнения прямой в отрезках, построение прямой линии, которая задается этим уравнением, переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках. Все это будет сопровождаться примерами и разбором решения задач.

Уравнение прямой в отрезках – описание и примеры

Пусть на плоскости расположена прямоугольная система координат O x y .

Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат O x y задается уравнением вида x a + y b = 1 , где a и b – это некоторые действительные числа, отличные от нуля, величины которых равны длинам отрезков, отсекаемых прямой линией на осях O x и O y . Длины отрезков считаются от начала координат.

Как мы знаем, координаты любой из точек, принадлежащих прямой линии, заданной уравнением прямой, удовлетворяют уравнению этой прямой. Точки a , 0 и 0 , b принадлежат данной прямой линии, так как a a + 0 b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 и 0 a + b b = 1 ⇔ 1 ≡ 1 . Точки a , 0 и b , 0 расположены на осях координат O x и O y и удалены от начала координат на a и b единиц. Направление, в котором нужно откладывать длину отрезка, определяется знаком, который стоит перед числами a и b . Знак « — » обозначает, что длину отрезка необходимо откладывать в отрицательном направлении координатной оси.

Поясним все вышесказанное, расположив прямые относительно фиксированной декартовой системы координат O x y на схематическом чертеже. Уравнение прямой в отрезках x a + y b = 1 применяется для построения прямой линии в декартовой системе координат O x y . Для этого нам необходимо отметить на осях точки a , 0 и b , 0 , а затем соединить эти точки линией при помощи линейки.

На чертеже показаны случаи, когда числа a и b имеют различные знаки, и, следовательно, длины отрезков откладываются в разных направлениях координатных осей.

Прямая линия задана уравнением прямой в отрезках вида x 3 + y — 5 2 = 1 . Необходимо построить эту прямую на плоскости в декартовой системе координат O x y .

Решение

Используя уравнение прямой в отрезках, определим точки, через которые проходит прямая линия. Это 3 , 0 , 0 , — 5 2 . Отметим их и проведем линию.

Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках

Переход от заданного уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках облегчает нам решение различных задач. Имея полное общее уравнение прямой, мы можем получить уравнение прямой в отрезках.

Полное общее уравнение прямой линии на плоскости имеет вид A x + B y + C = 0 , где А , В и C не равны нулю. Мы переносим число C в правую часть равенства, делим обе части полученного равенства на – С . При этом, коэффициенты при x и y мы отправляем в знаменатели:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = — C ⇔ ⇔ A — C x + B — C y = 1 ⇔ x — C A + y — C B = 1

Для осуществления последнего перехода мы воспользовались равенством p q = 1 q p , p ≠ 0 , q ≠ 0 .

В результате, мы осуществили переход от общего уравнения прямой A x + B y + C = 0 к уравнению прямой в отрезках x a + y b = 1 , где a = — C A , b = — C B .

Разберем следующий пример.

Осуществим переход к уравнению прямой в отрезках, имея общее уравнение прямой x — 7 y + 1 2 = 0 .

Решение

Переносим одну вторую в правую часть равенства x — 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x — 7 y = — 1 2 .

Делим обе части равенства на — 1 2 : x — 7 y = — 1 2 ⇔ 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 .

Преобразуем полученное равенство к нужному виду: 1 — 1 2 x — 7 — 1 2 y = 1 ⇔ x — 1 2 + y 1 14 = 1 .

Мы получили уравнение прямой в отрезках.

Ответ: x — 1 2 + y 1 14 = 1

В тех случаях, когда прямая линия задана каноническим или параметрическим уравнением прямой на плоскости, то сначала мы переходим к общему уравнению прямой, а затем уже к уравнению прямой в отрезках.

Перейти от уравнения прямой в отрезках и общему уравнению прямой осуществляется просто: мы переносим единицу из правой части уравнения прямой в отрезках вида x a + y b = 1 в левую часть с противоположным знаком, выделяем коэффициенты перед неизвестными x и y .

x a + y b = 1 ⇔ x a + y b — 1 = 0 ⇔ 1 a · x + 1 b · y — 1 = 0

Получаем общее уравнение прямой, от которого можно перейти к любому другому виду уравнения прямой на плоскости. Процесс перехода мы подробно разобрали в теме «Приведение общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой».

Уравнение прямой в отрезках имеет вид x 2 3 + y — 12 = 1 . Необходимо написать общее уравнение прямой на плоскости.

Решение

Действует по заранее описанному алгоритму:

x 2 3 + y — 12 = 1 ⇔ 1 2 3 · x + 1 — 12 · y — 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0

Ответ: 3 2 · x — 1 12 · y — 1 = 0

Уравнение плоскости в отрезках. Примеры решения задач

Для определения параллельности и перпендикулярности плоскостей, а также для расчета расстояний между этими геометрическими объектами, удобно пользоваться тем или иным видом числовых функций. Для каких задач удобно использовать уравнение плоскости в отрезках? В данной статье рассмотрим, что это и как использовать в практических заданиях.

Что собой представляет уравнение в отрезках?

Плоскость можно задать в трехмерном пространстве несколькими способами. В данной статье некоторые из них будут приведены во время решения задач различного типа. Здесь же дадим подробную характеристику уравнению в отрезках плоскости. Оно в общем случае имеет следующий вид:

Вам будет интересно: Значение и происхождение фамилии Федоров

Где символами p, q, r обозначены некоторые конкретные числа. Это уравнение можно легко перевести в выражение общего вида и в другие формы числовых функций для плоскости.

Удобство записи уравнения в отрезках заключается в том, что оно содержит явные координаты пересечения плоскости с перпендикулярными осями координат. На оси x относительно начала координат плоскость отсекает отрезок длиною p, на оси y — равную q, на z — длиною r.

Если какой-либо из трех переменных не содержится в уравнении, то это означает, что через соответствующую ось плоскость не проходит (математики говорят, что пересекает в бесконечности).

Далее приведем несколько задач, в которых покажем, как работать с этим уравнением.

Связь общего и в отрезках уравнений

Известно, что плоскость задана следующим равенством:

2*x — 3*y + z — 6 = 0.

Необходимо это общее уравнение плоскости в отрезках записать.

Когда возникает подобная задача, нужно следовать такой методике: переносим свободный член в правую часть равенства. Затем делим на этот член все уравнение, стремясь его выразить в виде, приведенном в предыдущем пункте. Имеем:

2*x/6 — 3*y/6 + z/6 = 1 =>

Мы получили в отрезках уравнение плоскости, заданное изначально в общем виде. Заметно, что плоскость отсекает отрезки с длинами 3, 2 и 6 для осей x, y и z соответственно. Ось y плоскость пересекает в отрицательной области координат.

При составлении уравнения в отрезках важно, чтобы перед всеми переменными стоял знак «+». Только в этом случае число, на которое эта переменная делится, покажет отсекаемую на оси координату.

Нормальный вектор и точка на плоскости

Известно, что некоторая плоскость имеет направляющий вектор (3; 0; -1). Также известно, что она проходит через точку (1; 1; 1). Следует для этой плоскости написать уравнение в отрезках.

Чтобы решить эту задачу, следует для начала воспользоваться общей формой для этого двумерного геометрического объекта. Общая форма записывается в виде:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Три первых коэффициента являются здесь координатами вектора направляющего, который задан в условии задачи, то есть:

Остается найти свободный член D. Его определить можно по такой формуле:

D = -1*(A*x1 + B*y1 + C*z1).

Где значения координат с индексом 1 соответствуют координатам точки, принадлежащей плоскости. Подставляем их значения из условия задачи, получаем:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

Теперь можно записать полностью уравнение:

Выше уже была продемонстрирована методика преобразования этого выражения в уравнение в отрезках плоскости. Применим ее:

Ответ на задачу получен. Заметим, что данная плоскость пересекает только x и z оси. Для y она параллельна.

Две прямые, задающие плоскость

Из курса пространственной геометрии каждый школьник знает, что две произвольные прямые задают однозначно плоскость в пространстве трехмерном. Решим подобную задачу.

Известны два уравнения прямых:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1).

Нужно записать в отрезках уравнение плоскости, через прямые эти проходящей.

Так как обе прямые должны лежать в плоскости, то это означает, что их вектора (направляющие) должны быть перпендикулярны вектору (направляющему) для плоскости. В то же время известно, что векторное произведение произвольных двух направленных отрезков дает результат в виде координат третьего, перпендикулярного двум исходным. Учитывая это свойство, получаем координаты нормального к искомой плоскости вектора:

Поскольку его можно умножать на произвольное число, при этом образуется новый направленный отрезок, параллельный исходному, то можно знак полученных координат заменить на противоположный (умножить на -1), получим:

Нам известен направляющий вектор. Остается взять произвольную точку одной из прямых и составить общее уравнение плоскости:

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

Переводим это равенство в выражение в отрезках, получаем:

Таким образом, плоскость пересекает все три оси в положительной области координатной системы.

Три точки и плоскость

Так же как две прямые, три точки задают плоскость однозначно в трехмерном пространстве. Запишем соответствующее уравнение в отрезках, если известны следующие координаты точек, лежащих в плоскости:

Поступим следующим образом: вычислим координаты двух произвольных векторов, соединяющих эти точки, затем, найдем нормальный к плоскости вектор n¯, рассчитав произведение найденных направленных отрезков. Получаем:

QP¯ = P — Q = (1; -1; 0);

QM¯ = M — Q = (2; 4; 0);

n¯ = [QP¯*QM¯] = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Возьмем для примера точку P, составим уравнение плоскости:

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

Мы получили простое выражение, которое соответствует плоскости xy в данной прямоугольной системе координат. Записать его в отрезках нельзя, поскольку оси x и y принадлежат плоскости, а длина отсекаемого на оси z отрезка равна нулю (точка (0; 0; 0) принадлежит плоскости).