Решение задачи коши для линейного неоднородного уравнения

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Задача Коши онлайн

Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:

при заданных начальных условиях:

При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .

Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:

удовлетворяющее начальным условиям:

Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:

Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:

Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :

Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :

Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:

Другие полезные разделы:

Оставить свой комментарий:

Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме

Решение задачи Коши методом Лагранжа

О.В. Зимина, А.И. Кириллов, Т.А. Сальникова. Решебник. Высшая математика. Стр. 281-284

11.11. Метод Лагранжа

Постановка задачи. Найти решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами

с начальными условиями

1. Записываем соответствующее однородное уравнение с постоянными коэффициентами

Находим фундаментальную систему решений y1(х) и у2(x) и общее решение однородного уравнения

2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных).

Если известна фундаментальная система решений у1(х), у2(х) однородного уравнения (2), то общее решение соответствующего неоднородного уравнения (1) может быть найдено по формуле

где функции С’1(х) и С’2(х) определяются из системы линейных алгебраических уравнений

Интегрируя, находим функции С1(х) и С2(х) и записываем общее решение неоднородного уравнения.

3. Используя начальные условия (1′), находим решение задачи Коши.

Записываем ответ в виде у = у(х).

Пример. Найти решение задачи Коши

с начальными условиями у(0) = 1, y‘(0) = 0.

1. Записываем соответствующее однородное уравнение:

Находим фундаментальную систему решений у1 = cos х и у2 = sin х и общее решение однородного уравнения

2. Применяем метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных):

а) ищем решение данного неоднородного уравнения в виде

б) записываем систему уравнений для определения функций С’1(х) и C’2(x):

Решая ее (так как решение ищем в окрестности точки х = 0, то cos х > 0), получим

в) записываем полученное общее решение данного неоднородного уравнения

3. Используя начальные условия, определяем константы C1* и C2*. Так как

у’(0) = ( ln cos 0 + C1*) sin 0 + ( ) cos 0 + sin 0 + (0 + C2*) cos 0 = 0 ,

Условия задач. Найти решения задач Коши для дифференциальных уравнений.

Уравнения	Начальные условия	Ответы
1.		y(1) = 0 , y’(1) = 0	у = (1 — х + х ln х) е -х
2.
3.	у» + 4у = 2 tg x	у(0) = 0 , y’(0) = — 2
4.		у(0) = 0 , y’(0) = 0
5.	у» + у = tg х	у(0) = 2 , y’(0) = 1
6.		у(1) = e , y’(1) = 3e	у = х е х (1 + ln х)
7.	у» — у = th х	y’(0) = 1	у = (е х + е -х )(1 + arctg е х )
8.	у» — 2у = 4 х² е х²	у(0) = 3 , y’(0) = 0
9.		у(1) = e — 4 ,
10.