Задача Коши онлайн
Данная задача возникает при поиске частного решения дифференциального уравнения. Наш онлайн калькулятор, построенные на основе системы Wolfram Alpha, позволяет найти решение задачи Коши для различных типов дифференциальных уравнений. Чтобы начать работу, необходимо ввести данные своей задачи (дифференциальное уравнение и начальные условия) в калькулятор.
Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения:
при заданных начальных условиях:
При постановке задачи Коши, указываются так называемые начальные условия, позволяющие однозначно выделить искомое частное решение из общего. Эти условия включают в себя значения функции и всех её производных до включительно (где -порядок дифференциального уравнения), заданные в одной и той же точке .
Поясним вышесказанное на конкретном примере. Пусть нам требуется найти частное решение дифференциального уравнения:
удовлетворяющее начальным условиям:
Первым делом, используя различные методы (Бернули, вариации произвольной постоянной Лагранжа), сначала находим общее решение данного дифференциального уравнения:
Теперь, для поиска частного решения, нам необходимо использовать заданные начальные условия. Для этого, находим производную функции полученной ранее:
Далее, поставляем начальные условия в функцию и её производную :
Решая полученную систему уравнений получаем значения произвольных постоянных и :
Подставляем полученные результаты в общее решение дифференциального уравнения, в результате получаем искомое частное решение:
Другие полезные разделы:
Оставить свой комментарий:
Мы в социальных сетях:
Группа ВКонтакте | Бот в Телеграмме
Задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассмотрим задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений $$ \begin
Используя векторные обозначения, задачу (1), (2) можно записать как задачу Коши $$ \begin
Численные методы решения задачи Коши
Существует большое количество методов численного решения задачи (3), (4). Вначале рассмотрим простейший явный метод Эйлера и его программную реализацию. Затем будут представлены методы Рунге—Кутта и многошаговые методы.
При построении численных алгоритмов будем считать, что решение этой дифференциальной задачи существует, оно единственно и обладает необходимыми свойствами гладкости.
Идея численных методов решения задачи (3), (4) состоит из четырех частей:
1. Вводится расчетная сетка по переменной \( t \) (время) из \( N_t + 1 \) точки \( t_0 \), \( t_1 \), \( \ldots \), \( t_
2. Предполагаем, что дифференциальное уравнение выполнено в узлах сетки.
3. Аппроксимируем производные конечными разностями.
4. Формулируем алгоритм, который вычисляет новые значения \( \pmb
Явный метод Эйлера
Проиллюстрируем указанные шаги. Для начала введем расчетную сетку. Очень часто сетка является равномерной, т.е. имеет одинаковое расстояние между узлами \( t_n \) и \( t_
Затем, предполагаем, что уравнение выполнено в узлах сетки, т.е.: $$ \pmb^\prime (t_n) = \pmb
Заменяем производные конечными разностями. С этой целью, нам нужно знать конкретные формулы, как производные могут быть аппроксимированы конечными разностями. Простейший подход заключается в использовании определения производной: $$ \pmb^\prime(t) = \lim_ <\tau \to 0>\frac<\pmb(t+\tau) — \pmb(t)><\tau>. $$
В произвольном узле сетки \( t_n \) это определение можно переписать в виде: $$ \begin
Четвертый шаг заключается в получении численного алгоритма. Из (5) следует, что мы должны знать значение \( y^n \) для того, чтобы решить уравнение (5) относительно \( y^
При условии, что у нас известно начальное значение \( \pmb
Программная реализация явного метода Эйлера
Выражение (6) может быть как скалярным так и векторным уравнением. И в скалярном и в векторном случае на языке Python его можно реализовать следующим образом
При решении системы (векторный случай), u[n] — одномерный массив numpy длины \( m+1 \) (\( m \) — размерность задачи), а функция F должна возвращать numpy -массив размерности \( m+1 \), t[n] — значение в момент времени \( t_n \).
Таким образом численное решение на отрезке \( [0, T] \) должно быть представлено двумерным массивом, инициализируемым нулями u = np.zeros((N_t+1, m+1)) . Первый индекс соответствует временному слою, а второй компоненте вектора решения на соответствующем временном слое. Использование только одного индекса, u[n] или, что то же самое, u[n, :] , соответствует всем компонентам вектора решения.
Функция euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:
Строка F_ = lambda . требует пояснений. Для пользователя, решающего систему ОДУ, удобно задавать функцию правой части в виде списка компонент. Можно, конечно, требовать чтобы пользователь возвращал из функции массив numpy , но очень легко осуществлять преобразование в самой функции решателе. Чтобы быть уверенным, что результат F будет нужным массивом, который можно использовать в векторных вычислениях, мы вводим новую функцию F_ , которая вызывает пользовательскую функцию F «прогоняет» результат через функцию assaray модуля numpy .
Неявный метод Эйлера
При построении неявного метода Эйлера значение функции \( F \) берется на новом временном слое, т.е. для решении задачи (5) используется следующий метод: $$ \begin
Таким образом для нахождения приближенного значения искомой функции на новом временном слое \( t_
Для решения уравнения (8) можно использовать, например, метод Ньютона.
Программная реализация неявного метода Эйлера
Функция backward_euler решения системы уравнений реализована в файле euler.py:
Отметим, что для нахождения значения u[n+1] используется функция fsolve модуля optimize библиотеки scipy . В качестве начального приближения для решения нелинейного уравнения используется значение искомой функции с предыдущего слоя u[n] .
Методы Рунге—Кутта
Одношаговый метод Рунге—Кутта в общем виде записывается следующим образом: $$ \begin
Одним из наиболее распространенных является явный метод Рунге-Кутта четвертого порядка: $$ \begin
Многошаговые методы
В методах Рунге—Кутта в вычислениях участвуют значения приближенного решения только в двух соседних узлах \( \pmb
Различные варианты многошаговых методов (методы Адамса) решения задачи с начальными условиями для систем обыкновенных дифференциальных уравнений могут быть получены на основе использования квадратурных формул для правой части равенства $$ \begin
Для получения неявного многошагового метода используем для подынтегральной функции интерполяционную формулу по значениям функции \( \pmb
Для интерполяционного метода Адамса (15) наивысший порядок аппроксимации равен \( m+1 \).
Для построения явных многошаговых методов можно использовать процедуру экстраполяции подынтегральной функции в правой части (14). В этом случае приближение осуществляется по значениям \( \pmb
Для экстраполяционного метода Адамса (16) погрешность аппроксимации имеет \( m \)-ый порядок.
На основе методов Адамса строятся и схемы предиктор–корректор. На этапе предиктор используется явный метод Адамса, на этапе корректора — аналог неявного метода Адамса. Например, при использовании методов третьего порядка аппроксимации в соответствии с (18) для предсказания решения положим $$ \frac<\pmb
Жесткие системы ОДУ
При численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (3), (4) могут возникнуть дополнительные трудности, порожденные жесткостью системы. Локальные особенности поведения решения в точке \( u = w \) передаются линейной системой $$ \begin
Пусть \( \lambda_i(t) \), \( i = 1, 2, \ldots, m \) — собственные числа матрицы $$ \begin
Для численное решения жестких задач используются вычислительные алгоритмы, которые имеют повышенный запас устойчивости. Необходимо ориентироваться на использование \( A \)-устойчивых или \( A(\alpha) \)-устойчивых методов.
Метод называется \( A \)-устойчивым, если при решении задачи Коши для системы (3) область его устойчивости содержит угол $$ \begin
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Применения операционного исчисления
Решение задачи Коши для ОДУ с постоянными коэффициентами
Пример 1.
Решить однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin
Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin
Запишем уравнение с изображениями (операторное уравнение). Оно уже будет алгебраическим, а не дифференциальным: \begin . \end Пример 2. Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin Записываем изображения для левой и правой частей дифференциального уравнения. Для левой части используем теорему о дифференцировании оригинала: \begin Запишем операторное уравнение: \begin Пример 3. Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin Пример 4. Решить неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. \begin Решаем полученное уравение: \begin . \end Пример 5. Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin Запишем изображения: \begin , \,\, 1 \risingdotseq \displaystyle\frac<1> . \end Операторная система уравнений принимает вид: \begin , \\ pY(p) &= X(p)+4Y(p)+\displaystyle\frac<1> .\\ \end Решаем систему, находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin \risingdotseq x(t)=-4+5e^<2t>. \end \risingdotseq y(t)=\displaystyle\frac34-\displaystyle\frac52\,e^<2t>+\displaystyle\frac74\,e^<4t>. \end Пример 6. Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin \begin . &\\ \end Операторная система уравнений принимает вид: \begin .\\ \end Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin \risingdotseq x(t)=\frac49-\frac43\,t+\frac59\,e^<6t>. \end \risingdotseq y(t)=-\displaystyle\frac<5><18>+\displaystyle\frac13\,t+\displaystyle\frac<5><18>\,e^<6t>. \end Пример 7. Решить систему линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. \begin Операторная система уравнений принимает вид: \begin , \\ X(p)+(p+2)Y(p) &= \frac<1> .\\ \end Решаем систему находим изображения $X(p)$, $Y(p)$ и их оригиналы $x(t)$, $y(t)$: \begin +\displaystyle\frac<4> -\displaystyle\frac<2p+3> \risingdotseq x(t)=2+4t-2\,\mbox +\displaystyle\frac<2> \risingdotseq y(t)=-2t+2\,\mbox Введем обозначения: Запишем алгоритм решения. ,\\ h(p)=p^n+a_1p^ 2. Решается исходное уравнение. Левая часть уравнения совпадает с левой частью вспомогательного, поэтому операторное уравнение записывается так: $$ X(p)\cdot h(p) = F(p),$$ при этом $h(p)$, используя решение вспомогательного уравнения, можно записать в виде \begin Пример 8. Решить задачу Коши с помощью интеграла Дюамеля. \begin 2. Исходное уравнение в операторном виде: \begin . \end \,\, \Rightarrow \,\, p^2+2p=\frac<1> Теперь по формуле Дюамеля получаем: \begin Пример 9 Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения содержит составную функцию (выражаемую через функцию Хэвисайда). \begin Запишем изображения для левой и правой частей уравнения: \begin -\frac . \end Находим изображение для $\displaystyle\frac<1> $ с помощью теоремы об интегрировании оригинала: \begin \risingdotseq \mbox \risingdotseq \int\limits_0^t\,\mbox $ по теореме запаздывания будет равно: \begin \risingdotseq (-\mbox Решение заданного уравнения: \begin Пример 10 Решить задачу Коши, когда правая часть дифференциального уравнения задана графически (и выражается через функцию Хэвисайда). \begin Запишем аналитическое выражение для $f(t)$ с помощью функции Хэвисайда и найдем ее изображение: \begin (1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end (1-2e^<-p>+e^<-2p>)\,\, \Rightarrow\\ &X(p)=\frac<2> (1-2e^<-p>+e^<-2p>). \end Для первого слагаемого найдем оригинал, разложив дробь на сумму простейших: \begin =\frac<1><2p^2>-\frac<2> <4(p^2+4)>\risingdotseq \frac12t-\frac14\,\mbox Периодическую правую часть тоже очень удобно записывать с помощью функции Хэвисайда. Пусть $f(t)$ — периодическая с периодом $T$ функция-оригинал. Обозначим через $f_0(t)$ функцию: \begin http://slemeshevsky.github.io/num-mmf/ode/html/._ode-FlatUI001.html http://vmath.ru/vf5/oplaplace/seminar5_2Решение задачи Коши для систем линейных ДУ
Решение ОДУ с помощью интеграла Дюамеля
Уравнение: $x^<(n)>(t)+a_1\,x^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,x(t)=f(t)$.
Начальные условия: $x(0)=x'(0)=\ldots=x^<(n)>=0$.
Неизвестная функция $x(t)$, имеющая изображение $X(p)$.
Сложная функция в правой части $f(t)$, имеющая изображение $F(p)$.
1. Решается вспомогательное уравнение $$ y^<(n)>(t)+a_1\,y^<(n-1)>(t)+\ldots+a_n\,y(t)=1.$$ С учетом начальных условий левая и правые части уравнений будут иметь изображения: \begin Решение задачи Коши с правой частью, содержащей функцию Хэвисайда
Решение задачи Коши с периодической правой частью