Решение задачи коши для волнового уравнения формулы

Решение задачи коши для волнового уравнения формулы

Рассмотрим свободные колебания бесконечной струны, т.е. настолько длинной, что влиянием ее концов на процесс колебаний можно пренебречь. Причинами колебаний могут являться начальные отклонения струны от равновесного положения и (или) сообщенный струне начальный импульс, обуславливающий некоторое начальное распределение скоростей частиц струны.

Нужно решить однородное уравнение колебаний

при начальных условиях

где функции и заданы на всей числовой оси.

Задача (1), (2) называется задачей Коши для волнового уравнения.

Введем новые переменные

эта замена является невырожденной:

Преобразуя производные к новым переменным, находим:

Уравнение (1) в новых переменных запишется слудующим образом:

Общий вид решения этого уравнения мы можем найти интегрированием:

где — произвольная функция от .

где и — произвольные функции от и соответственно.

Следовательно, функция вида

По теореме 1 решение (1) имеет вид

Определим функции и таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия (2):

Интегрируя (8) в пределах от (константа) до получаем

Из системы уравнений (7), (9) имеем

Подставляя (10) и (11) в (3), находим

Определение 1 Формула (6) называется формулой Даламбера .

При указанных условиях формула (6) определяет решение задачи, в чем нетрудно убедиться, подставив её в уравнение (1) и условия (2).

Из теоремы 2 следует, что решение единственно. Действительно, если бы существовало второе решение, то оно тоже определялось бы формулой (6) и совпадало бы с первым решением.

Таким образом, если дифференцируема 2 раза, а дифференцируема, то решение задачи Коши существует и единственно.

где — решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

— решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям

Функции , определяются соответствующими начальными условиями по формуле (6), так что

Методы решений задачи Коши для уравнения волны в случае n = 2 и n = 3 Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Меражова Шахло Бердиевна, Нуриддинов Жавлон Зафарович, Меражов Нурсаид Икром Угли, Хидиров Умиджон Бахронович

В этой статье показываем, какими способами можно решать задачи Коши , поставленные для уравнений волны . Студенты затрудняются при решении задач по уравнениям математической физики в многомерных случаях. Здесь мы рассматриваем способы решения задачи Коши для уравнения волны в двумерном и трехмерном случае, т.е., когда и . Мы анализируем использование формулы Пуассона и Кирхгофа в разных случаях начально заданных функций, также эти формулы заданы в полярной и сферической системе соответственно. Показали использование формулы (4), заданной в этой статье. Можно использовать эти формулы при решении задачи Коши для уравнения волны .

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Меражова Шахло Бердиевна, Нуриддинов Жавлон Зафарович, Меражов Нурсаид Икром Угли, Хидиров Умиджон Бахронович

Текст научной работы на тему «Методы решений задачи Коши для уравнения волны в случае n = 2 и n = 3»

МЕТОДЫ РЕШЕНИИ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ВОЛНЫ В СЛУЧАЕ п = 2 И п = 3 Меражова Ш.Б.1, Нуриддинов Ж.З.2, Меражов Н.И.3, Хидиров У.Б.4

1Меражова Шахло Бердиевна — старший преподаватель;

2Нуриддинов Жавлон Зафарович — старший преподаватель, кафедра математики; 3Меражов Нурсаид Икром угли — студент; 4Хидиров Умиджон Бахронович — магистр,

физико-математический факультет, Бухарский государственный университет, г. Бухара, Республика Узбекистан

Аннотация: в этой статье показываем, какими способами можно решать задачи Коши, поставленные для уравнений волны. Студенты затрудняются при решении задач по уравнениям математической физики в многомерных случаях. Здесь мы рассматриваем способы решения задачи Коши для уравнения волны в двумерном и трехмерном случае, т.е., когда п = 2 и п = 3. Мы анализируем использование формулы Пуассона и Кирхгофа в разных случаях начально заданных функций, также эти формулы заданы в полярной и сферической системе соответственно. Показали использование формулы (4), заданной в этой статье. Можно использовать эти формулы при решении задачи Коши для уравнения волны.

Ключевые слова: уравнения с частными производными, уравнения волны, задача Коши, формула Пуассона, формула Кирхгофа, оператор Лапласа.

В этой статье показываем какими способами можно решать задачи Коши, поставленные для уравнений волны в случае п = 2 и п = 3 [1], [2], [3].

Из курса уравнения математической физики известно решение этих задач, представляемое в виде формул Пуассона и Кирхгофа соответственно.

Постановка задачи. Из класса С 2 (г > 0) С1^ > 0) надо найти такую функцию и(х, г) , которая при г > 0 удовлетворяет следующего уравнения волны; ии = а2 Аи + f (х, I) и следующие начальные условия :

и I=+о = мо(х), иг I=+о = м1(х), где /, м0, м1 — заданные функции.

Эта задача называется классической задачей Коши для уравнения волны. Решение задачи: Если для начально заданных функций выполняются следующие условия:

г е СЧг > 0), м0 е С2^), м1 е С1^1), п=1; /• е С2(Г > 0), м0 е С3(Яп), м1 е С), п=2,3,

тогда существует притом единственное решение задачи Коши и решения определяются при помощи следующих формул: при п = 1 формулой Даламбера;

1 1 х+аг 1 г х+а(г-т)

и(х, г) = — [и0(х + аг) + и0(х — аг)]+—-1 | f . (1)

при п = 2 формулой Пуассона:

-— а21 Аки0(х. х )+ —-а21 Аки.(х . х )+ —’-г(X-т)2к+1Ак/(х1. х ,т)г

(2к)! ^ (2к + 1)! ^ (2к + 1)! ^ ‘ М 1 п Г

где Л — оператор Лапласа, который применяется на функции и0, и1, / соответственно к = 0,1,2. раз. Когда начально заданные функции многочлены, тогда лучше использовать формулу (4).

Пример: ([31) Решите следующую задачу:

и„ = их + иу + и„ + ах + Ы

и(х, у, 2,0) = ху2 ut (х, у, 2,0) = ху + 2 Решение: и0 = ху2 применим оператор А столько раз, сколько нам нужно

^гайгпг лЛи0 = и0 = ху2 ; А1^ = Аи (х, у, 2) = и0хх + и0уу + и0„ = 0 + 0 + 0 = 0. В

следующих применениях оператора Лаплас получим ноль, поэтому здесь остановим применение.

Такие же вычисления выполняем для функций и1, / : А0и1 = и1 = ху + 2 ;

А1и1 = А2и1 =. = 0; А0/ = / = ах + Ы; А1 / = А2/ =. = 0. Вычисления вставим в формулу (4) и в итоге получаем решение задачи Коши:

и( х, у, 2, X) = ху2 + X (ху + 2) + г (X — г)(ах + Ыт)йт = хуг +1( ху + 2) +—1—.

0 2 6 При п = 2 и п = 3 для решение задачи Коши используем формулы Пуассона и Кирхгофа соответственно, но иногда для вычисление этих интегралов, лучше переход от Декартовой координатной системы в полярную и сферическую координатную систему. Поэтому приведём формулы Пуассона и Кирхгофа в полярной и сферической координатной системе соответственно: Формула Пуассона:

и(х,X) = -1- г г , /(к,г)к +г , ^ +

2га 0 к-х^-г^а2(X — г)2- \ к — х\2 2га ^ ^ д/а2t2- \ К — х \2

+ г и0(№ = ¡УУ(х + рС0фу + р1пф,т) рй(рйф +

2 га ¡\ Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.