Решением какого уравнения является волновая функция

Решением какого уравнения является волновая функция

Задачи атомной физики решаются методами квантовой теории, которая принципиально отличается от классической механики.

Решение задачи о движении тела макроскопических размеров основано на применении второго закона Ньютона. Если известны силы, действующие на тело, то сначала мы находим его ускорение, затем — траекторию, после чего — все параметры движения. Но в масштабах атомов понятие траектории теряет свой смысл. Своё значение сохраняют так называемые интегралы движения. К ним относятся, в первую очередь, энергия, импульс, момент вращения и чётность. В квантовой теории эти величины определяются сразу, минуя этап вычисления траектории.

В основе расчётов лежит уравнение Шредингера. Решив его, мы находим набор энергетических уровней, который реализуется в заданном потенциале, а также получаем информацию статистического характера о возможном положении частицы.

8.1. Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера, как законы Ньютона и уравнения Максвелла, вывести нельзя. Оно основано на анализе экспериментальных данных и в масштабах атомов описывает волновые свойства частиц. Покажем связь уравнения Шредингера с волновым пакетом. Для этого запишем уравнение волнового пакета:

где B — амплитуда. Будем считать, что величина B как функция k равна нулю при k Δ k и k > Δ k . Тогда областью интегрирования становится вся числовая ось. Вспоминая соотношения де Бройля-Эйнштейна (формулы (2.1) и (2.1а) первой главы), приходим к новой записи выражения для волнового пакета

Продифференцируем (1.1) по времени:

Появлению энергии в подынтегральной функции соответствует оператор дифференцирования

Его называют оператором энергии . Импульс, в свою очередь, связан с оператором

в чём можно убедиться, дифференцируя (1.1) по x :

Мы рассматриваем нерелятивистскую частицу в отсутствие внешних полей, следовательно, ее энергия равна p2/2 m. Ей можно сопоставить оператор двойного дифференцирования по координате:

Вычитая (1.3) из (1.2), получим

Всё подынтегральное выражение вместе с разностью равно нулю. Следовательно,

Мы вывели одномерное уравнение Шредингера для свободной частицы. Теперь учтём возможное присутствие внешних полей:

Здесь U = U( x , t ) — потенциальная энергия, зависящая только одной координаты. Вообще говоря, она может также меняться со временем. Соответственно, приходим к одномерному уравнению Шредингера:

Обобщение на случай трёх измерений сводится к замене производной по x оператором Лапласа:

Уравнение Шредингера с потенциалом, зависящим от всех трёх координат, имеет вид

Вектору импульса в трёхмерном случае соответствует оператор градиента:

где e _x , e _y и e _z — единичные векторы в направлении координатных осей. В процессе вывода мы использовали следующие соотношения между физическими величинами и операторами:

Оператор принято отмечать «шляпкой». Например, оператор, отвечающий физической величине G, обозначается как Ĝ. В квантовой механике вводится оператор энергии, или оператор Гамильтона

Он позволяет записать уравнение Шредингера следующим образом:

Уравнение Шредингера содержит мнимую единицу i , следовательно, его решение должно быть комплексным. Этим оно отличается от волнового уравнения в классической механике . В качестве примера рассмотрим одномерный случай. Классическое уравнение

позволяет работать отдельно с действительной и мнимой частями Y , каждая из которых подчиняется одному и тому же уравнению. В самом деле, если

где u и V — действительные функции, то уравнению (1.9), которое мы теперь запишем в виде

равносильна система одинаковых уравнений, каждое из которых совпадает с исходным :

Действительная и мнимая части Y разделились. Мы убедились, что в классическом случае нет принципиальной необходимости в комплексном представлении (хотя оно часто используется для удобства вычислений). Для уравнения Шредингера это не так. Разложение (1.10) вставим теперь в уравнение (1.4):

Этому уравнению эквивалентна система

в которой переменные u и V связаны друг с другом.

Структура уравнения Шредингера

показывает, что оно отображает закон сохранения энергии.

Уравнение Шредингера определяет зависимость волновой функции от времени и от координат. Как второй закон Ньютона описывает траекторию частицы, так уравнение Шредингера описывает эволюцию волновой функции.

Выход в комплексную плоскость является следствием требования, чтобы волновая функция в любой момент времени полностью определялась её начальным значением. Следовательно, уравнение Шредингера должно содержать только первую производную волновой функции по времени, но не вторую. Если ограничиться гармоническими функциями в действительной области, то волновое уравнение обязано содержать вторую производную. В самом деле, однократное дифференцирование переводит синус в косинус и наоборот. Но колебания могут быть описаны экспонентой с комплексным показателем. Её важное свойство заключается в том, что первая производная функции возвращает нас к ней самой:

Перейдём к обсуждению физического смысла волновой функции.

2.1. Волновая функция

Выкладки предыдущего раздела мы проводили, используя представление классической механики о волновом пакете. В уравнении Шредингера функция Y ( r , t ) приобретает новый смысл. Она называется волновой функцией и описывает уже не суперпозицию колебаний, но состояние реальной частицы. Перечислим основные свойства волновой функции.

Волновая функция как вероятность

В квантовой механике вся информация о частице содержится в её волновой функции. С учётом соотношения неопределённостей, эта информация носит вероятностный характер. А именно, квадрат модуля волновой функции пропорционален вероятности W найти частицу в данной точке в заданный момент времени:

Здесь звёздочка означает комплексное сопряжение. В большинстве задач, которые нам встретятся в дальнейшем, имеет место точное равенство:

Выбор между (2.1) и (2.2) определяется степенью локализации частицы в пространстве. Если вероятность найти частицу в удалённых точках исчезающе мала, то интеграл

взятый по всему пространству, сходится. В конечном итоге именно это и делает возможным равенство (2.2). Наоборот, свободно движущаяся частица может быть обнаружена в любой точке. Интеграл (2.3) для её волновой функции расходится и, следовательно, | Y | 2 не может служить вероятностью никакой величины. В этом случае справедливо отношение

которое является следствием (2.1). Ниже нам неоднократно будут встречаться волновые функции, модуль которых не стремится к нулю при удалении от начала координат, либо убывает слишком медленно. Хотя для таких функций не имеет смысла (2.2), тем не менее, отношение значений W в двух разных точках пространства равно отношению вероятностей обнаружить там частицу.

Принцип суперпозиции

Уравнение Шредингера линейно относительно волновой функции. Следовательно, любая линейная комбинация

его решений Y ₁ и Y ₂ также является его решением.

Таким образом, линейная комбинация волновых функций обязательно описывает некоторое состояние частицы (или системы частиц). В частности, при C₂ = 0 получаем, что решение уравнения Шредингера, известно с точностью до постоянного множителя.

Нормировка

Вероятность W по своему смыслу должна удовлетворять условию нормировки

Если частица совершает своё движение в ограниченной области, то, согласно предыдущему разделу, существует интеграл:

При выполнении последнего равенства волновая функция может быть преобразована так, чтобы условие

имело место даже в том случае, когда константа C не равна единице. А именно, условию (2.7) удовлетворяет функция

Согласно сказанному в предыдущем разделе, обе эти функции описывают одно и то же состояние. Процесс перехода от Y к F называется нормировкой, а функция F — норми p ованной волновой функцией.

8.3 Ток вероятности

В газодинамике известно уравнение непрерывности для потока вещества

где r — плотность, а

поток вещества, движущегося со скоростью v . Оно справедливо в том случае, если нет источников и стоков частиц. Аналогичное соотношение

можно вывести и для плотности вероятности W . Сначала проведём расчёты для одномерного случая. Для определения вектора тока вероятности S воспользуемся уравнением Шредингера (1.4) для свободной частицы. Запишем его также для комплексно–сопряжённой волновой функции:

то, подставляя сюда выражения (1.4) и (3.4) для производных по времени от Y и Y *, находим

Последнее уравнение представляет собой аналог одномерного уравнения непрерывности, если поток вероятности принять равным

Обобщение на случай трёх измерений даёт уравнение непрерывности (3.3) с дивергенцией вектора

Физический смысл определённого таким образом потока вероятности S можно выяснить, вычислив его для свободной частицы, то есть, для волновой функции вида

Производная выражается через Y :

Аналогично вычисляем производную от комплексно сопряжённой функции:

Подставляя (3.7) и (3.7а) в (3.5), получаем

Нетрудно убедиться, что в трёхмерном случае мы приходим к формуле

Она полностью аналогична (3.2), где роль плотности выполняет плотность вероятности W, а вместо потока массы j надо подставить вектор S.

Поток вероятности равен нулю в случае действительной волновой функции. Следовательно, последняя описывает финитное движение, то есть, движение в ограниченной области пространства.

8.4 Операторы физических величин

В этом разделе мы соберём вместе явные выражения для самых важных для нас операторов. Оператор энергии сводится к дифференцированию по времени:

а оператор проекции импульса на одну из координат — к дифференцированию по этой координате:

Аналогичные формулы справедливы для проекций момента на две другие оси, а в трёхмерном случае

вектор импульса выражается через оператор градиента:

При формировании операторов можно пользоваться соотношениями между классическими величинами. Так, оператор кинетической энергии с помощью соотношения

выражается посредством оператора Лапласа:

В отсутствие внешних полей полная энергия частицы равна её кинетической энергии:

В квантовой механике этому факту соответствует уравнение Шредингера для свободной частицы:

Последняя формула является обобщением (1.4) на случай трёх измерений.

Оператор координаты сводится к простому умножению на эту координату. То же самое справедливо и для оператора, представляющего любую функцию координат. Например,

В последующих разделах мы познакомимся с оператором момента вращения.

С математической точки зрения уравнения квантовой механики сводятся к линейной задаче на собственные значения с заданными граничными условиями.

Здесь Y _i — собственные функции, а G _i — собственные значения оператора . Физический смысл (4.7) заключается в следующем. В результате измерения можно обнаружить только те значения физической величины, которые входят в спектр собственных значений её оператора.

Спектр собственных значений может быть как дискретным, так и непрерывным. Например, непрерывным является спектр импульса свободной частицы. Покажем это для одномерного случая. Вычислим собственное значение p проекции импульса на ось x :

Решение последнего уравнения

в комплексной форме выражает «мгновенную фотографию» плоской монохроматической волны, распространяющейся вдоль оси x . Не удивительно, что мы получили именно такое решение, так как мы исходили из представления плоских волн при получении уравнения Шредингера. Временнýю часть волновой функции мы установим позже.

Отметим важную особенность функции (4.10): квадрат её модуля равен константе |C| 2 . Следовательно, свободно летящая частица с равной вероятностью может находиться в любой точке пространства. Как уже было сказано в разделе (2.1), такую функцию невозможно нормировать приведённым там способом. Таким образом, она представляет собой пример волновой функции, квадрат модуля которой пропорционален вероятности в смысле (2.4), но не имеет места (2.1).

Среднее значение.

В этом разделе мы с самого начала предполагаем, что волновая функция квадратично интегрируема, то есть существует интеграл (2.6). Как известно из математики, среднее значение функции координат f ( x ) определяется с помощью вероятности W( x ) как

Для операторов, зависящих только от координат, это определение без всяких изменений переносится в квантовую механику. Нужно только вместо вероятности написать квадрат модуля волновой функции:

Здесь интегрирование ведётся по всей области изменения аргумента x .

В общем случае, когда физическая величина G не является функцией координат (например, импульс), её среднее значение определяется как

Подынтегральная функция состоит из двух сомножителей: Y * ( x ) и — результата воздействия оператора на функцию Y ( x ). Формула (4.11) является частным случаем (4.12), когда

Пусть система находится в определённом состоянии, соответствующем собственному значению G _i и собственному вектору — волновой функции Y _i . Если физическую величину G усреднять с помощью функции Y _i , то среднее значение равно G _i . В этом легко убедиться, подставив (4.7) в (4.12).

Соотношение неопределенности, волновая функция, излучение и поглощение энергии

Конспект лекции

Аннотация: знакомство с границами применимости классической физики, уравнением Шредингера. Традиционное изложение темы.

В первой четверти XX-го века получены экспериментальные свидетельства двойственности свойств материи: электромагнитное излучение проявляет свойства частиц (фотоэффект, комптоновское рассеяние, . ), а частицы демонстрируют волновые свойства (эффект Рамзауэра, туннельный эффект, . ).

Но свойства волн и частиц в известной степени противоположны.

Нет подходящих образов, чтобы представить существование волновых и корпускулярных свойств у одного объекта. Нельзя все свойства волн и все свойства частиц приписать одному объекту. Необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической физики. Корпускулярно-волновая двойственность свойств частиц, изучаемых в квантовой механике, приводит к тому, что в ряде случаев оказывается невозможным, в классическом смысле, одновременно характеризовать частицу ее положением в пространстве (координатами) и скоростью (или импульсом). В 1927 году немецкий физик Вернер Гейзенберг сформулировал принцип неопределенности, названный теперь его именем. Он может быть записан в следующем виде

.

Здесь Δx — неопределенность координаты x, Δp — неопределенность импульса, ħ — постоянная Планка, деленная на 2π (h = 6.62·10 -34 Дж·с). Выражение (1) следует понимать так, что если мы точно задаем координату частицы (Δx → 0), то ничего не можем сказать о величине импульса (Δp → ∞). Одновременно точно задать координату и импульс микрочастицы невозможно. Для иллюстрации рассмотрим опыт по дифракции электронов на щели. Прямой опыт Йенсона (см. лекцию) показал, что за щелью распределение интенсивности электронов будет иметь вид, показанный на рис.1. Рис.1. Дифракция электронов на щели.

Отклонение электрона от первоначального направления означает получение им приращения импульса Δp. Ширина щели служит мерой неопределенности положения электрона (электрон проник в щель, в какой точке щели это произошло, неизвестно). Из опыта известно, что при уменьшении ширины щели дифракционная картина уширяется. Т.е., если Δx уменьшается, Δp растет, как это предсказывает соотношение (1).

Принцип неопределенности не мешает нам с любой желаемой точностью измерить каждую из величин, входящих в соотношение. Он утверждает лишь, что мы не в состоянии достоверно узнать и то, и другое одновременно. Неравенства (1) и (2) представляют собой ограничения применимости понятий классической механики.

Оценим количественную сторону ограничений на трех примерах.

Молекула в стакане.

Массы молекул имеют порядок 10 -27 кг. Пусть стакан имеет размер

10 -1 м. Эту величину возьмем в качестве неопределенности координаты Δx. Тогда для неопределенности скорости получим

.

Чрезвычайно малое значение Δv в сравнение со скоростью молекул (при комнатной температуре порядка 500 м/с) приводит к выводу об отсутствии ограничений на классическое рассмотрение движения молекул в этом случае.
Электрон в атоме.

10 -30 кг, размер атома

10 -10 м. Для неопределенности скорости получим

.

И поскольку эта величина Δv сравнима со скоростью электронов в атоме, соотношение неопределенностей играет решающую роль, игнорировать волновые свойства электрона никак нельзя.
Луч осциллографа.

Скажутся ли волновые свойства электрона на работе осциллографа? Пусть радиус луча на экране очень качественного осциллографа равен r = 10 мкм, длина трубки L

10 -1 м. Тогда относительное изменение импульса Δp/p = r/L = 10 -4 . Импульс электрона определим, задав напряжение на трубке U, равным 10 кВ

.

Неопределенность импульса тогдаΔp

6·10 -27 , а неопределенность координаты

что существенно меньше размера пятна на экране. Т.е. пользоваться осциллографом можно, не задумываясь о волновых свойствах электронов.

Приведем один пример использования соотношения неопределенностей для оценки физических величин. Исходим из того, что неопределенность, например, импульса — это минимальное значение импульса, которое что-то значит.

Покажем, что в существующих ядрах не могут находиться электроны. За неопределенность координаты возьмем радиус ядра r, тогда

Размеры ядер имеют порядок 10 -14 м, электрон с таким импульсом — ультрарелятивистский, его энергия много больше энергии покоя, и последней можно пренебречь в оценках. Имеем E = p·c (как для фотонов). Для того чтобы электрон находился в ядре, его кинетическая энергия должна быть меньше потенциальной энергии (энергии взаимодействия с заряженным шаром, которым представляем ядро). Получаем

Ядер с таким большим атомным номером не существует. Точное решение задачи с нахождением волновой функции показывает отсутствие связанного состояния для электрона в потенциальной яме, которой представляется ядро.

Другая важная пара связанных физических величин – энергия Е и время t. Соотношение неопределённостей для них имеет вид

.

Если под величиной Δt понимать среднее время жизни атома в возбужденном состоянии, то энергия этого состояния определена с точностьюΔE. В основном состоянии атом может находиться без внешних воздействий бесконечно долгое время: Δt = ∞. Тогда ΔE = 0, то есть в основном состоянии энергия атома является строго определенной величиной. Однако каждый возбужденный уровень энергии имеет конечную ширину, которая определяется временем жизни атома в этом состоянии. Вследствие этого длина волны испускаемого кванта при переходе из возбужденного состояния не будет однозначной, спектральная линия излучающего атома имеет конечную ширину. Говорят о естественной ширине линии. Ширина спектральной линии определяется шириной уровней энергии, между которыми происходит переход. Обычно ширина уровней энергии очень мала. Например, для переходов с излучением в видимой части спектра (время жизни атома в возбужденном состоянии

Соотношение (2) допускает рождение на короткое время с последующим исчезновением частиц (их называют виртуальными (возможными) частицами). Их время жизни очень мало — порядка 10 -21 — 10 -24 с. Это объясняет, почему в вакууме постоянно присутствуют кванты различных полей. Отдельные виртуальные частицы нельзя обнаружить в принципе, но их суммарное воздействие на обычные микрочастицы обнаруживается экспериментально. В опыте У.Лэмба и Р.Ризерфорда (1947 г.) при исследовании спин-орбитального расщепления (см. лекцию) 2p уровня атома водорода обнаружено не только ожидаемое расщепление энергий состояний 2p_3/2 и 2p_1/2, но и отличие энергий 2s_1/2 и 2p_1/2 состояний. Это отличие обусловлено, как выяснилось позднее, во-первых, испусканием и поглощением связанным электроном виртуальных фотонов, что приводит к изменению эффективной массы электрона и возникновению у него аномального магнитного момента, и, во-вторых, возможностью виртуального рождения и аннигиляции в вакууме электронно-позитронных пар, что искажает кулоновский потенциал ядра. Лэмбовский сдвиг оказался первым физическим эффектом, на котором подтвердилась правильность квантовой электродинамики.

Волновая функция

Наличие волновых свойств у микрочастицы показывает, что ей (микрочастице) следует сопоставить некоторое волновое поле (аналог знакомых нам электрического, магнитного, гравитационного полей). Амплитуду этого волнового поля, зависящую от координат и времени, принято называть волновой функцией . Физическое толкование (М.Борн, 1926 г.):

величина пропорциональна вероятности того, что микрочастица в момент времени t будет обнаружена в объеме dV вокруг точки с координатами x, y, z.

Вспомним опыт с пропусканием электронов через щель. Куда попадет данный конкретный электрон — дело случая. После пропускания малого числа электронов картина похожа на мишень плохого стрелка. Поведение электрона должно описываться некоторой вероятностной функцией. И эта функция должна быть связана со свойствами волнового поля, т.к. итог большого числа попаданий электронов — вполне четкая картина дифракционных полос. Совместить случайный характер попадания электрона в данное место с его волновыми свойствами можно, лишь допустив, что вероятность попадания электрона в данную точку пропорциональна интенсивности волнового поля, т.е. квадрату амплитуды |Ψ| 2 . |Ψ| 2 имеет смысл плотности вероятности. С помощью волновой функции можно рассчитать все измеряемые физические характеристики системы частиц. Например, среднее расстояние электрона от ядра

Свойства волновой функции:

• самое главное — сама амплитуда Ψ(x,y,z,t) непосредственного физического смысла не имеет; только |Ψ| 2 — плотность вероятности;
• волновая функция может быть комплексной (так чаще всего и бывает);
• умножение волновой функции на постоянную величину не изменяет физического состояния частицы, которая она описывает (распределение вероятности в пространстве и во времени не изменится; во сколько раз частицу чаще можно встретить в одной точке, чем в другой, во столько же раз и после умножения);
• волновая функция должна быть непрерывной и однозначной;
• непрерывной должна быть и первая производная по координате, так как через нее определяется импульс частицы;
• волновая функция не должна обращаться в бесконечность;
• обычно волновую функцию нормируют так ,что

т.е. вероятности достоверного события.

Уравнение Шредингера

Уравнение, решением которого является волновая функция, получено австрийским физиком Э.Шредингером

• m — масса частицы;
• Ψ(x,y,z,t) — волновая функция;
• ħ — постоянная Планка, деленная на π2;
• — оператор Лапласа;
• U(x,y,z,t) — потенциальная энергия;
• i — мнимая единица.

Это уравнение применимо только для нерелятивистских частиц, у которых масса не зависит от скорости.

Для многих задач уравнение Шредингера можно упростить, исключив зависимость от времени. Это так называемые стационарные задачи. Пусть потенциальная энергия зависит только от координат U = U(x,y,z). Будем искать решение в виде произведения двух функций, зависящих одна от координат, а другая от времени: Ψ(x,y,z,t) = ψ(x,y,z)·φ(t). Поставим это выражение в уравнение и вынесем из-под знаков дифференцирования сомножители, не зависящие от соответствующих переменных

Разделим получившееся уравнение на ψ(x,y,z)·φ(t). Теперь левая часть зависит только от координат, а правая от времени. Поскольку обе части равны между собой, то остается единственная возможность: каждая из них равна одной и той же константе. Обозначим эту константу -E (E, как будет видно, — полная энергия частицы).

Теперь имеем два уравнения: первое для функции ψ(x,y,z)

Это так называемое стационарное уравнение Шредингера. Второе, которое легко решается, для временной части

Итак, для стационарного случая имеем два дифференциальных уравнения. Многочисленные эксперименты подтверждают выводы, вытекающие из решения уравнения Шредингера. На этом основана наша уверенность в справедливости этого уравнения.

В 1933г. Эрвину Шредингеру присуждена Нобелевская премия:

E RWIN S CHRODINGER for the discovery of new productive forms of atomic theory.

(за открытие новых продуктивных форм атомной теории)

Решение уравнения Шредингера для свободной частицы

Для понимания природы явлений в микромире обычно достаточно решить одномерную задачу. Этим мы и займемся. Для свободной частицы U(x) = 0, и уравнение Шредингера имеет вид

.

Имеем дифференциальное уравнение второго порядка с посто39янными коэффициентами. Его решение, используя характеристическое уравнение, получаем в виде

.

Теперь добавим множитель φ(t), зависящий от времени (см. выше)

.

Если учесть, что E/ħ = ω, получили уравнение волны с фазой kx-ωt в первом слагаемом и -kx-ωt во втором. Если фазу зафиксировать, то точка с постоянной фазой движется в направлении x для первого слагаемого (x растет с увеличением t), и в противоположном для второго. Первое слагаемое описывает движение частицы в направлении x, второе — против x.

Выражение (4) однозначно, конечно и имеет смысл при любых значениях энергии E. Энергия свободной частицы может принимать любое значение, т.е. ее энергетический спектр является непрерывным.

Этой волне соответствует не зависящая от времени вероятность обнаружить частицу в данной точке пространства. Действительно, выбирая для простоты волну, распространяющуюся в положительном направлении x, имеем |Ψ| 2 = Ψ·Ψ * = |A| 2 .

И напоследок получим соотношение между импульсом p и энергией E свободной частицы. Вспоминая выражение для длины волны де Бройля, для волнового числа k получим

.

Возведя это выражение в квадрат и приравняв к равенству для k 2 (3), получим

что совпадает с классическим соотношением.

Тождественность частиц. Бозоны и фермионы. Принцип Паули.

Проделаем опыт по изучению углового распределения упруго рассеянных α-частиц на ядрах углерода 12 C: α + 12 C → α + 12 C. Рис. 2. Рассеяние α-частиц на ядрах углерода. На рисунке 2а изображен в системе центра инерции результат взаимодействия, которое привело к рассеянию α-частицы на угол θ и попаданию в детектор 1. Ядро углерода регистрируется в детекторе 2. Пусть Ψ(θ) — волновая функция, описывающая этот процесс.

Но может быть (рисунок 2б) α-частица рассеялась на угол π — θ и попадает в детектор 2. Этот процесс описывается функцией Ψ(π — θ). Детекторы 1 и 2 включены в схему совпадений, и событие считается зарегистрированным, когда в каждый детектор попадет по частице.

Можно ли сделать детектор, различающий α-частицы и ядра углерода? Отвечаем «да», и случаи 1а и 1б различны. Измеряемая величина — доля частиц, рассеянных на данный угол. В случае а) она пропорциональна |Ψ(θ)| 2 , а в случае б) — |Ψ(π — θ)| 2 . А если детектор не различает частицы (например, счетчик Гейгера), тогда вероятность опыта пропорциональна

Состояния в принципе различны и складываются вероятности.

А при рассеянии α-частиц на ядрах гелия: α + 4 He → α + 4 He (α-частица — это и есть ядро гелия!)? Тут взаимодействуют тождественные частицы, и экспериментальные результаты не согласуются с формулой (5). Полная неразличимость частиц приводит к интерференции рассеянных волн. В этом случае складываются амплитуды

Если подсчитать по этим формулам вероятности для угла θ = π/2, то вероятности 2|Ψ(π/2)| 2 и |2·Ψ(π/2)| 2 = 4·|·Ψ(π/2)| 2 отличаются в два раза. Ошибиться тут нельзя. Опыт согласуется со вторым значением: для неразличимых частиц складываются амплитуды.

А как обстоит дело с электронами? Электроны в отличие от α-частиц имеют спин (собственный момент количества движения), который может иметь два направления. Если спины взаимодействующих электронов направлены одинаково, то это тождественные частицы, но ни (5), ни (6) неверно. Для них складываются амплитуды в противофазе:

Если спины электронов имеют противоположные направления, детектором можно определить, какой электрон попал в детектор, и складываются вероятности (5).

Приходим к выводу: тождественность микрочастиц существенна при описании взаимодействия этих частиц.

Электроны тождественны, и перестановка двух любых экспериментально обнаружена быть не может: возможны переходы, ведущие к неразличимым экспериментально состояниям.

В 1945г. Вольфгангу Паули присуждена Нобелевская премия:

W OLFGANG P AULI for the discovery of the Exclusion Principle, also called the Pauli Principle.

(за открытие принципа запрета, названного принципом Паули)

Вычисление средних значений

Если известна волновая функция Ψ(x), то можно вычислить значение физических величин, характеризующих данную задачу. Как упоминалось, |Ψ(x)| 2 dx — дает долю частиц, находящихся между x и x + dx. Тогда среднее значение x

Аналогично надо поступить и любых функций координаты x. Например, среднее значение потенциальной энергии U(x) равно

По-другому вычисляется средняя кинетическая энергия, которая зависит не от координаты x, а от импульса. Приведем формулу

Можно проверить последнее выражение для частного случая n = 1 в прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме

что совпадает со значением полной энергии E в основном состоянии, т.к. потенциальная энергия U полагалась равной нулю.

Излучение и поглощение энергии

Чтобы выяснить, излучает ли система, содержащая заряженную частицу, надо вычислить среднее значение координаты. Если среднее значение x колеблется с частотой ν, то согласно законам электродинамики надо ожидать испускания или поглощения излучения такой частоты.

Используем волновую функцию частицы в состоянии с квантовым числом n и энергией E_n —

Оказывается, если частица находится в определенном энергетическом состоянии, среднее значение x не зависит от времени, и излучения нет. В 1913 году Нильс Бор для объяснения закономерности линейчатого спектра атома водорода постулировал, что атомная система может находиться только в особых стационарных или квантовых состояниях, каждому из которых соответствует определенная энергия E_n. В стационарных состояниях атом не излучает. Этот постулат находился в явном противоречии с классической механикой. Рис.3. Уровни энергии.

Теперь рассмотрим систему, в которой есть два состояния с квантовыми числами n, m и соответствующими им энергиями E_n и E_m (рис.3). Принцип суперпозиции в квантовой механике заключается в следующем: если квантовая система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями Ψ_n и Ψ_m, то она может находиться и в состоянии, описываемом волновой функцией

где a и b — произвольные коэффициенты. Наблюдая испускание излучения при возвращении в основное состояние n, можно заключить, что система была в состоянии m (т.е. a = 0, b = 1) в какой-то момент времени. Найдем среднее значение x для функции (8).

В подынтегральном выражении слагаемые с произведениями Ψ * _n·Ψ_n и Ψ * _m·Ψ_m приводят, как мы видели, к стационарным значениям x и не вызывают излучение или поглощение. Поэтому нас будут интересовать перекрестные произведения

Получили, что среднее положение частицы представляет собой периодическую функцию времени, умноженную на некоторое число (определенный интеграл по x). Поэтому получаются колебания заряда, и, следовательно, излучение с частотой

Таким образом, квантовая механика объясняет существование линейчатых спектров и обосновывает вторую гениальную догадку Н.Бора: испускание или поглощение фотонов происходит только с частотами, удовлетворяющими равенству hν = E_m — E_n.

Теперь заметим, что колебаний заряда не будет, если интеграл В (9) равен нулю

Когда это бывает? В лекции о квантовом гармоническом осцилляторе выписаны волновые функции основного и первых двух возбужденных состояний. Для перехода m = 1 → n = 0 этот интеграл (опуская постоянные коэффициенты)

т.к. под интегралом четная функция. Аналогично для перехода m = 2 → n = 1

функция под интегралом четная и интеграл нулю не равен. Переходы m = 1 → n = 0 и m = 2 → n = 1 разрешены и сопровождаются излучением кванта.

Теперь проанализируем переход m = 2 → n = 0.

т.к. под интегралом нечетная функция. Такой переход запрещен. Детальный анализ волновых функций гармонического осциллятора показывает, что возможны только переходы, при которых квантовое число обязательно меняется на единицу Δn = ±1. Это так называемое правило отбора. Для водородоподобных атомов правила отбора будут свои.

Квантовая механика объясняет основные характеристики испускания и поглощения света.

Если возникли какие-либо вопросы, напишите мне.

Волновая функция и ее статистический смысл. Виды волновой функции и ее коллапс

В этой статье описывается волновая функция и ее физический смысл. Также рассматривается применение этого понятия в рамках уравнения Шредингера.

Наука на пороге открытия квантовой физики

В конце девятнадцатого века молодых людей, которые хотели связать свою жизнь с наукой, отговаривали становиться физиками. Бытовало мнение, что все явления уже открыты и великих прорывов в этой области уже не может быть. Сейчас, несмотря на кажущуюся полноту знаний человечества, подобным образом говорить никто не решится. Потому что так бывает часто: явление или эффект предсказаны теоретически, но людям не хватает технической и технологической мощи, чтобы доказать или опровергнуть их. К примеру, Эйнштейн предсказал гравитационные волны более ста лет назад, но доказать их существование стало возможным лишь год назад. Это касается и мира субатомных частиц (а именно к ним применимо такое понятие, как волновая функция): пока ученые не поняли, что строение атома сложное, у них не было необходимости изучать поведение таких маленьких объектов.

Спектры и фотография

Толчком к развитию квантовой физики стало развитие техники фотографии. До начала двадцатого века запечатление изображений было делом громоздким, долгим и дорогостоящим: фотоаппарат весил десятки килограммов, а моделям приходилось стоять по полчаса в одной позе. К тому же малейшая ошибка при обращении с хрупкими стеклянными пластинами, покрытыми светочувствительной эмульсией, приводила к необратимой потере информации. Но постепенно аппараты становились все легче, выдержка — все меньше, а получение отпечатков – все совершеннее. И наконец, стало возможно получить спектр разных веществ. Вопросы и несоответствия, которые возникали в первых теориях о природе спектров, и породили целую новую науку. Основой для математического описания поведения микромира стали волновая функция частицы и её уравнение Шредингера.

Корпускулярно-волновой дуализм

После определения строения атома, возник вопрос: почему электрон не падает на ядро? Ведь, согласно уравнениям Максвелла, любая движущаяся заряженная частица излучает, следовательно, теряет энергию. Если бы это было так для электронов в ядре, известная нам вселенная просуществовала бы недолго. Напомним, нашей целью является волновая функция и ее статистический смысл.

На выручку пришла гениальная догадка ученых: элементарные частицы одновременно и волны, и частицы (корпускулы). Их свойствами являются и масса с импульсом, и длина волны с частотой. Кроме того, благодаря наличию двух ранее несовместимых свойств элементарные частицы приобрели новые характеристики.

Одной из них является трудно представимый спин. В мире более мелких частиц, кварков, этих свойств настолько много, что им дают совершенно невероятные названия: аромат, цвет. Если читатель встретит их в книге по квантовой механике, пусть помнит: они совсем не то, чем кажутся на первый взгляд. Однако как же описать поведение такой системы, где все элементы обладают странным набором свойств? Ответ — в следующем разделе.

Уравнение Шредингера

Найти состояние, в котором находится элементарная частица (а в обобщенном виде и квантовая система), позволяет уравнение Эрвина Шредингера:

Обозначения в этом соотношении следующие:

• ħ=h/2 π, где h – постоянная Планка.
• Ĥ – Гамильтониан, оператор полной энергии системы.
• Ψ – волновая функция.

Изменяя координаты, в которых решается эта функция, и условия в соответствии с типом частицы и поля, в котором она находится, можно получить закон поведения рассматриваемой системы.

Понятия квантовой физики

Пусть читатель не обольщается кажущейся простотой использованных терминов. Такие слова и выражения, как «оператор», «полная энергия», «элементарная ячейка», — это физические термины. Их значения стоит уточнять отдельно, причем лучше использовать учебники. Далее мы дадим описание и вид волновой функции, но эта статья носит обзорный характер. Для более глубокого понимания этого понятия необходимо изучить математический аппарат на определенном уровне.

Волновая функция

Ее математическое выражение имеет вид

Волновая функция электрона или любой другой элементарной частицы всегда описывается греческой буквой Ψ, поэтому иногда ее еще называют пси-функцией.

Для начала надо понять, что функция зависит от всех координат и времени. То есть Ψ(x, t) – это фактически Ψ(x₁, x₂… x_n, t). Важное замечание, так как от координат зависит решение уравнения Шредингера.

Далее необходимо пояснить, что под |x> подразумевается базисный вектор выбранной системы координат. То есть в зависимости от того, что именно надо получить, импульс или вероятность |x> будет иметь вид | x₁, x₂, …, x_n>. Очевидно, что n будет также зависеть от минимального векторного базиса выбранной системы. То есть в обычном трехмерном пространстве n=3. Для неискушенного читателя поясним, что все эти значки около показателя x – это не просто прихоть, а конкретное математическое действие. Понять его без сложнейших математических выкладок не удастся, поэтому мы искренне надеемся, что интересующиеся сами выяснят его смысл.

И наконец, необходимо объяснить, что Ψ(x, t)= .

Физическая сущность волновой функции

Несмотря на базовое значение этой величины, она сама не имеет в основании явления или понятия. Физический смысл волновой функции заключается в квадрате ее полного модуля. Формула выглядит так:

где ω имеет значение плотности вероятности. В случае дискретных спектров (а не непрерывных) эта величина приобретает значение просто вероятности.

Следствие физического смысла волновой функции

Такой физический смысл имеет далеко идущие последствия для всего квантового мира. Как становится понятно из значения величины ω, все состояния элементарных частиц приобретают вероятностный оттенок. Самый наглядный пример – это пространственное распределение электронных облаков на орбиталях вокруг атомного ядра.

Возьмем два вида гибридизации электронов в атомах с наиболее простыми формами облаков: s и p. Облака первого типа имеют форму шара. Но если читатель помнит из учебников по физике, эти электронные облака всегда изображаются как некое расплывчатое скопление точек, а не как гладкая сфера. Это означает, что на определенном расстоянии от ядра находится зона с наибольшей вероятностью встретить s-электрон. Однако чуть ближе и чуть дальше эта вероятность не нулевая, просто она меньше. При этом для p-электронов форма электронного облака изображается в виде несколько расплывчатой гантели. То есть существует достаточно сложная поверхность, на которой вероятность найти электрон самая высокая. Но и вблизи от этой «гантели» как дальше, так и ближе к ядру такая вероятность не равна нулю.

Нормировка волновой функции

Из последнего следует необходимость нормировать волновую функцию. Под нормировкой подразумевается такая «подгонка» некоторых параметров, при которой верно некоторое соотношение. Если рассматривать пространственные координаты, то вероятность найти данную частицу (электрон, например) в существующей Вселенной должна быть равна 1. Формула выгладит так:

Таким образом, выполняется закон сохранения энергии: если мы ищем конкретный электрон, он должен быть целиком в заданном пространстве. Иначе решать уравнение Шредингера просто не имеет смысла. И неважно, находится эта частица внутри звезды или в гигантском космическом войде, она должна где-то быть.

Чуть выше мы упоминали, что переменными, от которых зависит функция, могут быть и непространственные координаты. В таком случае нормировка проводится по всем параметрам, от которых функция зависит.

Мгновенное передвижение: прием или реальность?

В квантовой механике отделить математику от физического смысла невероятно сложно. Например, квант был введен Планком для удобства математического выражения одного из уравнений. Теперь принцип дискретности многих величин и понятий (энергии, момента импульса, поля) лежит в основе современного подхода к изучению микромира. У Ψ тоже есть такой парадокс. Согласно одному из решений уравнения Шредингера, возможно, что при измерении квантовое состояние системы изменяется мгновенно. Это явление обычно обозначается как редукция или коллапс волновой функции. Если такое возможно в реальности, квантовые системы способны перемещаться с бесконечной скоростью. Но ограничение скоростей для вещественных объектов нашей Вселенной непреложно: ничто не может двигаться быстрее света. Явление это зафиксировано ни разу не было, но и опровергнуть его теоретически пока не удалось. Со временем, возможно, этот парадокс разрешится: либо у человечества появится инструмент, который зафиксирует такое явление, либо найдется математическое ухищрение, которое докажет несостоятельность этого предположения. Есть и третий вариант: люди создадут такой феномен, но при этом Солнечная система свалится в искусственную черную дыру.

Волновая функция многочастичной системы (атома водорода)

Как мы утверждали на протяжении всей статьи, пси-функция описывает одну элементарную частицу. Но при ближайшем рассмотрении атом водорода похож на систему из всего лишь двух частиц (одного отрицательного электрона и одного положительного протона). Волновые функции атома водорода могут быть описаны как двухчастичные или оператором типа матрицы плотности. Эти матрицы не совсем точно являются продолжением пси-функции. Они скорее показывают соответствие вероятностей найти частицу в одном и другом состоянии. При этом важно помнить, что задача решена только для двух тел одновременно. Матрицы плотности применимы к парам частиц, но невозможны для более сложных систем, например при взаимодействии трех и более тел. В этом факте прослеживается невероятное подобие между наиболее «грубой» механикой и очень «тонкой» квантовой физикой. Поэтому не стоит думать, что раз существует квантовая механика, в обычной физике новых идей не может возникнуть. Интересное скрывается за любым поворотом математических манипуляций.