Решения систем рациональных уравнений другими способами

Способы решения систем рациональных уравнениий
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Скачать:

Предварительный просмотр:

с. Александровка, 2012г.

Графический способ (алгоритм)

1. Выразить в обоих уравнениях
   системы переменную у через
   переменную х.
2. Построить графики функций в одной
   системе координат.
3. Отметить точки пересечения
   графиков, выписать их координаты.
4. Записать в ответ полученные пары
   чисел (х;у).

Как видишь этот способ

Прочти внимательно решение

примера и у тебя не останется

сомнений в пользе этого способа.

Реши систему уравнений:

Графиком первого уравнения системы является окружность с центром в точке (0;0) и радиусом равным 4. Преобразую второе уравнение так, чтобы переменная у оказалась функцией от х, т. е. у = 4 — х.

Построю оба графика в одной системе координат:

Точки пересечения графиков имеют координаты А(0;4), В(4;0). Система имеет два решения: (0;4), (4;0).

Тебе понравился этот метод

решения систем уравнений?

Некоторые системы из школьного

курса можно решать только этим

Научись применять этот способ и

тебе будут не страшны многие

задания по решению систем

Решить систему уравнений:

Проверь, верно ли, получились ответы:

с. Александровка, 2012г.

Метод введения новой переменной

Метод введения новой переменной

1. Замени одно или два выражения в уравнениях системы новыми переменными так, чтобы вновь полученные уравнения стали более простыми.

2. Реши полученную систему уравнений методам наиболее подходящим для этой системы уравнений.

3. Сделай обратную замену, для того, чтобы найти значения первоначальных переменных.

4. Запиши ответ в виде пар значений ( x,y ), которые были найдены на третьем шаге.

Посмотри внимательно как можно применить метод при решении системы !

Решить систему уравнений:

Введу в первое уравнение системы новую переменную, для этого заменю выражение xy переменной m , получу новую систему уравнений

Решу первое уравнение системы:

Сделаю обратную замену:

Если то система примет вид:

Если то система примет вид:

Данная система имеет четыре решения:

Тебе понравился этот метод?

Сложные системы уравнений становятся более простыми, если некоторые выражения в уравнениях заменить новыми переменными!

Научись применять этот метод, решив следующие системы уравнений !

Решить систему уравнений:

с. Александровка, 2012г.

для решения систем

Метод подстановки (алгоритм)

1. Вырази переменную у через переменную х в одном из уравнений системы .
2. Подставь полученное выражение вместо y в другое уравнение
   системы.
3. Реши полученное уравнение относительно переменной x .
4. Подставь поочередно каждое из найденных на третьем шаге значений x в выражение y через x , полученное на первом шаге.
5. Запиши в ответ полученные пары
   чисел (х;у).

Как видишь этот способ

Прочти внимательно решение

примера и у тебя не останется

сомнений в пользе этого способа .

Решить систему уравнений:

Выражу у через х в первом уравнении системы, получу систему

Подставлю полученное выражение вместо y во второе уравнение
системы, получу

Решу второе уравнение. Для этого открою скобки, учитывая, что перед ними стоит знак «-».

Приведу подобные слагаемые во втором уравнении системы, получу

Подставлю число 4 вместо x в выражение y через x , получу

Тебе понравился этот метод?

Им можно решать почти все системы из твоего учебника!

Системы уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:

Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):

Составляем из полученных выражений уравнение:

Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:

Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

	x — 4y = 2
	-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.

Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

	3x — 12y = 6
	3x — 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

К изучению предлагается тема «Рациональные неравенства и их системы. Системы уравнений». Для более уверенного решения систем рациональных неравенств и систем уравнений ученикам к рассмотрению предлагается рассмотреть решение систем уравнений. Решением системы является такая пара чисел, при подстановке которых получаем из системы верные равенства. Первое решение систем осуществляется методом подстановки, второе – графическим методом.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»