Решения систем уравнений методом подстановки 11 класс

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Метод подстановки и сложения.

С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p — 2&1/8q)

Решить систему уравнений

Немного теории.

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end \right. $$

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\< \begin y = 7—3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end \right. $$

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1;4) — решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\< \begin 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end \right. $$

В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\< \begin 3x=33 \\ x-3y=38 \end \right. $$

Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \( x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \( 11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\( -3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \( x=11; y=-9 \) или \( (11; -9) \)

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Системы уравнений. Способы их решения. 11 класс
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

В презентации рассматриваются способы решения систем уравнений:

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Способы решения Системы уравнений

Системы уравнений с двумя переменными. Определение: Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство. Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Способы решения: Способ подстановки Способ сложения Графический способ Способ замены

Способ подстановки Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение. Решить получившееся уравнение с одной переменной. Найти соответствующее значение второй переменной.

Пример: Решим систему уравнений: 1. Выразим из первого уравнения y через x : y=7-3x . 2. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-3х , получим систему: 3. В системе (2) второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение: 14-6х-5х=3, -11х= -11, х=1. 4. Подставим в равенство у=7-3х вместо х число 1 , найдём соответствующее значение у : у=7-3 1, у=4. Пара (1;4) – решение системы (1).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Способ сложения Умножьте почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Сложите почленно левые и правые части уравнений системы. Решите получившееся уравнение с одной переменной. Найдите соответствующее значение второй переменной.

Пример: Решим систему: 1. Умножим все члены первого уравнения на — 2 : уравнение оставим без изменений, то коэффициенты при в полученных уравнениях будут противоположными числами: 2. Т П очленно сложим и получим уравнение с одной переменной : -29у=58 . 3. Из этого уравнения находим, что у=58/(-29)= -2 . 4. Подставив во второе уравнение вместо у число -2 , Найдём значение х : 10х-7*(-2)=74 , 10х=60 , х=6 . Ответ : х=6 , у= -2

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Графический способ Построить график функции, заданной первым уравнением системы. Построить график функции, заданной вторым уравнением системы. Определить координаты точек пересечения графиков функций.

Пример : Решим систему уравнений: 1. Построим график линейной функции 2х+3у=5 . Её графиком является прямая АВ . 2. Построим график линейной функции 3х-у=-9 . Её графиком является прямая С D . 3. Графики пересекаются в точке К(-2;3). Значит, система имеет Единственное решение: х= -2, у=3 3 -2 К y x D C A B 0

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Способ замены Пример : Решим систему Сделаем замену: Получим систему: Разложим левую часть второго уравнения на множители: — и подставим в него из первого уравнения . Тогда получим систему, равносильную второй: Подставляя во второе уравнение значение b , найденное из первого приходим к уравнению , т.е. Полученное квадратное уравнение имеет два корня: и . Соответствующие значения b таковы: и . Переходим к переменным х и у. Получаем: , т.е. , , , . Ответ:(1;27), (27;1).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Системы показательных уравнений Пример : Решим систему уравнений Из второго уравнения системы находим 2х-у=1 , откуда у=2х-1 . Подставляя вместо у в первое уравнение выражение 2х-1 получим , откуда . Обозначим , получим квадратное уравнение . Находим корни этого уравнения: . Уравнение замены решений не имеет. Корнем уравнения является число х=2 . Соответствующее значение у=3 . Ответ :(2;3).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Системы логарифмических уравнений Пример : Решим систему уравнений Первое уравнение системы равносильно уравнению у-х=2 , а второе – уравнению , причём х > 0 и у > 0 . Подставляя у =х+2 в уравнение , получим х(х+2)=48 , откуда ,т.е. х= -8 или х=6 .Но так как х >0 , то х=6 и тогда у=8 . Итак, данная система уравнений имеет одно решение: х=6, у=8 . Ответ: (6;8).

Решите системы уравнений: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения»

Методическая разработка обобщающего урока алгебры в 8 классе по теме «Квадратные уравнения, способы их решения. Углубленное изучение свойств «квадратных уравнений». Урок -презентация.

урок в 9 классе по алгебре «Основные понятия. Графический способ решения системы уравнений с двумя переменными»

урок с применением технологии деятельностного подхода.

Урок алгебры 8 класс. Тема «Квадратные уравнения. Способы их решения.»

Презентация к уроку обобщения и закрепления ранее изученного материала по теме «Квадратные уравнения&quot.

Методическая разработка урока алгебры в 7 классе «Различные способы решения систем линейных уравнений» способы решения систем уравнений

Урок алгебры в 7 классе направлен на обобщение и систематизацию различных способов решения систем уравнений: метода сравнения, сложения, подстановки, графического метода, метода Крамера, выбора рацион.

Решение систем линейных уравнений способом сложения. 7 класс.

Графический способ решения системы уравнений. 9 класс

Цель урока: овладеть умением решать системы уравнений с двумя переменными, используя графические представления.

План-конспект урока «Системы уравнений. Основные способы их решения», 9 класс

План-конспект урока с технологической картой.

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Системы уравнений. Методы решения систем уравнений

Решение задачи

Решение задачи

Необходимо запомнить

Итак, на уроке мы вспомнили два основных метода решения систем уравнений: метод подстановки и метод сложения. Эти методы применимы к различным видам систем уравнений.

Кроме этих методов были рассмотрены частные случаи. В случае, когда одно из уравнений является частью другого или когда два уравнения совместно могут составить формулу сокращенного умножения. Так же мы выяснили, что и при решении систем уравнений применима замена переменных, позволяющая упростить решение.

Системы уравнений. Методы решения систем уравнений

Пусть заданы функции $f(x)$ и $g(x)$. Если относительно равенства поставлена задача отыскания всех значений переменной, при которых получается верное числовое равенство, то говорят, что задано уравнение с одной переменной.

Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ имеет вид $f (x,y ) = g (x,y)$, где $f$ и $g$ — выражения с переменными $x$ и $y$ .

Если ставится задача найти множество общих решений двух или нескольких уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Систему двух уравнений с двумя переменными будем записывать так:

$\begin & f_1(x,y) = y_1 (x,y)\\ & f_2(x,y) = y_2(x,y)\end$