Решения уравнений на формулы двойного угла

Формулы двойного угла в тригонометрии

Формулы двойного угла служат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением 2 α , используя тригонометрические функции угла α . Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.

Список формул двойного угла

Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид n α записи, где n является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись sin n α имеет то же значение, что и sin ( n α ) . При обозначении sin n α имеем аналогичную запись ( sin α ) n . Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями n .

Ниже приведены формулы двойного угла:

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α , cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α — c t g 2 α — 1 2 · c t g α

Отметим, что данные формулы sin и cos применимы с любым значением угла α . Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении α , где t g 2 α имеет смысл, то есть α ≠ π 4 + π 2 · z , z является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом α , где c t g 2 α определен на α ≠ π 2 · z .

Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.

Доказательство формул двойного угла

Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:

sin ( α + β ) = sin α · cos β + cos α · sin β и косинуса суммы cos ( α + β ) = cos α · cos β — sin α · sin β . Предположим, что β = α , тогда получим, что

sin ( α + α ) = sin α · cos α + cos α · sin α = 2 · sin α · cos α и cos ( α + α ) = cos α · cos α — sin α · sin α = cos 2 α — sin 2 α

Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла sin 2 α = 2 · sin α · cos α и cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α .

Остальные формулы cos 2 α = 1 — 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α — 1 приводят к виду cos 2 α = cos 2 α = cos 2 α — sin 2 α , при замене 1 на сумму квадратов по основному тождеству sin 2 α + cos 2 α = 1 . Получаем, что sin 2 α + cos 2 α = 1 . Так 1 — 2 · sin 2 α = sin 2 α + cos 2 α — 2 · sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α и 2 · cos 2 α — 1 = 2 · cos 2 α — ( sin 2 α + cos 2 α ) = cos 2 α — sin 2 α .

Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства t g 2 α = sin 2 α cos 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α . После преобразования получим, что t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α и c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos α . Разделим выражение на cos 2 α , где cos 2 α ≠ 0 с любым значением α , когда t g α определен. Другое выражение поделим на sin 2 α , где sin 2 α ≠ 0 с любыми значениями α , когда c t g 2 α имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим:

t g 2 α = sin 2 α cos 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α — sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α cos 2 α — sin 2 α cos 2 α = 2 · sin 2 α cos 2 α 1 — sin 2 α cos 2 α = 2 · t g α 1 — t g 2 α c t g 2 α = cos 2 α sin 2 α = cos 2 α — sin 2 α 2 · sin α · cos = cos 2 α — sin 2 α sin 2 α 2 · sin α · cos α sin 2 α = cos 2 α sin 2 α — 1 2 · cos α sin α = c t g 2 α — 1 2 · c t g α

Примеры использования формул двойного угла

Данный пункт показывает несколько примеров решения с формулами двойного угла. Конкретные примеры помогут глубже понять изучаемый материал. Чтобы убедиться в справедливости формул 2 α для α = 30 ° , применим значения тригонометрических функций для этих углов. Если α = 30 ° , тогда 2 α = 60 ° . Проверим значения sin 60 ° = 2 · sin 30 ° · cos 30 ° , cos 60 ° = cos 2 30 ° — sin 2 30 ° .

Подставив значения, получим t g 60 ° = 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° и c t g 60 ° = c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° . .

Известно, что sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 и

sin 60 ° = 3 2 , cos 60 ° = 1 2 , t g 60 ° = 3 , c t g 60 ° = 3 3 , тогда отсюда видим, что

2 · sin 30 ° · cos 30 ° = 2 · 1 2 · 3 2 = 3 2 , cos 2 30 ° — sin 2 30 ° = ( 3 2 ) 2 — ( 1 2 ) 2 = 1 2 , 2 · t g 30 ° 1 — t g 2 30 ° = 2 · 3 2 1 — ( 3 3 ) = 3

и c t g 2 30 ° — 1 2 · c t g 30 ° = ( 3 ) 2 — 1 2 · 3 = 3 3

Проведя вычисления, можно сделать вывод, что справедливость для α = 30 ° подтверждена.

Основное использование тригонометрических формул двойного угла – это преобразования тригонометрических выражений. Рассмотрим пример применения двойного угла, года имеем угол, отличный от 2 α . В примере допускается применение формулы двойного угла 3 π 5 . Тогда его необходимо преобразовать, в результате чего получим α = 3 π 5 : 2 = 3 π 10 . Отсюда следует, что формула двойного угла для косинуса будет иметь вид cos 3 π 5 = cos 2 3 π 10 — sin 2 3 π 10 .

Представить sin 2 α 3 через тригонометрические функции, при α 6 .

Заметим, что из условия имеем 2 α 3 = 4 · α 6 . Тогда использовав 2 раза формулу двойного угла, выразим sin 2 α 3 через тригонометрические функции угла α 6 . Применяя формулу двойного угла, получим sin 2 α 3 = 2 · sin α 3 · cos α 3 . После чего к функциям sin α 3 и cos α 3 применим формулы двойного угла: sin 2 α 2 = 2 · sin α 3 · cos α 3 = 2 · ( 2 · sin α 5 · cos α 6 ) · ( cos 2 α 6 — sin α 6 ) = = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6

Ответ: sin 2 α 3 = 4 · sin α 6 · cos 3 α 6 — 4 · sin 3 α 6 · cos α 6 .

Формулы тройного, четверного и т.д. угла

Таким же образом выводятся формулы тройного, четверного и т.д. углов. Формулы тройного угла можно вывести из формул сложения двойного угла.

sin 3 α = sin ( 2 α + α ) = sin 2 α · cos α + cos 2 α · sin α = 2 · sin α · cos α · cos α + ( cos 2 α — sin 2 α ) · sin α = = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α

При замене cos 2 α на 1 — sin 2 α из формулы sin 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α , она будет иметь вид sin 3 α = 3 · sin α — 4 · sin 3 α .

Так же приводится формула косинуса тройного угла:

cos 3 α = cos ( 2 α + α ) = cos 2 α · cos α — sin 2 α · sin α = = ( cos 2 α — sin 2 α ) · cos α — 2 · sin α · cos α · sin α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α

При замене sin 2 α на 1 — cos 2 α получим формулу вида cos 3 α = — 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

При помощи полученных формул преобразуем формулу тройного угла для тангенса и котангенса тройного угла:

t g 3 α = sin 3 α cos 3 α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α = 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α cos 3 α cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α cos 3 α = = 3 · sin α cos α — sin 3 α cos 3 α 1 — 3 · sin 2 α cos 2 α = 3 · t g α — t g 3 α 1 — 3 · t g 2 α ; c t g 3 α = cos 3 α sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α = cos 3 α — 3 · sin 2 α · cos α sin 3 α 3 · sin α · cos 2 α — sin 3 α sin 3 α = = cos 3 α sin 3 α — 3 · cos α sin α 3 · cos 2 α sin 2 α — 1 = c t g 3 α — 3 · c t g α 3 · c t g 2 α — 1

Чтобы выводить формулы четвертой степени, имеет смысл представить 4 α как 2 · 2 α , тогда имеет место использование формулы двойного угла два раза. Для выводы формулы 5 степени, представляем 5 α в виде 3 α + 2 α , что позволит применить формулы тройного и двойного углов для ее преобразования. Таким же образом делаются преобразования разных степеней тригонометрических функций. Их применение достаточно редкое в тригонометрии.

cos2a, sin2a. Формулы двойного угла. Примеры на ЕГЭ

Примеры решения задач из ЕГЭ на формулы двойного угла

Вычислим \(\cos⁡\frac<5π><6>\) с помощью тригонометрического круга. Сначала найдем \(\frac<5π><6>\) на круге:

Все аргументы разные и что с этим делать не понятно. Однако присмотревшись, замечаем, что \(98^°\)ровно в два раза больше \(49^°\). То есть, имеет смысл разложить синус в числителе по формуле двойного угла.

Одинаковые синусы можно сократить.

Теперь обратите внимание на то, что \(49^°=90^°-41^°\).
Поэтому мы можем заменить \(49^°\) на \(90^°-41^°\).

\((90^°-41^°)\) – это первая четверть, косинус в ней положителен. Значит, знак будет плюс;

\(90^°\)- находится на «вертикали» — функция меняется на кофункцию. \(\cos⁡ (90^°-41^°)=\sin⁡41^°\)

Пример. (Задание из ЕГЭ) Найдите значение выражения \(\sqrt<12>\cos^2⁡\frac<5π><12>-\sqrt<3>\).

С первого взгляда не очевидно, что тут надо делать. Возможно, со второго тоже. И здесь нас выручит золотое правило решения задач по математике: «не знаешь, что делать — делай, что можешь». А тут точно можно преобразовать \(\sqrt<12>\).
\(\sqrt<12>=\sqrt<4\cdot 3>=2\sqrt<3>\).

Теперь можно вынести \(\sqrt<3>\) за скобки.

Вот теперь видно, что перед нами формула косинуса двойного угла.

Сокращаем \(2\) и \(12\).

Теперь применим к косинусу формулу приведения:

\((π-\frac<π><6>)\) – это вторая четверть, косинус в ней отрицателен. Значит, знак будет минус;

\(π\) — находится на «горизонтали» — функция не меняется на кофункцию.

Задача C1: тригонометрические уравнения и формула двойного угла

Очень часто в задачах C1 из ЕГЭ по математике ученикам предлагают решить тригонометрическое уравнение, содержащее формулу двойного угла.

Сегодня мы вновь будем разбирать задачу С1 и, в частности, разберем довольно нестандартный пример, который одновременно вместил в себе и формулу двойного угла, и даже однородное уравнение. Итак:

Решите уравнение. Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку:

sinx+ sin 2 x 2 − cos 2 x 2 ,x∈ [ −2 π ;− π 2 ]

Полезные формулы для решения

Прежде всего, хотел бы напомнить, что все задания С1 решаются по одной и той же схеме. В первую очередь, исходную конструкцию нужно преобразовать в выражении, в котором содержится синус, косинус или тангенс:

Именно в этом состоит основная сложность задания С1. Дело в том, что для каждого конкретного выражения требуются свои выкладки, с помощью которых можно перейти от исходника к таким простейшим конструкциям. В нашем случае это формула двойного угла. Давайте я запишу ее:

cos2x= cos 2 x− sin 2 x

Однако в нашем задании нет cos 2 x <<\cos >^<2>>x или sin 2 x <<\sin >^<2>>x, зато есть sin 2 x 2 \frac<<<\sin >^<2>>x> <2>и cos 2 x 2 \frac<<<\cos >^<2>>x><2>.

Решаем задачу

Что же делать с этими выкладками? Давайте мы немножко схитрим, и в наши формулы синуса и косинуса двойного угла введем новую переменную:

Мы запишем такую конструкцию с синусом и косинусом:

cos2⋅ t 2 = cos 2 t 2 − sin 2 t 2

Или другими словами:

cost= cos 2 t 2 − sin 2 t 2

Возвращаемся к нашему исходному заданию. Давайте sin 2 x 2 \frac<<<\sin >^<2>>x> <2>перенесем вправо:

sinx= cos 2 x 2 − sin 2 x 2

Справа стоит именно те самые выкладки, которые мы только что записали. Давайте мы преобразуем их:

А теперь внимание: перед нами однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Смотрите, у нас нет никаких слагаемых, состоящих просто из чисел и просто из x x, у нас есть только синус и косинус. Также у нас нет квадратных тригонометрических функций, все функции идут в первой степени. Как решаются такие конструкции? В первую очередь, давайте предположим, что cosx=0 \cos x=0.

Подставим это значение в основное тригонометрическое тождество:

sin 2 x+ cos 2 x=1

Если эти числа, 0 и ±1, мы подставим в исходную конструкцию, то получим следующее:

Мы получили полный бред. Следовательно, наше предположение, что cosx=0 \cos x=0 неверно, cosx \cos x не может быть равен 0 в данном выражении. А если cosx \cos x не равен 0, то давайте разделим обе стороны на cosx \cos x:

И вот мы получили долгожданное простейшее выражение вида tg x=a tgx=a. Прекрасно, решаем его. Это табличное значение:

Мы нашли корень, мы решили первую часть задачи, т. е. честно заработали один первичный балл из двух.

Переходим ко второй части: найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку, а, точнее, отрезку

[\left[ -2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >;-\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >> <2>\right]\]. Предлагаю, как и в прошлый раз решать это выражение графически, т. е. нарисовать окружность, отметить в ней начало, т. е. 0, а также концы отрезка:

-2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >;-\frac<\pi > <2>нужно найти все значения, которые принадлежат

\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><\text<4>>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n. А теперь самое веселое: дело в том, что сама точка π 4 \frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >> <4>не принадлежит отрезку

π 4 ∉ ˜ [ −2 π ;− π 2 ]

Уже хотя бы потому, что оба конца этого отрезка отрицательные, а число π 4 \frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >> <4>положительное, но с другой стороны, какие-то значения вида

\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><4>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n все-таки принадлежат нашему отрезку. Так как же их выделить? Очень просто: берем конец отрезка

-2\text< >\!\!\pi\!\!\text < >и прибавляем π 4 \frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><\text<4>> , т. е. все происходит то же самое, как если бы мы начали отчет не от 0, а от −2 π -2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >, и у нас найдется первая точка:

x=−2 π + π 4 =− 7 π 4

Теперь второе число:

x=−2 π + π 4 + π =− 3 π 4

Это и есть второе значение. Других корней нет, потому что мы сами при их разметке и при отметке нашего отрезка ограничения обнаружили, что внутри этого отрезка лежат лишь два вида — π 4 \frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><\text<4>> и π 4 + π \frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><4>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >. Эти точки мы и наши. Выписываем ответ:

За такое решение вы получите два первичных балла из двух возможных.

Что нужно помнить для правильного решения

Еще раз ключевые шаги, которые необходимо выполнить. В первую очередь, нужно знать выкладки двойного угла синуса или косинуса, в частности, именно в нашей задаче, косинус двойного угла. Кроме того, после его применения необходимо решить простейшее тригонометрическое уравнение. Решается оно довольно просто, однако необходимо написать и проверить, что cosx \cos x в нашей конструкции не равен 0. После тригонометрического уравнения мы получаем элементарное выражение, в нашем случае это tg x=1 tgx=1, которое легко решается по стандартным формулам, известным еще с 9-10 класса. Таким образом, мы решим пример и получим ответ на первую часть задания — множество всех корней. В нашем случае это

\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><\text<4>>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n,n\in ˜Z. Затем остается лишь отобрать корни, принадлежащие отрезку

\left[ -2\text< >\!\!\pi\!\!\text< >;-\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >> <2>\right]. Для этого мы снова чертим тригонометрический круг, отмечаем на нем наши корни и наш отрезок, а затем отсчитываем от конца то самое π 4 \frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >> <4>и π 4 + π \frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><4>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >, которые получились во время отметки всех корней вида π 4 + π n \frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><\text<4>>+\text< >\!\!\pi\!\!\text< >n. После несложного счета мы получили два конкретных корня, а, именно,

-\frac<3\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><4>, которые являются ответом ко второй части задачи, т. е. корнями, принадлежащими отрезку

Ключевые моменты

Чтобы без проблем справиться с задачами C1 такого типа, запомните две основные формулы:

Синус двойного угла:

sin2 α =2sin α cos α

\sin 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text< >=2\sin \text< >\!\!\alpha\!\!\text< >\cos \text< >\!\!\alpha\!\!\text < >— эта формула для синусов всегда работает именно в таком виде;

С первой все понятно. Но что за варианты возможны во втором случае? Дело в том, что косинус двойного угла можно записать по-разному:

cos2 α =cos2 α −sin2 α =2cos2 α −1=1−2sin2 α

\cos 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text< >=\cos 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text< >-\sin 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text< >=2\cos 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text< >-1=1-2\sin 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text

Эти равенства следуют из основного тригонометрического тождества. Ну и какое равенство выбрать при решении конкретного примера C1? Все просто: если вы планируете свести конструкцию к синусам, то выбирайте последнее разложение, в котором присутствует только

\sin 2\text< >\!\!\alpha\!\!\text< >. И наоборот, если хотите свести все выражение к работе с косинусами, выбирайте второй вариант — тот, где косинус является единственной тригонометрической функцией.