Решения уравнений по математическому анализу

Математический анализ

Линейная алгебра

1. Определитель матрицы.
2. Матричный калькулятор: 3A-BC+A -1
3. Методы решения системы уравнений: метод Гаусса, метод Крамера, метод обратной матрицы и другие.
4. Координаты вектора в новом базисе. Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.
5. Приведение кривой второго порядка к каноническому виду
6. Собственные числа матрицы
7. Выделение полного квадрата (a•x 2 + b•x + c = 0)
8. Метод неопределенных коэффициентов (преобразовать в сумму простейших дробей):
9. Формула дискриминанта. Данный вид калькулятора используется для нахождения дискриминанта и корней функции.
10. Деление многочленов столбиком. Данная процедура, в частности, поможет при нахождении интегралов.
11. Решение пределов.

Комплексные числа

1. Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах
2. Извлечение корня из комплексных чисел используется, например, при нахождении уравнений типа w 3 — z = 0 .

Дифференциальное исчисление

1. Найти производную (Таблица производных) cosx + e sinx+x 3x
2. Дифференциал функции
3. Правило Лопиталя при вычислении пределов.
4. Уравнение касательной к графику функции, уравнение нормали
5. Наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной. Калькулятор вычисляет экстремум функции. Интервалы возрастания и убывания функции. Интервалы выпуклости и вогнутости графика функции. Точки перегиба.
6. Асимптоты функции. Определение наклонных, вертикальных и горизонтальных асимптот.
7. Построение графика функции методом дифференциального исчисления

Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения: , .
2. Линейные дифференциальные уравнения (решение однородных дифференциальных уравнений y»-2y’+y = e 2x )

Интегральное исчисление

1. Площадь фигуры, ограниченной линиями:
2. Вычисление интегралов (Таблица интегралов)
3. Работа силы при перемещении вдоль дуги линии: Найти работу силы F при перемещении вдоль дуги линии L от точки M₀ до точки M₁.

Степенные ряды

1. Определить сходимость или расходимость ряда
2. Определить область сходимости степенного ряда
3. Разложить в ряд Тейлора
4. Разложение функции в ряд Фурье: Разложить в ряд Фурье функцию f(x)=1+x на отрезке [-1, 1]. Построить графики частичных сумм S₀, S₁, S₂.

С помощью сервиса WolframAlpha можно бесплатно решать многие математические задачи. Решение бесплатное и автоматическое с возможностью сохранять результаты вычислений в формате pdf. Есть возможность показать ход решения ( Show steps ).

Типовые примеры задач математического анализа

Задача 1. Найти пределы функций с помощью правила Лопиталя.
Пределы
а)
Решение.
Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенность 0/0 и ∞ / ∞.

Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Для нашего примера: f(x) = 1-(cos(x)) 2 , g(x) = x+sin(2•x)
Находим первую производную: f'(x) = 2•cos(x)•sin(x), g'(x) = 1+2•cos(2•x)

б)
Решение.

Для нашего примера:
f(x) = ln(sin(x))
g(x) = (2•x-π) 2
Находим первую производную
f'(x) = cos(x)/sin(x)
g'(x) = -4•π+8•x

Находим вторую производную
f»(x) = -1-cos 2 (x)/sin 2 (x)
g»(x) = 8

в)
г) .

Задача 2. Провести полное исследование и построить графики функций.
Функции
а) ;
Решение ищем по схеме:

1. выяснение области определения функции;
2. определение четности или нечетности функции;
3. исследуется периодичность функции;
4. расчет точек пересечения кривой с осями координат;
5. находят точки разрыва функции и определяют их характер;
6. исследования на экстремум;
   Находим первую производную функции:
   
   или
   
   Приравниваем ее к нулю:
   
   x₁ = -1
   x₂ = 1
   Вычисляем значения функции
   f(-1) = -1 /₂
   f(1) = 1 /₂
   Ответ:
   f_min = -1 /₂, f_max = 1 /₂
   Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
   
   или
   
   Вычисляем:
   y»(-1) = 1 /₂>0 — значит точка x = -1 точка минимума функции.
   y»(1) = -1 /₂ y = 0
7. строят график исследуемой функции.

Задача 3. Дано скалярное поле.
1) Составить уравнение линии u = C и построить её график.
2) Вычислить с помощью градиента производную скалярного поля u=u(x;y) в точке A по направлению вектора .
3) Найти наибольшую скорость изменения скалярного поля в точке A .

	С	Координаты т. А	Координаты т. В
	4

Задача 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж.
Уравнения линий
y = -4x 3 ; x=0; y=4

Задание 6. Известно, что рыночный спрос Q и предложение S на некоторый товар линейно зависит от цены p: S=ap+b, Q=cp+d, где a, b, c, d-некоторые положительные постоянные. Исследование рынка показало, что скорость изменения цены пропорциональна превышению спроса над предложением с коэффициентом пропорциональности y. Напишите дифференциальное уравнение, характеризующее зависимость цены от времени t, и решите его при условии, что начальная цена товара имела значение p(0)=0,25.

Задание 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.
x 2 y″-ln(x)=0

Математический анализ

Математический анализ в классическом виде представляет собой несколько взаимосвязанных математических разделов, объединенных как дифференциальной, так и интегральной методикой вычислений. В этой математической отрасли функции и их свойства исследуются через определение их пределов (лимитов). Направленность метода математического анализа является инфинитезимальной.

Математический анализ задействуется в различных сферах деятельности, его применяют в информатике и статистике, в частности для выяснения показателей демографии. Математические аналитические методы задействуют в медицине, физике, практически во всех случаях, когда требуется для анализа процессов построить математическую модель.

Целью математического моделирования с использованием инструментария «матанализа» является нахождение оптимального решения. Математический анализ часто задействуется в симбиозе с методами иных математических дисциплин: линейной алгеброй, аналитической геометрией, теорией вероятностей и пр.

Примеры задач по математическому анализу

В данном разделе размещены типовые примеры задач по математическому анализу с подробным решением.

Каталог решений онлайн

• Исследование функции (13 задач)
• Непрерывность, точки разрыва (3 задачи)
• Пределы (8 задач)
• Производные и приложения, частные производные (8 задач)
• Дифференциальные уравнения (18 задач)
• Дифференциальные уравнения в частных производных (12 задач)
• Разностные уравнения (4 задачи)
• Интегралы (неопределенные, определенные, несобственные) (12 задач)
• Применение интегралов к вычислению длин, площадей, объемов (10 задач)
• Двойные интегралы (20 задач)
• Тройные интегралы (13 задач)
• Криволинейные интегралы (16 задач)
• Поверхностные интегралы (6 задач)
• Ряды, исследование сходимости и применение (9 задач)
• Ряды и интегралы Фурье (6 задач)
• Комплексные числа (12 задач)
• Теория функций комплексной переменной (13 задач)
• Операционное исчисление (17 задач)
• Функции нескольких переменных (29 задач)
• Теория поля (15 задач)
• Функциональный анализ (7 задач)
• Интегральные уравнения (10 задач)
• Вариационное исчисление (9 задач)

Изучаем математический анализ

МатБюро помогает студентам с 2006 года. Всё это время мы поддерживаем прекрасную репутацию и наилучшие условия «цена-качество».

Мы предлагаем:
Грамотную и подробную консультацию и решение за разумную стоимость.