Решения уравнений с введением переменной

Уравнения с одной переменной

Уравнением с одной переменной — это равенство, содержащее только одну переменную. Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Содержание:

Определение уравнения. Корни уравнения

Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример 1.

Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.

Пример 2.

Уравнение (х — 1)(х — 2) = 0 имеет два корня: 1 и 2.

Пример 3.

Уравнение не имеет действительных корней.

Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение имеет два мнимых корня: (см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.

Равносильность уравнений

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения — ни одно из них не имеет корней.

Уравнения неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и — 6.

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1.

Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению

Теорема 2.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению (обе части первого уравнения мы умножили на 3).

Линейные уравнения

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида

где — действительные числа; называют коэффициентом при переменной, — свободным членом.

Для линейного уравнения могут представиться три случая:

1) ; в этом случае корень уравнения равен ;

2) ; в этом случае уравнение принимает вид , что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;

3) ; в этом случае уравнение принимает вид , оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению . Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение . Итак, — корень уравнения.

Пример 2.

Решение:

Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим

Квадратные уравнения

где — действительные числа, причем , называют квадратным уравнением. Если , то квадратное уравнение называют приведенным, если , то неприведенным. Коэффициенты имеют следующие названия: — первый коэффициент, — второй коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения находят по формуле

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D О, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение , можно переписать формулу (2) в виде Если , то формулу (2) можно упростить:

Формула (3) особенно удобна, если — целое число, т. е. коэффициент — четное число.

Пример 1.

Решение:

Здесь . Имеем:

Так как , то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):

Итак, — корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение

Решение:

Здесь По формуле (3) находим т. е. х = 3 — единственный корень уравнения.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение:

Здесь Так как D 0, откуда х>3, и 5 — х > 0, откуда х 5, тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение х = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку х = 4 не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет неравенству х > 5). Итак, х = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.

Рациональные уравнения

Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.

Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример:

Решение:

Общим знаменателем имеющихся дробей является 2х(2 — х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:

Из уравнения находим (см. п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни выражение 2х(2 — х) в нуль, т. е. проверить выполнение условия Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, х = 4 — единственный корень уравнения.

Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители

Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени . Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:, где — многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид . Если — корень уравнения а потому хотя бы одно из чисел равно нулю.

Значит, — корень хотя бы одного из уравнений

Верно и обратное: если — корень хотя бы одного из уравнений то — корень уравнения т. е. уравнения р (х) = 0.

Итак, если , где — многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем откуда

Значит, либо х + 2 = 0, либо . Из первого уравнения находим х = — 2, второе уравнение не имеет корней. Итак, получили ответ: -2.

Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть но среди выражений есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений могут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.

Пример 2.

Решить уравнение

Решение:

Имеем ; значит, либо , либо .Из уравнения находим х = 0, из уравнения находим .

Но х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение . Это посторонний корень.

Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.

Решение уравнений методом введения новой переменной

Суть этого метода поясним на примерах.

Пример 1.

Решение:

Положив , получим уравнение

откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Из второго квадратного уравнения находим . Это корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решение:

Положим , тогда

и уравнение примет вид

Решив это уравнение (см. п. 145), получим

Но . Значит, нам остается решить совокупность уравнений

Из первого уравнения находим , ; из второго уравнения получаем Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения.

Биквадратные уравнения

Биквадратным уравнением называют уравнение вида

Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив , придем к квадратному уравнению

Пример:

Решить уравнение .

Решение:

Положив , получим квадратное уравнение , откуда находим . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим Это — корни заданного биквадратного уравнения.

Решение задач с помощью составления уравнений

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2) С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).

3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4) Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Задача 1.

Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?

Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить т груза, а на самом деле грузили т груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению

Это уравнение имеет два корня: х = -24, х = 20. Ясно, что по смыслу задачи значение х = —24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.

Задача 2.

Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.

Решение:

Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, идет по течению со скоростью (20 + х) км/ч, а против течения — со скоростью (20 — х) км/ч. Время, за которое лодка пройдет путь между пунктами по течению, составит ч, а время, за которое лодка пройдет обратный путь, составит ч. Так как путь туда и обратно лодка проходит за 6 ч 15 мин, т. е. ч, приходим к уравнению

решив которое, находим два корня: х = 4, х = -4. Ясно, что значение х = -4 не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задача 3.

Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение:

Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем

Решив это уравнение, найдем

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.

Задача 4.

Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Решение:

Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна , а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна Согласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть , а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть Так как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение

решив которое, найдем х = 10.

Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.

Задача 5.

Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение:

Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 — х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 — х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится л кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве смеси содержалось л кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй л кислоты, а всего

за два раза вылито 54 — 24 = 30 л кислоты. В результате приходим к уравнению

Решив это уравнение, найдем два корня: и . Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.

Задача 6.

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение:

Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было . Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению

Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.

Задача 7.

Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30% ?

Решение:

Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 — х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%; значит, в х т стали первого сорта содержится 0,05л; т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%; значит, в (140 — х) т стеши второго сорта содержится 0,4 (140 — х) т никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30% -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 0,3 * 140 т никеля. Но это количество никеля складывается из 0,05л; т, содержащихся в стали первого сорта, и из 0,4 (140 — х) т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению

0,05х + 0,4 (140 — х) = 0,3 * 140,

из которого находим х = 40. Следовательно, надо взять 40 т стали с 5% -ным и 100 т стали с 40% -ным содержанием никеля.

Иррациональные уравнения

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения

Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:

1) метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2) метод введения новых переменных (см. п. 147).

Метод возведения обеих частей уравнения в одну

и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду

б) возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:

в) учитывая, что , получают уравнение

г) решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Возведем обе части уравнения в шестую степень; получим х — 3 = 64, откуда х = 67.

Проверка:

Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим , т. е. 2 = 2 — верное равенство.

Ответ: 67.

Пример 2.

Решение:

Преобразуем уравнение к виду

и возведем обе части его в квадрат. Получим

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

откуда

Проверка:

1) При х = 5 имеем

— верное равенство.

Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.

2) При х = 197 имеем Таким образом, х = 197 — посторонний корень.

Ответ: 5.

Пример 3.

Решение:

Применим метод введения новой переменной.

Положим и мы получаем уравнение , откуда находим

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений

Возведя обе части уравнения в пятую степень, получим х — 2 = 32, откуда х = 34.

Уравнение не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Ответ: 34.

Показательные уравнения

Показательное уравнение вида

где равносильно уравнению f(х) = g(x).

Имеются два основных метода решения показательных уравнений:

1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду а затем к виду f(х) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решить уравнение

Решение:

Данное уравнение равносильно уравнению откуда находим Решив это квадратное уравнение, получим

Пример 2.

Решение:

Приведем все степени к одному основанию . Получим уравнение которое преобразуем к виду Уравнение равносильно уравнению х = 2х — 3, откуда находим х = 3.

Пример 3.

Решить уравнение

Решение:

Применим метод введения новой переменной. Так как ,то данное уравнение можно переписать в виде

Введем новую переменную, положив Получим квадратное уравнение с корнями Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значениях х.

Ответ: 2.

Логарифмические уравнения

Чтобы решить логарифмическое уравнение вида

где нужно:

1) решить уравнение f(x) = g(x);

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:

1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду затем к виду f(x) = g(x);

2) метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решение:

Перейдем от заданного уравнения к уравнению и решим его. Имеем Проверку найденных значений х выполним с помощью неравенств Число -3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 — нет. Значит, 4 — посторонний корень.

Ответ: -3.

Пример 2.

Решение:

Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду

Из последнего уравнения находим

Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств

Подставив поочередно найденные значения -1 и -5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 — нет, например при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, -5,5 — посторонний корень.

Ответ: -1.

Пример 3.

Решение:

Так как заданное уравнение можно переписать следующим образом:

Введем новую переменную, положив Получим

Но ; из уравнения находим х = 4.

Ответ: 4.

Примеры решения показательно-логарифмических уравнений

Пример 1.

Решение:

Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение

равносильное уравнению (1). Далее имеем

Полагая получим уравнение , откуда Остается решить совокупность уравнений Из этой совокупности получим — корни уравнения (1).

Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению

Пример 2.

(2)

Решение:

Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду

Полагая , получим уравнение корнями которого являются

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Так как , а -1 0 и мы получаем

если , то D = 0 и мы получаем , т. е. (поскольку ) .

Итак, если то действительных корней нет; если = 1, то ; если ,то ; если и , то

Пример 3.

При каких значениях параметра уравнение

имеет два различных отрицательных корня?

Решение:

Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня его дискриминант должен быть положительным. Имеем

Значит, должно выполняться неравенство

По теореме Виета для заданного уравнения имеем

Так как, по условию, , то и

В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):

Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) ; из второго ; из третьего . С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо , либо

Эта лекция взята со страницы полного курса лекций по изучению предмета «Математика»:

Смотрите также дополнительные лекции по предмету «Математика»:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Решение уравнений методом введения новой переменной, теория, практика

В этой статье мы всесторонне разберем метод введения новой переменной. Здесь мы выясним, для решения каких уравнений этот метод предназначен, проникнем в его суть, приведем обоснование метода, доказав соответствующее утверждение, запишем алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной и рассмотрим решения характерных примеров.

Когда применяется и в чем суть метода

Метод введения новой переменной предназначен для решения уравнений, имеющих вид f(g(x))=0 или f₁(g(x))=f₂(g(x)) , где f , f₁ и f₂ – некоторые функции, а x – неизвестная переменная. Для лучшего восприятия приведем примеры таких уравнений:

• (x 2 ) 3 −3·x 2 +2=0 , это уравнение имеет вид f(g(x))=0 , здесь g(x)=x 2 , а функция f такая, что f(t)=t 2 −3·t+2 ;
• , это уравнение вида f₁(g(x))=f₂(g(x)) , здесь в качестве g(x) можно рассматривать x 2 +2·x , тогда функции f₁ и f₂ таковы, что и ;
• , это уравнение, имеющее вид f(g(x))=0 , где , а функция f описывается как .

Понятно, что f(g(x))=0 и f₁(g(x))=f₂(g(x)) — равносильные уравнения, так как уравнение f₁(g(x))=f₂(g(x)) приводится к виду f(g(x))=0 при помощи равносильного преобразования, заключающегося в переносе выражения f₂(g(x)) из правой части в левую с противоположным знаком. Поэтому дальнейшую теорию мы будем излагать только для уравнений вида f(g(x))=0 , это сделано в угоду краткости без ущерба для общности.

Суть метода введения новой переменной для решения уравнения f(g(x))=0 состоит во введении новой переменной t как g(x)=t с целью нахождения всех корней исходного уравнения через множество решений T уравнения f(t)=0 с новой переменной t и использование равенства g(x)=t . Забегая немного вперед, скажем, что корнями исходного уравнения являются все такие значения x , которые удовлетворяют условию g(x)∈T . В частности,

• если T – пустое множество, то есть, уравнение f(t)=0 не имеет решений, то условие g(x)∈T определяет пустое множество, а это означает, что исходное уравнение не имеет решений;
• если T – конечное множество, то есть, уравнение f(t)=0 имеет n решений t₁, t₂, …, t_n , то условие g(x)∈T есть не что иное, как совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n , а это означает, что решением исходного уравнения является решение совокупности уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n .

Поясним на примере. Возьмем уже упомянутое выше уравнение (x 2 ) 3 −3·x 2 +2=0 . Введение новой переменной x 2 =t позволяет от исходного уравнения перейти к кубическому уравнению t 3 −3·t+2=0 с новой переменной (заменяем в исходном уравнении x 2 на t ). Множество решений этого уравнения T (оно в нашем случае состоит из двух чисел t₁=1 и t₂=−2 , то есть, T= <−2, 1>) и использование равенства x 2 =t дают возможность определить все корни исходного уравнения. Они определяются по условию x 2 ∈ <−2, 1>, которое есть не что иное, как совокупность двух уравнений x 2 =−2 , x 2 =1 .

В основе метода введения новой переменной лежит следующее утверждение:

Решение уравнения f(g(x))=0 есть множество значений переменной x , удовлетворяющих условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 .

Приведем обоснование озвученного утверждения в следующем пункте.

Обоснование

Докажем утверждение, лежащее в основе метода введения новой переменной, которое мы привели в предыдущем пункте. Для этого нужно доказать два момента:

• что любой корень уравнения f(g(x))=0 удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 ,
• что любое значение переменной x , удовлетворяющее условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 , является корнем уравнения f(g(x))=0 .

Начнем с первой части. Пусть x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 . Докажем, что x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 .

Так как x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 , то f(g(x₀))=0 – верное числовое равенство. Из этого равенства следует, что g(x₀) – корень уравнения f(t)=0 . А из этого следует, что g(x₀) принадлежит множеству всех корней уравнения f(t)=0 .

Первая часть доказана. Переходим к доказательству второй части утверждения.

Пусть x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , где T – множество всех корней уравнения f(t)=0 . Докажем, что x₀ является корнем уравнения f(g(x))=0 .

Так как x₀ удовлетворяет условию g(x)∈T , то g(x₀)∈T , то есть, g(x₀) – это один из корней уравнения f(t)=0 . Значит, f(g(x₀))=0 – верное числовое равенство. А из этого равенства следует, что x₀ – корень уравнения f(g(x))=0 .

Так доказана вторая часть утверждения и все утверждение в целом.

Алгоритм решения уравнений методом введения новой переменной

Приведенная выше информация позволяет записать алгоритм решения уравнения f(g(x))=0 методом введения новой переменной:

• Вводится новая переменная t как g(x)=t , и осуществляется переход от исходного уравнения f(g(x))=0 со старой переменной x к уравнению f(t)=0 с новой переменной t .
• Решается полученное уравнение с новой переменной. При этом
  • если оно не имеет корней, то делается вывод об отсутствии корней у исходного уравнения,
  • если уравнение имеет корни, то выполняются следующие шаги алгоритма.
• Осуществляется возврат к старой переменной. Для этого
  • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет единственный корень, обозначим его t₁ , то составляется уравнение g(x)=t₁ ,
  • если решенное на предыдущем шаге уравнение имеет два, три или любое другое, но конечное число корней, обозначим их t₁, t₂, …, t_n , то составляется совокупность уравнений g(x)=t₁, g(x)=t₂, …, g(x)=t_n ,
  • если же решенное на предыдущем шаге уравнение имеет бесконечно много корней, и они составляют числовое множество T , то составляется совокупность уравнений, неравенств и двойных неравенств, отвечающая выражению g(x)∈T (например, если решением уравнения с новой переменной t является числовое множество (−∞, t₁)∪2>∪[t₃, t₄) , что то же самое , то соответствующая совокупность будет иметь вид ).
• Наконец, решается составленное уравнение или совокупность – ее решение есть искомое решение исходного уравнения.

Решение примеров

Обычно первое знакомство с методом введения новой переменной происходит в школе в рамках темы «решение рациональных уравнений». В частности, рациональными являются биквадратные уравнения, стандартным методом решения которых как раз является метод введения новой переменной. Для примера приведем краткое решение методом введения новой переменной биквадратного уравнения x 4 −3·x 2 +5=0 . После представления его в виде (x 2 ) 2 −3·x 2 +5=0 , вводим новую переменную x 2 =t , это позволяет перейти к квадратному уравнению с новой переменной: t 2 −3·t+5=0 . Оно не имеет действительных корней, так как его дискриминант D=(−3) 2 −4·1·5=−11 – отрицательный, откуда заключаем, что исходное уравнение не имеет корней.

Среди рациональных уравнений масса и других типичных представителей, решающихся методом введения новой переменной. Такими, во-первых, являются уравнения, в которых переменная фигурирует только в одинаковых квадратных двучленах, например (x 2 −5·x+4)·(x 2 −5·x+6)=120 , (x 2 +5) 2 −11·(x 2 +5)+28=0 , . Во-вторых, через введение новой переменной решаются уравнения, в которых переменная находится только во взаимно обратных дробях, например, , здесь одна из дробей принимается за t , а другая, очевидно, выражается через t как 1/t , ведь на ОДЗ для данного уравнения . В-третьих, упомянем про возвратные уравнения, которые тоже решаются методом введения новой переменной, а именно . Решения подобных уравнений Вы без труда найдете в статье, упомянутой в первом предложении этого пункта, а также на страницах школьных учебников, например, [1, c. 74-75, 80; 2, с. 150-152; 3, с. 213-216].

Продвигаясь дальше в школьном курсе математики по пути знакомства с уравнениями, нам встречаются иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические и другие уравнения, и каждый раз мы возвращаемся к методу введения новой переменной для их решения. Для уравнений каждого вида есть свои особенности в плане введения новой переменной. Рекомендуем ознакомиться с ними в следующих материалах:

• решение иррациональных уравнений методом введения новой переменной,
• метод введения новой переменной при решении показательных уравнений,
• решение показательных уравнений методом введения новой переменной,
• решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной.

В заключение покажем пример решения уравнения, которое после введения новой переменной имеет бесконечное множество решений. Подобные случаи встречаются крайне редко, и тем они еще более интересны. В них главное разобраться с особенностями возврата к старой переменной.

Решите уравнение

Введение переменных и составление уравнений в задачах

Разделы: Математика

Цели и задачи урока:

• Систематизировать способы введения переменной в текстовых задачах через повторение вариантов составления уравнений и закрепление навыков составления краткой записи.
• Развивать логическое мышление учащихся, учить сравнивать, анализировать, выбирать наиболее рациональное решение, формировать правильную математическую речь.
• Развивать навыки самостоятельности, самообучения.

Форма урока: урок обобщения навыков, исследовательская работа.

Оборудование урока:

• Магнитная доска.
• Индивидуальные доски учащихся, фломастеры.
• Таблички для обобщения, формулировки выводов.
• Кружки разного размера для работы на доске.
• Раздаточный материал для учащихся с текстом задач /приложение 1/.

Структура урока:

1. Организационный этап. (2 мин)

2. Пропедевтический этап. Актуализация опорных знаний и умений учащихся (3 мин).

3. Постановка цели и задач урока (1 мин).

4. Выбор переменной в задачах (10 мин).

5. Способы составления уравнений (15 мин).

6. Итог урока (3 мин)

7. Комментирование домашнего задания (1 мин).

8. Самостоятельная работа (10 мин)

На доске:

• Тема урока, число (центральная доска слева).
• Примеры для устного счета (дополнительная доска слева).
• Домашнее задание (дополнительная доска справа)
• Тексты задач 1д, 1е из раздаточного материала (доп.доска справа внутри, т.е. не видна в начале урока)

Перед началом урока (до звонка) учитель собирает тетради с домашней работой.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Садитесь.

Откройте тетради, запишите число. В дневник запишите домашнее задание (показывает на доске): №1373в, задача №3 в приложении.

Закройте дневники, подготовьте доски, поиграем в «молчанку».

Учитель раскрывает дополнительную доску, учащиеся пишут ответы на индивидуальных досках:

• Привести подобные слагаемые:
  
• Записать в виде десятичной дроби: 40%; 20%; 185%; 7%.
• Выразить значение десятичной дроби в процентах: 0,35; 02; 0,03; 1,25.
• Найти 2/3 oт x; 5/7 от a.
• Найти число, если 3/4 его составляют r. Найти число, если 5/7 его составляют n;
• Выделить целую часть 5/3; 3/2; 8/3.

Учащиеся по просьбе учителя записывают ответ на индивидуальной доске, показывают учителю ответ. При затруднении кто – либо из учащихся комментирует решение. При значительном затруднении решение записывается в тетрадь. Но к данному уроку эти задания должны быть достаточно отработаны и только повторяются.

Учитель: Мы говорили ранее, что умение решать задачи является основным. Задачи можно решать по-разному. Одним из способов является решение с помощью составления уравнения. Этим способом мы с вами только начинаем овладевать. Важным моментом для умения решения задачи с помощью уравнений является выбор переменной. Ведь это самое начало решения! А как начнешь дело, так и его закончишь.

Сегодня на уроке мы повторим некоторые возможные способы выбора переменной, рассмотрим достоинства и недостатки этих способов.

А в конце урока мы должны будем определиться в ответе на вопрос: как же вводить переменную и составить уравнение, чтобы задача легче решалась? Запишите тему урока.

Предлагаем отработанный блок вопросов для работы с условием текстовой задачи:

Учитель:Посмотрите на задачу 1а (см. Приложение 1). Прочитайте условие задачи.

• О чем говориться в задаче? (Предполагаемый ответ: в задаче говорится о поле)
• На какие части можно условно разделить поле в задаче? (I участок, II участок)
• Какая величина характеризует поле? (Площадь поля)
• В чем она измеряется? (Гектарах)
• Какова площадь поля? (2,4 га)
• Какова площадь первого участка? (Неизвестна)
• Какова площадь второго участка? (Неизвестна)
• Какова зависимость между неизвестными величинами? (s1>s2 на 0,8 га)
  В процессе беседы по типовым вопросам на доске и в тетрадях учащихся появляется краткая запись условия задачи

• Какую смысловую нагрузку несет значение величины s=2,4га? (Если к площади первого участка прибавить площадь второго участка, то получим значение площади всего поля или 2,4 га по условию задачи).

Если в задаче неизвестны значения каких-либо величин, но известна зависимость между ними, то задачу можно решать с помощью составления уравнения. Для этого необходимо ввести переменную и составить уравнение.

• Значение какой величины можно обозначить через переменную? (Площадь второго поля обозначим через х, т.к. она меньшая)
• Как выразить другую величину? ((х+0,8)га)
• Можно ли обозначить буквой значение другой величины? (Да: площадь первого поля обозначим через у)

В результате этой части беседы краткая запись дополняется кружками, обозначающими зависимость между величинами:

• Каким из этих способов предпочтительнее вводить переменную? (Первым, но незначительно. Способы практически равнозначны)

Разберем в парах введение переменной в задаче 1б (см. Приложение 1)

Учащиеся работают в парах с соседом по парте. Один ученик задает вопросы, другой отвечает. Считаем необходимым отметить, что одним из навыков решения задачи является умение задавать вопросы самому себе. К данному уроку работа над умением задавать вопросы велась неоднократно. Две пары учеников выполняют работу на доске. После пары проверяют записи на доске друг у друга вместе с классом. Лучшую запись оставляют на доске. Ответы учащихся оцениваются друг другом. Учитель комментирует сам или требует комментариев от учащихся по вопросу выставления оценок. В результате на доске остается запись:

• Какой способ введения переменной рациональнее? (Первый)
• Можно ли вводить переменную вторым способом? (Да, если выполнить преобразования: y : 3 = y * 1/3 = 1/3 y)

Аналогично организовать работу над задачами 1в, 1г.

Получить на доске краткие записи работы:

В соответствии с уровнем подготовки школьников следует уделять внимание логическим пояснениям и математическим преобразованиям в каждом случае. Обязательно подвести учащихся к выводу, что любой способ введения переменной является правильным, но не любой – самым легким для последующего решения.

Учитель: Какие зависимости между неизвестными величинами мы уже рассмотрели? (Больше – меньше, одна величина является частью от другой, в том числе процентной) Рассмотрим другие случаи зависимости: (тексты дублировать на дополнительной доске, краткая запись – в результате беседы)

Необходимо отметить, что мы уделяем особое внимание символическим обозначениям. Мы вводим свои условные знаки, которые являются как бы мостиком при переводе информации с русского на математический язык. Так, зависимость между величинами мы обозначаем кружками, которые позволяют легче усвоить смысл уравнивания величин с помощью весов, а разность обозначаем в виде гири, которая к этому времени трансформировалась в прямоугольник. Поэтому наиболее тяжелая для учащихся зависимость «разность чисел» легко переформулируется в «больше — меньше».

Учитель: Подведем итог нашей работы.

Нужно, чтобы учащиеся самостоятельно сделали ряд выводов:

• Существуют различные зависимости между величинами (больше – меньше, часть – целое, сумма, разность)
• Выбор переменной может быть любым.
• От выбора переменной зависит дальнейшее решение задачи.

Учитель: Мы уже отметили, что умение ввести переменную для решения задачи очень важно. Но в тексте задачи обычно несколько условий, характеризующих зависимость между величинами. Причем никогда не сообщается, при помощи какого условия надо вводить переменную. Кроме того, решение не ограничивается введением переменной. Давайте вспомним, как расчленять условие задачи на отдельные части.

Прочитайте задачу №2 (см.Приложение)

1. О чем говорится в задаче? (В задаче говорится о возрасте)
2. На какие части можно условно разделить возраст? (Возраст отца и возраст сына)
3. Знаем ли мы возраст отца? (Нет)
4. Знаем ли мы возраст сына? (Нет)
5. Прочитайте условие, которое связывает возраст отца и возраст сына. (Их два: сын младше отца в 4 раза; отец старше сына на 27 лет)
6. Переформулирем эти условия так, чтобы использовалась уже известная зависимость. (Возраст сына в 4 раза меньше, чем возраст отца; возраст отца на 27 лет больше возраста сына)
7. Переформулируем условия так, чтобы сравнивался возраст отца с возрастом сына. (Возраст отца больше возраста сына в 4 раза, возраст отца больше возраста сына на 27 лет)
8. Переформулируем условия так, чтобы сравнивался возраст сына с возрастом отца. (Возраст сына меньше возраста отца на 27 лет. Возраст сына меньше возраста отца в 4 раза.).

В результате на доске и в тетрадях учащихся появляется основная краткая запись (учащиеся в тетради её не делают, но на доске эта запись будет в работе в течение всего решения):

1. В задаче выделились два условия и вопрос. (Вопрос: сколько лет отцу?)
2. Каким способом можно решать задачу? (Задачу можно решать с помощью уравнения, так как значения обеих величин неизвестны, а известна зависимость между ними)
3. С помощью какого условия можно ввести переменную? (Возраст сына на 27 лет меньше, чем возраст отца).
4. Для чего тогда можно использовать второе условие? (Второе условие можно использовать для составления уравнения.) На доске прикрепляются таблички:

Для введения
переменной

Для составления
уравнения

Составьте схемы уравнений и сами уравнения по второму условию. Учащиеся составляют в тетради и на доске схемы и уравнения по ним:

Возможно ли обозначить переменной значение другой величины? Введите переменную по-другому, составьте схемы уравнений, сами уравнения, сделайте вывод.

Дети составляют краткую запись, схемы уравнений, уравнения самостоятельно в тетрадях. На дополнительных досках работают два ученика. Вместе выбираем уравнение, которое наиболее удобно для решения. Сравниваем его с первоначальным, делаем выводы: схемы для составления уравнений одинаковые, т.к. условие для составления уравнения не изменилось. Схемы можно было не составлять. Уравнения отличаются незначительно.

1. Можно ли было использовать первое условие для составления уравнения, а второе – для введения переменной. (Да) Меняем таблички с надписями «для составления уравнения», «для введения переменной» местами в основной краткой записи.

Учащиеся самостоятельно составляют схемы уравнений, уравнения. На доске записываем только то, которое они считают рациональным.

Составляем краткую запись, схемы уравнений, уравнения самостоятельно в тетрадях. Вместе выбираем уравнение, которое наиболее удобно для решения, записываем его на доске.

6. Итог урока (3 мин).

При подведении итога урока учащиеся просматривают вторую часть классной работы, подсчитывают количество возможных вариантов составления уравнения в зависимости от введения переменной в задачу (пишут: I способ, II способ…). Повторяют вывод, уже сделанный для каждого способа. Учителю при самостоятельной работе учащихся необходимо следить за тем, чтобы наиболее рациональные варианты стояли на различных местах по порядку, иначе учащиеся могут сделать неправильный вывод.

7. Комментирование домашнего задания (1 мин).

Учитель:Дома вы будете решать пример (№1373в) и задачу № 3 из приложения. Каким способом будете вводить переменную? Верно, каждый своим способом. Решение задачи полностью записать в тетради.

• Так какой же способ самый правильный? (Никакой, правильные все)
• Какой саамы рациональный и легкий для решения? (Учащиеся могут назвать разные варианты) Запишите решение тем способом, который кажется вам рациональнее.

8. Самостоятельная работа (10 мин).

Учащиеся записывают решение уравнения и сдают тетради на проверку. Из опыта работы можем утверждать, что учитель успевает проверить работу учащихся и выставить отметки за урок за время выполнения всем классом самостоятельной работы. Учащиеся выполняют следующую домашнюю работу в этих же тетрадях.

Использование данной методики работы над текстовой задачей дает хорошие результаты.

Учебник: Н.Я. Виленкин и др., Математика, 6 класс.